Об одной приближенной модели вязкоупругого поведения материала Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 539.376

ОБ ОДНОЙ ПРИБЛИЖЕННОЙ МОДЕЛИ ВЯЗКОУПРУГОГО ПОВЕДЕНИЯ МАТЕРИАЛА

АЛЬЕС М.Ю., БОГИНСКАЯ Л.А.

Институт прикладной механики УрО РАН, 426067, г. Ижевск, ул. Т. Барамзиной, 34

АННОТАЦИЯ. Рассматривается модель линейной вязкоупругой среды для описания механического поведения композиционных материалов. Описывается модель линейной вязкоупругой изотропной среды в форме уравнений Вольтерра второго рода. Уравнения вязкоупругости сводятся к модели «упругого» материала с переменными во времени модулями, эти соотношения и будут определять ползучесть и релаксацию напряжений. В качестве примера берется цилиндрический высоконаполненный композитный материал, скрепленный с упругой тонкостенной оболочкой, нагруженный внутренним давлением и работающий в условиях плоской деформации.

КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: ползучесть и релаксация напряжений, напряженно-деформированное состояние (НДС), вязкоупругость материала.

ВВЕДЕНИЕ

Многие высоконаполненные композиционные материалы проявляют при нагружении выраженное реологическое поведение (ползучесть, релаксация напряжений). Для описания механического поведения такого рода материалов во многих случаях применяются модели линейной вязкоупругой среды [1]. Эти модели имеют вид интегральных соотношений, связывающих, например, компоненты тензора напряжений ст, в данный момент времени t

с компонентами тензора деформаций в,-,- в данный и во все предыдущие моменты времени

у

те[0, Интегральный вид определяющих соотношений существенно усложняет отыскание аналитических решений (оценок) даже для случая областей простейших форм и квазистатического приближения.

Одним из приближенных подходов, позволяющих преодолеть указанные выше трудности, является сведение определяющих уравнений интегрального типа к некоторым «близким» алгебраическим уравнениям, которые строятся в предположении, что подынтегральные функции изменяются (во времени) «слабо».

МОДЕЛЬ

Запишем модель линейной вязкоупругой изотропной среды в форме уравнений Вольтерра второго рода [1]

г

= 2^е, (0-| г^ - т)е, (тут, (1)

0

где |д0 — мгновенно упругий модуль сдвига; , е, — девиаторы напряжений и

деформаций; Г (0 — регулярная часть ядра сдвиговой релаксации.

Рассматриваемые материалы практически не обнаруживают объемных релаксационных свойств. Поэтому, связь между первыми инвариантами тензоров напряжений и деформаций примем в виде

/1(е) - (1-2У0)Я = 0, (2)

где Н = 2 /(1(СТ) ), (3)

/1(в) = вijgiJ, , у0 - мгновенно-упругий коэффициент Пуассона; Н — независимая функция гидростатического давления; giJ — метрический тензор.

Соотношения (2) справедливы для сжимаемых (у0 ^ 0,5) и несжимаемых (у0 = 0,5)

сред.

В изображениях по Лапласу (обозначим *) решение интегрального уравнения (1) находится сразу

*

e =■

S

2^о - Г

(4)

В [2] показано, что оригинал соотношения (4) при некоторых условиях (слабо изменяющиеся во времени подынтегральные функции) мало отличается от своего изображения, т.е.

ч-1

sup t

e j (t) - Sj (t) 2|0 -J Г(t - T)dT

V о

<5.

(5)

Из соотношения (5) видно, что дробное слагаемое есть решение е' (¿) следующего алгебраического уравнения

Sj = 2|0ej (t) - (t) J Г (t - T)dT.

(6)

Таким образом, данный подход состоит в замене интегральных уравнений «близкими» алгебраическими, получающимися путем вынесения искомой функции из под знака интеграла. В теории интегро-дифференциальных уравнений на аналогичных приемах основаны методы «замораживания».

Воспользовавшись данным подходом, сведем уравнения вязкоупругости к модели «упругого» материала с переменными во времени модулями , у(^). Приняв в качестве исходных уравнения (1,2) и заменив первое из них «близким» алгебраическим (6) получим

1 t

l(t) = 1о - 2 J Г(t -T)dт,

6|0v0 + (1- 2v0)J Г (t -T)d т

v(t) = ■

6|0 - (1- 2v0)J Г (t -T)d т

(7)

Приняв в качестве исходных уравнения, разрешенные относительно тензора деформаций

г

2|д0е ' = ' (0 + 2|д01К (Г - т)£' (т)^т,

0

где К (¿) — регулярная часть ядра сдвиговой ползучести, будем иметь

V1

l(t) = |0

1 + 2|0 J K (t -T)d т

3v0 + 2|0(1 + v0)J K (t -т)^ т

v(t) = -

3 + 4|0(1+v0)J K (t -ту т

(8)

Формулы (7,8) определяют различные функции |(t) и v(t) для одного и того же материала. Рассмотрим, например, ползучесть ( S12 = const) и релаксацию (e02 = const) при сдвиге. Опыты на релаксацию дают

0

0

0

0

0

0

|0 - 0,5 j Г (t -T)d т

e0 •

S12(t) = 2

Отсюда

' Sl2(t)

2|(t) = 2|o - j Г(t - T)dт = S-12t) = R(t).

В опытах на ползучесть имеем

e0

2|oe (t) =

1 + 2|0 j K (t -T)d т

S

12

или

2|(t) =-210- = Sl2 =

К e12(t) П (t)"

1 + 2|0 j K (t-T)dT w

0

Видно, что только в частном случае (n(t)• R(t) = 1) формулы (7,8) будут давать одинаковые значения. Отмеченное обстоятельство обусловлено, конечно, приближенной алгебраической записью интегральных уравнений. Возникает вопрос: какие формулы (7 или 8) использовать в конкретных расчетах? Обратившись к рассмотренным выше опытам на релаксацию и ползучесть, можно дать следующую рекомендацию. К какому опыту ближе (к релаксации или ползучести) по характеру рассчитываемое НДС конструкции, те соотношения, а, следовательно, и опытные зависимости, следует использовать для определения функций |(t), v(t).

Из соотношений (7,8) следует, что в момент приложения нагрузки параметры |(t), v(t) равны своим начальным значениям |0, v0. Получим асимптотические оценки при t ^го. Входящие в выражение для |(t), v(t) интегралы в наследственной механике [3] являются положительными, монотонными, выпуклыми функциями, верхние грани которых в общем случае равны

t t sup j Г (t -T)d т = 2|0 sup j K (t -T)d т<го . t 0 t 0

Знак равенства соответствует случаю неограниченной ползучести. Отсюда следует, что |(t) (v(t)) представляет собой положительную, монотонную, вогнутую (выпуклую) функцию, нижняя (верхняя) грань которой в общем случае равна

inf |(t) = 0 sup v(t) = 0,5. к t

В случае ограниченной ползучести нижняя грань |(t) отлична от нуля. Для несжимаемого материала имеем v(t) = 0,5 .

Применимость рассмотренной модели для решения конкретных прикладных задач определяется тем, насколько сильно изменяются во времени искомые подынтегральные функции. Для зарядов ТРТ на квазистационарном участке работы двигателя оценим погрешность на следующем примере.

Рассмотрим цилиндрический высоконаполненный композитный материал, скрепленный с упругой тонкостенной оболочкой, нагруженный внутренним давлением ^(t) и работающий в условиях плоской деформации (£33 = 0). Граница канала за счет выгорания (уноса) композитного материала подвижна. Дифференциальная постановка задачи в терминах «физических» компонент тензоров в цилиндрической системе координат имеет вид

t

0

1

■ +

аг _

= 0

(9)

даг 5г

= 5и = и = о

8г ="дт' 8ф= 7'82 = 0

t

Оф-аг =| Я(?-ту (бф-вг)

о t

°ф-а2 = | Я(? -ту 8ф

о

аг +аф+а2 = 3Ко(8г +8Ф )

где К0 — модуль объемного сжатия; Я(?) — функция сдвиговой релаксации, связанная с соответствующим ядром Г (?) соотношением Г (?) = — Я'(?) [1]. Штрих обозначает производную по аргументу. Граничные условия

а (а(?), ?) = — X?), аг (Ь, ?) = —В8ф (Ь, ?)

где В =

2И*ь (1-•

Звездочкой обозначена принадлежность оболочке.

При записи граничных условий в месте контакта внутреннего и наружного цилиндров использовано соотношение для тонкостенной цилиндрической оболочки

и* =-

(1-у*)Ь2

2И* ь

-Ч,

где ч — контактное давление.

Задача о нагружении вязкоупругих цилиндров рассматривается во многих работах. Здесь отметим только, что аналитическое решение удается получить крайне редко, лишь при специальном выборе функций Я(?), удобном с математической точки зрения, но неудовлетворительно отражающем реальное поведение материала. Представляется важным оценить погрешность исходя из реальных свойств композитных материалов. Рассмотрим численное решение.

В [3] показано, что задачу (9) при помощи вспомогательной функции Я(?)

- 2 -Я(?)+я * Я'-Я(?) = о 3К0

(10)

можно свести к системе двух интегральных уравнений относительно некоторой функции / (?) и контактного давления — аг (Ь, ?)

аг (Ь, ?) -

V а2(?) ^

Ь

2

^ и ^ 1 и0

1-К0

/ (?) - -К- я* / 2К0

+^ ре)=0

Ь2

а

• (Ь,?) + оТ1(Я* аг (Ь)+В*/ (?)) = 0,

(11)

(12)

2И0 - В*

где с целью сокращения записей введено обозначение свертки Римана ф*у двух функций ф, V

ф * у = |ф(? - т)у (ту т.

(13)

При известной функции /(?) последовательно определяются: напряжения аг (г,?), аф (г, ?) из соотношений

0

об одной приближенном модели вязкоупругого поведения материала

аг (л ?) =

1 -

а2(?)л

1 - К0)/ (?) - 2К0 Я' * /

- а2(?)

р(?):

аф (г, ?) = 2

И0 ^ 1 - К0

/ (?) - К-Я ' * /-аг (г, ?), К0

деформации 8ф (г, ?) как решение интегрального уравнения

2И08ф (г, ?) + Я ' * 8ф (г) + аг (г, ?) = /(?) , величины и(г, ?), 8г (г,?), а2 (г, ?) из соотношений Коши и уравнения, связывающего первые инварианты тензоров.

Построение разностной схемы решения приведем для уравнений (10-12). Остальные уравнения аппроксимировались аналогично.

Разбив участок нагружения конструкции на К временных интервалов п = 1, К

точками ?0,?р...,?к , = ?п -?п-1 и используя формулу трапеций, интеграл в уравнении (10) для момента времени можно представить в виде

Я * Я' = 0,5 ^Я(N) + $) [-1)] ' + «0) [)] ' ] N е[1, К],

где Я(1) = 0, ) =2^^ -?п-1)[Я(?п-1)] ' + Я(?N -?п)[Я(?п)]'.

п=1

Аппроксимируя [Я¡)] , [Я(?N )] правой и левой разностями, из (10) будем иметь

Я(? ) = [2и0 + Я(^ )] Я(?п-1) + З^Я^ ) - ) 2и0 + ЗК0 + Я(^ ) '

Интегральные слагаемые в уравнениях (11,12) для момента времени заменим приближениями

Я' * / = 0,5^ N ) [ Я (^ ) ]' / ^-1)

Я ' * аг (Ь) = 0,5£(N) N [Я($N)] ' аг (Ь, ?N-,),

где

Рт = 1^ {[Я ^ - ?п-:)]'(?п-1) + № - ?п )]'/(?п)} , = 0,

п=1

N )

N-1 / , ,1

|[Я& -?п-1)] аг(Ь,?п-:) + [Я(?N -?п)] аг(Ь,?п)}, ^ = 0.

п=1 ' >

Тогда разностную форму уравнений (11,12) можно представить в виде

аг (Ь, ?N) - А/) = ^

аг (Ь, ?N) +

В.

2И0 - В,

-/(?N ) = ДN

(14)

где

=

^ =

^ - а2(?N)

Ь2

1

V К0 у

-1 Г1 - а2^)>

4К 0

V

Ь2

у

(^N) + [Я ($N ) ] ' /^-1) ) - ^ ) ,

ДN =-

1

2И0 - В*

0,55(N) [Я(^)]'аг(Ь,?N-,)].

2

2

г

г

N-1

Из системы (14) последовательно определяются значения аг (Ь, ^) и /(^) n = 1, к . В момент времени ¿0 имеем упругое решение.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

На рис.1, а и б представлены графики кольцевой деформации для двух используемых в подобных изделиях марок материала внутреннего цилиндра. Сплошной линией обозначено решение, полученное по приведенной выше разностной схеме, штрих пунктирной — решение по приближенной деформационной модели. Погрешность решения по отношению к

другим характеристикам НДС меньше, чем погрешность по 8ф .

t — безразмерное время Рис.1. Кольцевые деформации на канале цилиндра

Расчеты подобных конструкций по предложенным приближенным вязкоупругим моделям показали, что при изменении полей НДС во времени в пределах до 30 % погрешность данного подхода не превосходит 10 %.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Москвитин В.В. Сопротивление вязкоупругих материалов (применительно к зарядам ракетных двигателей на твердом топливе). М. : Наука, 1972. 327 с.

2. Мальцев Л.Е. Приближенное операционное исчисление для уравнений Вольтерра в задачах механики полимеров // Мех. полимеров. 1977. №5. С. 804-811.

3. Огибалов П.М., Ломакин В.А., Кишкин Б.П. Механика полимеров. М. : Изд-во МГУ, 1975. 528 с.

ON ONE APPROXIMATE MODEL OF MATERIAL VISCOELASTIC BEHAVIOR

Alies M.Yu., Boginskaya L.A.

Institute of Applied Mechanics Ural Branch of RAS, Izhevsk, Russia

SUMMARY. A model of a linear viscoelastic medium for the description of the mechanical behavior of composite materials is considered. The model of the linear viscoelastic isotropic medium is described using Volterra equations of the second kind. Viscoelastic equations are reduced to the "elastic" material model with moduli variable with time; these particular relations will determine creep and stress relaxation. A cylinder highly-filled composite material is taken as an example, which is fastened to an elastic thin shell, loaded with internal pressure and is functioning in the plane deformation conditions.

KEYWORDS: creep and stress relaxation, stressedly-deformed state (SDS), material viscoelasticity.

Альес Михаил Юрьевич, доктор физико-математических наук, профессор, главный научный сотрудник ИПМ Уро РАН, тел. 89128563824, е-та/1: [email protected]

Богинская Лидия Андреевна, инженер ИПМ УрО РАН