Нетрадиционные случаи определения положения мгновенного центра скоростей Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 621.01

Ф. А. Доронин

НЕТРАДИЦИОННЫЕ СЛУЧАИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПОЛОЖЕНИЯ МГНОВЕННОГО ЦЕНТРА СКОРОСТЕЙ

Предлагаемые в учебниках приемы определения положения мгновенного центра скоростей плоской фигуры не позволяют решить весь круг прикладных задач, возникающих на практике. В работе показано, что встречаются случаи, когда связи допускают два различных положения мгновенного центра скоростей плоской фигуры либо его положение существенно зависит от сил, действующих на тело.

мгновенный центр скоростей, особая система, перемещения твердого тела.

Введение

Вопрос о способах определения положения мгновенного центра скоростей (МЦС) плоской фигуры изучается в разделе «Кинематика» курса теоретической механики. Эти способы просты и не предполагают проведения сложных вычислений. Однако предлагаемые в учебниках приемы не позволяют решить весь круг прикладных задач, возникающих на практике.

В курсе сопротивления материалов встречаются задачи об определении перемещений твердых тел на упругих опорах (например, при проверке жесткости конструкций), но при этом предлагаемые решения иногда оказываются весьма неточными. Кроме того, существуют такие задачи, в которых положение МЦС оказывается зависящим либо от начальных условий, либо от задаваемых сил, действующих на тело.

1 Перемещение твердого тела на упругих опорах

Вопрос об определении перемещений твердого тела (как статически определимой системы) [1], расположенного на упругих шарнирно-стержневых опорах, под действием плоской системы заданных сил связан с определением положения центра поворота этого тела в плоскости действия сил. Если перемещения тела малы по сравнению с его размерами, то можно считать, что центр поворота тела совпадает с его мгновенным центром скоростей. При этом перемещения всех точек тела (плоской фигуры) можно считать прямо пропорциональными их расстояниям до МЦС.

При определении положения МЦС плоской фигуры её движение в изучаемом случае можно рассматривать как сложное - переносное вращение опорных стержней и относительное движение шарниров вдоль этих стержней. Будем считать, что известны величины указанных относительных перемещений - продольные деформации опорных стержней, которые определяются из уравнений равновесия и закона Гука.

Для определения положения МЦС следует выразить координаты опорных точек через известные относительные и неизвестные переносные перемещения, а затем, используя уравнения связей, найти эти переносные перемещения. В результате возникает возможность составить уравнения прямых, вдоль которых направлены мгновенные радиусы, а затем определить координаты МЦС.

Пример 1. На балку, представляющую собой абсолютно твердое тело и удерживаемую в горизонтальном положении тремя упругими стержневыми опорами ОхА, ОхВ, ОхС, действует сила Р (рис. 1). Из условий равновесия и закона Гука вычислены деформации опорных стержней: 5А = 0,5 мм, 5В = -0,8 мм, 5С = -1,2 мм. Определить результирующие перемещения точек А, В, С и В балки, если а = 60°, в = 45°, у = = 30°, АВ = 6 м, ВС= 12 м, СО = 4 м.

Решение. Под действием силы Р балка АВ совершит плоское движение, после которого шарниры А, В и С займут положения А', Б' и С. Перемещения опорных точек А, В и С будем рассматривать как сложные, состоящие из относительных перемещений 5А, 5Б и 5С указанных точек вдоль стержней и переносных перемещений йА, йБ и этих точек вместе со стержнями (рис. 2).

Рис. 1

Рис. 2

В силу малости перемещений будем считать, что в переносном движении каждая опорная точка движется в направлении, перпендикулярном продольной оси соответствующего стержня.

Запишем координаты точек A', B' и C: ха' = xA + 8a cos a + dA sin a, yA — -8A sin a +dA cos a,

xB — xB + 8B cosp + dB sinp, yB, — 8B sinp-dB cosp,

xC — xC -8C cos y + dC sin у, yC — -8C sin y-dC cos у

где xA, xB и xC - координаты точек A, B и C соответственно.

Уравнения связей, наложенных на опорные точки, имеют вид:

Ус - Уа Ув - Уа

Xc ' Ха ' Хв ' Ха'

Ха' Ха — Хв' Хв , Xcг Хс — Хвг Хв . (2)

Подставляя соотношения (1) в уравнения (2), получаем матричное уравнение для определения переносных перемещений dA, dB и dC:

D • d — В

(3)

cos a 2cos P -cos y " dA '

где D — sin a -sin p 0 ; d — dB ; в —

sin a 0 - sin y dC _

2SB sin P + SC sin y + 8a sin a SB cos P-SA cos a -SC cos y-8 A cos a

Решая матричное уравнение (3), находим: dA = 6,87 мм, dB = 7,97 мм, dC = 14,48 мм.

Зная координаты (1) точек А', B' и C, нетрудно определить положение МЦС P:

Хр —

(bB ЬА)kAkB_. y = bAkA bBkB

' уp ~

kA kB

kA kB

где kA — ———, kB — ——— - угловые коэффициенты прямых, вдоль ко-

ХА' ХА

Хв ' ХВ

торых направлены абсолютные перемещения точек А и В;

7 1 , 1

ЬА = уА + хА —, Ьв = ув + хв--отрезки, отсекаемые указанными прямыми

Ir B 1т

kA kB

от оси Оу.

После подстановки исходных данных получаем: хр = 2,232 м, ур = = -4,609 м.

Определим длины мгновенных радиусов точек А, В и С:

ra — ^ха~хр)г+{уа-ур) — 5,121

м;

Яв =у)(Хв - Хр)2 + (Ув - Ур )2 = 5,954 м;

К = л/(Хс - Хр)2 + (ус - ур)2 = 10,801 м;

Ко = Х^ТНу^-^ = 14,519 м.

Абсолютное перемещение точки А вычисляем по теореме Пифагора:

= Т^А+^А = 6,89 мм.

Учитывая, что перемещения точек в, С и О пропорциональны их мгновенным радиусам, находим абсолютные перемещения этих точек:

Я Я Я

sв = — = 8,01 мм; = — = 14,53 мм; = зА —О = 19,53 мм.

КА КА КА

Отметим, что абсолютные перемещения всех точек в рассмотренном примере оказались на порядок больше деформаций соответствующих опорных стержней.

2 Определение МЦС в особом положении шарнирного четырехзвенника

Существуют механические системы, способные занимать такие положения, в которых распределение скоростей точек и угловых скоростей звеньев полностью не определяется теоремой о скоростях точек плоской фигуры. Для изучения распределения скоростей точек в этом случае оказывается необходимым привлекать как теорему о скоростях, так и теорему об ускорениях точек твердого тела (иногда и теоремы об ускорениях высших порядков).

Одним из примеров таких систем является плоский шарнирный че-тырехзвенник. В случае, показанном на рисунке 3, положение МЦС звена

3 не может быть определено только на основании теоремы о скоростях, кроме нее придется использовать и теорему об ускорениях точек твердого тела [1].

Предположим, что шарнирный четырехзвенник занимает положение, показанное на рисунке 4,

Рис. 3

а кривошипу О1 А сообщена угловая скорость ю1. Будем считать известными размеры звеньев: 11 = /, /2 = а/, /3 = р/.

Рис. 4

Для определения положения МЦС механизма выразим расстояние АР = = х (мгновенный радиус точки Р) через длину / кривошипа О1 А (см. рис. 4). Для этого запишем выражения для угловых скоростей второго и третьего звеньев:

/_ х

о3 -о^ —; о2 = ю1

/ (х + р/)

ах

(4)

На основании теоремы об ускорениях точек плоской фигуры в проекции на горизонтальную ось можно записать:

2 ____2 ,0^2

О =а®2 + рю3.

(5)

Подставляя (4) в (5), после преобразований приходим к квадратному уравнению, корни которого определяют положение МЦС звена 3 и имеют вид:

х

в /

1,2

1 -а

а

1 ±.|р (а + в-1)

(6)

Для того чтобы корни были вещественными, необходимо выполнение условия а > 1 - р. В этом случае шарнирный четырехзвенник является механизмом.

Нетрудно убедиться в том, что в частном случае при а = 1 и любом в мгновенный радиус (6) может иметь два значения:

Х1 - ; Х2 -

( в + 1) /

Если коэффициент в = 1 при любом а, то значения мгновенного радиуса АР в этом случае

= 1 + а ;

Х1 / ; Х2 / .

1 -а

Таким образом, в особом случае существуют два положения мгновенного центра скоростей звена АВ шарнирного четырехзвенника, координаты каждого из которых зависят не только от размеров звеньев механизма, но и от начальных условий.

3 Определение положения МЦС плоской фигуры по модулям скоростей трех её точек

Если известны модули скоростей уа, ъв и ъс трех точек А, В и С плоской фигуры, то координаты хр и ур мгновенного центра скоростей Р, а также угловая скорость фигуры определяются путем решения системы нелинейных уравнений:

ъа = ш1( ха ~хр)2 +( Уа - Ур )2;

V в ;

(7)

Определение корней этой системы удобно провести численно с помощью какого-нибудь математического пакета, например MathCad.

Пример 2. С невесомой прямоугольной пластиной ОАВС, движущейся в горизонтальной плоскости, жестко связаны материальные точки А, В и С массами тА = 2 кг, тВ = 4 кг и тС = 5 кг соответственно. Определить координаты мгновенного центра Р скоростей пластины и ее угловую скорость ш, если известны кинетические энергии указанных точек: Е^ = 16 Дж, ЕкВ = = 50 Дж и ЕкС = 32,4 Дж. Размеры пластины в метрах указаны на рисунке 5.

Решение. Используя значения кинетических энергий точек А, В и С, найдем модули их скоростей:

Рис. 5

2 Е

Ъ А =

кА

т

= 4 м/с; ъв =

,2Ев = 5 м/с; ъс = ^ = 3,6 м/с.

т

в

т

С

Для определения координат мгновенного центра р скоростей пластины воспользуемся формулами (7). В эти формулы входят координаты точек А, В и С.

Поместим пластину в систему координат Оху и запишем координаты указанных точек: хА = 0, уА = 2, хв = 0, ув = 2, хС = 0, уС = 2. Рассматривая равен-

ства (7) как систему трех уравнений с тремя неизвестными xp, yp и ш, определим искомые величины численным методом. При решении системы уравнений (7) удобно использовать вычислительный блок Given/Find.

В результате расчета получены два решения: 1) xp = 0 м, yp = -2 м, ш = 1 с"1; 2) xp = 1,067 м, yp = = 0,133 м, ш = 1,861 с"1.

Найденные положения Рх и Р2 мгновенного центра скоростей пластины показаны на рисунке 6.

Отметим, что направление вращения пластины на основании исходных данных определить невозможно.

Рис. 6

4 Положение предельного равновесия тела на изотропной шероховатой плоскости в случае дискретного контакта

Существуют случаи, когда положение МЦС плоской фигуры зависит не только от её размеров, связей, наложенных на фигуру, но и от заданных сил, действующих на неё. Подобные ситуации возникают при решении задач, связанных с определением условий нарушения равновесия тела, расположенного на шероховатой поверхности.

Пример 3. Твердое тело в виде прямоугольной пластины с жестко связанным с ней стержнем К3В покоится на изотропной шероховатой плоскости Оху, опираясь на нее в трех точках Кр К2 и К3. На пластину в точке А действует сила Р1 = 12 кН, перпендикулярная плоскости Оху и прижимающая пластину к опорной плоскости. Кроме силы Р1, на пластину действует сила Р2, лежащая в плоскости пластины, параллельная оси х и приложенная в точке В, а также момент М0 = 2,7454 кН-м (рис. 7). Коэффициент сцепления пластины с опорной плоскостью / = 0,1. Размеры пластины в метрах показаны на рисунке 7.

Определить положение МЦС пластины в первый момент времени после её трогания с места и найти максимальную величину силы Р2, при которой обеспечивается равновесие пластины непосредственно перед началом ее движения.

Решение. На первом этапе определим нормальные реакции Ых, Ы2 и Ыъ, действующие на пластину со стороны

опорной плоскости (на рисунке 7 не по- Рис. 7

казаны). Для этого составим уравнения равновесия системы параллельных сил в пространстве:

2 2 =N1 + N2 + N3 - Р = 0; ^ МХ1 =2N1 + 6N2 + 6N3 - 5Р = 0;

2 МУ1 =- 2N - 2N2 - 8^ + 3Р = 0.

Решая эту систему уравнений, находим:

Р 7 Р

N =-1 = 3 кН; N = 1 4 2 12

= 7 кН; N = — = 2 кН.

Р

Определим модуль главного момента МтрР сил трения относительно мгновенного центра скоростей Р, положение которого пока неизвестно:

МтрР (хР, Ур ) = I[р1(хР, Ур )n1 +Р2 (хР, Ур )n2 +Р3(хР, Ур )nз],

где рj■ = у!(хР - х] )2 + (УР - У] )2 - расстояние от j-й опорной точки до МЦС

и=1, 2, 3).

Уравнения равновесия произвольной плоской системы сил, действующих на пластину, в одном из двух предельных положений покоя (когда сила Р2 принимает максимальное значение) имеют следующий вид:

2 X =Р -1

(Ук1 - Ур ) „ . (Ук2 - Ур ) „ . (Ук3 - Ур)

N1+

К2

N

К3

N

= 0;

Р1 Р2 Р3

2м21 =М0 +/[Р1 N1 +Р2N2 +Р3N3] - (Ур2 - Ур)Р2 = 0; (8)

2 ^ =-/

(хК1 хр) ЛТ (хК2 хр) ЛТ (хК3 хР)

Р1

N1+

К2

Р2

N2 +

К3

N

Р3

= 0,

где хК, УК, хр, УР - координаты опорных точек К и МЦС соответственно.

Система нелинейных уравнений (8) содержит три неизвестные хр, УР,

Р2 и может быть решена численным способом.

Применяя метод касательных (метод Ньютона), получаем искомый результат: координаты МЦС хр = 2,6188 м, УР = -1,0203 м, а также максимальное значение сдвигающей силы Р2 = 1,15 кН, обеспечивающее покой пластины на шероховатой поверхности.

На рисунке 8 показано положение МЦС пластины в предельном положении равновесия.

*р =2,6188

--Ар Ур=-1,0203

Рис. 8

Численное решение системы уравнений (8) произведено с помощью математического пакета MathCad.

Библиографический список

1. Сборник задач по сопротивлению материалов / С. В. Елизаров, Ю. П. Каптелин, Я. К. Кульгавий, Н. М. Савкин ; под общей ред. Ю. П. Каптелина. - СПб. : ПГУПС, 2004. -380 с.

2. Ускорения высших порядков как средство решения традиционных задач кинематики некоторых голономных механических систем / Ю. Г. Минкин, Ф. А. Доронин // Сб. научно-метод. статей по теоретической механике. - М. : Высшая школа, 1984. - Вып. 15. -С. 92-97.

© Доронин Ф. А., 2012