CC BY
17
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ФИЗИКО-ХИМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ____________________________________________________
УДК 532.135:678.027
НЕСУЩАЯ СПОСОБНОСТЬ ПОДШИПНИКА СКОЛЬЖЕНИЯ С ВЯЗКОУПРУГОЙ СМАЗКОЙ
БЕРЕЗИН И.К.
Институт механики сплошных сред УрО РАН, 614013, г. Пермь, ул. Королева, 1
АННОТАЦИЯ. Получено асимптотическое решение для течения смазки в клиновом зазоре, моделирующем работу подшипника скольжения. Смазка считается нелинейной вязкоупругой жидкостью с четырьмя постоянными (жидкость Олдройда). Показано, что учет упругих свойств смазок увеличивает несущую способность подшипника.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: вязкоупругая жидкость, асимптотика, подшипник, несущая способность. ВВЕДЕНИЕ
В настоящее время в машиностроении создано большое число жидких смазок, применяемых в подшипниках скольжения, которые содержат различные наполнители. Часто, в качестве добавок, используются растворы полимеров, которые придают смазкам сложные реологические свойства. К ним, в частности, относится «псевдопластичность», т.е. уменьшение вязкости жидкости при увеличении скорости сдвига и наличие упругости. Однако исследований влияния упругости, например, на нагрузочную способность подшипников скольжения мало, и полученные результаты часто противоречивы.
В настоящей работе в качестве реологической модели смазки использована четырехконстантная модель скоростного типа, предложенная Олдройдом (см., например,[1]). В ней используется соответствующая тензорная производная по времени (оператор Олдройда) и соответствующие реологические параметры. Из реологического уравнения состояния этой модели вытекает, что при очень низких скоростях сдвига вязкость будет ньютоновской; при очень высоких скоростях сдвига она также постоянна; наконец, при средних скоростях наблюдается аномалия вязкости, т. е. вязкость уменьшается с увеличением скорости сдвига. Модель описывает также и упругое поведение жидкости. Так коэффициент первой разности нормальных напряжений оказывается положительным и убывающим с ростом скорости сдвига, что качественно соответствует экспериментальным данным.
ПОСТАНОВКА И РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ
Рассмотрено плоское слабо сходящееся течение нелинейной вязкоупругой жидкости в канале, моделирующем подшипник скольжения. Отметим, что подобная форма течения встречается также при рассмотрении движения материала в канале червяка с коническим сердечником, в зазоре между гребнем лопасти смесителя и его стенкой, при нанесении полимерных пленок на провода и кабели и т.п. При решении задачи будем исходить из схемы течения жидкости между неподвижной наклонной плоскостью и подвижной горизонтальной, движущейся с постоянной скоростью и (рис. 1). Уравнение наклонной плоскости имеет вид
(1)
где к = (кх -к0)!к0.
Рис. 1. Схема течения канала
Принята предложенная Олдройдом [1] идеализированная модель нелинейной вязкоупругой жидкости с четырьмя постоянными, реологические уравнения состояния которой таковы:
Рн =-Р5 н + ТН , (2)
В т ^
° ■ , Л о
+ ^оТкД; = 2П
вг
в0й„}
йц +Л2-°^
V
вг
(3)
у
где Ру - полный тензор напряжений; р - изотропное давление; 5у - дельта Кронекера; Ті - девиатор напряжений; г/о - коэффициент вязкости; Хі, X2, /ло - постоянные с размерностью времени; ^ - тензор скоростей деформаций, определяемый равенством
ёч = 2 (, ( + ■ )• (4)
Конвективная производная любого абсолютного тензора А у по времени г задается выражением (оператор Олдройда)
В°А
вг
А
дг
■ + А: ■ V — А V ■ — А ■ V ■
п. і,т т ті г ,т г ті
(5)
В°
д
где значками В°~ и обозначены соответственно тензорная и частная производные по
времени. В выражениях (2) - (5) буквами г,і, к, т обозначены соответствующие компоненты векторов и тензоров. Как обычно запятая означает дифференцирование по соответствующему индексу и по повторяющимся индексам производится суммирование.
Олдройд установил, что идеализированные вязкоупругие жидкости, поведение которых описывается уравнениями (2) и (3), обладают неньютоновскими свойствами, приведенные выше. Эти свойства проявляются, когда постоянные в (3) удовлетворяют следующим неравенствам
Хі
По >о, X! >Х2 >-9->о, ^о >о.
(6)
При отсутствии массовых сил, если считать задачу плоской и зазор между пластинами малым по сравнению с длиной (т. е. к/В << 1), то уравнениями движения будут:
др=дТх^ дР=о
дх ду ’ ду
где тху - касательное напряжение в координатной системе х, у.
(7)
Уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости имеет вид
дуг дvv
- + -
х у
= о.
(8)
^ = и, Уу = 0 ^ = 0, Уу =0
Граничные условия для компонент скорости и давления:
при у = 0,
при у = Н( х), р = 0 при х = 0 и х = В .
Из (3) можно получить
дух
Тху =П------
ду
1 - (Л - Л2 )А
чдУ у
(9)
(10)
Подставляя тху в уравнения (7) и интегрируя один раз по у, получаем
дух
~~р~у + С1 (х ) = П ~дг
ах ду
1 - (Д -Л2 )//с
чду у
(11)
где С± (х) - произвольная функция интегрирования.
Пусть последовательность {/п (г)} будет асимптотической при г ^ 0. Первые члены таковы: /0 (г) = 1 и / (г) = г.
Положим г = (Л1-Л2 )0/Т2, где Т - некоторая единица измерения времени. Неизвестные Ух, Уу, р, Су разлагаются по этой последовательности, т.е., например, для давления Р
р = р(0) +ер(1) +... (12)
Ограничиваясь двумя членами разложения и подставляя его в уравнение (11), получаем следующие уравнения:
ар
(0)
у + П0С1(0) = П
ах
ар(1) ах
у + П0С1(1) =п
С аУ^ I
ау
с ду^ I 2 С ду(0) I
ду
ду
(13)
(14)
Граничные условия для коэффициентов разложения : У;г0) = и, Уу0 = 0 при у = 0 ,
,(0) = у(0)
х
/0)
У
р(1) = 0
при у = Л( х), (15)
при х = 0 и х = В .
при у = 0 и у = Н( х), (16)
при х = 0 и х = В.
Уравнение (13) совместно с уравнением неразрывности и граничными условиями (15) определяет основное (ньютоновское) решение [2]:
Н - у I — 2Н0 (1 + к)
Н У 1- Н =—^----------’-, (17)
р(0) = 0
.?> = у-У» = 0 р(1)
У(0) = зи —-3-^|(у2 - уН) + и
Н
2 + к
ууо) = -зи
С Н - Н1С у3 у2 Н Н31 ёк С
V Н3 у
V 3 2 6 у
йх
((Н/ах ) - 3 (Н - Н )|
Н4
С у2 Н21 —+—
2 2 V ^ ^ у
и аь_ 2 ах
С у2 I
-1
VН у
(18)
p (G) = 6UVg B
p =~ЙТ
kx [і—x
BI B у
(2 + k) 1+k — kB
(19)
Подставляя (17) - (19) в (14) и интегрируя, можно получить выражение для ух.1 через
p(G) и p(1):
v (І) = T2
1 dp
(G) Л
К По
dx
(y4 — h3y)-
І dp
З 1 dp + -
(0)
2 По dx
F 2 (y 2 — hy)
К По І
dx
dp
(1)
2no dx
F (y3 — h2 y)-(2 — иУ ),
(2G)
где F =
2П0
dp(G) , U
—------h + —.
dx h
,(1)
Из всех неизвестных осталось определить давление p . Найдем его, используя
условие постоянства объемного расхода жидкости. Объемный расход
h
q = | vxdy = const. (21)
0
Подставляя (20) в (21) и приравнивая производную dq/dx нулю, получаем обыкновенное дифференциальное уравнение для p(1) : d2p(1) 3 dh dp(1) = 12n0T2U3 dh
Ътъ ли Г 4,2 19,2h 24,3h2
h2
h3
И
10,8h3 h5
(22)
дх2 к дх дх к дх
Для удобства введем безразмерные величины: давление р*=[кІІвицоВ)р,
безразмерную координату х = х/В и безразмерный параметр N = ( — Х2)ои2/В2, характеризующий упругие свойства жидкости. Решив дифференциальное уравнение (22) при граничных условиях (16), найдем выражение для р(1). Тогда искомое изменение давления по длине канала
P =
kx (l — x )
(2 + k )(l + k — kx)
—n
7
12 t
81-1-9
-H1 hH2 +—h2H3 hH,
З
З
где
1
1
ИЗ — И3 Л
h hG И К hG — h12
І
h( — И Л
H2 h4 h2hG2h,2 К h( — И
H3 = ЙТ -
1
И5 — И Л
Иh'h/ К h( — hl у
1
h( — и,6 Л
H 4 = — —
4 h6 ИhG4h,4 К h2 — А
из
И
ИЗ
Иб
зо і—
2G
І ( hG3 — И,3 Л
(2З)
h
Ио2 — И
1 hi
І ( hG4 — h,4 Л
ho2 — И
1 h3
і Г ИЗ — А5 л
ho2 — И
V Г 7„б
І — -
h4
Иоб — Иб
ho2 — А2
б
Для иллюстрации полученных результатов рассмотрим канал с конкретными геометрическими размерами, сж : В = 1; Н = 0,1; А = 0,2. Скорость нижней пластины и=100 сж/с. Оценим порядок величины Ж Полученное возмущенное решение будет
2
1
4
справедливо при
N-
,(0)
< 1. Подстановка в это неравенство выражений для p(0), p(1)
показывает, что верхний предел N ограничен только геометрией канала.
ВЫВОДЫ
Для случая N < 5 -10-5 приводим распределение безразмерного давления по длине канала (рис. 2). Видно, что давление весьма чувствительно к значениям вязкоупругих постоянных. Кроме увеличения давления, учет упругих свойств жидкости смещает его максимум в сторону выхода из канала. Это приводит к перестройке профилей скоростей в канале и несколько уменьшает расход жидкости.
3,75 10'
2,50 10
1,25 10"
/ / 1 .—
л >
О 0,25 0,50 0,75 х/В
N=2,5E-5 (1); 1Е-5 (2); 7.5Е-6 (3);5Е-6 (4); 0 (5)
Рис. 2. Распределение давления по длине
При использовании идеализированной четырехконстантной вязкоупругой жидкости Олдройда для описания реальной вязкоупругой среды настоящее решение дает один из способов определения постоянной ju0, физический смысл которой и способ ее
экспериментального нахождения неясен. Если из эксперимента удается достаточно точно замерить давление на верхней пластине, то вследствие чувствительности настоящего решения к параметру /и0 можно получить его величину.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №10-08 96019 «Математическое обеспечение технологии изготовления полимерных нановолокон под воздействием сильного электростатического поля»).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Oldroyd J.G. Non-Newtonian effects in steady motion of some idealized elastico-viscous liquids // Proc. of Royal Society. 1958. Ser. A. V. 245. P. 278-297.
2. Камерон А. Теория смазки в инженерном деле. М. : Машгиз, 1962. 383 с.
SLIDE BEARRINGS WITH VISCOELASTIC LUBRICANT
Berezin I.K.
Institute of Continous Media Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Perm, Russia
SUMMARY. An asymptotic solution for the flow of lubricant in the gap wedge, simulating the work of a plain bearing. Grease is a nonlinearviscoelastic fluid with four permanent (Oldroyd fluid). It is shownthat the inclusion of the elastic properties of the lubricant increasesthe carrying capacity of the bearing.
KEYWORDS: viscoelastic fluid, the asymptotic behavior, bearing, bearing capacity.
Березин Игорь Константинович, доктор технических наук, профессор, ведущий научный сотрудник ИМСС УрО РАН, тел. (342) 237-83-09, e-mail: [email protected]
