Об обратной задаче для дифференциальных операторов на графе-еже Текст научной статьи по специальности «Математика»

complex variables. Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, N.J., 1965, 317 p. (Rus. ed. : Gunning R., Rossi Kh. Analiticheskie funktsii mnogikh kompleksnykh peremennykh. Moscow, Mir, 1969, 395 p.) 12. Hermander L. An introduction to the theory of functions of several complex variables (Rus. ed. :

Hermander L. Vvedenie v teoriyu funktsii neskol'kikh kompleksnykh peremennykh. Moscow, Mir, 1968, 279 p.) 13. Krasichkov-Ternovskii I. F. Local description of closed ideals and submodules of analytic functions of one variable. II. Mathematics of the USSR-Izvestiya, 1980, vol. 14, no. 2, pp. 289-316.

УДК 517.984

ОБ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ

НА ГРАФЕ-ЕЖЕ

В. А. Юрко

Доктор физико-математических наук, профессор кафедры математической физики и вычислительной математики, Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского, [email protected]

Исследуется обратная спектральная задача для дифференциальных операторов Штурма-Лиувилля на графе-еже с обобщенными условиями склейки во внутренних вершинах и с краевыми условиями Дирихле в граничных вершинах. Приведена теорема единственности восстановления потенциалов по заданным спектральным характеристикам, получено конструктивное решение обратной задачи.

Ключевые слова: граф-еж, операторы Штурма-Лиувилля, обратные спектральные задачи.

1. В статье исследуется обратная спектральная задача для дифференциальных операторов второго порядка на графе-еже, имеющих цикл и произвольное число граничных ребер. При этом рассматриваются обобщенные условия склейки во внутренних вершинах и краевые условия Дирихле в граничных вершинах. Прямые и обратные задачи для дифференциальных операторов на графах (пространственных сетях) часто возникают в естествознании и технике (см. [1-4]). Отметим, что обратные спектральные задачи восстановления дифференциальных операторов на деревьях (т. е. на графах без циклов) исследовались в [3-4]. Более сложные задачи на графах с циклом изучались в [5-7] и других работах, но только в весьма частном случае так называемых стандартных условий склейки. В частности, задачи на графе-еже рассматривались в [6]. В данной статье рассматриваются операторы Штурма-Лиувилля на графе-еже с обобщенными условиями склейки (см. определения в п. 2). Этот класс условий склейки встречается в приложениях и порождает новые качественные трудности в исследовании нелинейных коэффициентных обратных задач. Для изучения этого класса обратных задач мы развиваем идеи метода спектральных отображений [8-9]. Кроме того, важную роль в исследовании играет вспомогательная обратная задача для квазипериодических операторов с условиями разрыва во внутренних точках. Основными результатами данной работы являются теорема единственности и конструктивная процедура построения решения обратной задачи для операторов Штурма-Лиувилля на графе-еже с обобщенными условиями склейки во внутренних вершинах и с краевыми условиями Дирихле в граничных вершинах.

2. Рассмотрим компактный граф G в Rm с множеством ребер E = {e0,...,er}, где e0 — цикл, E' = {ei,..., er} — граничные ребра. Пусть {v15..., vr+N} — множество вершин, где V = {v1,..., vr}, vk ek — граничные вершины, а U = {vr+1,..., vr+N} — внутренние вершины, U = E' П eo. Цикл eo состоит из N частей: e0 = er+1 U ... U er+N, er+k = [vr+k,vr+k+1 ], k = 1 , N, vr+N+1 := vr+1. Каждое граничное ребро ej, j = 1 , r имеет начальную точку в vj и конечную точку на множестве U. Множество E' состоит из N групп ребер: E' = E1 U ... U , П e0 = vr+k. Пусть rk — число ребер в ; r = r1 + ■ ■ ■ + rN. Обозначим m0 = 1, mk = r1 + ■ ■ ■ + rk, k = 1,N. Тогда = {ej}, j = mk-1 + 1,mk. Ребро ej <G представляет собой отрезок ej = [vj,vr+k]. Например, граф G с N = 3 и r = 4 изображен на рисунке.

Пусть Т? — длина ребра в?, з = 1, г + N, а Т := Тг+\ + ... + Тг+^ — длина цикла в0. Положим Ь0 = 0, Ьк = Тг+1 + ... + Тг+к, к = 1, N. Тогда Ь^ = Т. Каждое ребро в?, з = 1, г + N параметризуется параметром х? е [0,Т?], где х? = 0 соответствует вершине V?. Весь цикл в0 параметризуется параметром х е [0,Т], где х = хг+? + Ь?^ при хг+? е [0,ТГ+?], з = 1,N.

Интегрируемая функция У на С имеет вид У = {yj}?= , где функция yj(xj), Xj е [0,Т?] определена на ребре вj. Функция у(х), х е [0, Т], на цикле в0 имеет вид у(х) = уг+? (хг+?), з = 1,N. Пусть Я = }?= — интегрируемая вещественная функция на С; Q называется потенциалом. Функция #(х), х е [0, Т], имеет вид д(х) = (хг+?), з = 1,N. Рассмотрим следующее дифференциальное уравнение на С:

-у?(х?) + &(х?)у?(х?) = Лу?(х?), х? е [0,Т?], з = 1,г + N, (1)

где Л — спектральный параметр, функции у?, у?, з = 1, г + N — абсолютно непрерывны на [0,Т?] и удовлетворяют следующим условиям склейки в каждой внутренней вершине д = г + 1, г + N:

у^+1(0) = у?(Т) для всех в? е ^-г+ъ

у;+1 (0) - Л;+1 ум+1 (0)= £ в?у?(Т),

во ее' , ..

о /Х — Г+ 1

(2)

причем уг+^+1 := уг+1, +1 := Лг+1, +1 := Еь Е;-г+1 := Е;-г+1 и в;. Здесь а?, Ь? и Л? — вещественные числа, а?в? = 0. Для определенности пусть а?в? > 0. Условия (2) являются обобщениями, так называемых стандартных условий склейки (см. [6]), где а? = в? = 1, Л? = 0.

Рассмотрим краевую задачу В0 на С для уравнения (1) с условиями склейки (2) и с краевыми условиями Дирихле в граничных вершинах V;!.,..., vr:

у? (0) = 0, з =1~Т.

Через Л0 = {Лп0}п>0 обозначим собственные значения (с учетом кратностей) задачи В0. Рассмотрим также краевые задачи , р = 1,г, 1 < < ... < г, для уравнения (1) с условиями склейки (2)

и с краевыми условиями:

ук (0)=0, к = , у? (0)=0, з = 1,г, 3 =

Пусть Л^1 := {Л }п>0 — спектр задачи .

Важную роль при решении обратных задач на графе играет вспомогательная квазипериодическая краевая задача на цикле с условиями разрыва во внутренних точках. Параметры этой задачи зависят от параметров задачи В0. Точнее, введем вещественные числа 7?, п? (з = — 1), Л, а, в по

В. А. Юрко. Об обратной задаче для дифференциальных операторов на графе-еже формулам

a

Yj = ' Пз = Yjhr+j+i, j = 1,N - 1, h = hr+i,

Pr+j

N-l N-l N-1 N

a = ar+N Yl Yj П ^r+j, в = Yj П ^r+j •

j=1 j=1 j = 1 j = 1

(3)

Ясно, что ав > 0, > 0, ^ = — 1. Используя эти параметры, рассмотрим краевую задачу В на цикле в0:

-у''(х) + д(х)у(ж) = Ау(х), х е (0, Т), (4)

у(0) = ау(Т), у'(0) - %(0) = ву'(Т), (5)

y(bj + 0) = Yjy(bj - 0), y'(bj + 0) = Y-1 y'(bj - 0) + njy(bj - 0), j = 1, N - 1. (6)

j

Пусть S(x, Л) и C(x, Л) — решения уравнения (4), удовлетворяющие условиям разрыва (6) и начальным условиям S(0, Л) = C'(0, Л) = 0, S'(0, A) = C(0, Л) = 1. Положим p(x, A) = C(x, Л) + hS(x, Л). Собственные значения {Лп}n>1 задачи B совпадают с нулями характеристической функции:

а(Л) = ap(T, Л) + eS'(T, Л) - (1 + a£). (7)

Обозначим ¿(Л) := S(T, Л), ф(Л) = a^(T, Л) - в£'(T, Л). Все нули {zn}n>1 целой функции ¿(Л)

• • d •

являются простыми, т.е. d(zn) = 0, где ¿(Л) := — d^). Положим Mn = -d1 (zn).d(zn), где

d1 (Л) := C(T, Л). Последовательность {Mn}n>1 называется последовательностью Вейля. Обозначим = signQ(zn), О = {ш„}n>1.

Выберем и зафиксируем по одному ребру e^ G E из каждого блока E, i = 1,N, т. е. mi-1 + 1 < ^ < mi. Через £ := {k : k = ,..., } обозначим множество индексов ^, i = 1, N. Пусть aj и ^j, j = 1,r + N, известны априори. Обратная задача ставится следующим образом.

Обратная задача 1. Даны 2N+r-N спектров Aj, j = 0, r, , p = 2, N, 1 < v1 < ... < < r,

Vj G £ и О, построить потенциал Q на G и H := [hj]j=r+1 r+N.

Эта обратная задача является обобщением классических обратных задач для операторов Штурма-Лиувилля на интервале и на графах.

Сформулируем теорему единственности решения обратной задачи 1. Для этого наряду с q рассмотрим потенциал Условимся, что если некоторый символ а обозначает объект, относящийся к q, то а будет обозначать аналогичный объект, относящийся к

Теорема 1. Если Aj = Aj, j = 0, r, AVlv..;Vp = ЛVlv..;Vp, p = 2,N, 1 < v1 < ... < vp < r, Vj G О = О, wo Q = Q и H = Hi.

Эта теорема будет доказана в п. 4. Мы также дадим там конструктивную процедуру решения обратной задачи 1. В п. 3 мы изучим свойства спектральных характеристик и приведем вспомогательные утверждения.

3. Пусть 5(х, А), С(х, А), ] = 1, г + N, х е [0, Т] — решения уравнения (1) на ребре при начальных условиях:

5 (0, А) = С (0, А) = 0, Б'3 (0, А) = С (0, А) = 1. (8)

При каждом х е [0, Т] функции )(х, А), С^^х, А), ^ = 1, г + N, V = 0,1 являются целыми по А порядка 1/2.

Теорема 2. При к = 1, N — 1, V = 0,1 справедливы соотношения

5м (Ьк+1 — 0, А) = 7к5(Ьк — 0, А)сГ+)к+1 (Тг+к+ь А) + 7-15'(6* — 0, А)^) (Тг+к+ь А) +

А), (9)

См(Ьк+1 - 0, А) = 7кС(Ьк - 0, А)сГ+}к+1 (Тг+к+1, А) + 7-1 С'(Ьк - 0, А)^Г+)/к+1 (Тг+к+ь А) +

+ПкС(Ьк - 0, А)5(+)к+1(Тг+к+1, А). (10)

В самом деле, зафиксируем k = 1,N — 1. Let x G [bk], т.е. x = xr+k+i + bk, xr+k+i G G [0, Tr+k+1 ]. Используя фундаментальную систему решений Sr+k+1 (xr+k+1,A), Cr+k+1 (xr+k+1, A), на er+k+1, получаем:

S(v)(x, A) = A(A)Cr+}k+1 (xr+k+1, A) + B(A)Sr+>k+1 (xr+k+1, A), v = 0,1.

Учитывая условия (8) при j = r + k + 1, находим коэффициенты A(A) и B(A) и приходим к (9). Соотношение (10) доказывается аналогично.

Пусть A = р2, т := Imр > 0, П := {р : т > 0}, Щ := {р : arg р G [S, п — 5]}, S G (0,п/2). Следующая теорема описывает асимптотическое поведение S(x, A) и C(x, A) на каждом интервале ) (см. [10]).

Теорема 3. Фиксируем j = 1, N — 1. При x G (bj, bj+Д v = 0,1, m =1, 2, |р| ^ го имеем: S (v) (x, A) = + ± E (II £) - (x)) ) +0(р^ + т-3етх),

d^ ( Sin рx ^ /Л C-) Sin^! ,...;«fe (x)^ | O(nv+m-3erx)

k W V р ^ ^ ^ vilc+J р

f k=1 1<pi <...<«k <j i=1 f

cos Px + ^ ^ (П ^(ра«!

с(v> (x, A) = ( П 4+) dxv (cos рx + £ £ (П 7t) ^(р««,...,«* (x))) + +0(р'+т-3eTX), k=1 k=1 1<«! <...<«k <j i=1

где

-1 k

± := , a«i,...,«k (x) := 2 ¿(—1)i-1 b« + (—1)k:

i=1

Используя теорему 1, получаем при |р| ^ р G Щ:

N-1

a(A) = e-ipT[1], d(A) = — 2р e-ipT[1], C = П j .

Кроме того,

2 L л V , 2^р L J' И ^

J=1

(11)

а(А) = 0(етТ), <А) = 0(р-1 етТ), |р| ^ го, р е П. (12)

Фиксируем к = 1, г. Пусть Фк = {Фк}}^=1 — решение уравнения (1), удовлетворяющее (2) и краевым условиям:

Фк^-(0, А) = }, 3 =1ТГ, (13)

где } — символ Кронекера. Обозначим Мк(А) := Ф^к(0, А), к = 1, г. Функция Мк(А) называется функцией Вейля относительно граничной вершины г>к. Положим М}(А) := Фк}-(0, А), М}(А) := Ф'^.(0, А). Тогда

Фк}(ж, А) = Мк}(А)С(ж, А) + М0(А)5}(ж, А), ж е [0,7}], з = 1, г + N к = 1, г. (14)

В частности, М^ к(А) = 1, М0к(А) = Мк(А). Подставляя (14) в (2) и (13), получаем линейную алгебраическую систему ^ к относительно М} (А), V = 0,1, з = 1, г + N. Определитель До (А) системы Б к не зависит от к и имеет вид

N к

До (А) = а(А)(ао(А) + £ аМ1 (А^ ^ (А^), (15)

к=1 1<^1 <N ¿=1 вз еЕ^.

где

*(а) = п(а ^ (т ,а)), о, (л) =

¿=1

в, (Т, ,Л)

а ^(Т,,Л)'

ао(Л) = а(Л), а1 (Л) = ай(Л).

(16)

(17)

Отметим, что коэффициенты а0(Л) и (Л) в (17) зависят только от (Т,, Л) и С^^ (Т,, Л) при

3 = г + 1, г + N, и (17) следует из теоремы 2. Нам не потребуется конкретных формул для остальных коэффициентов аМ1 (Л). Функция Д0(Л) является целой по Л порядка 1/2, и ее нули совпадают с собственными значениями краевой задачи В0. Функция Д0 (Л) называется характеристической функцией для В0. Пусть Д^1 (Л), р = 1, г, 1 < < ... < ^ < г получаются из Д0(Л) заменой ^}(Т,, Л) на (Т,, Л) при з = VI,..., V = 0,1. Точнее,

Д,.

N

,(Л) = ^ (Л)( а0(Л) + £ ^ (Л)х

к=1 1<^1 ^

к

П Е

О, (Л)+ £ (Л))),

0(

где

^1,..,*, (Л)= П (а, ^ (Т, ,Л)) П (а, С, (Т ,Л)), 00 (Л) =

,=1, ,'=^1

в, С, (Т, ,Л) а, С, (Т, ,Л)

(18)

(19)

Функция Д^1 (Л) является целой по Л порядка 1/2, и ее нули совпадают с собственными значениями краевой задачи . Функция Д^1 ,...^р (Л) называется характеристической функцией для

Решая алгебраическую систему по формулам Крамера, получаем М-,(Л) = Д-,(Л)/Д0(Л), 5 = 0,1, з = 1, г + N, где определитель Д-, (Л) получается из Д0 (Л) заменой столбца при М-, (Л) на столбец свободных членов. В частности,

М- (Л) = -Равномерно по ж, £ [0,Т,] имеем (см. [8]):

Д-(Л) Д0(Л)'

к = 1, г.

, Л) = -^((гр^ ехр(грж,)[1] — (—гр)^ ехр(—грж,)[1]), р £ П, , 2гр V /

1

С^^(ж,, Л) = ^((гр)^ ехр(грж,)[1] + (—гр)^ ехр(—грж,)[1]^, Кроме того, при каждом фиксированном жк £ [0,Тк):

р £ П,

(20)

|р| ^ го, (21) |р| ^ го. (22)

(жк, Л) = (гр)^ ехр(гржк)[1], р £ Щ, |р| ^ го.

В частности, Мк(Л) = (гр)[1], р £ Щ, |р| ^ го.

Используя (15), (21), (22), (11) и (12), известным методом (см., например, [9]) получаем следующие свойства характеристической функции Д0(Л) и собственных значений Л0 краевой задачи В0.

1. При р £ П, |р| ^ го,

r+N

Д0(Л) = о(|р|-г ехр (т^Т,-,=1

2. Существуют к > 0, С^, > 0, такие, что

|Д0(Л)| > Сл|р|-Г ехр (т^Т,-

,=1

r+N

X

7 = ^1 .....V

р

при т > h. Следовательно, собственные значения Ап0 = рПо лежат в области 0 < т < h.

3. При n ^ ж

рп0 = рПо + O — ) 5

где АП0 = (рП0)2 — собственные значения краевой задачи B0 с Q = 0 и H = 0.

Характеристические функции AV1 (А) имеют аналогичные свойства. В частности, при р G П, |р| ^ ж, имеем:

r+N

Avi.....Vp(А) = о(|p|p-r exp (^T^).

j=i

Используя свойства характеристических функций и теорему Адамара, получаем, что задание спектра Л0 однозначно определяет характеристическую функцию A0(А), т.е. если Л0 = Л0, то Ao (А) = A o (А). Аналогично, если Лv1,...,vp = Л„1 ,...,vp, то Av1 ,...,vp (А) = Av1 ,...,vp (А). Характеристические функции могут быть построены с помощью соответствующих бесконечных произведений (подробнее см. [8]).

4. В этом параграфе мы получим конструктивную процедуру решения обратной задачи 1 и докажем его единственность.

Фиксируем k = 1, r и рассмотрим следующую вспомогательную обратную задачу IP(k) на ребре ek.

IP(k). Даны два спектра Л0 и Лк, построить qk(xk), xk G [0, Tk].

Теорема 4. Фиксируем k = 1,r. Задание двух спектров Л0 и Лк однозначно определяет потенциал qk на ребре ek.

Решение задачи IP(k) может быть получено методом спектральных отображений [8-9].

Теперь изучим следующую вспомогательную обратную задачу IP(0) на цикле e0. Рассмотрим краевую задачу B вида (4)-(6), где параметры задачи B0 определяются из (3), причем а,в известны.

IP(0). Даны а(А), ¿(А) и О, построить q(x), x G [0,T], h, Yj и nj, j = 1,N — 1.

Эта обратная задача решена в [10], где получено следующее утверждение.

Теорема 5. Задание а(А), ¿(А) и О однозначно определяет q(x), h, Yj и nj, j = 1, N — 1. Решение задачи IP(0) может быть найдено по следующему алгоритму.

Алгоритм 1.

1. Строим £(А) = а(А) + (1 + aß).

2. Находим нули (zn}n>1 целой функции ¿(А).

3. Вычисляем Q(zn) по формуле Q(zn) =

v/D2 (zn) — 4ав.

4. Строим di(zn) = (D(zn) + Q(zn))/(2a).

5. Вычисляем последовательность Вейля {Mn}n>1 по формуле Mn = —d1(zn)/c?(zn).

6. По данным {zn,Mn}n>1 строим q(x),Yj,nj, j = 1,N — 1, решая разрывную обратную задачу (см. [11]).

7. Находим S(Т,А), S'(T, А) и C(Т,А).

8. Вычисляем h, используя (7).

Перейдем к решению обратной задачи 1. Сначала дадим доказательство теоремы 1. Пусть Лк = Лk, k = 0, r, Л^,...,Vp = ЛV1 ,...,Vp, p = 2, N, 1 < v1 < ... < < r, Vj G C и О = О. Тогда

Ak (А) = A k (А), k =Ü"F, Av1 ,...,vp (А) = A V1 ,...,vp (А), p = 2¡TÑ, 1 < V1 <...<Vp < r, Vj G C

Кроме того, в силу (3) имеем Yj = Yj, j = 1,N — 1, а = а, в = ß- Используя теорему 4, получаем qk(xk) = gk(xk) п.в. на [0,Tk], и, следовательно,

Ck(xk, А) = (7k(xk, А), Sk(xk, А) = Sk(xk,А), k = 1,r. (23)

В силу (16), (19) и (23) имеем:

а(Л) = а(Л), (Л) = ст^ (Л), О? (Л) = О? (Л), «0 (Л) = О0 (Л), з = 1т.

Используя (15) и (18), получаем, в частности, а0(Л) = а(Л), а1(Л) = а1 (Л). С учетом (17) это дает

а(Л) = а(Л), ¿(Л) = ¿(Л).

Из теоремы 5 следует, что ^(хк) = а(хк) п. в. на [0, Тк], к = г + 1, г + N, Н = Н, п? = П?, з = 1, N — 1. Учитывая (3), получаем Н = Н. Теорема 1 доказана.

Решение обратной задачи 1 может быть найдено по следующему алгоритму. Алгоритм 2. Даны Лк, к = 0, г, Л^1 , р = 2, N, 1 < < ... < рр < г, V? е С, О.

1. Строим Ак(Л) и (Л).

2. Вычисляем 7?, з = 1,N — 1, а и в, используя (3).

3. При каждом к = 1,г решаем обратную задачу 1Р(к) и находим (хк), хк е [0, Тк].

4. Для к = 1,г строим Ск(хк, Л) и (хк, Л), хк е [0, Тк].

5. Вычисляем а(Л) и ¿(Л), используя (15), (17) и (18).

6. По а(Л), ¿(Л) и О строим (хк), [0,Тк], к = г + 1,г + N, Н и п?, з = Г.

7. Используя (3), строим Н.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 13-01-00134).

Библиографический список

1. Покорный Ю. В., Пенкин О. М., Прядиев В. Л., Боровских А. В., Лазарев К. П., Шабров С. А. Дифференциальные уравнения на геометрических графах. М.: Физматлит, 2004.

2. Langese J. E., Leugering G., Schmidt J. P. G. Modelling, analysis and control of dynamic elastic multilink structures. Boston, Birkhauser, 1994.

3. Belishev M. I. Boundary spectral inverse problem on a class of graphs (trees) by the BC method // Inverse Problems. 2004. Vol. 20. P. 647-672.

4. Yurko V. A. Inverse spectral problems for Sturm-Liouville operators on graphs // Inverse Problems. 2005. Vol. 21. P. 1075-1086.

5. Yurko V. A. Inverse problems for Sturm-Liouville operators on graphs with a cycle // Operators and Matrices. 2008. Vol. 2, № 4. С. 543-553.

6. Юрко В. А. Обратная задача для операторов

Штурма-Лиувилля на графе-еже // Мат. заметки. 2011. Т. 89, № 3. С. 459-471.

7. Yurko V. A. Inverse problems for Sturm-Liouville operators on bush-type graphs // Inverse Problems. 2009. Vol. 25, № 10, 105008. 14 p.

8. Юрко В. А. Введение в теорию обратных спектральных задач. М. : Физматлит, 2007.

9. Yurko V. A. Method of Spectral Mappings in the Inverse Problem Theory. Inverse and Ill-posed Problems Series. Utrecht : VSP, 2002.

10. Yurko V. A. Quasi-periodic boundary value problems with discontinuity conditions inside the interval // Schriftenreiche des Fachbereichs Mathematik, SM-DU-767. Universitat Duisburg-Essen, 2013. P. 1-7.

11. Yurko V. A. Integral transforms connected with discontinuous boundary value problems // Integral Transforms and Special Functions. 2000. Vol. 10, № 2. P. 141-164.

On an Inverse Problem for Differential Operators on Hedgehog-Type Graphs

V. A. Yurko

Saratov State University, 83, Astrakhanskaya str., 410012, Saratov, Russia, [email protected]

An inverse spectral problem is studied for Sturm-Liouville differential operators on hedgehog-type graphs with generalized matching conditions in the interior vertices and with Dirichlet boundary conditions in the boundary vertices. A uniqueness theorem of recovering potentials from given spectral characteristics is provided, and a constructive solution for the inverse problem is obtained.

Key words: hedgehog-type graphs, Sturm-Liouville operatos, inverse spectral problems.

References

1. Pokornyj Ju. V., Penkin O. M., Prjadiev V. L., Borovskih A. V., Lazarev K. P., Shabrov S. A. Differencial'nye uravnenija na geometricheskih grafah [Differential equations on the geometric graphs]. Moscow, Fizmatlit, 2004 (in Russian).

2. Langese J. E., Leugering G., Schmidt J. P. G. Modelling, analysis and control of dynamic elastic multi-link structures. Boston, Birkhauser, 1994. DOI : 10.1007/978-1-4612-0273-8.

3. Belishev M. I. Boundary spectral inverse problem on a class of graphs (trees) by the BC method. Inverse Problems, 2004, vol. 20, pp. 647-672. DOI: 10.1088/0266-5611/20/3/002.

4. Yurko V. A. Inverse spectral problems for Sturm-Liouville operators on graphs. Inverse Problems, 2005, vol. 21, pp. 1075-1086. DOI : 10.1088/02665611/21/3/017.

5. Yurko V. A. Inverse problems for Sturm-Liouville operators on graphs with a cycle. Operators and Matrices, 2008, vol. 2, no. 4, pp. 543-553. DOI: 10.7153/oam-02-34.

6. Yurko V. A. Inverse problem for Sturm-

Liouville operators on hedgehog-type graphs. Math. Notes, 2011, vol. 89, no. 3, pp. 438-449. DOI : 10.1134/S000143461103014X.

7. Yurko V. A. Inverse problems for Sturm-Liouville operators on bush-type graphs. Inverse Problems, 2009. vol. 25, no. 10, 105008, 14 p. DOI: 10.1088/02665611/25/10/105008.

8. Yurko V. A. Vvedenie v teoriju obratnyh spektral'nyh zadach [Introduction to the inverse spectral problems theory]. Moscow, Fizmatlit, 2007 (in Russian).

9. Yurko V. A. Method of Spectral Mappings in the Inverse Problem Theory. Inverse and Ill-posed Problems Series. Utrecht, VSP, 2002.

10. Yurko V. A. Quasi-periodic boundary value problems with discontinuity conditions inside the interval. Schriftenreiche des Fachbereichs Mathematik, SM-DU-767, Universitat Duisburg-Essen, 2013, pp. 1-7.

11. Yurko V. A. Integral transforms connected with discontinuous boundary value problems. Integral Transforms and Special Functions, 2000, vol. 10, no. 2, pp. 141-164. DOI : 10.1080/10652460008819282.