Нильпотентная аппроксимируемость группы палиндромических автоморфизмов свободной группы Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 11 Выпуск 1 (2010)

Труды VII Международной конференции Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения, посвященной памяти профессора Анатолия Алексеевича Карацубы

НИЛЬПОТЕНТНАЯ АППРОКСИМИРУЕМОСТЬ ГРУППЫ ПАЛИНДРОМИЧЕСКИХ АВТОМОРФИЗМОВ СВОБОДНОЙ ГРУППЫ

А. И. Некрицухин (г. Тула) [email protected]

Аннотация

Доказывается нильпотентная аппроксимируемость группы палиндро-мических автоморфизмов свободной группы ранга два.

Группа С аппроксимируется нильпотентными группами, если пересечение всех членов её нижнего центрального ряда

те

(С) = П 7г(О), 71 (С) = С, тг+1(0) = ЫС),С], г = 1, 2,...

г=1

тривиально. Пусть Еп =< х1;..., хп > — свободная группа ранга п ^ 2, Ли1(Гп) _ группа её автоморфизмов. Копредетавление Аи^(^п) показывает (см., например, [1]), что П) содержит пекоммутирующие элементы взаимно простых порядков. Тогда 7ш(ЛиЬ(^П)) содержит коммутатор этих элементов и поэтому Аи^(^П) те является пильпотептпо аппроксимируемой, Группа кос Вп, п ^ 3, рассматриваемая как подгруппа группы Аи£(^п), также не является нильпо-тентно аппроксимируемой. Действительно, в группе кос есть элементы а, Ь удовлетворяющие соотношению а2 = Ь3 [1]. Коммутатор этих элементов принадлежит тш (Вп). В группе Аи£(^2) подгруппа В, сохраняющая коммутатор

ж1ж-1ж-1ж2 группы =< х1,х2 >, порождается элементами а, Ь связанными

а2 = Ь3 В

но аппроксимируемой.

В связи с этим интересен вопрос о нахождение в группе Аи£(^п) подгрупп, которые являются пильпотептпо аппроксимируемыми. Подобные вопросы рассматриваются в [3] для группы РБЬ2(Ж,[г]) и ее подгрупп, которые являются точными представлениями групп некоторых зацеплений.

Будем рассматривать в группе ЛиЬ(Еп) подгруппу палиндромнчееких автоморфизмов. Автоморфизм а называется палиндромическим, если (хг)а есть

200

А. И. НЕКРИЦУХИН

палинромическое слово для любого г. Приведенное слово ж^1 ... ж^ называется палиндромическим, если оно совпадает со своим противоположным ж^ ... ж^1, Группа палиндромичееких автоморфизмов определена в [4]. Далее будет рассматриваться только случай Р2 =< ж, у >, Аи£(Р2) и подгруппа палиндромичееких автоморфизмов ПА(Р2), Эта подгруппа, в соответствие с [4], порождается следующими автоморфизмами:

а : ж - ужу у - у, в : ж - ж у - жуж, а : ж - ж-1 у - у, $ : ж - ж у - у-1, Р : ж - у у - ж.

Отметим, что а, в порождают свободную группу ранга два [5]. Так как в = РаР-1 = РаР, $ = РаР-1 = РаР, то копредставление ПА(Р2) [5] имеет вид:

ПА(^г) = (а, а, Р|(аа)2 = 1, (аРаР)2 = 1,а2 = 1,Р2 = 1, (аР)4 = 1)

Центр ПА(Р2) является циклической подгруппой порядка два, порожденной (аР)2

Теорема 1. Группа палиндромичееких автоморфизмов свободной группы ранга два пильпопептпо аппроксимируема.

Доказательство.

Профакторизуем ПА(Р2) то комутанту К = (ПА(Р2))',

Образы порождающих элементов ПА(Р2) при естественном гомоморфизме ПА(Р2) на ПА(Р2)/Х обозначим а, <т, Р. Копредставление для рассматриваемой факторгруппы имеет вид:

ПА (Р2)/Х = (а,а,Р\а2 = 1,а2 = 1,Р2 = 1,аа = аа,аР = Ра,аР = Ра).

Отсюда следует, что представители классов смежности образуют шрейеров-

1, а, а, Р, аа, аР, аР, ааР вающего процесса Рейдемейстера-Шрейера с этой системой представителей дает следующую систему порождающих элементов коммутанта К : а2, аРаР, РаРа, аРаР в

записать так: а2, ав, ва, аРаР = (аР)2. Как указано выше (аР)2 - порождающий элемент центра. Поэтому любой элемент коммутанта может быть записан в виде Ж (а,в )(аР)2е = W (а,в)С, гдее = 0 или 1, С = (аР)2е,

Далее вычислим произвольный коммутатор из

7з(ПА(*2)) = ЫПА(Р2)),ПА(Р2)] = [К,ПА(*2)].

Пусть Ж (а, в )С € К, V (а, а, Р) е ПА(£2). Тогда

НИЛЬПОТЕНТНАЯ АППРОКСИМИРУЕМОСТЬ ГРУППЫ.

201

[W(а, в)С, V(а, a, P)] = W(а, ¡3)СУ(а, a, P)(W(а, в)С)-1(V(а, a, P))-1 = = W(а, в) х CV(а, a, P)С-1W-1(а,в)V-1(а,а, P) = = W(а, в)V(а, a, P)W-1(а, e)V-1(а, a, P).

С — как элемент центра уничтожается и остается произведение W(а, в) из

а, в

V(а, a, P)W-1(а, в^-1(а, a, P)

элемента W-1(а, в) го той же свободной группы. В nA(F2) выполняются соотношения

aaa-1 = а-1, PaP-1 = в, aвa-1 = в-1, PpP-1 = а.

Поэтому сопряжение V(а, a, P)W-1(а,в)V-1(а, a, P) также принадлежит группе порожденной а, в Отсюда следует, что любой элемент из как произведение коммутаторов такого вида, принадлежит свободной группе порожденной а, в- Значит, 7з(ПА(^2)) включен в группу порожденную а, в- Так как свободная группа нильпотентно аппроксимируема [1,6], то и ПА(F2) - ниль-потентно аппроксимируема. Теорема доказана.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Магнус В., Каррас А., Солитэр Д. Комбинаторная теория групп М,: Наука, 1974.

[2] Cohn Н. Markoff forms and primitive words // Math. Ann. 1972. 196. p. 8—22.

[3] Бардаков В. Г., Михайлов Р. В. Об аппрокеимационных свойствах групп зацеплений // Сиб, мат. ж. Май-июнь, 2007, Т. 48, 3, с. 485-495

[4] Collins D. I. Palindromic automorphisms of free groups // Combinatorial and geometric group theory (Edinburgh, 1993). London Math.Soc.Lecture Note Ser,, 204, Cambridge University Press Cambridge (1995). P. 63-72

[5] Некрицухин A. II. Палиндромичеекие автоморфизмы свободной группы // Чебышевекий сборник, 2008, Т.9. Вып. 1. с. 148-152

[6] Каргаполов М. И.,Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. М,: Наука, 1982

Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого Получено 13.05.2010