НУЛЬМЕРНАЯ МОДЕЛЬ ϕ 4 В ФОРМАЛИЗМЕ ФОНОВОГО ПОЛЯ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.64, 517.37, 530.145.1

Вестник СПбГУ. Сер. 4. Т. 2 (60). 2015. Вып. 4

А. А. Багаев, Ю. М. Письмак

НУЛЬМЕРНАЯ МОДЕЛЬ ф4 В ФОРМАЛИЗМЕ ФОНОВОГО ПОЛЯ

Санкт-Петербургский государственный университет, Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7—9

Обсуждается квантово-полевая модель с четверным самодействием, или модель ф4. Она рассматривается с точки зрения нульмерной квантовой теории поля — подхода, вариант которого предложен авторами в предыдущих работах. Суть этого подхода в прямой замене функциональных интегралов кратными интегралами Римана по конечномерному пространству. Метод отличается от традиционного понимания нульмерной теории поля как теории случайных матриц. В рамках этого метода просто ввести фаддеевскую версию формализма фонового поля. Эффективное действие как преобразование Лежандра производящего функционала связных функций Грина вычислено в двух первых порядках теории возмущений по константе связи. Для этого описана фейнмановская диаграммная техника. Вычислен «головастик», т. е. левая часть квантовых уравнений движения, которые понимаются как условия согласования преобразования Лежандра. Библиогр. 11 назв.

Ключевые слова: формализм фонового поля, модель ф4, диаграммная техника, асимптотические разложения.

A. A. Bagaev, Yu. M. Pis'mak

THE 0D ф4 MODEL IN THE BACKGROUND FIELD FORMALISM

St. Petersburg State University, 7—9, Universitetskaya nab., St. Petersburg, 199034, Russian Federation

Quantum field model with quadruple self-interaction also known as ф4 model is discussed. This model is considered via 0D quantum field theory. A variation on this approach has been recently proposed by authors. Its main idea is the direct replacing of functional integrals (Feynman's path integrals) by usual multiple Riemannian ones over finite-dimensional space. Our method is alternative for the random matrices theory which is known realization of the 0D field theory. This method allows to introduce the background field formalism in Faddeev's version in a very simple way. First two orders of perturbation theory for the effective action as Legendre transform of connected Green functions generating functional are calculated. Necessary Feynman diagram technics is described. The left-hand side of quantum equations of motion (tadpole) is also calculated. The quantum equations of motion we understand as Legendre transform consistence condition. Refs 11.

Keywords: background field formalism, ф4 model, diagram technics, asymptotic series.

Введение. Квантово-полевая модель с четверным самодействием, или модель ф4, описывает некоторые явления в теории конденсированного состояния [1]. Её свойства хорошо изучены, например, в работах [2, 3] построено разложение 1/N для критических индексов в младших порядках.

Модель ф4 весьма проста — полиномиальная теория без внутренних изотопических симметрий, поэтому является удобным объектом исследований. Представляется интересным использовать недавно предложенный авторами вариант нульмерной квантовой теории поля [4]. Элементарность изучаемой модели позволяет на практике применить формализм фонового поля в версии Л. Д. Фаддеева [5-7] и явно вычислить такие объекты, как производящий функционал ¿"-матрицы, эффективное действие, квантовые уравнения движения.

Нульмерная модель ф4. Функционал действия нульмерной, или дискретной, мо-

4

дели ф4

1 X

Б(х) = - (х, А~1х)1 + — (х,х)1, (1)

где х € V := М" — пространство, которое далее будем называть основным; первое слагаемое — положительно определённая квадратичная форма на VI, следовательно, Д — симметричная матрица п х п, detД > 0; X — константа связи. Следуя традиции, первое слагаемое назовём действием свободной теории или свободным действием, а второе — действием взаимодействия [8].

Фаддеевская версия формализма фонового поля реализована [4] в расширенном пространстве V = V ф Уч, где V := Мт — вспомогательное пространство, элементы которого будем обозначать штрихом — х'. Для её построения, во-первых, вместо (1) следует взять модернизированное действие

1 X 2

Зр(х) = -{х,Кх) + -{х,Рх)\ (2)

где К — блочная матрица (п + т) х (п + т), устроенная следующим образом:

Д-1 В

К =■ В а

где В и а — произвольные матрицы соответствующих размеров; ортогональный проектор

Р : V ^ V : (х, х') ^ (х, 0).

Матрица К по определению симметрична, т. е. а = ат и вырождена — det К = 0. Во-вторых, производящий функционал ¿"-матрицы выбирается в виде

Я¥(у)^'ехр {-¿р (Рх + у)} 0х, (3)

у

где мера = Ът(х')в,пхв,тх', а Ьт(х') — т-мерная дельта-функция Дирака. Резонно назвать переменную у фоновым полем. Интеграл (3) имеет кратность п + т, однако интегрирование проводится только по п-мерному основному пространству. Это означает, что Яр зависит только от вспомогательной компоненты фонового поля: Яр (у) = Я(у').

Замечание. Необходимость согласования действий (1) и (2) приводит, очевидно, к условию

¿(х) = ¿р (Рх). (4)

Однако надо понимать, что (4) не является достаточным условием: не любое действие ¿р, удовлетворяющее (4), может быть выбрано для построения формализма фонового поля. Так, для модели (1) нельзя в качестве действия взаимодействия взять (Х/4\)(х,х)2, хотя такое расширение представляется естественным. Вопрос однозначного определения ¿р(х), соответствующего данному ¿(х), остаётся открытым.

Эффективное действие. Согласно концепции Л. Д. Фаддеева [5-7], эффективное действие модели (2) — это связная часть функционала (3) при условии, что фоновое поле удовлетворяет так называемым квантовым уравнениям движения. Для построения

«головастика» — левой части квантовых уравнений движения — требуется диаграммная техника, нетривиально зависящая от фонового поля. Её построение для интеграла (3) не является очевидным.

Но эффективное действие может быть построено по-другому — как преобразование Лежандра производящего функционала связных функций Грина [8]. Известно [9], что два определения эффективного действия эквивалентны, а квантовые уравнения движения суть условия согласования преобразования Лежандра.

Определим функцию «внешнего источника» J G V, Wy (J) — объект типа производящего функционала связных функций Грина:

exp{Wy (J)} = J exp j-SF (Px + y) + {J,x)i} ^x; (5)

E

очевидно, exp{Wy(0)} = RF(y).

Построим преобразование Лежандра Гу (а) — функцию от «среднего поля» а G V:

Гу(a) = (Wy(J) — {.J,a)i)\j=J(a),

где J = J(а) — решение уравнений

dWy (J)

Рассмотрим показатель экспоненты (5):

1 X

-~(Рх + у, К(Рх + у)) - - (х + у, Р(х + у)}2 + (J, х)1 =

1 1 ~ X

= --(¿+y + ABy\A-\x + y + ABy'))1--(y\(a-A)y')2--(x + y,x + y)l + (J,x)1.

Здесь и далее по определению матрица m х m M = BTMB, где M — матрица п х п. Сдвинем переменную интегрирования: x ^ x — у — ABy', получим

1 X

- -(х, А-1х)1 - -{х - АВу',х - АВу')\ + (J,x)i -

- (J,у + АВу')х - (а - А)у%. (6)

Затем вычислим Wy ( J) в первых двух порядках теории возмущений. Функционал Wy(J) в нулевом порядке по К. Положим в (6) X = 0. Интеграл (5) оказывается гауссовым, его вычисление даёт

Wy(J) = ^(J, AJ)i - {Juy + ABy') 1 - l(y\(a-Ä)y')2 =

= i(J - A-'y-By', A(J - Д-V- By'))1 - Ky). (7)

Функционал Wy(J) в первом порядке по К. Диаграммная техника. Перепишем второе и третье слагаемые (6):

X

X

X

- - (у\А2у')1 + ~{у', ДУ)2(х, АВу'), - - (у',А2у')2(х,х), + {х,АВу')\

12

+

X X

+ £ (х, х) х (ж, АВу') х - — (ж, х)\ + (7, х) х.

Как известно [4], техника диаграмм Фейнмана может быть введена для кратных интегралов. Слагаемым (6) соответствуют вершины, роль координат играют натуральные числа 1 ^ ц ^ п — номер компоненты вектора х.

Первым пяти слагаемым соответствуют вершины степени от 0 до 4:

X ___

1:-(у',А2у')2(АВу'Г 6

2 : -- [2(АВуГ(АВу'У + (у',А2у')2Ь^

3 : — ((АВу'уЬчр + (АВУ'УЬ№ + (АВу'уЪ^ 18 V

4: -— (5^5ро + 5^Р5ТО + 5^)

Здесь волнистой линией обозначена степень фонового поля для каждой вершины, а прямые линии изображают зависимость от координат — ц, V, р, о. Последнему слагаемому соответствует дополнительная вершина первой степени, в которой внешний источник обозначен зигзагообразной линией:

Интеграл (5) также вычислим с помощью правил Фейнмана. Необходимо соединить прямые линии наших вершин посредством пропагатора — элементов матрицы Д всеми возможными способами. После этого выписать соответствующие получившимся диаграммам выражения.

В первый порядок (7) дадут вклад следующие диаграммы:

X ___

--(у,ДУ>2^Д + 2<у',ДУ)2);

= -¿(2^ + 0^)2);

(8а) (8б) (8в)

(8г)

ЛЛА/*-

-•^А 6

(8д)

= —-

12

(7, Д^Ыу', Д2у) +2(7, Д2Бу)

(8е)

-^=-{у',А2у')2{.7,А2Ву')1]

(8ж)

(.7, Д2Бу')1 trД + 2(J, Д3Бу)

(8з)

12

(.7, Д2 7)1 ^Д + 2(7, Д3Т)1

(8и

Собирая (8) воедино, получим

= "4! [(•1Л2^1-^,А2^1^,А2Ву')1 + 2^,А2^1(у',А2у')2 + + 4(I, Д2Бу')2 - 4(7, Д2Бу) (у', Д2у')2 + (у', Д2у')2 + 2(7, Д21), tr Д + + 4(.7, Д3,7)1 - 4(.7, Д2Бу')1 ^ Д - 8(.7, Д3Бу')1 + 2(у', А2у')2 ^ Д+

+ 4(у', Д3у')2 + 2^Д2 + (^Д)2] . (9)

Эффективное действие в нулевом и первом порядках по К. Вычислим Гу(а) в первом и втором порядках.

Порядок X0. Найдём «среднее поле» а, для чего продифференцируем (7) по 7:

д.7

Д7 - у - ДБу'.

(10)

Дополнительная компонента а' = 0 и, очевидно,

1

Ту(а) = --(Ра + у,К(Ра + у)).

Порядок X1. Продифференцируем (9) по .7:

X

X

_ дШц и) X

а =- у —

4(1, А2/)ХД2/- 8(/, Д2Ву')1 А2!- 4(1, А2 1)1Д2Ву' +

д£ 4! __ + 4(у', А2у')2Д2! + 8(! Д2Ву')1 Д2Ву' - 4(у', А2у')2Д2Ву' + 4 tr ДА21 + 8Д31-

- 4^ДД2Ву' - 8Д3Ву'1 . (11)

В отличие от (10), мы не можем решить (11) относительно ! и получить Гу(а) в замкнутой форме.

«Среднее поле» а будет равно «головастику» в формализме фонового поля, когда .= 0 [9], т. е.

X г ______1

а =-у-АВу' + - \ {у', А2у')2А2 Ву' + tr АА2Ву' + 2А3Ву'^ +0(Х2). (12)

Мы получили также функционал (5) в первых двух порядках теории возмущений. Запишем его связную часть, для чего в выражениях (7) и (9) положим . = 0:

1пНР(у) = Иуо) = --(у', (а - А)у')2 -

(у', Д2у')2 + 2(у', А2у')2 ^Д + 4(у', А3у')2 + 2trД2 + (trД)2 + 0(Х2). (13)

1 2

X 4!

Квантовые уравнения движения в нулевом и первом порядках по К. Квантовые уравнения движения означают, что головастик как функция фонового поля равен нулю.

Известно, что для модели ф4 квантовые уравнения движения являются условиями стационарности эффективного действия (см. также [10]). Зададимся вопросом, когда это верно и для нульмерной модели.

Продифференцируем (13); сравнивая результат с (12), наблюдаем соотношение

дЖу{0) = вТдУГу(У

ду' д!

. (14)

з=0

Отметим, что данное соотношение будет справедливым и в старших порядках теории возмущений. Но в нулевом порядке (14), вообще говоря, не выполняется. Однако, если мы потребуем, чтобы (14) было верно всегда, фоновое поле должно будет удовлетворять «вспомогательной» части (15б) «классических уравнений движения» Ку = 0

Д-1у + Ву' = 0; (15а)

Вту + ау' = 0. (15б)

Вывод. Доселе все рассуждения проводились без наложения каких-либо условий на фоновое поле у. Как известно [4], функционал (5) совпадает с функционалом Пись-мака—Васильева [8, 11]:

Ду-Р(у) = I е-' (16)

у

при условии (15). Т. е. для поля у «на массовой поверхности» соотношение (14) выполняется во всех порядках теории возмущений.

Таким образом, путём явного вычисления в двух первых порядках теории возмущений проверено, что для нульмерной модели ф4 корректно построена фаддеевская версия формализма фонового поля. Вычисление коэффициентов полного ряда теории возмущений эквивалентно построению асимптотического разложения интеграла (5). Оно также может быть проведено с помощью представленной диаграммной техники.

Литература

1. Васильев А. Н. Квантовополевая ренормгруппа в теории критического поведения и стохастической динамике. СПб.: Изд-во ПИЯФ, 1998. 774 с.

2. Васильев А. Н., ПисьмакЮ.М., ХонконенЮ.Р. l/n-Разложение: расчёт индекса п в порядке 1/n3 методом конформного бутстрапа // Теор. мат. физика. 1982. T. 50, № 2. С. 195—206.

3. Васильев А. Н., Письмак Ю. М., ХонконенЮ. Р. l/n-Разложение: расчёт индексов п и v в порядке 1/n2 для произвольной размерности // Теор. мат. физика. 1981. T. 47, № 3. С. 291—306.

4. Багаев А. А., ПисьмакЮ.М. Формализм фонового поля для кратных интегралов // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 4. Физика. Химия. 2014. Т. 1 (59), вып. 4. С. 464-472.

5. Фаддеев Л. Д. Замечания о расходимостях и размерной трансмутации в теории Янга—Мил-лса // Теор. мат. физика. 2006. Т. 148, № 1. С. 133-142.

6. Faddeev L. Mass in quantum Yang—Mills theory (comment on Clay Millennium Problem) // Bull. Braz. Math. Soc. 2004. Vol. 33, N 2. P. 1-12.

7. Faddeev L. D. Separation of scattering and selfaction revisited // Subtleties in quantum field theory: Lev Lipatov Festschrift / ed. by D. Diakonov. Gatchina: PNPI, 2010. P. 1-6.

8. Васильев А. Н. Функциональные методы в квантовой теории поля и статистике. Л.: Изд-во ЛГУ, 1976. 295 с.

9. Багаев А. А. Эффективное действие в формализме фонового поля // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 4. Физика. Химия. 2012. Вып. 3. C. 56-65.

10. Багаев А. А. Замечание о перенормировке эффективного действия и квантовых уравнений движения для модели sin-Гордона в формализме фонового поля // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 4. Физика. Химия. 2010. Вып. 1. C. 162-164.

11. Васильев А. Н., ПисьмакЮ.М. Унитарность виковской Т-экспоненты // Теор. мат. физика. 1973. T. 15, № 2. C. 182-196.

References

1. Vasil'ev A. N. Kvantovopolevaia renormgruppa v teorii kriticheskogo povedeniia i stokhasticheskoi dinamike [Quantum field renormalization group in the theory of critical behavior and stochastic dynamics]. St. Petersburg, PNPI, 1998. 774 p. (In Russian)

2. Vasil'ev A. N., Pis'mak Yu. M., Khonkonen Yu. R. 1/n-Razlozhenie: raschet indeksa n v poriadke 1/n3 metodom konformnogo butstrapa [1/n Expansion: Calculation of the exponent v in the order 1/n3 by the conformal bootstrap method]. Teor. mat. fizika. [Theoretical and Mathematical Physics], 1982, vol. 50, no. 2, pp. 195—206. (In Russian)

3. Vasil'ev A. N., Pis'mak Yu. M., Khonkonen Yu. R. 1/ra-Razlozhenie: raschet indeksov n i v v poriadke 1/n2 dlia proizvol'noi razmernosti [1/ra Expansion: Calculation of the exponents n and v in the order 1/ra2 for arbitrary number of dimensions]. Teor. mat. fizika. [Theoretical and Mathematical Physics], 1981, vol. 47, no. 3, pp. 291-306. (In Russian)

4. Bagaev A. A., Pis'mak Yu. M. Formalizm fonovogo polia dlia kratnykh integralov [Background field formalism for multiple integrals]. Vestnik of Saint-Petersburg University. Series 4. Physics. Chemistry, 2014, vol. 1 (59), iss. 4, pp. 464-472. (In Russian)

5. Faddeev L. D. Zamechaniia o raskhodimostiakh i razmernoi transmutatsii v teorii Ianga—Millsa [Notes on divergences and dimensional transmutation in Yang—Mills theory]. Teor. mat. fizika. [Theoretical and Mathematical Physics], 2006, vol. 148, no. 1, pp. 133-142.

6. Faddeev L. Mass in quantum Yang—Mills theory (comment on Clay Millennium Problem). Bull. Braz. Math. Soc., 2004, vol. 33, no. 2, pp. 1-12.

7. Faddeev L. D. Separation of scattering and selfaction revisited. Subtleties in quantum field theory: Lev Lipatov Festschrift. Ed. by D. Diakonov. Gatchina: PNPI, 2010, pp. 1-6.

8. Vasil'ev A. N. Funktsional'nye metody v kvantovoi teorii polia i statistike [Functional methods in quantum field theory and statistics]. Leningrad, LGU Publ., 1976. 295 p. (In Russian)

9. Bagaev A. A. Effektivnoe deistvie v formalizme fonovogo polia [An effective action in the background field formalism]. Vestnik of Saint-Petersburg University. Series 4. Physics. Chemistry, 2012, iss. 3, pp. 56—65. (In Russian)

10. Bagaev A. A. Zamechanie o perenormirovke effektivnogo deistviia i kvantovykh uravnenii dvizheniia dlia modeli sin-Gordona v formalizme fonovogo polia [Note on renormalization of effective action and quantum equations of motion for sin-Gordon model in background field formalism]. Vestnik of Saint-Petersburg University. Series 4- Physics. Chemistry, 2010, iss. 1, pp. 162—164. (In Russian)

11. Vasil'ev A. N., Pis'mak Yu. M. Unitarnost' vikovskoi T-eksponenty [Tarity of the S matrix]. Teor. mat. fizika. [Theoretical and Mathematical Physics], 1973, vol. 15, no. 2, pp. 182—196. (In Russian)

Статья поступила в редакцию 29 сентября 2015 г.

Контактная информация

Багаев Алексей Анатольевич — кандидат физико-математических наук; e-mail: [email protected]

Письмак Юрий Михайлович — доктор физико-математических наук, профессор; e-mail: [email protected]

Bagaev Aleksei Anatolievich — Ph.D.; e-mail: [email protected]

Pis'mak Yurii Mikhailovich — Doctor of Physics and Mathematics, Professor; e-mail: [email protected]