Научная статья на тему 'Непараметрическая модель априорной неопределенности при обработке выходного сигнала резонансных гравитационных антенн (режим медленной фильтрации)'

Непараметрическая модель априорной неопределенности при обработке выходного сигнала резонансных гравитационных антенн (режим медленной фильтрации) Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

CC BY
51
6
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Аннотация научной статьи по электротехнике, электронной технике, информационным технологиям, автор научной работы — Гусев А. В.

В рамках непараметрической модели априорной неопределенности (небайесовский подход) рассматриваются особенности амплитудно-частотного подавления негауссовых помех на выходе резонансных гравитационных антенн в режиме медленной фильтрации (slow filtering).

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Текст научной работы на тему «Непараметрическая модель априорной неопределенности при обработке выходного сигнала резонансных гравитационных антенн (режим медленной фильтрации)»

РАДИОФИЗИКА

УДК 519.246; 524

НЕПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ АПРИОРНОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ПРИ ОБРАБОТКЕ ВЫХОДНОГО СИГНАЛА РЕЗОНАНСНЫХ ГРАВИТАЦИОННЫХ АНТЕНН (РЕЖИМ МЕДЛЕННОЙ ФИЛЬТРАЦИИ)

А. В. Гусев

(.ГАИШ) E-mail: [email protected]

В рамках непараметрической модели априорной неопределенности (небайесовский подход) рассматриваются особенности амплитудно-частотного подавления негауссовых помех на выходе резонансных гравитационных антенн в режиме медленной фильтрации (slow filtering).

1. При обобщенном анализе криогенные резонансные гравитационные антенны (РГА) можно рассматривать как линейные системы с двумя степенями свободы. Случайный процесс на выходе линейного тракта РГА представляет суперпозицию двух квазигармонических колебаний с резонансными частотами и ш2, ^1,2/(271") и 103 Гц. Частота биений шь = {ш2 — ш\)/2 значительно превышает ширину спектров отдельных колебаний, что позволяет в режиме медленной фильтрации (slow filtering) [1] осуществить раздельную по модам первичную обработку выходного сигнала РГА по следующей оптимальной для гауссовых помех схеме ОФ-КДО, где ОФ — оптимальный (по критерию сигнал-шум) фильтр, КДО — квадратичный детектор огибающей. Резонансные частоты ОФ совпадают с собственными частотами и ш2 механической системы. Информация о поведении векторного случайного процесса Е(t) = [E^t) = R\{t)E2{t) = Д|(*)]т, где R\{t) и R2(t) — огибающие узкополосных процессов на выходах отдельных ОФ, сохраняется в банке данных и может быть использована при дальнейшем анализе.

В предлагаемой работе рассматривается ампли-тудно-чаетотный алгоритм [2] подавления негауссовых помех в режиме медленной фильтрации при обнаружении слабых гравитационных импульсов со случайными начальными фазами. Статистические (вероятностные) свойства негауссовых помех считаются полностью неизвестными (непараметрическая модель априорной неопределенности).

Амплитудно-частотный алгоритм подавления коррелированной негауссовой помехи при обнаружении слабого полезного сигнала приводит к следующей схеме обработки информации: E(t) + БНП + ОФ, где БНП — безынерционный нелинейный преобразователь. Характеристика БНП выбирается в соответствии с критерием сигнал-шум. Наличие в схеме ОФ обеспечивает увеличение отношения сигнал-шум за счет дополнительного

«частотного сжатия» аддитивнои помехи на выходе БНП [2].

Применение алгоритма БНП-ОФ для обработки выходного сигнала РГА в режиме медленной фильтрации предполагает известной совместную плотность вероятности W2(Ei,E2) случайных процессов Ei(t) и E2(t) в совпадающие моменты времени [3]. При непараметрической модели априорной неопределенности распределение этих случайных процессов считается неизвестным. Для преодоления априорных ограничений воспользуемся небайесовским подходом, основанном на применении критерия максимального правдоподобия.

2. В одночастотном приближении узкополосный процесс y(t) = yi(t)Uy2(t) на выходе ОФ в отдельной моде можно представить в виде суперпозиции

y(t) = Xs(t) + т + n(t)

слабого полезного сигнала s(t) со случайной начальной фазой и аддитивных гауссовой n(t) и негауссовой ¿(t) помех, А= (0,1) — параметр обнаружения.

Можно показать [4], что плотность вероятности случайного процесса E(t) = E\{t) U E2(t) определяется следующим выражением:

W(E) = We(E) + Аа2

d_

IE

E

dWE(E) dE

o(a2),

где Ше(Е) — плотность вероятности случайного процесса в состоянии А = 0, а = а(£) — оги-

бающая слабого полезного сигнала

Пусть — априорное распределение квад-

рата (5 = огибающей узкополосного случайного процесса £(£), а2 = (п2(£)) — дисперсия гауссовой помехи п(£), {•) — символическая форма записи оператора статистического усреднения. Тогда

We(E) = (W(E,Q))q= / W(E,Q')Ww(Q')dQ'

21 ВМУ, физика, астрономия, №3

где

шпг 1 / !1±Я\т

2сг2

О"

— распределение Рэлея-Райса, — моди-

фицированная функция Бееееля к-го порядка, к = 0, ±1, ±2,... .

В непараметричеекой модели априорной неопределенности неизвестный параметр Я считается неслучайным: Шр1(Я') = 6(С}' — Я) и, следовательно, 1¥е(Е) = 1¥(Е,Я),

Ш(Е) и Ш(Е, ¡9) + ХаЧ(Е, ¡9),

Е

Пусть

7 (Е,Я) =

дЫУУ(Е,д)

дЕ

д\¥(Е,Я) дЕ

1 й\а.1о(г) дг

2 ст2

йг дЕ

(1)

— логарифмическая производная, г = л/ЯЁ/сг2. Тогда

Чг(Е,д) = Ш(Е,д) х х\7(Е,д) + Е

д7(Е,Я) ,

дЕ

7

(2)

Из (1) и (2), учитывая, что

<Но(*) т ( ч 1

находим

Здесь Фо {Е,Я) =

Е + Я - 2а2 - 2^/ОЁ

ш

ш

(3)

3. При вычислении оптимальной (по критерию сигнал-шум) характеристики /[•] БНП в схеме БНП-ОФ (см. выше) будем предполагать, что в состоянии А = 0 среднее значение случайного процесса /[£?(£)] равно нулю [2]:

</[£?]|А = 0> = J ¡[Е)Ш(Е,д)ёЕ = 0. (4) о

Учитывая (4), находим отношение сигнал-шум р на выходе БНП

р= \{т\Х = 1)\ = -

¡[Е]Чг(Е,д)ёЕ

(5)

При слабом сигнале различием дисперсий в классах А = 0 и А = 1 можно пренебречь и, следовательно,

оо

а}^Ц2[Е]|А = 0) = I ¡2[Е]Ш(Е,Я)ёЕ. (6)

о

Из (5), (6), воспользовавшись неравенством Ко-ши-Буняковского, имеем

Р ^ Ртах —

\

«о (Е,а)Ш(Е,а)ЛЕ,

где функция Фо (Е,Я) определяется выражением (3).

Отношение сигнал-шум р достигает максимальной величины ртах при оптимальной характеристике БНП:

Р = Ршж- ПЕ] = и^[Е]<хЩ(Е,д). (7)

Оптимальная характеристика БНП (7) зависит от неизвестного, но неслучайного при непараметрической модели априорной неопределенности параметра Я = ■ Для преодоления априорных ограничений воспользуемся обобщенным критерием максимального правдоподобия [5], в соответствии с которым неизвестный параметр Я заменяется макеималь-но-правдоподобной оценкой Я = Я(Е) (небайесовский подход). Пренебрегая влиянием слабого полезного сигнала [5], в «нулевом» приближении имеем

Я ~ Яо,

= Ях=о (Е)

— максимально-правдоподобная оценка неизвестного параметра Я в классе А = 0. В этом классе уравнение максимального правдоподобия имеет следующий вид:

\¥^(Е,Я) = О

и, следовательно,

(8)

где Во = ¿о(Е, Яо) = \]ЯйЕ/а2.

Из (3), (7) и (8) находим оптимальную характеристику БНП при непараметрической модели априорной неопределенности

(9)

4. Пусть О = (?(£) — квадрат огибающей узкополосной гауссовой помехи п(£). Тогда

А = 0: £ = (5 + 2^0(7собД+ (7,

где А = Д(£) — разность фаз между гауссовой и негауссовой помехами. Следовательно, учитывая, что фаза стационарного узкополосного случайного процесса статистически не зависит от огибающей и равномерно распределена на интервале (0,2тг) [6],

условную плотность вероятности W(E\Q,G) можем представить следующим образом:

2тг

Ш(Е\д,0) = — / 5(Е^д^О^2^0Осо8А)ёА. 2 7Г ]

о

(10)

Из теории дельта-функции известно, что

где хь — корни алгебраического уравнения ц(х) = 0. Принимая во внимание (10) и (11), получим

1Гу/(Е - -E'mm)(-E'max - Е) ' Е ■ < Е < Е

^тш 1J -^maxj

ГДе -Еткцтах —

Оптимальная по критерию минимума ереднеквад-ратической ошибки оценка О траектории случайного процесса при однократных отсчетах определяется следующим выражением [7]:

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

оо

о

1 Г о

— апостериорная и априорная плотности вероятности, д = [УУ(Е, (5)]— нормировочный коэффициент.

Интеграл в (12) вычисляется путем замены переменных

0 = + а е [-2\/ОЙ. 2\/ОЙ\.

Учитывая, что 1

ехр рх}

-dx = wIo(p), р^ 0,

имеем

G=Q+E- 2 sjQE ос ф о(Е, Q) + const.

При небайесовском подходе неизвестный параметр Q в состоянии А = 0 заменяется макеималь-но-правдоподобной оценкой Qo(E). Тогда, принимая во внимание (8), окончательно получим

А = 0: G(E) = E^Qo(E).

(13)

Выражения (9) и (13) устанавливают связь между нелинейной фильтрацией слабого полезного сигнала по критерию сигнал-шум и восстановлением траектории случайного процесса (?(£) при однократных отсчетах.

Основные результаты и выводы

А. При непараметрической модели априорной неопределенности негауссова помеха на выходе РГА рассматривается как узкополосный процесс с неизвестной, но неслучайной амплитудой. Так как гауссовы помехи в отдельных модах считаются статистически независимыми, подобный небайесовский подход приводит к раздельной обработке случайных процессов Ех^) и Е2{1) при нелинейных безынерционных преобразованиях. Характеристики БНП в отдельных каналах определяются выражением (9). Зависимость С^о(Е) приведена в работе [4]. Дисперсии сг?, г = 1,2 определяются минимальной шумовой температурой РГА зависящей от интенсивности естественных гауссовых помех в системе:

2с| = {Е{ | А = 0) = Тед, г.

В теории РГА параметр Те£ предполагается известным [1].

Так как

IQ(z) ixeh(z)

ехр {z}

z» 1,

■ixz

то при сильных негауссовых возмущениях фона БНП можно рассматривать как сглаженный «амплитудный» ограничитель.

Б. Применение БНП с оптимальной характеристикой (9) обеспечивает восстановление траектории квадрата огибающей (?(£) узкополосного гауссова случайного процесса п(£) (при одиночных отсчетах), которая затем используется для компенсации негауссовых возмущений с неизвестными (априори) вероятностными свойствами. Таким образом, рассматриваемый алгоритм обработки информации относится к классу «оценочно-компенеа-ционных» алгоритмов обнаружения полезного сигнала на фоне негауссовой помехи [5] в рамках непараметрической модели априорной неопределенности.

В. При амплитудно-частотном подавлении коррелированного негауссового шума по схеме БНП + ОФ предполагается, что среднее значение помехи на выходе БНП в классе А = 0 равно нулю. Для непараметрической модели априорной неопределенности среднее значение помехи на выходе БНП с оптимальной характеристикой (9) при нулевой гипотезе оказывается пропорциональным смещению макеи-мально-правдоподобной оценки

b(Q) = { Q-Qo(E)

А = 0

Однако, учитывая, что макеимально-правдоподоб-ные оценки оказываются асимптотически несмещенными [7], имеем

lim (fopt[E)\X = 0) = 0. Q—*oо

Г. Синтез расположенной на выходе оптимальной по критерию сигнал-шум линейной системы при использовании непараметрической модели априорной неопределенности требует дополнительного исследования. При стационарных шумах в системе (период стационарности действующих РГА То и 2 ч) аддитивная помеха на выходе БНП может рассматриваться как стационарный случайный процесс с неизвестными спектральной плотностью и средним значением (см. выше).

Статистическая зависимость негауссовых помех в режиме медленной фильтрации в рамках непараметрической модели априорной неопределенности может оказать влияние на структуру двухканально-го ОФ [51.

Литература

1. Astone P., Buttiglione S., Frasca S. et al. // Nuovo Cimento. 20C, N 1. P. 9.

2. Акимов П.С., Бакут ПЛ., Богданович В.А. и др. Теория обнаружения сигналов. М., 1984.

3. Гусев A.B. // Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 2001. №6. С. 41 (Moscow University Phys. Bull. 2001. N 6. P. 51).

4. Гусев A.B., Виноградов М.П., Милюков B.K. // Радиотехника и электроника. 2000. №4. С. 91.

5. Сосулин Ю.Г. Теоретические основы радиолокации и радионавигации. М., 1992.

6. Тихонов В.И. Статистическая радиотехника. М., 1982.

7. Куликов О.Е, Трифонов А.П. Оценка параметров сигналов на фоне помех. М., 1978.

Поступила в редакцию 08.04.05

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.