CC BY
10
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Eisenhart L. Р., Vehlen D. The Riemannian geometry and its generalization // Proc. Nat. Acad. Sc. 1922. Vol. 8. P. 19 - 23.
2. Golab S. Über die Metrisierbarkeit der Affinzusammenhängenden Räume /7 Tensor. 1959. Vol. 9. P. 1 -7.
3. Галаев С. В., Гохман A.B. К геометрии динамики со евязами одного класса точек переменной массы // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Capar ун-та, 2003. Вып. 5. С. 18 - 22.
4 .Вагнер В. В. Геометрия (п-1)-мерного неголономного многообразия » (?-мсрном пространстве // Тр. семинара но векторному и тензорному анализу. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1941. Выл. 5. С. 173 - 225.
5. Гаюев С. В., Гохман А. В. О метризуемости аффинной связности в неголо-^ 2
номном многообразии X - //Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Са-рат. ун-та, 2004. Вып. 6. С, 34 - 37.
ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПУЧКОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ С НЕИНТЕГРИРУЕМОЙ ОСОБЕННОСТЬЮ ВНУТРИ ИНТЕРВАЛА'
Рассмотрим краевую задачу Ь = Ь(рх(х),р2(х),у^Уз.а^ат-Р^Зг)
вида
U (у) У (0) - (ct¡p + а2 )у(0) = 0, .
F(j;):=y(7c) + (ß1p + ß2Mn) = 0) где уе(0,п),рк(х) - комилекснозначные функции, vk- комплексные чис-
|x_T:rain{OJ-2Rev}|ftW|£¿(0)l)i р, (*) £ (0,7t), ¿ = 1,2, ¡ Imv, |<1.
Пучки дифференциальных операторов без особенности изучены достаточно полно [1 - 3]. В данной статье производится постановка обратной спектральной задачи но функции Вейля и доказывается теорема единственности решения поставленной задачи. Эти результаты являются обобщением [3].
* Работа выполнена при финансовой поддержке программы «Университеты России» (проект ур.04.01.376), РФФИ (проект 04-01-00007). гранта Президента РФ для поддержки ведущих научных школ РФ (проект НШ-1295.2003.1).
32
УДК 517.984
О. Б. Горбунов
ла. Пусть для определенности Rev>0, 2vgN, где v2=l/4-v2, и пусть
При изучении дифференциальных операторов с неинтегрируемыми особенностями важную роль играет исследование фундаментальной системы решений (ФСР) для склейки в особой точке. В [4] построена и изучена ФСР (5'1(л:,р),52(х,р)} со степенной особенностью в точке:
5,(х,р) = ^(х - у?>, цу = 0.5 + (-1)4.7 = 1,2. При | (х-у)р !> 1 ^""(х.р) =
= (Г(ц;. - ¿V, НУ"*1* +*а)/2(»р)"(.2(х - у)р)'4' С»)р]т
Пи; + /VI /2)е^'2е ^к^,2(Чр)т(2(х~у)рГ^ '
[1]у = (1 + 0{ (х - у)р Г1)),! р ]->■ х равномерно по х, ?,(х) = £
l,<x--Y)psn0, ГО, .г > у,
1 = 1
[ 1, (x - y)p еП.| иПц [l,x<y,
( 77IV, 1 Г
; ду--— COS 7IV +--
1 2 . J 1 2 )
где
i 1, реПих<у, lx = j-1, pel"I_j,jc>y, l2 =
0 в остальных случаях, Пк = {z: argz e (n(5k - 3)/(6 - 2k),%(5к + 3)/(6 + 2k)]}, к = 0,±1,
Jtv, / 2
к2=и\реи,}, P?Pi=- 6 . -c
' 2717 sin 2tiv
Введем в рассмотрение следующие функции:
ф1(х, р) = 5, (х, р )S'2 (0, р) - 5,'(0, р )S2 (х, р), Ф2 (х, р) = 5,(0, р)52 (х, р) - 5, (ж, р)52 (0, р), Ф2 (х,р) = ф, (х,р) + (а,р + а2)ф2 (х,р), Д(р) = К(Ф2). Ф, (*, р) = (Д (р(S, (х, р)52 (тс, р) - 5['(л, р)52 (х, р) -- (Р,Р + (32 (я. р)52(х, р) - S, (х, p)S2 (я, р))). М(р) = Ф,(0,р).
Из построения следует:
ф, (0,р) = 1, ф1(0,р) = 0, Ф2(0,р) = 0, ф2(0,р) = 1. U( Ф2) = 0, 1/(Ф1) = 1,К(Ф1) = 0,
Ф., (х,р) = ф2(х,р) + М (р)Ф2(х,р). (3)
Функция Д(р) называется характеристической функцией задачи L, ее нули совпадают с собственными значениями L, М(р) называется функцией Вейля задачи L.
Обратная задача. По функции Вейля М(р) найти коэффициенты пучка (1), (2).
Условимся, что наряду с задачей L будем рассматривать задачу L =L(p1(x),p2(x)jVi,v2,a,,a2,p1,P2). Если некоторый символ а обозначает объект, относящийся к задаче L, то а - аналогичный объект задачи L .
ТЕОРЕМА 1. Если М(р) = М(р), то L = L .
Доказательство. Введем в рассмотрение следующие функции: Р/(х,р) = Ф2(х,р)Фр_1)(л:,р)-Ф^М)(х,р)Ф1(х,р),7=1,2. Воспользуемся
(3), будем иметь РДх.р) = Ф2(х,р)ф(2м)(х,р) - Ф12-'_1)(х,р)ф2(х,р) +
+ (м(р) - M(p))o>2 ~ (х,р)Ф2(х,р), следовательно, в условиях теоремы Pj(x,p) будут целыми по р при фиксированном х Ф у.
Далее, используя асимптотику специальной ФСР, можно получить
Л/{р) —----------+ 0 4-, |argp|e(E,it-E), (знак «+» при Imp>0),
гр(1±/а,)
значит, О) = а,. Последнее равенство и асимптотика решений (1) позволяют получить
P,(.v,p) = 0(p-1),
учитывая аналитические свойства fj(x,p), заключаем, что Р,(х,р) = 0, то
есть Ф)(х. р)Ф2(х, р) = Ф,(х, р)Ф2(х, р) или = ®z(x>P) Но при
Ф,(х,р) Ф2(х,р)
arg р е (s, л - е)
Ф,
Ф,(х,р) —Ф2(х,р) следовательно, (х) = д, (х). Теперь можно получить следующую асимптотику:
А(х,р) = 1 + 0(р~1)^ Значит, Л(х,р)э 1, тогда Ф2(х,р)Ф'1(х,р) - Ф2(х,р)Ф1(х,р) = 1. Отсюда выводим
Ф2 =Ф2(Ф2Ф; -Ф^Ф|) = Ф2Ф2Ф; -Ф|,(Ф2Ф1) = Ф2Ф2Ф1 -Ф2(Ф2Ф,) = Ф2. Аналогично Ф, =ФГ Теорема доказана.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
]. Келдыш М. В. О собственных значениях и собственных функциях некоторых классов несамосопряженных уравнений // Докл. АН СССР. 1951. Т. 77, № 1. С. 11-14.
2. Шкаликов A.A. Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений с параметром в граничных условиях // Тр. семинара им. И.Г. Петровского. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1983. № 9. С. 190 - 229.
3. Юрко В. А. О восстановлении пучков дифференциальных операторов на полуоси // Мат. заметки. 2000. Т. 67, вьш.2. С. 316-319.
4. Горбунов О. Б. О пучках дифференциальных операторов с нешгтегрируемой особенностью внутри интервала // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2004. Вып. 6. С. 27 - 29.
'liMl = expfe, (х) - щ (х))[1] , р&Щ = exp(/<7j (х) - щх (x))[lj,,
