Нули полиномов по системе типа Хаара Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.52

DOI: 10.18698/1812-3368-2017-3-4-16

НУЛИ ПОЛИНОМОВ ПО СИСТЕМЕ ТИПА ХААРА

Е.А. Власова

[email protected]

МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Российская Федерация

Аннотация

Получена точная оценка меры Лебега множества нулей полиномов произвольно большого порядка с ненулевыми коэффициентами по обобщенной системе Хаара для случая ограниченной последовательности параметров, определяющих данную систему. Аналогичные вопросы исследованы для случая неограниченной последовательности параметров обобщенной системы Хаара. В последнем случае показано, что всегда найдется полином, мера Лебега множества нулей которого сколь угодно мало отличается от единицы

Ключевые слова

Обобщенная система Хаара, полином, мера Лебега, множество нулей

Поступила в редакцию 22.09.2016 © МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2017

Введение. Мультипликативные системы и системы, тесно с ними связанные, продолжают привлекать внимание и математиков, и инженеров. К таким системам относятся ортонормированные системы типа Хаара, частным случаем которых является классическая система Хаара [1, 2].

В последние годы при фильтрации, предварительной обработке и синтезе различных сигналов, решении задач сжатия, обработки и склейки изображений находят широкое применение вейвлеты [3-5]. В качестве материнского вейвлета нередко используют вейвлет Хаара [6, 7]. Функции Хаара являются старейшими представителями вейвлет-функций, известными с 1910 г.

Системы функций Хаара и им подобные применяют в самых различных областях науки и техники при решении широкого классса теоретических и прикладных задач [8]. В настоящей работе рассмотрены некоторые свойства полиномов по системам %{pn}, впервые введенных Н.Я. Виленкиным [9, 10] для последовательностей простых и ограниченных в совокупности чисел pn. Основные свойства этих систем для произвольных натуральных чисел pn Ф1 также изучены в работах [11-17]. Вопросы исследования обобщенных систем Хаара актуальны и в настоящее время [18-22].

Определения и постановка задачи. Пусть {pn} — последовательность натуральных чисел, таких, что pn >2, пе N. Примем mn = p1...pn, п > 1, ш0=1. Тогда для любой точки * е [0, 1] \ Q, где Q = {I/ mn}, 0 < I < тп, l е Z, п е N существует единственное разложение

*=(1)

к=1 тк

с условием 0 < }к (*) < рк -1, }к (*) е Z, к е N.

Любое целое число m > 2 единственным образом можно представить в виде

m = mn + r ( pn+i-1) + 5, (2)

ne {0}иN, r = 0, 1,..., m -1, 5 = 1,..., pn+1 -1.

Определим комплекснозначную систему функций %{pn } = {%m (t )}~=1 следующим образом. Пусть %1(t) = 1 при t e[0,1]. Используя разложение m = = mn + r (pn+1 -1) + 5, для m > 2 примем

%m (t) = xnr (t) =

= Lmexp(2n/5jn+1(t)/pn+1) при te (r/mn, (r +1)/mn)\Q; ^

[ 0 при t£[r/mn, (r +1)/mn].

В остальных точках интервала (0,1) функция %m (t ) равна полусумме своих предельных значений справа и слева по множеству t e [0, 1]\ Q, а на концах отрезка [0,1] — предельным значениям внутри отрезка.

При pn =2, n e N, система функций %{pn} совпадает с классической системой Хаара [1, 2].

N

Функцию f (t) = ^am%m(t), где aN Ф 0, будем называть полиномом порядка

m=1

N по системе %{pn}. Если заранее неизвестно значение коэффициента aN, то функцию f (t ) назовем полиномом порядка не выше N.

Всякий интервал Anr =(r / mn ,(r + 1)/mn ), где 0 < r < mn -1, r e Z, n e {0} и N, будем называть интервалом n -го ранга, а функции для всех индексов с условиями 0 < r < mn -1, r e Z, 5 = 1,., pn+1 -1, n e {0} и N — функциями системы %{pn} n-го ранга ( %1(f ) будем считать функцией ранга -1). Отметим, что функции %m (t) n -го ранга имеют интервалы постоянства (n + 1)-го ранга.

Для системы Хаара в работе П.Л. Ульянова [23] был установлен следующий результат.

Теорема 1 (теорема Ульянова). Пусть N — натуральное четное число,

N

am Ф 0 при 1 < m < N и полином PN (t) = ^ am%m (t). Тогда мера Лебега

m=1

mes {t : t e[0,1], Pn (t) = 0} < 1/2.

Изучим аналогичные вопросы для системы %{pn}.

Основные результаты. Теорема 2. Пусть {pn}"=1 с N\{1}, mn = p1...pn,

n > 1, m0=1, натуральное число N = p1 или N = mn + k (pn+1 -1)pn, n e N,

N

k e {1,2, ..., mn-1}, am Ф 0 при 1 < m < N и полином PN (t)= ^ amXm (t ), где

m=1

Xm (t) — функции системы %{pn}. Тогда, если suppn = p < то мера Лебега

neN

mes{t : t e[0,1], Pn(t) = 0} < 1 --.

P

(4)

◄ Пусть сначала N = p1. Согласно (3), имеем %m (t) = Xnr(t), m = mn + + r( pn+1 -1) + s, И

Pl

Pp1(t)= S amXm (t) = Ü1 + a2x0o(t) + «3%020)(t) + - + «p! '(t).

m=1

Отметим, что функция Рр1(*) постоянна на каждом следующем интервале ((/Р1, О +1)/Р1), 7 = 0,1,.,р1 -1. Для *е (0,1/рО имеем Рр1(*) = й1 + + + аз + ...+аА. Если *е (;/рь (; +1)/рО, где ; = 1,., р1 -1, то РА(*) = = а1 + а2 ехр(2л/7 / р1) + а3 ехр(4л/7 / р1) + ...+ар! ехр(2(р1 - 1)л/7 / р1).

Предположим, что справедливо неравенство, противоположное (4), кроме того,

1

1

mes {t : t е[0,1], Pp,(t) = 0}>1--> 1--.

Pi P

Тогда коэффициенты

am,, m = 1,.,pi, должны быть решениями однородной системы линейных алгебраических уравнений

a1 + a2 + ... + aP1 = 0;

2 ni 4ni 2( p1 - 1)ni „ a1 + a2 exp--+ a3 exp--+ ...+ aP1 exp—L-= 0;

P1 P1 P1

(5)

a1 + a2 exp

2( P1 -1) ni

+ a3 exp

4( P1 -1) ni

+... + aP1 exp

2( P1 -1)2 ni

= 0.

P1 P1 P1

Определителем системы (5) является определитель Вандермонда

А =

1 x1 x2

1 Х2 x| 1 Хз Х?

1 XP1 Х P .

„P1" 1

„P1" 1

„P1" 1

cf"1

P1

= П (Xk - Xj ),

1 < j < k < n

2(к - 1)п/

где хк = ехр-, к = 1,2,., р1. Поскольку хк - х} Ф 0 при к Ф то АФ0,

р1

и система (5) имеет только нулевое решение ак =0 при к = 1,2, ...,р1. Однако по условию коэффициенты полинома РN (*) отличны от нуля. Следовательно, для N = р1 справедливо неравенство

mes {t : t e[0,1], Pp (t) = 0} < 1 -—. (6)

p1

Таким образом, справедливо и неравенство (4).

Отметим, что полученная оценка (6) является точной. Предположим, что

p1 -1

Pp1 (t) = 0 для t e U ( j / p1, ( j +1)/ p1 ). Тогда при y = exp (2ni / p1 ) верны равен-

j=1

ства

a1 + a2 y + ... + ap1 yp1 -1 = 0;

0;

(7)

a1 + a2 y2 + ...+ aP1 y2( p1 1 = 0;

ai + A2 yp1 -1 + ...+ ap1 y2( P1 -1)2 = 0. Для a1 = a2 = ... = ap1 _ 1 =1 все равенства системы (7) выполняются, поскольку

к + + k( P1 -1) = ykp1 -1 = exp(2kp1m / p1) -1 = exp(2kni) -1 9 у yk -1 exp(2kni / p1) -1 exp(2kni / p1) -1

для любых значений fc = 1,2, ..., p1 — 1. Пусть N = pi + (p2 — 1) pi = pi p2. Тогда

p1— 1 pl— 1 p2 — 1 Pn(t) = a^t) + z яоо)Хос))(t) + z z W).

s=1 r=0 s=1

Для t e (0,1/ p1) имеем

Pn (t) = a + a2 + ... + ap1 + aPí+1 x(0)(t) + ••• + ap1+p2 —1X1O2—1)(t). При этом для t e (0,1/ (p1 p2)) справедливо равенство

Pn (t ) = a1 + a2 +... + ap1 + ap1+1y[p1 + ... + ap1 + p2—1i/p1.

Для всех точек te (fc/(p1p2), (fc + 1)/(p1p2)), fc = 1,2,.,p2 — 1, получаем равенство

/ч i— 2fcra i— 2fc( p2 — 1)ra

Pn (t) = a1 + a2 + ...+ ap1 + a^+^ p1 exp-+ ...+ ap1+p2—^ p1 exp—--.

p2 p2

Если обозначить b1= Zam, b2 = Vpap1+1,..., bp2 = ^Jplap1+p2—1, то с учетом

m=1

изложенного выше получаем

mesjt: t e (0,1/pO, Pn(t) = 0} < .

p1 p2

Отметим, что полученная оценка является точной.

Для точек tе (1/pi,2/p1) имеем

„ , , 2ni 4ni 2( p1 - 1)ni PN(t) = я1 + a2 exp--+ a3 exp--+ ...+ api exp—£--+

Pi P1 P1

+ ap1+p2 X11 (t ) +. • • + ap1 +2( p2-1)Xn2-1) (t ).

При этом для точек t е ( 1/ p1, 1/ p1 +1/ (p1 p2 ) ) справедливо равенство

P1 2(k — 1)ni i— i—

Pn (t) = xa exp-+ap1 + p^ p1 +... + ap1 +2( p2 —1)V p1.

k=1 p1

Для точек tе(1/p1 + k/(p1 p2), 1/p1 + (k + 1)/(p1 p2)),k = 1,2, ...,p2 — 1, получаем равенство

p 2(k—1)ni /— 2kni 1— 2k( p2 — 1)ni Pn (t) = lak exp-+aw+p^yj p1 exp-+ ...+ ap1 +2p—1)Vp1 exp-.

k=1 p1 p2 p2

Таким образом, в этом случае приходим к неравенству

W65 {t : t е (1/p1, 2/pO, Pn (t) = 0} < . (8)

p1 p2

Если ap1 + p2 =... = ap1 +2(p2—1)=1, то для k = 1,.,p2 — 1, имеем

I— 2kni i— 2k( p2 — 1)ni

ap1 + pW p1 exp-+... + ap1 +2(p2—1)V p1 exp-=

p2 p2

2kni f 2k( p2 — 1)ni Л , 2kni exp-1 exp—---1 I 1—exp-

exp--1 exp--1

p2 p2

Если ai = л/pi /2, a2 = a3 =... = apx = —^/pi / 2,

то

I— 2ni ( 2( p' - 1)ra ,

-y/pi exp-1 exp—L--1

I1 2(к - 1)го 4р! " ' р1 { ' р1 ) г— Так ехР---= ---/ _ . Л-- = V р1.

к=1 р1 2 2(ехр^-1

При выбранных значениях коэффициентов а1, ...,ар1 и ар1 +р2, ..., ар! +2(р2-1) имеем PN (*) = 0 для

р2-1 ( 1 к 1 к +1 ^ * е У —+-, — +-

к=1 р1 р1 р2 р1 р1 р2

Следовательно, оценка (8) является точной.

Для точек tе (l/p1, (l +1)/p1), l = 1, ...,p1-1, имеем

„ ,, 2lni 4lni 2( p1 - 1)lni PN(t) = я1 + a2 exp--+ a3 exp--+ ...+ ap1 exp—£--+

p1 p1 p1

+ap1 +l ( p2-1)+1х(1 ) (t ) + ... + ap1 +(l+1)( p2-1)Xlp2

Кроме того, при tе (l/p1 + r/p1p2, l/p1 + (r +1)/p1p2), r = 0,1,.,p2 -1, получаем

nM 2(k - 1)lni i—p2-1 2smi Pn (t) = Zak exp-+ yp1 Z apj+(p2-1)+s exp-.

k=1 p1 s=1 p2

Учитывая изложенное выше, для l = 0,1,..., p1 -1 имеем

mes {t : t е (l / pb(l +1)/p0, Pn (t ) = 0} < ^^,

p1 p2

причем оценка точная. Следовательно, для N = p1 p2 справедливо неравенство

mes {t : t е (0,1), Pn (t) = 0} < ^^.

p2

Используя приведенные выше результаты, нетрудно установить окончательность полученной оценки.

Предположим, что N = m„0 + (p„0+1 - 1)p„0k¡, где k0 е {1,2,..., m^-J, n > 2, П е N. Тогда

тП0 тП0

+( pn0+1-1) pn0 k0

Pn (t)= Z amXm (t) + Z amXm (t) = PN1](t) + PN2)(t).

m=1 m = тП0 +1

Поскольку PJ(2)(t) = 0 при t е (k0 / mn0-1,1) = S, верно равенство

mes {t : t е S, PN (t ) = 0} = mes {t : t е S, PJN1)(i) = 0}. Интервал S распадается на целое число интервалов (n0 - 1)-го ранга

Aft0 — 1r _

f r r +1 >

rn„o—i m„o—i

, ko < r < mno-1 —1.

y -П0 ± -110 J. J

Таким образом, приходим к неравенству

m^r, — 1 — 1

p — 1 no 1 p — 1 mes (t : t eô, Р£>(0 = 0} < ^^ Z K- И = ! §!•

pno r= ko pno

Пусть ô1 = (0, k0/mno—1). Этот интервал распадается на интервалы no-го ранга:

АП0Г =

( r r +1 ^

, 0 < r < Pn0 k0 -1.

На каждом таком интервале функция Р^/Ч*) постоянна, поскольку Р^/Ч*) есть сумма функций системы %{рп}, ранг которых не превышает п0 -1.

Функция Рд ) на каждом интервале

(г/тп0 + %/тп0 +1, г/тп0 + (<? +1)/тп0 +1 сА^г, % = 0,1, ...,рщ +1 -1, принимает следующие значения:

рп0 +1-1 Г 2а5т ] Ь0 + X Ь ехр —!>.

5=1 [ рП0 +1 ]

Отметим, что Ь5 Ф 0, 5 = 1,2, ..., рп0 +1 -1, так как Ь5 тп0 ат+5-1 для некоторого номера т, для которого тп0< т < тп0 + (рп0 +1 -1)рп0 к0.

Следовательно, при условии 0 < г < рп0 к0 -1 имеем неравенство

mes {t : t е A^r, Pn (t) = 0} < Pn0 +1 11 Anor|

Pm +1

Тогда получаем

P -1 Pn0 k0-1 P -1

mes {t : t е8ь Pn (t) = 0} < ^^ S M = ^^ 18^.

Pn0 +1 r=0 Pn0 +1

Таким образом,

mes {t : t е [0,1], PN (t) = 0} = mes {t : t е 81, PN (t) = 0} + mes {t : t е 8, PN (t) = 0} <

< Pn0 +1 -11811 + mes {t : t е 8, P№(t) = 0} <

Pn0 +1

< ^^izi 1811 + Pn-z! 18|< £zl (81I + |8) = —.

Pn0 +1 Pn0 P P

Полученная оценка является точной. Действительно, предположим существует такое неотрицательное число A, что для любых N = mn + (Pn+1 -1)Pnk, nе N, kе {1,2, ...,mn-1}, am -Ф- 0 при 1 <m<N, верно неравенство

mes {t : t е[0,1], Pn (t ) = 0} < A < 1,

где Рд(*) = XатХт(*). Поскольку р >1/(1-А) и р = 8иррп, то найдется

т=1 nеN

такое натуральное число п0 , для которого справедливо неравенство 1/(1-А) < рп0 < р. Пусть N = тп0, тогда

«0 -1 mn -1 pn+1 -1

Pmn0 (t) = «1X1 (t) + ЕЕ E a«s) x«) (t) =

n=0 r=0 s=1

«0 - 2 m« -1 pn+1 -1

m«o -1-1 Pn0 -1

= «1X1(t) + e e e flirrt) + e e <>- 1r x«0)- 1r (t).

n=0 r=0 s=1

r=0 s=1

Примем аПГ* =1 при любых п = 0,1,.,По -2, г = 0, 1, ...,т„-1, 5 = = 1,2,..., рп+1 — 1. При этом, учитывая (3), имеем

pn+1 1

Fnr (t) = e x%(t)=

s=1

pn + 1-1 _

E л/mn exp(2ro'sj„+1 (t) / p„+1) при t e (r / m„, (r +1)/ mn)\ Q;

s=1

0 при t £ [r / mn, (r +1)/ mn ].

Если te(r/m„, (r +1)/m„)\Q и jn+1(t) = 0, то Fnr(t) = (pn+1 -1)Vw«. Если te (r/m„, (r + 1)/m„)\Q и jn+1(t) Ф 0, то

2nijn+1(t) f 2ni( pn+1 -1) jn+1(t)

exp-

Fnr (t) V mn

pn+1

exp

pn+1

2nijn+1(t) ,

exp—---1

pn+1

= --n .

Для действительного числа м и номера l = 0,1,.,mn0-1 -1, выражение

n0 - 2 mn -1

Mx1(t) + e e Fnr (t) = Gl (м)

n=0 r=0

принимает одно и то же значение для любого te(l/ш«0-1, (l +1)/mn0-1). Если

Gmin = Ш1П G! (1),

l=0,1, ...,mU0-1 -1

то О1 (1) + | 0^1 +1 > 0 для любого I = 0,1,., тП0—1 — 1. Если принять и0 =| 0тщ | + 2, то получим 01 (и0) > 0 для любого I = 0,1,., тп0—1 —1.

Пусть теперь «1 = а(5—1г = 0г (и0)/ л]тЩ0—1 при I = 0,1,., тП0—1 — 1. Тогда

для te U

pn0-1 f l

k=1

- + -

l k +1 -+-

v mn0-1 ш«0 Ш«0-1 Ш«0 j

имеем

Pmm (t) = Gl(«0) + pe 1««S-1! Ä(t) = Gl(M0) + pe xiS-n(t) =

Vw«0 -1

p«0 -1

s=1

ri /1 + % 1 2nisjn0(t)

= Gl(«0) 1 + e exp-^—

V s=1 pn0 j

s=1

Л

= 0.

Pn -1

Таким образом, mes {t : t е[0,1], Pmno (t) = 0} = —-> A, что противоречит пред-

pno

положению. ►

В ходе доказательства теоремы 2 были установлены следующие два утверждения.

Теорема 3. Пусть N = mn + k(pn+1 - 1)pn, n >2, nе N, kе{1,2,...,mn-1},

N

am Ф 0 при 1 < m < N и полином PN(t) = ^am%m(t). Тогда на каждом интервале

m=1

An-1r (n - 1)-го ранга с условием k < r < mn-1 -1 функция PN ( t ) может обратиться в нуль на множестве меры, не большей, чем (1 -1/ pn ) | An-1r |. В то же время на каждом интервале Anr n-го ранга с условием 0 < r < pnk -1 функция PN (t) может обратиться в нуль на множестве меры, не большей, чем (1 -1/ pn+1 ) | Anr |.

Теорема 4. Пусть N = mn + k(pn+1 - 1)pn, n е N, ke{1,2,..., mn-1}, am Ф 0

N

при 1 < m < N и полином PN(t)= ^am%m(t). Тогда

m=1

mes {t : t е[0,1], Pn (t ) = 0} < 1 — '

тах{ рп, рп+1}

Следствие 1. Пусть N = тп + к(рп+1 -1)рп, пе N, ке{1,2,...,тп-1}, ат Ф0

N

при 1 < т < N и полином Р.N(*)= Хат%т(*). Тогда, если {рп} — неубывающая

m=1

последовательность целых чисел с условием pn > 2, то

l

mes{t: te[0,1], Pn(t) = 0} < 1-

pn+1

Теорема 5. Если для системы %{pn} выполнено условие sup pn = то для

neN

N

любого числа е >0 найдется такой полином PN(t) = ^am%m(t) с коэффициента

тами am Ф 0 при 1 < т < N, что

mes {t: te[0,1], Pn(t) = 0}>1 -е. ◄ Поскольку sup pn = то для любого числа е >0 существует такой номер

neN

ne N, что 1/pn < е. Тогда 1 -1/pn >1 -е. В ходе доказательства теоремы 2 было

N

показано как построить полином PN(t) = Xam%m(t) с номером N = mn и коэф-

m=1

фициентами am Ф 0 при 1 < m < N, для которого

mes{t: te[0,1], Pn(t) = 0} = 1 -—. ►

pn

Заключение. Получена точная оценка меры Лебега множества нулей поли-

N

нома PN(t) = Zam%m(t), где %m(t) — функции обобщенной системы Хаара

m=1

Xipn}, причем N = mn + k(p„+1 - 1)pn, ne N, ke{1,2,...,m„-i}, а для коэффициентов справедливо условие am Ф 0 при 1 < m < N. Оценка найдена для случая supp„ = p < она обобщает результат, полученный П.Л. Ульяновым для систе-

neN

мы Хаара (см. теорему 2). Исследован также случай sup pn = ^ (см. теорему 5).

neN

ЛИТЕРАТУРА

1. Алексич Г. Проблемы сходимости ортогональных рядов / пер. с англ.; под ред. П.Л. Ульянова. М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1963. 360 с.

2. Кашин Б.С., Саакян А.А. Ортогональные ряды. М.: АФЦ, 1999. 560 с.

3. Сахарова Е.И., Макашов А.А., Кропотов А.Н. Использование вейвлетов Хаара для обработки и склейки изображений // Инженерный журнал: наука и инновации. 2012. Вып. 11. C. 44-50. DOI: 10.18698/2308-6033-2012-11-465

URL: http://engjournal.ru/catalog/pribor/robot/465.html

4. Можаров Г.П. Сравнительный анализ адаптивных алгоритмов вейвлет-пакетов // Вестник МГТУ им. Н.Э.Баумана. Сер. Приборостроение. 2016. № 1. С. 75-88.

DOI: 10.18698/0236-3933-2016-1-75-88

5. Горшков Ю.Г. Исследовательский комплекс частотно-временного анализа речевого сигнала с использованием вейвлет-технологии // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Приборостроение. 2011. № 3. С. 78-87.

6. Новиков И.Я., Протасов В.Ю., Скопина М.А. Теория всплесков. М.: Физматлит, 2006. 616 с.

7. Сюзев В.В. Спектральный анализ в базисах функций Хаара // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Приборостроение. 2011. № 2. С. 48-67.

8. Залманзон Л.А. Преобразования Фурье, Уолша, Хаара и их применение в управлении, связи и других областях. М.: Наука, 1989. 496 с.

9. Виленкин Н.Я. Об одном классе полных ортонормальных систем // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1947. Т. 11. Вып. 4. С. 363-400.

URL: http://www.mathnet.ru/links/8673207aed10c0089d87679e5b80818f/im3004.pdf

10. Качмаж С., Штейнгауз Г. Теория ортогональных рядов. М.: Физматгиз, 1958. 508 с.

11. Голубов Б.И., Рубинштейн А.И. Об одном классе систем сходимости // Матем. сб. 1966. Т. 71. № 1. С. 96-115.

URL: http://www.mathnet.ru/links/6c02b9104edb1b318fd76f5954de50dd/sm4253.pdf

12. Голубов Б.И. Об одном классе полных ортонормированных систем // Сиб. матем. журн. 1968. Т. 9. № 2. С. 297-314.

13. Власова Е.А. Об одном классе ортогональных систем сходимости // Мат. заметки. 1988. Т. 43. Вып. 6. C. 734-345.

URL: http://www.mathnet.ru/links/4cd6168fced83c4a21f7407537c0b808/mzm4311.pdf

14. Vlasova E.A. Convergence of series with respect to generalized Haar systems // Anal. math. 1987. Vol. 13. No. 4. P. 339-360.

15. Bласова Е.А. О рядах по системам типа Хаара // Известия высших учебных заведений. Mатематика. 1990. Вып. 9. С. 1-13.

URL: http://www.mathnet.ru/links/52d3db43a3143ea7443b4c3958fcda20/ivm5441.pdf

16. Акишев Г.А. О порядках приближения классов полиномами по обобщенной системе Хаара // Сиб. электрон. матем. изв. 2006. № 3. С. 92-105.

URL: http://www.mathnet.ru/links/fb3bfbeefe9e5741bb2621ea1c55adeb/semr187.pdf

17. Акишев Г.А. Aбсолютная сходимость рядов Фурье от суперпозиции функций // Известия высших учебных заведений. Mатематика. 2009. Вып. 11. С. 3-11.

URL: http://www.mathnet.ru/links/f1392dd67a1ba0ffd6765dea77d718ea/ivm4250.pdf

18. Bолосивец С.С., Фадеев Р.Н. Весовая интегрируемость сумм рядов по мультипликативным системам // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия Mатематика. Mеханика. Информатика. 2014. Т. 14. № 2. С. 129-136.

19. Щербаков BM. Признак Дини — Липшица по обобщенным системам Хаара // Mатер.

17-й международ. Саратовской зимней шк., посв. 150-летию со дня рождения ВА. Стек-лова. Саратов: Изд-во СГУ, 2014. С. 307-308.

20. Щербаков B.K О признаке Жордана или во что он переходит на обобщенных системах Хаара // Mатер. 12-й международ. Казанской летней научной школы-конференции. Т. 51. Казань: Изд-во Казанского математического общества, изд-во Aкадемии наук РТ, 2015. С. 493-496.

21. Щербаков B.K Особенности поточечного признака сходимости Дини рядов Фурье по системам Виленкина и по обобщенной системе Хаара на нульмерных группах // Mатер.

18-й международ. Саратовской зимней шк. Саратов: Научная книга, 2016. С. 341-345.

22. Щербаков BM. Расходимость рядов Фурье по обобщенным системам Хаара в точках непрерывности функции // Известия высших ученых заведений. Mатематика. 2016. Вып. 1. С. 49-68.

23. Ульянов П.Л. Об единственности рядов по системе Хаара с монотонными коэффициентами // Вестн. Mоск. ун-та. Сер. 1. Mатематика. Mеханика. 1983. № 6. С. 63-73.

Власова Елена Александровна — канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры «Прикладная математика» MГTУ им. Н.Э. Баумана (Российская Федерация, 105005, Mосква, 2-я Бауманская ул., д. 5, стр. 1).

Просьба ссылаться на эту статью следующим образом:

Власова b.A. Нули полиномов по системе типа Хаара // Вестник MГTУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2017. № 3. C. 4-16. DOI: 10.18698/1812-3368-2017-3-4-16

POLINOMIAL ZEROS ACCORDING TO THE HAAR-TYPE SYSTEM E.A. Vlasova [email protected]

Bauman Moscow State Technical University, Moscow, Russian Federation Abstract Keywords

We obtained an accurate estimate for the Lebesgue measure of Generalized Haar system, polyno-

the polynomial zeros set of arbitrarily large order with non- mial, Lebesgue measure, zeros set

zero coefficients according to the generalized Haar system for

the case of a bounded sequence of parameters defining a given

system. Similar problems were investigated for the case of an

unbounded sequence of parameters of the generalized Haar

system. In the latter case it is shown that there is always a

polynomial, whose Lebesgue measure of the polynomial zeros

set has an arbitrarily small difference from one

REFERENCES

[1] Alexits G. Convergence problems of orthogonal series. New York, Pergamon Press, 1961.

[2] Kashin B.S., Sahakian A.A. Ortogonal'nye ryady [Orthogonal series]. Moscow, AFTS Publ., 1999. 560 p.

[3] Sakharov I.E., Makashov A.A., Kropotov A.N. Using Haar wavelets for image processing and splicing. Inzhenernyy zhurnal: nauka i innovatsii [Engineering journal: Science and Innovation], 2012, no. 11, pp. 44-50 (in Russ.). DOI: 18698/2308-6033-2012-11-465 Available at: http://engjournal.ru/eng/catalog/pribor/robot/465.html

[4] Mozharov G.P. Comparative analysis of adaptive wavelet-packages algorithms. Vestn. Mosk. Gos. Tekh. Univ. im. N.E. Baumana, Priborostr. [Herald of the Bauman Moscow State Tech. Univ., Instrum. Eng.], 2016, no. 1, pp. 75-88 (in Russ.). DOI: 10.18698/0236-3933-2016-1-75-88

[5] Gorshkov Yu.G. Research complex for frequency-time analysis of voice signal using the wavelet technology. Vestn. Mosk. Gos. Tekh. Univ. im. N.E. Baumana, Priborostr. [Herald of the Bauman Moscow State Tech. Univ., Instrum. Eng.], 2011, no. 3, pp. 78-87 (in Russ.).

[6] Novikov I.Ya., Protasov V.Yu., Skopina M.A. Teoriya vspleskov [Theory of bursts]. Moscow, Fizmatlit Publ., 2006. 616 p.

[7] Syuzev V.V. Spectral analysis in Haar function basis. Vestn. Mosk. Gos. Tekh. Univ. im. N.E. Baumana, Priborostr. [Herald of the Bauman Moscow State Tech. Univ., Instrum. Eng.], 2011, no. 2, pp. 48-67 (in Russ.).

[8] Zalmanzon L.A. Preobrazovaniya Fur'ye, Uolsha, Khaara i ikh primenenie v upravlenii, svyazi i drugikh oblastyakh [Fourier, Walsh, Haar transforms and their application in management, communications and other fields]. Moscow, Nauka Publ., 1989. 496 p.

[9] Vilenkin N.Ya. On a class of complete orthonormal systems. Izv. Akad. Nauk SSSR. Ser. Mat., 1947, vol. 11, no. 4, pp. 363-400.

[10] Kaczmarz S., Steinhaus H. Theorie der Orthogonalreinen. New York, Chelsea Publ., 1951.

[11] Golubov B.I., Rubinshteyn A.I. A class of convergence systems. Matem. sb. 1966, vol. 71, no. 1, pp. 96-115 (in Russ.).

Available at: http://www.mathnet.ru/links/6c02b9104edb1b318fd76f5954de50dd/sm4253.pdf

[12] Golubov B.I. On a class of complete orthonornal systems. Sib. matem. jurn. [Siberian Mathematical Journal], 1968, vol. 9, no. 2, pp. 297-314 (in Russ.).

[13] Vlasova E.A. A certain class of orthogonal convergence systems. Mathematical Notes of the Academy of Sciences of the USSR, 1988, vol. 43, iss. 6, pp. 421-428. DOI: 10.1007/BF01158511 Available at: http://link.springer.com/article/10.1007%2FBF01158511

[14] Vlasova E.A. Convergence of series with respect to generalized Haar systems. Anal. math., 1987, vol. 13, no. 4, pp. 339-360.

[15] Vlasova E.A. Series in systems of Haar type. Izvestiya VUZ. Matematika [Soviet Mathematics], 1990, vol. 34, no. 9, pp. 1-13 (in Russ.).

Available at: http://www.mathnet.ru/links/52d3db43a3143ea7443b4c3958fcda20/ivm5441.pdf

[16] Akishev G.A. On degrees of approximation of some classes by polynomials with respect to generalized Haar system. Sib. elektron. matem. izv. [Siberian Electronic Mathematical Reports], 2006, no. 3, pp. 92-105 (in Russ.).

Available at: http://www.mathnet.ru/links/fb3bfbeefe9e5741bb2621ea1c55adeb/semr187.pdf

[17] Akishev G.A. Absolute convergence of Fourier series of superpositions of functions. Russian Mathematics, 2009, vol. 53, no. 1. DOI: 10.3103/S1066369X09110012 Available at: http://link.springer.com/article/10.3103%2FS 1066369X09110012

[18] Volosivets S.S., Fadeev R.N. Vesovaya integriruemost' summ ryadov po mul'tiplikativnym sistemam. Izvestiya Saratovskogo universiteta. Novaya seriya. Seriya Matematika. Mekhanika. In-formatika [Izvestiya of Saratov University. New Series. Series Mathematics. Mechanics. Informatics], 2014, vol. 14, no. 2, pp. 129-136 (in Russ.).

[19] Shcherbakov V.I. Dini — Lipschitz criterion on generalized Haar. Mater. 17-y mezhdunarod. Saratovskoy zimney shk., posv. 150-letiyu so dnya rozhdeniya V.A. Steklova [Proc. 17th Int. winter workshop dedicated to the 150th anniversary of birth of V.A. Steklov]. Saratov, SGU Publ., 2014, pp. 307-308 (in Russ.).

[20] Shcherbakov V.I. On Jordan criterion or its transformation in generalized Haar systems. Mater. 12-y mezhdunarod. Kazanskoy letney nauchnoy shkoly-konferentsii. T. 51 [Proc. 12th Int. Kazan' summer school-conf. Vol. 51]. Kazan', Kazan' Mathematical Society Publ., Tatarstan Academy of Sciences Publ., 2015, pp. 493-496 (in Russ.).

[21] Shcherbakov V.I. Features of the pointwise Dini convergence criterion of Fourier series on Vilenkin systems and generalized Haar system on zero-dimensional groups. Mater. 18-y mezhdunarod. Saratovskoy zimney shk. [Proc. 18th Int. Saratov winter workshop]. Saratov, Nauchnaya kniga Publ., 2016, pp. 341-345 (in Russ.).

[22] Shcherbakov V.I. Divergence of the Fourier series by generalized Haar systems at points of continuity of a function. Russian Mathematics, 2016, vol. 60, no. 1, pp. 42-59.

DOI: 10.3103/S1066369X16010059

Available at: http://link.springer.com/article/10.3103%2FS1066369X16010059

[23] Ul'yanov P.L. On the uniqueness of series in a Haar system with monotone coefficients. Vestn. Mosk. un-ta. Ser. 1. Matematika. Mekhanika, 1983, no. 6, pp. 63-73 (in Russ.).

Vlasova E.A. — Cand. Sc. (Phys.-Math.), Assoc. Professor of Applied Mathematics Department, Bauman Moscow State Technical University (2-ya Baumanskaya ul. 5, str. 1, Moscow, 105005 Russian Federation).

Please cite this article in English as:

Vlasova E.A. Polinomial Zeros According to the Haar-Type System. Vestn. Mosk. Gos. Tekh. Univ. im. N.E. Baumana, Estestv. Nauki [Herald of the Bauman Moscow State Tech. Univ., Nat. Sci.], 2017, no. 3, pp. 4-16. DOI: 10.18698/1812-3368-2017-3-4-16