Устойчивость сжатого стержня при наличии ограничения на перемещение Текст научной статьи по специальности «Физика»

Н. Ф. Морозов, П. Е. Товстик

УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТОГО СТЕРЖНЯ

ПРИ НАЛИЧИИ ОГРАНИЧЕНИЯ НА ПЕРЕМЕЩЕНИЕ

В статье рассматривается задача о плоской деформации при осевом сжатии тонкого упругого весомого стержня, опирающегося на гладкую наклонную стенку. При различных значениях параметров найдены положения равновесия и исследована их устойчивость.

1. Введение. Рассматривается одномерная задача об устойчивости и начальном послекритическом поведении сжатой в продольном направлении упругой пластины, опирающейся на гладкую стенку, наклоненную под углом а к горизонту (см. рис. 1а). Верхний край пластины х = Ь скользит по стенке, не отрываясь от нее, а нижний край х = 0 свободно оперт или жестко закреплен. Пластина имеет высоту Ь и бесконечную ширину в горизонтальном направлении и находится под действием приложенного к верхнему краю усилия Р, направленного вдоль стенки и отнесенного к единице ширины пластины, и вертикальных сил собственного веса Q, отнесенных к единице ее площади. Тем самым задача о пластине сведена к задаче о балке-полоске или к задаче о плоской деформации стержня.

Начало исследований форм равновесия стержней было положено Эйлером [1]. Эти исследования были продолжены в работах Кирхгофа, Клебша, Лява, Тимошенко, Николаи и многих других (см. монографии [2-5], содержащие обширную библиографию). Особенностью данной работы является наличие стенки, которая препятствует прогибу в одном из поперечных направлений.

2. Решение в линейном приближении. При достаточно больших значениях величин Р и/или Q существуют формы равновесия стержня, при которых он отходит от стенки, как это показано на рис. 1,6. Пусть w — прогиб балки в перпендикулярном к стенке направлении. В линейном приближении считаем прогиб малым, а сжимающее усилие Т(х) —равным его значению в невозмущенном положении

Т(х) = Р + (Ь — хвід а.

(2.1)

О

а ()

Рис. 1. Стержень, опирающийся на стенку.

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты №04.01.00257, 06.01.00452). © Н. Ф. Морозов, П. Е. Товстик, 2006

При w > 0 прогиб удовлетворяет уравнению равновесия

^ а4 w а / , sdw\ „ .__.

+ — ( Т(х)—) + С,) сова = 0, (2.2)

ах4 ах \ ах)

где Б —жесткость на изгиб.

На нижнем крае х = 0 рассматриваем условия шарнирного опирания

w = гш" = 0 при х = 0 (2-3)

или условия жесткой заделки

w = 'ю =0 при х = 0 (2-4)

(соответствующие им прогибы схематично показаны на рис. 1,6 и на рис. 1,с). На верхнем крае ставим условия шарнирного опирания

^ = 0 при х = Ь- (2-5)

Переход к безразмерным переменным осуществляем по формулам

х w РЬ2 - QЬ3 , ,

* = !’ *= 1’ Р = ТГ’ « = ТГ' (26>

после чего значок “ опускаем. Тогда уравнение (2.2) примет вид

((Р0 - Qxsma)<^\ + Q сова = 0, Р0 = Р + С}ёт.а, (2.7) ах4 ах \ ах)

а граничные условия при х = 0 и при х = 1 будут иметь вид (2.3)-(2.5).

Уравнение (2.2) (или (2.7)) получено в предположении, что прогиб мал по сравнению с длиной стержня, т. е.

тах w(x) ^ 1- (2-8)

3. Численные результаты в линейном приближении. В двух случаях задача имеет явное решение в элементарных функциях.

Если стержень невесомый (^ = 0), приходим к классической задаче устойчивости

d4w ^3?’}^

^ + р^ = °- (31>

для которой критическое значение Р* параметра Р в случае шарнирной опоры нижнего края Р* = п2, а в случае жесткой заделки — Р* = 20-19. В обоих случаях прогиб

удовлетворяет условию w > 0. Задача (3.1) — это задача бифуркации. При критических значениях параметра Р существуют бесконечно близкие формы равновесия. В остальных случаях уравнение (2.7) неоднородно, и возможны лишь формы равновесия, удаленные от невозмущенной формы w = 0 на конечное расстояние.

При а = 0 уравнение (2.7) принимает вид

d4w ^d'2w „

^ + РЛЗГ + <3 = 0’ (32>

и также имеет аналитическое решение

w(x) = Cl cos(px) + C2 sin(px) + C3 + C4X —

Qx2

~2P

p

= Vp,

(3.3)

где С — произвольные постоянные, определяемые из граничных условий. В случае для шарнирной опоры края х = 0 находим

j(x) 2(1 — cos(px)) + P(x — x2) (1 — cos(p)) sin(px)

Q 2P2 P2 sin(p)

а для жесткой заделки —

w(x) (cos(px) — 1)((2 + P) sin(p) — 2p) + (sin(px) — px)(2 — (2 + P) cos(p))

(3.4)

Q

2P2(p cos(p) — sin(p))

2P (3.5)

Анализ формул (3.4) и (3.5) показывает, что при P < P. функции w(x) < 0, т. е. не являются решениями поставленной задачи. Здесь значения P. те же, что и для задачи (3.1). При P. < P < P.U функции w(x) удовлетворяют условию w(x) > 0, т. е. дают решение задачи. Здесь P.. ^ 89 в случае шарнирной опоры и P.. ^ 42 для жесткой заделки.

При P = P. знаменатели (3.4) и (3.5) обращаются н нуль, откуда следует, что в окрестности критической нагрузки условие (2.8) не выполняется и линейное приближение неприемлемо.

В общем случае при Q > 0 уравнение (2.7) может быть проинтегрировано с использованием функций Эри, однако численное решение краевой задачи более удобно. Как и для уравнения (3.2), оказывается, что при P < P*(Q) функция w(x) отрицательна, а при P*(Q) < P < P**(Q) она положительна и дает искомое решение. Здесь P. (Q) — первое собственное значение однородной краевой задачи, соответствующей (3.7). В таблице 1 для ряда значений q = Q sin a/Po приведены величины Po*(Q) = P. + Q sin a для шарнирной опоры и для жесткой заделки края x = 0.

Таблица 1. Критические значения параметров

q = 0 0.3 0.6 1.0 1.5

шарнирная опора жесткая заделка Ро* Ро* = 9.87 = 20.19 11.59 25.07 13.93 32.73 18.57 52.50 28.03 103.16

Как и для уравнения (3.2), при приближении к критическим значениям параметров прогибы неограниченно возрастают.

Парадоксальность линейного приближения заключается в том, что при Ро > Ро* с ростом параметра нагрузки Ро прогиб убывает. Для простоты рассмотрим снова случай а = 0 и предположим, что край х = 0 шарнирно оперт. Явное решение этой задачи имеет вид (3.5), откуда находим прогиб:

w(1/2) = Q

(1 + (P/8)) cos (р/2) - 1 Р2 cos(p/2)

(3.6)

Запишем также приближенное решение задачи, пригодное в окрестности первого критического значения Р* = п2, в виде

'j(x) = a sin(nx), a =

4Q

n3(P — n2)

(3.7)

2

x

р 10 15 20 50 80 88.8

■и,( 1/2)/<9 0.9894 0.0252 0.0128 0.0033 0.0024 0.1823

а/і5 0.9893 0.0251 0.0127 0.0032 0.0018 0.0016

В таблице 2 приведены значения прогибов, найденные по формулам (3.6) и (3.7) для ряда значений параметра осевого сжатия Р, лежащих между первым и третьим собственными значениями однородной задачи (в силу симметрии вторая собственная форма ортогональна нагрузке Q). Во-первых, из таблицы 2 заключаем об удовлетворительной точности приближенного решения (3.7). Во-вторых, ясно, что при достаточно малых Q точность линейного приближения вдали от значения Р = п2 достаточна, ибо условие (2.8) выполнено.

Покажем, что построенное решение неустойчиво. Для этого рассмотрим динамическую задачу

д 2и д2и

а? + ра? + <5 + ^ = ° <3-8>

и будем искать ее приближенное решение в виде

и(х, £) = 8ш(пх)(а + и(Ь))- (3-9)

Тогда для функции п(Ь) получим уравнение

ри — п2(Р — п2 )и = 0, (3.10)

нулевое решение которого при Р > п2 неустойчиво.

Можно показать, что и в случае а > 0 при Р > Р*^) построенные в линейном приближении решения неустойчивы. Обратимся поэтому к нелинейной задаче.

4. Решение нелинейной задачи. Стержень считаем тонким нерастяжимым, ибо

относительные перемещения, связанные с растяжением стержня, имеют порядок Ь/к, а

с изгибом — порядок (Ь/к)3. В качестве независимой переменной возьмем длину дуги в

стержня, отсчитываемую от точки О (см. рис. 1,с). В исходном положении в = х. Пусть х = х(в), у = у (в) —параметрическое уравнение оси стержня, через в(в) обозначим угол

между касательной к оси стержня о осью Ох. Введем вектор внутренних усилий И.:

И = —Т і + N и,

сМ сШ сіп сШ

ів 1в ’ ів 1в ’

(4.1)

где і и п — единичные векторы касательной и нормали к оси стержня (см. рис. 1,с). Система уравнений, описывающих равновесие стержня, имеет вид

іТ 1в dN ів^ 3,Ы

—-----\- + Q 81п(о; + в) = 0, —-----~гГ ~ С08(а + = 0; ~1— = —

ів ів ів ів ів

іх

ів

іу ів

— =81110, М = В —, ів ів

(4.2)

где М — изгибающий момент. Перейдем к безразмерным переменным, положив

!•'••'/•>! //--!- м = |м, {Т,М,Р} = д = -^д. (4.з)

Опуская черту сверху над переменными, получим систему того же вида (4.2), в которой теперь D = 1 и 0 < s < 1.

Проектируя силу R при s = 0 на оси Ox и Oy, находим

R = Rxi + Ryj, Rx = — Ро, (4-4)

где величина Ро = Р+Q sin а та же, что и в (2.7), а проекция Ry подлежит определению. Теперь можно сформулировать граничные условия при s = 0: в случае шарнирной опоры

x = y = M = 0, в = в0, T = Р0 cos в — Ry sin в, N = Ry cos в + Р0 sin в при s = 0

(4-5)

и в случае жесткого закрепления

x = у = в = 0, M = M°, T = Ро, N = Ry при s = 0- (4-6)

Величины в0 ,Ry в случае шарнирной опоры (либо M0, Ry в случае жесткого закрепле-

ния) подбираем таким образом, чтобы при интегрировании системы (4.2) получить

x = M = 0 при s = 1- (4-7)

Считая в исходном положении энергию П равной нулю, запишем выражение энергии в деформированном положении:

П = j ^ P(cos в — 1) + Q ((x(s) — s) sin а + y(s) cos ds, (4-8)

где в силу (4.2)

x(s) = I cos^^s^ds, y(s) = I sin^^^ds- (4-9)

J 0 J 0

Ю J 0

Варьируя энергию (4.8) по в при дополнительном условии

у(1) = f sin(в(s))ds = 0, (4-10)

0

получим уравнение второго порядка для неизвестного угла в^)

в" + Р sin в — Q(1 — s) cos^ + а)+ Л cos в = 0, (4-11)

где Л — множитель Лагранжа, появляющийся при введении связи (4.10) в функционал (4.8). Уравнение (4.11) интегрируем с граничными условиями в'(0) = в'(1) =0 в случае шарнирной опоры края s = 0 и в(0) = в'(1) = 0 в случае его жесткого закрепления. Множитель Л подбираем из условия (4.10). Эту краевую задачу, как и задачу (4.2), приводим к задаче Коши и решаем методом «пристрелки» по двум параметрам: параметру Л и недостающему граничному условию при s = 0.

Если угол а = 0, а край s = 0 шарнирно оперт, симметричное относительно середины s = 1/2 решение уравнения (4.11) можно искать при Л = в(1/2) = в'(1) = 0. Поиск решения упрощается, ибо «пристрелка» идет по одному параметру в'(1/2).

Разумеется, краевые задачи (4.2) и (4.11) эквивалентны. Разница лишь в том, что в результате решения задачи (4.2) находим внутренние усилия в стержне.

5. Устойчивость положений равновесия. В результате решения краевой задачи (4.11) находим стационарное значение функционала (4.8). Для исследования устойчивости решения используем динамический критерий. Введем в рассмотрение действие по Гамильтону

Г12 Г1

Б(в(в,г)) = (Т - П)сИ, Т = р (х2 + y2)ds, (5.1)

■Нл ио

где р — линейная плотность. Согласно принципу Гамильтона—Остроградского уравнение движения получаем при варьировании функционала (5.1).

Положим

в(в,Ь) = 0о(в) + 01(в,г), (5.2)

где во(в) —решение уравнения (4.11), устойчивость которого проверяется, а в^в,*) — бесконечно малая динамическая добавка. После подстановки (4.2) в (5.1) и варьирования для функции 01(в,*) получаем линейную краевую задачу. Решение этой задачи ищем в виде

в1(з,г) = в^у^. (5.3)

Согласно формуле Релея наименьшее значение ш частоты колебаний ш определяется из условия

д 2 • 1о((01)2 ~

Л = сОл = тт —-----=-------------, (5.4)

11

ро

6l{s) Р /о (x? + y2)ds

где

^(s) = Р cos во+Q^ —s^in^+a) —Л sin в0, x 1 = — / в? sin воds, y? = в ? cos воds,

00

(5-5)

причем минимум в (5.4) вычисляется при дополнительном условии

I в1 cos(в0(s))ds = 0, (5-6)

J о

вытекающем из условия (4.10). Критерием устойчивости будет Л > 0. В связи с тем, что нас интересует только знак величины Л, а знаменатель в (5.4) всегда положителен, можно знаменатель в (5.4) заменить на /о в\d,s, упростив тем самым вычисление знака Л.

В результате приходим к линейной краевой задаче

в'' + (Л + ф^))в 1 + Л 1 cos в0 = 0- (5-7)

Здесь Л i —множитель Лагранжа, связанный с условием (5.6). Ищем наименьшее значение Л и значение Л , при которых существует решение в (s), удовлетворяющее тем

же граничным условиям, что и функция во^) в уравнении (4.11), и условию (5.6).

Для определения Л рассмотрим семейство решений уравнения (5.7)

в 1 = в 1 о + Л 1в 1 1, (5-8)

где вю — ненулевое решение уравнения уравнения (5.7) при Л1 = 0, удовлетворяющее граничному условию при s = 0 (можно, например, взять вю(0) = 1, в'о (0) = 0 в случае

шарнирной опоры и в10(0) = 0, в'10(0) = 1 в случае жесткой заделки), а 9ц — решение уравнения (4.7) при в11 (0) = в[ 1 (0) =0, А1 = 1. Функции вю и в11 находим численным решением задачи Коши. Исключая теперь параметр Х1 из соотношений (5.6) и в[ (1) = 0, для параметра Л приходим к уравнению

г1 г1

в10(1)1 в11 сое в0д,в — в[ 1 (1) J в10 сое в0д,в = 0. (5.9)

10 0

6. Численные результаты. Обсуждение. На рис. 2 приведены формы упругой линии стержня. Расчеты проводились при углах а = 0 и а = п/3 для шарнирного и для жесткого закрепления конца 5 = 0 стержня. В каждом из четырех рассмотренных здесь случаев безразмерная весовая нагрузка Q была неизменной (ее значение приведено на рис. 2), а нагрузка Р менялась (на рис. 2 приведены значения критической нагрузки Р* в линейном приближении). Для получения результатов использовался метод «пристрелки» в сочетании с методом движения по параметру [6]. Величину Р неудобно использовать в качестве параметра, по которому производится движение, ибо одному значению Р может соответствовать несколько положений равновесия. В случае шарнирной опоры края 5 = 0 был использован угол в' (0), а в случае жесткой заделки — множитель Лагранжа А.

0 х I 0 х I

Рис. 2. Формы упругой линии стержня.

Во всех приведенных на рис. 2 случаях формы прогиба, близкие к оси 0х, неустойчивы. Эти формы имеют малое смещение А = 1 — х(1) конца 5 = 1 стержня (на рис. 2 они отмечены жирными линиями) и им соответствуют относительно большие значения силы Р.

Качественно зависимость Р(А) во всех рассмотренных случаях имеет один и тот же вид. Рассмотрим, например, эту зависимость для жесткого закрепления конца 5 = 0 при а = п/3, соответствующую рис. 2( и показанную на рис. 3. При А < 0.100 равновесие неустойчиво (пунктир на рис. 3), а при значениях 0.100 < А < 0.621 (для кривых, показанных на рис. 2() — устойчиво. При 0.100 < А < 0.176 функция Р(А) убывает и достигает минимума Р = 23.11, при 0.176 < А < 0.370 она возрастает и имеет локальный максимум Р = 23.37, а затем снова убывает.

р

26

Рис. 3. Зависимость Р(А). Рис. 4. Неустойчивая форма.

Здесь рассмотрены случаи, когда стержень касается стенки лишь крайних точках. Возможны положения равновесия, в которых стержень в верхней своей части примыкает к стенке на некотором интервале 5* < 5 < 1, как это показано на рис. 4. Эти положения неустойчивы. Чтобы в этом убедиться достаточно обратиться к уравнениям (3.11) и (4.7) и интегрировать их при тех же граничных условиях при 5 = 0 и при граничных условиях в0(в*) = 0 и в1 (в*) = 0. С помощью замен переменных типа (2.6) эту задачу можно свести к аналогичной задаче на интервале 0 < 5 < 1. Например, при а = 0, 5* = 1, Q = 3 и при шарнирно опертом крае 5 = 0 указанная задача имеет неустойчивое решение при Р > 23.2. В силу (2.6) при 5* < 1 эта задача будет иметь решение, если Q = 3/5*, Р > 23.2/5*.

Во всех рассмотренных выше случаях положений равновесия при значениях силы Р, близких к критическому значению Р* в линейном приближении, не обнаружено. Ниже рассмотрен случай, когда имеются положения равновесия при нагрузках, меньших критического значения в линейном приближении. Пусть Р = 0, а = п/3 и край 5 = 0 шарнирно оперт. На рис. 5 показаны равновесные формы упругих линий при смещении влево конца 5 = 1 стержня, а на рис. 6 — зависимость Q(А). Критическое значение в линейном приближении Q* = 21.44 и при А > 0.715 будет Q < Q*. При А < 0.525 положения равновесия, показанные на рис. 5, неустойчивы (соответствующая часть кривой Q(А) на рис. 6 показана пунктиром).

Рис. 5. Равновесные формы при Р = 0. Рис. 6. Зависимость Q(А).

Равновесные формы на рис. 2 и рис. 5 построены в предположении, что конец 5 = 1 не отрывается от опорной плоскости. Если не принять специальных мер (например, таких, как шарнир на конце, движущийся по направляющим), то критерием отрыва будет N < 0, где N — нормальная реакция. Составляя уравнение моментов относительно точки 5 = 0, находим

N = —^1 (0) + / Q(x сое а — у Бт а)д,5. 0

(6.1)

Вычисления для последнего из рассмотренных случаев (P = 0, а = п/3) показывают, что N > 0 лишь для Д < 0.290. Следовательно, при отсутствии шарнира с направляющими в этом случае при любых Q нет устойчивых положений равновесия, кроме тривиального.

Summary

N. F. Morozov, P. E. Tovstik. On the stability of the compressed rod with the restrictions on the deflections.

The planar deflections of a thin elastic rod under action of its weight and axial compression are studied. The rod is supported on the smooth inclined wall. For various values of parameters the equilibrium modes are found and their stability is investigated.

Литература

1. Эйлер Л. Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума либо минимума или решение изопериметрической задачи, взятой в самом широком смысле. Госте-хиздат, 1934.

2. Тимошенко С. П. Устойчивость стержней, пластин и оболочек. М.: Наука, 1974. 808 с.

3. Ляв А. Математическая теория упругости. М.: ОНТИ, 1935.

4. Пановко Я. Г., Губанова И. И. Устойчивость и колебания упругих систем. М.: Наука, 1987. 352 с.

5. Алфутов Н. А. Основы расчета на устойчивость упругих систем. М.: Машиностроение, 1978. 312 с.

6. Григолюк Э. И., Шалашилин В. В. Проблемы нелинейного деформирования. Метод продолжения по параметру в нелинейных задачах механики твердого деформируемого тела. М.: Наука, 1988. 232 с.

Статья поступила в редакцию 14 февраля 2006 г.