Необходимые и достаточные условия разрешимости обратной задачи для оператора Штурма-Лиувилля на конечном отрезке с неинтегрируемой особенностью внутри интервала Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.927

НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ РАЗРЕШИМОСТИ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОПЕРАТОРА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ НА КОНЕЧНОМ ОТРЕЗКЕ С НЕИНТЕГРИРУЕМОЙ ОСОБЕННОСТЬЮ

ВНУТРИ ИНТЕРВАЛА

А. Е. Федосеев

Ассистент кафедры математической физики и вычислительной математики, Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского, [email protected]

В данной статье исследуется обратная задача спектрального анализа восстановления оператора Штурма-Лиувилля на конечном отрезке с неинтегрируемой особенностью типа Бесселя внутри интервала по заданным спектральным данным. Получена конструктивная процедура решения обратной задачи, доказана единственность восстановления оператора по заданным спектральным данным, а также получены необходимые и достаточные условия разрешимости данной обратной задачи.

Ключевые слова: оператор Штурма-Лиувилля, обратная задача, неинтегрируемая особенность, функция Вейля, спектральные данные.

ВВЕДЕНИЕ

Рассмотрим дифференциальное уравнение:

1у = —у'' + (, Щ + ?(х))У = Ау, 0 < х < Т, (1)

\(х — а)2 /

на конечном отрезке, с неинтегрируемой особенностью в точке а > 0. Здесь потенциал д(х) — комплекснозначная функция, ^ — комплексное число. Положим ^ = V2 — 1/4 и для определенности Ие V > 0, V = 1, 2,.... Предположим, что д(х)|х — а|тт(0>1-2Ке^ е ¿(0,Т). Класс таких функций д(х) будем обозначать через Ш.

В данной статье исследуется краевая задача ^ = ^(?(х)) для дифференциального уравнения (1) с краевыми условиями:

у(0) = У(Т) = 0

и с дополнительным условием склейки решений около особой точки х = а. При этом рассматриваются произвольные в некотором смысле условия склейки, порождаемые матрицей перехода А = [а^]',к=1,2, которая связывает решения уравнения (1) в окрестности особой точки (подробнее см. § 1). В частном случае, при (^ = 0) рассматриваемые условия склейки соответствуют условию

(а + 0) = А

(а — 0).

Целью данной работы является исследование нелинейной обратной задачи восстановления потенциала д(х) по заданным спектральным данным при условии что а и матрица А заданы и зафиксированы. Доказана единственность восстановления оператора Штурма-Лиувилля, получен алгоритм решения обратной задачи, а также необходимые и достаточные условия ее разрешимости. Метод оператора преобразования, используемый в [1,2] для классических операторов Штурма-Лиувилля, оказывается неудобным для задачи ^. В данной статье используется метод спектральных отображений [3,4].

1. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ

Пусть А = р2 и 1т р > 0. Рассмотрим функции

с (х, А) = (х — а)^' ^ сзк(р(х — а))2к, з = 1, 2,

к=0

где ^ = (—1)''V + 1/2, сюС20 = ^)-1, с]к = (—1)кс,о ( П ((2* + ^)(2* + ^ — 1) — ^))

Здесь и в дальнейшем z^ = exp(p(ln|z| + i arg z)), argz e (—При x > a и x < a функции Cj(x, Л) являются решениями уравнения (1) при q(x) = 0. Пусть функции Sj(x, Л), j = 1, 2 являются решениями следующих интегральных уравнений при x > a и x < a:

Г x

Sj (x, Л) = Cj (x, Л) + / g(x, t, (t, Л) dt,

где д(ж, Л) = С^, Л)С2(ж, Л) — С(ж, Л)С2(^, Л). Функции Sj(ж, Л) образуют фундаментальную систему решений уравнения (1) и при каждом фиксированном ж являются целыми по Л порядка 1/2.

Пусть задана матрица А = [а^]^к=1)2, det А = 0 с комплексными а^. Введем функции {<7j (ж, Л)}=1)2, ж е J- и , 3± = {±(ж — а) > 0} по формуле

Oj (x,Л) = <

sj

x e J-,

EakjSk(ж, Л), ж е . 1^=1

Определение 1. Будем говорить, что решение у(ж, Л) уравнения (1) удовлетворяет условию склейки порожденному матрицей перехода А, если у(ж, Л) может быть представлено в виде у(ж, Л) = ^2=1 X (А)7j (ж, Л), для всех ж е и где коэффициенты Xj (Л) не зависят от ж. Введем числа , к = 1, 2 по формуле

Си С12" 1 "—aii e2niv + a22e-2niV —i(aiieniV — a22 e-niV)"

.61 62. 2 sin nv —i(aneniv — a22e-niv) aii — a22

Обозначим

С (ж, Л) = <2 (0, Л)<1 (ж, Л) — <1 (0, Л)<2 (ж, Л), £ (ж, Л) = <1 (0, Л)<2 (ж, Л) — <2 (0, Л)<1(ж, Л).

Функции С (ж, Л), £(ж, Л) являются решениями дифференциального уравнения (1) при ж е и удовлетворяют начальным условиям С(0, Л) = (0, Л) = 1, С'(0, Л) = £(0, Л) = 0.

Обозначим Д(Л) = £(Т, Л).

Лемма 1. Функция Д(Л) является целой по Л и ее нули {Лп}п>1 совпадают с собственными значениями краевой задачи ^.

Обозначим через тп кратность собственного значения Лп (Лп = Лп+1 = ... = Лп+Шта-1) и положим

1 ди " § = {п : п — 1 е N Лп-1 = Лп} и {1}, Я (ж, Л) = - дЛ^ £ (ж, Л), (ж) = Я (ж, Лп), п е §,

v = 0, mn — 1.

Потребуем, чтобы

aiie

2inv

= a22 •

(2)

Мы будем называть (2) условием регулярности склейки. Функция Д(Л) обладает следующими свойствами: 1) при |р| ^ го

Д(Л) = (Д»(Л) + К1)) -

где

До (Л) = — ¿12 + 62е2гра + С21в2грТ — С11 е2гр(Т-а);

(3)

(4)

2) существуют такие Н > 0, С^ > 0, что | Д(Л)| > С^|р| 1е грТ, при 1т р > Н. Следовательно, нули функции Д(Л) лежат в полосе 1т р < Н;

3) число нулей N функции Д(Л) в прямоугольнике П = {р : 1т р < Н, Ие е [С, С + 1]} ограничено по С;

4) пусть Лп = р2п. Обозначим С5 = {р : |р — рп| > 5,п > 1}. Тогда |Д(Л)| > С|р|-1е-грТ, р е С5;

5) существует последовательность чисел гN ^ го такая, что для достаточно малого 5 > 0 окружности |р| = г N целиком лежат в С$ для всех N;

Рп = рП + О-) ■ (5)

6) пусть {рП} — нули функции До (А) вида (4). Тогда, при п ^ ^

1

-рП -п

Пусть Ф(х, А) — решение уравнения (1) при условиях Ф(0, А) = 1, Ф(Т, А) = 0. Обозначим М(А) = Ф'(0, А). Функции Ф(х, А) и М(А) называются решением Вейля и функцией Вейля для ^ соответственно.

Теорема 1. Зафиксируем п е 8. В окрестности точки А = Ап функция Вейля М(А) имеет представление

т—1 М

М(А)= Е (л-^+угт + МП(А),

где шп — кратность Ап, МП (А) регулярна при А = Ап, коэффициенты Мп+°, V = 0,шп — 1 вычисляются по формулам

— 1

а0,п а0,п

Мп+т„ — 1 —V = — (<п + У^ Мп+т„ — 1 — к— к,п) , V = 1,Шп — 1,

"0,п 4 - 7

к=0

<п := -1 С(°} (Т, Ап), <п := ( +1 ), Д(°+т}(Ап), V = 0,тп — 1

V• (V + Ш'п ) •

и справедливы следующие оценки:

|Мп+°|< С|рп|°+2, п > п*, V = 0,Шп — 1 ■ (6)

Определение 2. Последовательность {Мп}п>1 называется последовательностью Вейля, а набор О := {Ап,Мп}п>1 называется спектральными данными.

Обратная задача. По заданным спектральным данным О := {Ап,Мп}п>1 построить потенциал д(х).

2. РЕШЕНИЕ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ

Для исследования обратной задачи условимся, что наряду с ^ будем рассматривать краевую задачу ££ того же вида, но с другим потенциалом 7. Если некоторый символ 7 обозначает объект, относящийся к задаче ^, то соответствующий символ 7 с волной наверху будет обозначать аналогичный объект, относящийся к задаче ££, а 7 := 7 — 7.

Теорема 2. Если Ап = Лп, Мп = Мп, при всех п > 1, то д(х) = 7(х) почти всюду при 0 < х < Т. Таким образом, задание спектральных данных {Ап,Мп} однозначно определяет потенциал д(х).

Перейдем теперь к построению решения обратной задачи. Будем говорить, что ^ е V, если д(х) е Ш. Обратную задачу будем решать в классе V.

Пусть заданы спектральные данные {Ап,Мп}п>1 из обратной задачи и пусть ^ — некоторая модельная задача со спектральными данными О = {Лп,Мп}п>1. Обозначим

Ап,0 := АП 5 Ап,1 := Лп 5 Мп,0 := Мп 5 Мп,1 := МП5

80 = 8, 81 = 8, шп 0 := шп, шп 1 := Шп,

£п+°,г(х) := Б°(х,Ап,г), <Лп+°,г(х):= Л°(х, Ап,,), п е , V = 0, Шп,, — 1, Я = 0, 1, п( А ) 1 (Б(х, А), Б(х,д)) п ( А ) 1 _( , )

^(х'А'^) := ПМ-А—й-' (х'А'^) := ЯГТГдА^П(х'А'^)'

тп —1

г+°,г := ^ |Мп+р,г |, п е 8,, V = 0, Шп,, — 1,

р=°

а

mn —1

Cn+v : — |Pn,0 — Pn, 11 +

an+v,0

p=v

|Mn+p,0 — Mn+p,!

при n e S0 П S1, mn — mn, v — 0, mn — 1 и Cn :— 1 для остальных n. При i, j — 0,1, n e Sj положим

mn i — 1

1

p=v

An+v,i(x, A) ^^ Mn+p,iD0,p—v A,An,i), Pn+v,i;fc,j (x) — V! d^v A)

— 1

Bn + V,j A) :- ^ ^ ^^n+p,iSn+p— (x)7

p=v

A=An

(7)

где к > 1, V = 0, тп,г — 1. Аналогично обозначим Б (ж, Л,р), Б (ж, Л,р), Ап+^г(ж, Л), Вп+^,г (ж, Л) и (ж), п > 1, к > 1, г, =0,1, заменяя £ (ж, Л) на ¿»"(ж, Л) в веденных обозначениях. Выберем задачу ^ так, чтобы

^Cfc(«М + «м) < го. Теорема 3. Имеют место следующие соотношения:

Е<

k = 1

(8)

S?n,i(x) — Sn,i (x) — ^ (Pn,i;fc,0(x)£fc,0 (x) — pPn,i;fc,1 (x)Sfc,1 (x)) , П > 1, i — 0, 1,

(9)

k = 1

где ряд сходится абсолютно и равномерно по ж е [0, Т].

Пусть — — множество индексов и = (п,г), п > 0, г = 0,1. Для каждого фиксированного ж е [0,Т] определим вектор

"0(ж) = (ж))£еад = (^п,0 (ж),^п,1(ж))п>1

(где T обозначает транспозицию) по формуле

^n,0 (xA — р0 fXn

(x)7 P4 0

Xn 1

Sn,0 (x)N Sn,1 (x)J '

Xn=

Cn1, Cn — 0, 0, Cn — 0.

Если ^n>0, "0n>1 даны, то Sn,0 и Sn>1 можно найти по формуле

Sn,0(x) Sn,1(x)

1 /Cn Л /^n,0(x)

РП v 0 v V^n,1(x)

(10)

Введем также блочную матрицу

Н(x) (HU;v (x))M,vGw

— / Hn,0;k,0 (x) Hn,0;k,1 (x)

Hn,1;k,0 (x) Hn,1;k,1 (x)

u — (n, i), v — (k, j),

n,k>1

где

Hn,0;k,0 (x) Hn,0;k,1 (x)\

Hn,1;k,0 (x) Hn,1;k,1 (x)/ pk V 0 W \Pn,1;fc,0(x) Pn,1;k,1 (x^ \0 —1

Аналогично определяются -0(x), H(x) заменой в предыдущих определениях Sn,j(x) на <S,n,j(x) и

Pn,i;fc,j (x) на Pn,i;fc,j (x)-

Рассмотрим банахово пространство B ограниченных последовательностей вида v — [vu]u(Ew с нормой ||v||B — sup |vu|. При каждом фиксированном x e [0, a) U (a, T] матрицы H(x) и H(x) порождают

m£W

операторы Н(ж) и Н(ж) соответственно, действующие из В в В и являющиеся линейными ограниченными операторами.

1

Теорема 4. При каждом фиксированном x е [0, T] вектор -0(x) е B удовлетворяет соотноше-

^(x) = (I - Н(х)Жх) (11)

в банаховом пространстве B, где I — единичный оператор. В самом деле, запишем (9) в виде

те

Sn,o(x) - Sn,l(x) = Sn,0(х) - (х) - ((pPn,0;fc,0(x) - Pn,1;fc,0(x)) (x) - Sk,i(x)) +

k = 1

+ (pPn,0;M(x) - pPn,1;fc,0 (x) - Pn,0;fc,l(x) + Pn,1;fc,1 (x)) Sjfe,1 (x)) ,

те

Sn,1 (x) = Sn,1 (x) - ^ (-Pn,1;fc,0 (x)(Sk,0 (x) - Sjfe,1 (x)) + (-Pn,1;fc,0 (x) - Pn,1;fc,1 (x)) Sfc,1(x)) . k=1

Учитывая введенные обозначения, получаем

(x) = ^n,i(x) - Hn)i;fcj(x)^fc,j(x), (n,i) е w, (12)

что равносильно (11).

При каждом фиксированном x е [0, T] соотношение (11) можно рассматривать как линейное уравнение относительно -0(x). Это уравнение называется основным уравнением обратной задачи. Таким образом, нелинейная обратная задача сводится к решению линейного уравнения.

Теорема 5. При каждом фиксированном x е [0, a)U(a, T] оператор I-Н(x) имеет ограниченный обратный оператор, то есть основное уравнение (11) однозначно разрешимо. Используя решение основного уравнения, можно построить q(x). Обозначим

те

£0(x) := (ßfc^x)^(x) - BM(x)Sk,1(x^ , e(x) := 2e0(x). (13)

j =1

Теорема 6. Имеет место соотношение

q(x) = g(x) + e(x). (14)

Таким образом, мы получили следующий алгоритм решения обратной задачи. Алгоритм. Заданы спектральные данные D = {An,Mn}.

(i) Выбираем L так, чтобы было справедливо (8) и строим -0(x), Н(x).

(ii) Находим -0(x) из уравнения (11)

и вычисляем Sn (x), n > 1, j = 0,1 по формуле (10).

(iii) находим q(x) из формул (7), (13), (14).

Сформулируем теперь необходимые и достаточные условия разрешимости обратной задачи. Теорема 7. Для того чтобы комплексные числа {An,Mn} были спектральными данными для некоторой краевой задачи L е V, необходимо и достаточно, чтобы

1) существовала такая задача L, что справедливы (5), (6), (8);

2) (Условие Р) при каждом фиксированном x е [0, a) U (а, T] линейный ограниченный оператор I - Н(x), действующий из B в B имеет ограниченный обратный;

3) e(x)|x - a|mm(°>1-2Re v) е L(0,T), где функция e(x) строится по формуле (13).

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект 13-01-00134). Библиографический список

1. Марченко В. А. Операторы Штурма-Лиувилля и их 3. Юрко В. А. Введение в теорию обратных спектраль-приложения. Киев : Наук. думка, 1977. 330 с. ных задач. М. : Физматлит, 2007. 384 с.

4. Yurko V. A. Method of Spectral Mappings in the

2. Левитан Б. М. Обратные задачи Штурма-Лиувил- Inverse Problem Theory, Inverse and Ill-posed Problems ля. М. : Наука, 1984. 239 с. Series. Utrecht : VSP, 2002. 303 p.

Necessary and Sufficient Conditions for the Solvability of the Inverse Problem for Sturm-Liouville Operators with a Nonintegrable Singularity Inside a Finite Interval

A. E. Fedoseev

Saratov State University, Russia, 410012, Saratov, Astrahanskaya st., 83, [email protected]

The inverse spectral problem of recovering Sturm-Liouville operators on a finite interval with a nonintegrable Bessel-type singularity in an interior point from the given spectral data is studied. A corresponding uniqueness theorem is proved, a constructive procedure for the solution of the inverse problem is provided. Necessary and sufficient conditions for the solvability of the inverse problem are obtained.

Key words: Sturm-Liouville operators, inverse problems, nonintegrable singularity, Weyl function, spectral data.

References

1. Marchenko V. A. Sturm-Liouville operators and applications. Basel, Birkhiiser, 1986. 367 p. (Russ. ed.: Marchenko V. A. Operatory Shturma-Liuvillia i ikh prilozheniia. Kiev, Naukova Dumka, 1977. 331 p.)

2. Levitan B. M. Inverse Sturm-Liouville problems. Utrecht, VNU, 1987, 240 p. (Russ. ed.: Levitan B. M. Obratnye zadachi Shturma-Liuvillia. Moscow, Nauka, 1984, 239 p.)

3. Yurko V. A. Vvedenie v teoriiu obratnykh spekt-ral'nykh zadach [Introduction to the theory of inverse spectral problems]. Moscow, Fizmatlit, 1984, 384 p. (in Russian).

4. Yurko V. A. Method of Spectral Mappings in the Inverse Problem Theory, Inverse and Ill-posed Problems Series. Utrecht, VSP, 2002, 303 p.