CC BY
22
Метод гидродинамического расчета радиального подшипника с повышенной несущей способностью со слоистым электропроводящим
смазочным материалом
1 12 К.С. Ахвердиев , С.В. Митрофанов , Б.Е. Копотун
1 Ростовский государственный университет путей сообщения
2
Южное управление государственного железнодорожного надзора Федеральной службы по надзору в сфере транспорта
Аннотация: В работе с учетом особенностей взаимодействия электропроводящего слоистого смазочного материала с твердой опорной поверхностью дается метод расчета радиального подшипника скольжения с повышенной несущей способностью. Здесь на основе уравнений Навье-Стокса, уравнения неразрывности и уравнения Ламе для случая «тонкого слоя» дается метод формирования точного автомодельного решения рассматриваемой задачи. В результате найдено поле скоростей и давлений в смазочном слое и в последующем найдены аналитические выражения для основных рабочих характеристик подшипника. Дана оценка комплекса параметров, характеризующих разные аспекты функционирования трибосистемы, таких как: параметра, характеризующего слоистый характер смазочного материала; адаптированный профиль опорной поверхности; электропроводящие свойства смазочного материала; напряженность электрического поля и магнитная индукция на основные рабочие характеристики радиального подшипника.
Ключевые слова: электропроводящий смазочный материал, радиальный подшипник, несущая способность, стратифицированное течение.
Введение. В последнее время проведены многочисленные экспериментальные исследования, в которых сравнивались характеристики подшипников скольжения, работающие на ньютоновских и неньютоновских смазках, в частности на электропроводящих смазках. Эти результаты подтвердили эффект возрастания толщины пленок при использовании смазок, обладающих электропроводящими свойствами.
Однако, несмотря на очевидную актуальность вопроса в настоящее время обширных данных и применений электропроводящих смазочных композиций в узлах трения разного рода машин и механизмов отсутствуют. Всестороннее изучение особенностей гидродинамических течений в смазочном слое, влияющих на работоспособность узлов трения, при
достаточно полном учете реологических свойств смазки, в частности электропроводящих свойств смазки с учетом особенностей взаимодействия смазки с твердой опорной поверхностью подшипника, в результате которого образуются структурированные граничные слои, является одной из актуальных задач трибологии.
Анализ существующих работ в данном направлении [1-6] показывает, что полученные здесь результаты не позволяют более корректно аналитически прогнозировать вязкости структурированных граничных слоев достаточно малой толщины, имеющими вблизи поверхности свойства близкие к свойствам твердого тела. Максимальное расстояние, на котором обнаруживается структурирующее воздействие поверхности достигает не более 2-3 мкм. Влияние структурированных граничных слоев существенно отражается на условиях трения и на механизме изменения условий трения [3]. Ключевую роль здесь играет изменение реологических свойств смазки в зависимости от толщины слоя и от индивидуальных свойств смазочного материала. В существующих вышеуказанных работах, в основном, влияние особенностей воздействия жидкости с твердой поверхностью проводится на основе реологических моделей микрополярной и вязкоупругой жидкости. Здесь не учитывается слоистый характер течения жидкости в смазочном слое в виду разнообразия структуры граничных слоев и в связи с этим используются приближенные эмпирические зависимости для определения эффективной вязкости граничных слоев. В расчетных моделях, представленных в работах [4-10], хотя учитывается слоистый характер течения смазочного материала в зазоре радиального подшипника, однако полученный здесь результат не позволяет оценить влияние на устойчивый режим работы комплекса параметров, характеризующих разные аспекты функционирования трибосистем, таких как: адаптированный профиль опорной поверхности подшипника; деформацию опорной поверхности
подшипника; электропроводящие свойства смазочного материала; напряженность электрического поля; магнитную индукцию. Разработка расчетной модели подшипников скольжения, работающих на слоистых смазочных материалах с учетом вышеуказанных факторов, является одной из основных задач современной трибологии. Основное содержание данной работы находится в русле данного актуального направления.
Постановка задачи. Рассматривается установившееся течение смазочной электропроводящей смазки в зазоре радиального подшипника скольжения с адаптированным профилем опорной поверхности. Предполагается, что подшипник неподвижен, а шип вращается с угловой скоростью Q (рис. 1).
В полярной системе координат (r; 0) с началом в центре шипа
уравнение контура шипа и границ раздела слоев и адаптированного контура опорной поверхности можно записать в виде (рис. 1) С0: r' = r0; С1: r' = r0 + Sa + aecos0 -aAsinю0; С2: г' = r2 + e cos 0 - A sin ю0,
(1)
где ae[0, 1], 5 = r2 -r0, ю в дальнейшем определяется из условия максимальной несущей способности подшипника.
Рис. 1. - Схематическое изображение электропроводящей двухслойной смазки в зазоре радиального подшипника скольжения: С0 - контур шипа; С1 - граница раздела 2-х смазочных слоев; С2 -внутренний контур подшипника, прилегающий к смазочному слою
Решение задачи. Будем исходить из уравнений «тонкого слоя» для вязкой несжимаемой жидкости при наличии электромагнитных полей. Эти уравнения при пренебрежении эффекта Холла и в случае малых значений магнитного числа Рейнольдса имеют следующий вид
м = 0, ^ ^ = IМ - 8*(Е' - ив), ^ + ЦЬ +1^ = 0, / = 1,2
д / ' дг '2 г' до ег дг' г' г 'ее
(2)
Здесь , и'е - компоненты вектора скорости в смазочных слоях; р\ гидродинамическое давление в смазочных слоях; Е = {0, 0, Е'} - вектор напряженности электрического поля; В - вектор магнитной индукции; -коэффициент динамической вязкости; г' , 0 - полярные координаты.
Здесь предполагается, что величины Е и В и скорость течения жидкости таковы, что можно пренебречь влиянием потока жидкости на приложенные
и
электрические и магнитные поля (это предположение подразумевает малость магнитного числа Рейнольдса). При этом функции E' и B' считаем заданными, удовлетворяющие уравнениям Максвелла divB = 0, rotE = 0.
Эти уравнения удовлетворяются при
E' = const, B' =—, c = const. r'
Осуществим переход к безразмерным переменным по формулам r' = r +5 r, U,. =Q Г)Ц., D'r'i=QSMi, P' = P*iPi,
Qr 2 . r° , i = 1,2.
P
52
(3)
Подставляя (3) в (2) и в (1) с точностью до членов 0
будем иметь
f V 4 \
5A
V r0 У
0
5N,
V r0 У
0
/л
V r0 У
dp, _ d 2u, dp, . ,т du, du, _ , а52 E — Л7 a52c2 г - 0, —^ = — - A + Nt v,, —L + —L = 0, A = —-, Nt -
dr.
arz de
dr ae
rfoQ
Л
(4)
Здесь N - число Гартмана.
В дальнейшем в слагаемом, обусловленным электропроводящими свойствами слоистого электропроводящего смазочного материала, скорость ц заменяется ее максимальным значением.
Система уравнений (4) решается при следующих граничных условиях
г=0 = 0 их| г=0 = ^1(0) = Р2(2п) = Р , Рх = ~ P2, Р2(0) = Р2(2П) = Р , (5)
r=h (e) = 0, u2
r=h(e)
0, U1 r=ah u2 r=ah , U1 r=ah U2 r=ah ,
и
ди1 Ц 2 dU2 щ
dr r=ah dr ? r=ah '
h (0) = 1+ П cos 0-r^sin ю0, n = e $, П1 = A $.
(6)
Граничные условия (5) означают прилипание смазки к поверхности шипа и подшипника, а также периодичность гидродинамического давления. Граничные условия (6) означают равенство скоростей, касательных и нормальных напряжений на границе раздела слоев, а также условия существования слоистого течения смазки, т.е. требуется, чтобы скорость точек границы раздела слоев в каждой точке была направлена по касательной к контуру раздела слоев.
Точное автомодельное решение системы уравнений (4), удовлетворяющее граничным условиям(5)-(6) ищется в виде
щ + U (r, 0), и. = ^+V (r, 0), у. = й ф, U = -щ (£)h'(0), d0 dr '
V = и (a 5 = r, dp- = -£- + -C— A + N1, ' ' h d0 h (0) h (0) 1 1
^ = -CL- + -C--A + N2.
d0 h (0) h (0) 2 2
(7)
Подставляя (7) в (4) и в граничные условия (5) и (6) будем иметь
VT = ¿2, и; = q, c2, u = q, щ+ад = 0, ¿2+^u2 = 0, (8)
v1(0) = 0; ¿/1(0) = 0, u 1(0) = 1, U2(1) = 0, Vpr 2(1) = 0, u2(1) = 0, u 1(a) = u2(a), ¿i1(a) = U2(a), u|(a) = —u 2(a), \j/|'(a) = —\j>2(a),
и
а 1
Рх = — Р2, |иДй + |и= 0.
И-1 0 а
(9)
Решение задачи (8)-(9) находится непосредственным интегрированием. В результате будем иметь
£2 £2 £2 = С2~^ + С2£ + С3 , и1 = С1~2 + С6£ + С7, ^2 = С2у + С4£ + С5 ,
£ 2 £3 £ 2 £3 £ 2
и2 = с1 "2 + С8£ + С9, = —1 -°6~2 + С10, ^2 = -С1 у - С8 "2 + С11,
Р1 = с J2 (0) + ¿2 Jъ (0) - 40 + ^0 + Р е, Р2 = С J2 (0) + 4 Jз (0) - 40 + ^20 + Р я,
е
J^ =1
й 0 0 Л*(0).
(10)
Для определения постоянных с(/ = 2,3,...11), Ср С2, ё1, С2 придем к следующей алгебраической системе уравнений
~ 1 1 ~ 1
С7 = ^ С10 = 0, С3 = 0, -С13 - С8^ + С11 = 0, С12 + С8 + С9 = 0
~ 1 0 с и 2С~ и 2СС = с^2(2л) (К2 + А2)2п
¿2 + С4 + С5 0, с сх, С2 С2, С2 + ,
2 и и J3(2п) J3(2п)
С2
с J9(2п) (К + Д)2л „ и 9/~ \
■——-+ --—, с1а + с6 = —(а + с8),
J3(2п) J3(2п)
и2/= \ ~ а2 г а2
с2а + с2 = — (с2а + с4), с2 — + с2а + с3 - с2--с4а - с5 = 0,
'2 2
2 2
„ а ~ а _
с1 — + с6а + с7 - с1 — - с8а - с9 = 0,
и
а3 а2 ~ а3 а2 ~ 1 1
С1^ + + С7а - - ^ - С9а + с1~2 + + с9 = 0.
6 2 6 2 6 2
(11)
Из условия p1 = kp2=> Д - А = k(А2 - А2).
Решение системы (11) сводится к решению следующего матричного уравнения
М ■ .х = ь,
(12)
где
.
= {{;с4;с5;^}, Ь = (о;-2(^2^^);-(k-1);-2;-6а
1з(1)
М
- ¿0) 1з(1)
(1 - k) а2
¿з(1) а2(k -1) kа3 - а3 +1
0 2
2 2
2а(к -1) -2
2 0
0
1з(1) 2 0
0
0 0 2а(к -1) -2
0 0 3(ка2 - а2 +1) 6(1 - а)
(13)
с8 = -(4(-2а3 + 2ка3 -1)) / (-1 + 4а + 8ka3 - 8а3 - 4ak - 10ka4 + 5k2а4 + 5а4), с9 = (8ka3 + 3ka2 - 8а3 - 3а2 -1) / (-1 + 4а + 8ka3 - 8а3 - 4ak - 10ка4 +
+5k2 а4 + 5а4, с2 = кс4, с6 = кс8,
С = -(6(1 + ка2 - а2)) / (-1 + 4а + 8ka3 - 8а3 - 4ak - 10ka4 + 5k2а4 + 5а4),
с4 = (-3J2(2п) + 2пК2 - 2пЛ2 + 6а2 J2(2п) + к2а2пК2 - ка2пК2 - *2а2пЛ2 + +ка2пЛ2 + 10к2а4пЛ2 - 20ка4пЛ2 - 10к2а4пК2 + 20ка4пК2 - 6а2J2(2п)к + +10а4пЛ2 - 10а4пЫ2 + 16пК2а3 - 8пК2а - 16пЛ2а3 + 8пЛ2а - 12пК2аЗк +
+8пК2ак + 12пЛ2аък - 8пЛ2ак - 8пК2а5к + 5пК2а6к - 15пК2а6к2 + 16к2а5пЫ2 -
2„3_Лт , о_ /( „5/, Л „6 7, , тс— Л „6/2 1^/2 5
-8к а пК2 + 15к а пК2 + 8пЛ2а к - 5пЛ2а к + 15пЛ2а к - 16к а пЛ2 + +8к2аъпЛ2 -15кЗа6пЛ2 + 8кЗа5пЛ2 - 4кЗа3пЛ2 + 5к4а6пЛ2 - 8к3а5пК2 + +4к3а3пК2 - 5к4а6пК2 - 3J2(2п)а4 + 6J2(2п)кa4 - 3J2(2п)к2а4) / /((1 + ак - а) J3(2п)(-1 + 4а + 8ка3 - 8а3 - 4ак - 10ка4 + 5к2а4 + 5а4)),
с5 = -(а(^^п) + 2пК2 - 2пЛ2 + 3а2J2(2п) - 8к2а2пК2 + 4ка2пК2 + +8к2а2пЛ2 - 4ка2пЛ2 + 14к2а4пЛ2 - 2к3а4пЛ2 - 22ка4пЛ2 - 14к2а4пК2 + +2кЗа4пК2 + 22ка4пК2 - 6а2 J2(2п)к + 10а4пЛ2 - 10а4пЫ2 + 16пК2а3 -
-8пК2а -16пЛ2а + 8пЛ2а - 32пК2а к + 15пК2ак + 32пЛ2а к - 15пЛ2ак + +5пК2а5к - 15к2а5пК2 + 16к2аъпИ2 - 5пЛ2а5к + 15к2а5пЛ2 - 16к2а3пЛ2 -
-15к а пЛ2 + 15к а пК2 + 5к а пЛ2 - 5к а пЫ2 - 7к апК2 + 7к2апЛ2 + +4кЗа2пК2 - 4к3а2пЛ 2 -3J2(2п)a3 + 3J2(2п)a + 3к/2(2п) + 3а2 J2(2п)к2 + +6J2(2п)кa3 - 3J2(2п)aк - 2кпК2 + 2кпЛ2 - 3а3J2(2п)к2)) /
/((1 + ак - а) J3(2п)(-1 + 4а + 8ка3 - 8а3 - 4ак - 10ка4 + 5к2а4 + 5а4)). (14) Перейдем к определению основных рабочих характеристик подшипника. Для безразмерного гидродинамического давления в слое смазки, прилегающем к поверхности вала с точностью до членов 0(г2), 0(г2) будем иметь:
' п 0П1
Р1 =с
ГБШ 0 + —^(СОБ ю0 -1)--П^(СОБ2ПСО -1) + (Л1 - К^г^т 0 -
V ю 2пю )
- (А - ^Ч^Ш0-1) + (Л' - К.)3г.0 (С082пю-1) + Р..
ю 2пю .
(15)
С учетом (14) и (15) для безразмерных составляющих вектора поддерживающей силы и силы трения получим
и
*
Arc
2п
г R г
= -J p1sin0d0, —r = -J p1cos0d0
2 n
0 0
'5 *
P1r0
0 0
L^ 5
2 n
2 n
тр
0 h 40)
d0+ f-^d0 . J h (0) J h(0)
(16)
Влияние податливости опорной поверхности на основные рабочие характеристики можно оценить по методике, предусмотренной в работе [11]. Согласно работе [11] в рассматриваемом случае будем иметь
h(0) = (1 + X/ (0) )(1 + n cos 0-n1 sin ю0) =
'1+ ЛЛ
V M,
(1 + ncos0-) 1sinсо0). (17)
П „ П1
Здесь n =-—, n 1 —
1+ Р
1+ Р
M M
где p = max p1(0), 0e[0;2n], M - упругогидродинамический параметр (явный вид параметра M приведен в работе [11]).
1) А = 0; N1 = 0; ^ = 1,3;
Ц1
2) А = 0,3; N1 = 0,1; ^ = 1,3;
Ц1
3) Д = 0,3; N1 = 0,1; ^ = 1,5;
Ц1
4) А1 = 0,3; N1 = 0,1; ^ = 2.
Ц1
Рис. 2. - Зависимость безразмерной Я - составляющей поддерживающей
силы от параметров ю и п при разных значениях вязкостных отношений
слоев
и
1) А = 0; А = 0; ^ = 1,5;
2) 4 = 0,3; А = 0,1; ^ = 1,5;
3) А = 0,5; А = 0,1; ^ = 1,5;
4) А = 0,7; А = 0,1; ^ = 1,5.
Рис. 3. - Зависимость безразмерной Я - составляющей поддерживающей силы от параметров ю и п при разных значениях параметров А1 и А1, обусловленных электропроводящими свойствами смазочного материала
1) А = 0; А = 0; ^ = 1,5;
2) А = 0,3; А = 0,1; ^ = 1,5;
3) А = 0,5; А = 0,1; ^ = 1,5;
4) А = 0,7; А = 0,1; ^ = 1,5.
Рис. 4. - Зависимость безразмерной Ьтр - силы трения от параметров ю и п при разных значениях параметров А1 и А1, обусловленных электропроводящими свойствами смазочного материала
Результаты численного анализа, приведенные на рис. 2-4, показывают:
и
1. В случае, когда Л1 = 0, Ы1 = 0, т.е. когда слоистый смазочный
материал не обладает электропроводящими свойствами, при ю = У^
подшипник по несущей способности обладает свойствами подшипника «двойного» действия.
2. В случае, когда смазочный материал обладает
электропроводящими свойствами при Л1 = 0,7, К1 = 0,1, = 2,
максимальная несущая способность подшипника также достигается при
ю
= 12. Однако в этом случае максимальная несущая способность
подшипника практически в два раза выше по сравнению со случаем, при Л = 0, N = 0.
3. С увеличением вязкостного отношения к несущая способность подшипника вырастает. Особенно резкое возрастание наблюдаем при к > 2.
4. При ю = у к = 1,5, несущая способность подшипника
существенно зависит от безразмерной напряженности электрического поля Е; с увеличением значения Е несущая способность подшипника резко возрастает.
5. С учетом полученной в работе [3] эмпирической зависимости электропроводимости смазки от контактного давления и с учетом найденного в данной работе аналитического выражения для гидродинамического давления можно прогнозировать вязкость структурированного граничного слоя, прилегающего к твердой опорной поверхности подшипника. Вязкость этого слоя практически в два и более раза больше, чем вязкость основного базового масла.
6. Несущая способность подшипника с податливой опорной поверхностью на 2-3% ниже по сравнению с подшипником с жесткой опорной поверхностью.
Литература
1. Gecim B.A. Non-Newtonian Effect of Multigrade Oils on Journal Bearing Performance // Tribology Transaction. 1990. Vol. 3. Pp. 384-394.
2. Garg H.C., Vijay Kumar, Sharda H.B. Thermohydrostatic analysis of capillary compensated Asymmetric holes-entry hybrid journal bearing operating with non-Newtonian lubricant // Industrial Lubrication and Tribology 2009. Vol. 61, № 1. Pp. 11-21.
3. Мухортов И.В., Усольцев, Н.А., Задорожная Е.А., Леванов И.Г. Усовершенствованная модель реологических свойств граничного слоя смазки // Трение и смазка в машинах и механизмах. 2010. № 5. С. 8-19.
4. Ахвердиев К.С., Александрова Е.Е., Мукутадзе М.А. Стратифицированное течение двухслойной смазки в зазоре сложнонагруженного радиального подшипника конечной длины, обладающего повышенной несущей способностью // Вестник РГУПС. 2010. №1. С. 132-137.
5. Ахвердиев К.С., Лагунова Е.О., Мукутадзе М.А. Гидродинамический расчет радиального подшипника при наличии электромагнитного поля с учетом зависимости вязкости и электропроводимости от температуры // Вестник ДГТУ. 2009. Т. 9, № 3. С. 529-536.
6. Ахвердиев К.С., Воронцов П.А., Черкасова Т.С. Гидродинамический расчет подшипников скольжения с использованием моделей слоистого течения вязкой и вязкопластичной смазки // Трение и износ. 1998. Т. 16, № 6. С. 698-707.
7. Ахвердиев К.С., Воронцов П.А., Черкасова Т.С. Математическая модель стратифицированного течения смазки в зазоре радиального
металлополимерного подшипника скольжения // Проблемы машиностроения и надежности машин. 1999. № 3. С. 93-101.
8. Ахвердиев К.С., Мукутадзе М.А., Лагунова Е.О., Солоп К.С. Расчетная модель упорного подшипника скольжения с повышенной несущей способностью, работающего на неньютоновских смазочных материалах с адаптированной опорной поверхностью // Инженерный вестник Дона. 2013. №4. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n4y2013/2201.
9. Ахвердиев К.С., Мукутадзе М.А., Лагунова Е.О., Солоп К.С. Расчетная модель радиального подшипника скольжения с повышенной несущей способностью, работающего на микрополярной смазке с учетом ее вязкостных характеристик от давления // Инженерный вестник Дона. 2013. №4. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n4y2013/2200.
10. Ахвердиев К.С., Александрова Е.Е., Мукутадзе М.А., Копотун Б.Е. Стратифицированное течение двухслойной смазки в зазоре радиального подшипника, обладающего повышенной несущей способностью и демпфирующими свойствами // Вестник РГУПС. 2009. № 4. С. 133-139.
11. Лагунова Е.О., Митрофанов С.В., Копотун Б.Е. Расчетная модель слоистой электропроводящей смазки упорного подшипника с податливой опорной поверхностью, обладающего повышенной несущей способностью // Вестник РГУПС. 2014. № 4. С. 126-132.
References
1. Gecim B.A. Non-Newtonian Effect of Multigrade Oils on Journal Bearing Performance. Tribology Transaction. 1990. Vol. 3. pp. 384-394.
2. Garg H.C., Vijay Kumar, Sharda H.B. Thermohydrostatic analysis of capillary compensated Asymmetric holes-entry hybrid journal bearing operating with non-Newtonian lubricant. Industrial Lubrication and Tribology 2009. Vol. 61, № 1. pp. 11-21.
3. МД^ОГ^ 1.У., Usolcev КЛ., Zadorozhnaya Е.А., Levanov Ю. Trenie i smazka v mashinakh i mekhanizmakh. 2010. № 5. рр. 8-19.
4. Akhverdiyev К.Б., Лleksandrova Е.Е., Mukutadze М.Л. Уestnik ОГ ЯаиРБ. 2010. № 1. рр. 132-137.
5. Akhverdiyev К.Б., Lagunova Е.О., Mukutadze М.Л. Уestnik ОГ ББТи. 2009. vol. 9, № 3 (42). рр. 529-536.
6. Akhverdiyev К.Б., Уorontsov Р.Л., Cherkasova Т.Б. Trenie i iznos. 1998. ™1. 16, № 6. рр. 698-707.
7. Akhverdiyev К.Б., Уorontsov Р.Л., Cherkasova Т.Б. Prob1emy mashinostroyeniya i nadezhnosti mashin. 1999. № 3. Рр. 93-101.
8. Akhverdiyev К.Б., Mukutadze М.Л., Lagunova Е.О., Бо1ор К.Б. Inzenernyj vestnik Dona (Яш), 2013, № 4 URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n4y2013/2201.
9. Akhverdiyev К.Б., Mukutadze М.Л., Lagunova Е.О., Бо1ор К.Б. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2013, № 4 URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n4y2013/2200.
10. Akhverdiyev К.Б., Л1eksandrova Е.Е., Mukutadze М.Л., Kopotun В.Е. Уestnik оГ ЯОиРБ. 2009. № 4. рр. 133-139.
11. Lagunova Е.О., Mitrofanov Б.У., Kopotun В.Е. Уestnik ОГ ЯОЦРБ. 2014. № 4. рр. 126-132.
