CC BY
14
ТЕОРЕМА 5. Материальная точка типа К эквивалентна механической системе постоянной массы с кинетической энергией Т = Х^"
и связью .
Доказательство теоремы следует из известных результатов [5J о траекториях динамических систем со связями и из того, что ортогональная проекция связности Леви-Чивита метрики G на многообразие х\ совпадает с исходной связностью.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Гохман A.B. К геометрии динамики одного класса точек переменной массы // Дифференциальная геометрия. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1974. Вып. 1. С. 15-19.
2. Широкие П.А. 11росктивно-евклидовы симметрические пространства: Тр. семинара по векторному и тензорному анализу. М., 1950. Вып. В. С. 73 - 81.
3. Галаев С.В., Гохман A.B. Обобщённые гамильтоновы системы на многообразиях со связностью // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. унта, 2000. Выи. 2. С. 16- 19.
4. Вагнер В В. Геометрия (л-1)-мерного неголономного многообразия в п-мерном пространстве // Гр. семинара по векторному и тензорному анализу. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1941. Выи. 5. С. 173-225.
5. Вершик A.M., Фаддеев ЛД. Ла1ранжева механика в инвариантном изложении // Проблемы теоретической физики: Сб. статей / Под ред. М.Г. Веселова и др. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1975. Вып. И. С. 129 - 141.
УДК 517.84
О. Б. Горбунов
НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ РАЗРЕШИМОСТИ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОПЕРАТОРОВ ДИРАКА С НЕИНТЕГРИРУЕМОЙ ОСОБЕННОСТЬЮ ВНУТРИ ИНТЕРВАЛА*
Рассмотрим краевую задачу Ь = ¿(2(дс),ц,г|,у,(х,Р) вида
Ву'{х) + (Яу (*) + = Ых), *е(0,7с), (1)
К1г(аЖ0) = К1г(р)у(тС) = 0, (2)
где у(х)~
(-VlMl ^ / ч д Гsin2rl cos2rl (9i(*) 4
.У г (*) )
x-y
4cos2r| -sin2r|
, Ö(*) =
Яг (*) -9iW.
" Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ на поддержку ведущих научных школ на выполнение научных исследований (проект НШ-1295.2003.1) и Министерства образования РФ (проект Е02-1.0-186).
ß =
о О л
-1 о
, ч cosa -sinа
, l/(a) = (V1(a),y2(a)) =
уе((),л) - фиксиро-
^sina cosa
ванное число, Т - знак транспонирования. Здесь qk(x) - комплекс-нозначные функции, |i,r|,a,ß - комплексные числа. Для определённости будем предполагать, что Re(i > Ü, ц +1/2 г N, a, ß, ti е f-7t/2,7i/2], а также
qk (х) б Wf (О,7t) и I qk (х) \{х-чУ2*^еЦ (О,тс).
В работах [1 - 3] построена специальная фундаментальная система решений для склейки в особой точке, получена её асимптотика, изучены свойства спектра задачи L, а также исследованы аналитические и асимптотические свойства функции Вейля задачи L. В частности, показано, что система (1) имеет решения Ф^хД) и Ф2(д:Д) такие, что
(а)Ф,(ОД) = Vi(а)Ф2 (ОД) = 1, (Р)Ф, (О,X) = V? (а)Ф2(О,X) = 0. Функция Л/Д):=У27'(а)Ф1(0Д) называется функцией Вейля. Причём Ф2(лД) будет целой по X при фиксированном у, а Ф^лгД) имеет полюса с собственных значениях задачи L.
Будем говорить, что LeW , если L имеет простой спектр, то есть характеристическая функция имеет только простые нули. Обозначим Хк -собственные значения задачи L и ак= Res М(X).
Постановка обратной задачи
По спектральным данным {X.*, ак восстановить задачу L Отметим, что в [3] доказана теорема единственности решения поставленной обратной задачи, из которой следует, что, не нарушая общности, можно считать а = 0.
Договоримся, что наряду с задачей L будем рассматривать задачу L = Ц2(.с),Ц,Л>У><5, ß). Если некоторый символ А обозначает объект задачи L, то А - аналогичный объект задачи L . Пусть задачи L, I. е W выбраны так, что
+00
a = ä = 0, Qy(x) = Qy(x), **«*&*«». (3)
где kk М«*«*1-"1!-
ЛЕММА. Справедливы соотношения
Л , Л / {(ф;(х,х),ф2(х,хк))
Ф;(Х,\) = Ф;(Х,Х)+ X -
к — -оо
(ФД*,Л),Ф2(*Л))
Л-Лк
Х-Хк «*фг(*Л)
а*фг(*Д*)-
= I
к——со
(Ф2(хД),Ф2(х,9)) (Ф2(хД),Ф2(х,9)) _
А.-0 Х-0
' (Ф2(^Д),Ф2 (Ф;(дгД,„), Ф2(л-,0))
ак0 -
(Ф2(хЛ),Ф2(х,Ь1))(Ф2(х,Хы),Ф2(х,в))
где ] =1,2, (у,г):-(1сЦу, г), причём ряды сходятся равномерно при | х - у |> е при любом с > 0.
Лемма доказывается с использованием интегральной формулы Коши и свойств функции Всйля М(X.), полученных в [2].
(Ф2(*Д,,),Ф2(*Д4
Обозначим />„,,*; (*) = -
И! ~ КЦ
ако ~ак> ак\ ~ я к > тогда из леммы следует
(х)Ф2(х, ))• (4)
А =—оо
Соотношение (4) не годиться для поиска Ф2(д:ДА,), поскольку оператор в правой части как оператор, действующий из т в т, вообще говоря, не обратим. Однако соотношение (4) можно привести к виду
= п^оМч^Т (*) - МччГ«). (5)
к=—оо
где /« = 1,2, ГпоЧх) = 1п{фт2(х,Хп0)-Фт2(х,Хп1)), Хп »Г"''
'зп
Н„а,ко(х) "лО.нС*) _ Хп ~Х„ ЧпХ
,к О (X) Нл
м
(*) I О 1
^лСМоМ РпОм(Х) О С*) Рп\,к\(х)
^ 1" О -1
Правая часть (5) определяет линейный ограниченный оператор Е + Н(х), действующий из т в т. Согласно второму соотношению леммы (е + Н(х)\е - Н(х)) = Е, если поменять ролями задачи Е и то (Е - Н(х)^Е + Н(х))= Е, значит, Е + Н(х) - обратимый оператор.
Соотношение (5) назовём основным уравнением обратной задачи.
ТЕОРЕМА. Для того чтобы числа {Хк, ак , акФ0, \к*\п, (к*п) были спектральными данными для задачи ¿еIV, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:
1) (асимптотика) существует задача Е е РУ , что имеет место (3);
2) (условие разрешимости основного уравнения) при каждом х ^ у линейный ограниченный оператор Е + Н(х) имеет ограниченный обратный;
3) (Вк{х) - к(х)В)| л: - у Г2Rc 11 е L, (0,я),
где к(х)= 1(ф2(*А*)Ф2(л:Л*)«*-Ф2(х,\к)Фт2(х,Хк)«:,).
к=-<*>
При выполнении этих условий Q(x) = Q(x) + Вк(х) - к(х)В , Р = ¡3.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Горбунов О.Б. О системе Дирака с нсинтегрируемой особенностью внутри интервала // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Capar, ун-та, 2000. Вып. 2. С. 21 -25.
2. Горбунов О.Б. Спектральные свойства системы Дирака с нсинтегрируемой особенностью внутри интервала // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2001. Вып. 3. С. 34 - 37.
3. Гпрбунов О.Б. Об обратной задаче для системы Дирака с неинтегрируемой особенностью внутри интервала // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. 2002. Вып. 4. С. 37 - 39.
УДК 511.23
Г. И. Гусев, А. И. Бобылев
ОБ ОДНОЙ МОДИФИКАЦИИ ЛЕММЫ ГЕНЗЕЛЯ О ПОДЪЁМЕ РЕШЕНИЯ В ЛОКАЛЬНО КОМПАКТНЫХ НЕАРХИМЕДОВЫХ ПОЛЯХ
Пусть К - локально компактное нсархимедово поле нулевой характеристики, V - кольцо целых элементов данного поля, Р - его максимальный идеал, 71 - простой элемент из К, огс1я(а) - 71-адический показатель элемента а&К. У\{Х],...,Хп}] - кольцо формальных степенных рядов от п переменных над V.
Обозначим
а = (а1,а2,...,ал), а, >0, а; еХ; д: = (д:1,дг2,...)дсп), х{ еК \ с = (с1,с2,...,ся), с,- еУ;
..Л).
Ха=Х?'...Х%", |а|=£|а,.|-/ - норма а. |*|= тах|х(|в>
1=1 1£|£л
где = р"™7-^'', (0 < р < 1) - норма, соответствующая показателю ог(1л. В статье рассмотрим формальные степенные ряды
