CC BY
27
УДК 519.1
НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ ФАСЕТНОСТИ ГРЕБНЕВЫХ НЕРАВЕНСТВ ДЛЯ МНОГОГРАННИКА СВЯЗНБ1Х 2£>ФАКТОРОВ
В.А. Мищенко
In this paper a polytope — convex hull of connected /г-factors, where k is even, is considered. A necessary condition are derived, under which a comb inequality defines a facet of the polytope. It restrict the number of combs, which pretend to induce a facet.
1. Введение
В последние годы рядом авторов активно развивается полиэдральный подход к решению задач дискретной оптимизации (ДО), согласно которому с задачей ассоциируется выпуклая оболочка векторов инциденций допустимых решений [5]. При этом вершины получающегося многогранника и допустимые решения задачи находятся во взаимно-однозначном соответствии, что позволяет применять для ее решения методы линейного программирования (ЛП) и целочисленного линейного программирования. Однако, как правило, задача построения полного линейного описания выпуклой оболочки достаточно сложна как с теоретической, так и с алгоритмической точки зрения. Но даже если такое описание имеется, применение аппарата ЛП существенно затрудняется большим количеством ограничений. Поэтому ограничения, участвующие в линейном описании многогранника, целесообразно использовать в качестве отсекающих плоскостей, отталкиваясь от того или иного релаксационного множества. В связи с этим полезным является даже частичное линейное описание. Особую роль при этом играют опорные неравенства, порождающие грани максимальной размерности (фасеты) многогранника задачи. Важность таких фасетных неравенств объясняется следующими соображениями: во-первых, эти неравенства (с точностью до эквивалентности) входят в каждую линейную систему,
0 1999 В.А. Мищенко
E-mail: [email protected]
Омский государственный университет
описывающую многогранник; во-вторых, они являются в известном смысле «достаточно сильными» отсечениями, что подтверждается результатами, полученными в последние годы при решении дискретных экстремальных задач [9].
В данной работе рассматривается многогранник связных ^-факторов полного графа. Под ^-фактором полного n-вершинного графа (к < га, кп - четно) понимается его остовный однородный степени к подграф. Заметим, что при к = 2 этот многогранник является многогранником гамильтоновых циклов симметричной задачи коммивояжера, и поэтому его можно рассматривать как обобщение последнего.
Эдмондсом и Джонсоном в [8] было дано линейное описание выпуклой оболочки ^-факторов для произвольного к (без условия связности).
В настоящее время известно большое количество классов фасетных неравенств для многогранника связных 2-факторов [11, 12], хотя его полное линейное описание не найдено. Условие связности оказалось довольно трудным препятствием на этом пути.
Важный класс полупространств,опорных к многограннику, ассоциированному с задачей ДО, образуют такие, нормали которых суть векторы инциден-ций различных подграфов полного графа. Неравенства, порождающие такие полупространства, называются ранговыми. Характерной особенностью ранговых неравенств является то, что они образуют множества всех опорных неравенств с коэффициентами 0 и 1 в левой части. Для многогранника связных ^-факторов при к = 2 М.Гретшелем и В.Паллейбланком в [12] полностью описан класс фасетных ранговых неравенств. Этот класс, содержащий, в частности, широко известные неравенства 2-сочетаний (введенные Эдмондсом в [7]), совпадают с множеством простых деревьев клик [12]. При к > 2 вопрос о полной характеризации ранговых неравенств, порождающих фасеты многогранника связных ^-факторов, остается открытым.
В [4] получены достаточные и ряд необходимых условий фасетности ранговых неравенств для этого многогранника, с помощью которых выделены три класса фасетных неравенств. Структура левых частей последних позволяет говорить, что полученные результаты являются обобщающими по отношению к случаю к = 2. Этими классами являются так называемые тривиальные фасеты, совпадающие с ограничениями единичного куба, неравенства, порожденные кликами, и неравенства, порожденные графами Эдмондса [7] (при некоторых дополнительных условиях).
В данной работе рассматриваются ранговые неравенства, порожденные так называемыми простыми гребнями, которые являются обобщением графов Эдмондса. В [10] показано, что при к = 2 гребневые неравенства порождают фасеты многогранника симметричной задачи коммивояжера. Для этих неравенств в [3] получены необходимые условия фасетности относительно многогранников связных 3-факторов и 4-факторов. Представленная ниже теорема обобщает случай 4-факторов до произвольного четного фактора.
2. Основные понятия и факты
Пусть Кп = (У, Е) - полный неориентированный n-вершинный граф без петель и кратных ребер. Для любого подграфа, отличного от Кп, через VG и EG будем соответственно обозначать множества его вершин и ребер. Граф G\ называется подграфом графа G2 (обозначение G\ С 6*2), если VG\ С Гб2 и EG\ С EG?-Для ребра е £ Е будем также использовать запись гш, где u, v - вершины из V, инцидентные ребру е.
Каждое множество R С Е индуцирует некоторый подграф Г, в котором ЕТ = R и VT - совокупность вершин из V, инцидентных ребрам из R. Граф, индуцированный множеством ребер R, иногда будем обозначать через R. Для подграфов G, F из Кп положим GU F = (VGUV F, EGU EF), GOF = EGOEF, и если FCG, то G\F = (VG, EG\EF).
Кликой будем называть произвольный полный подграф графа Кп.
Степень вершины u £ V относительно графа G С Кп, т.е. количество ребер графа G, инцидентных вершине и, будем обозначать через do(u). Если G = Кп, то в обозначении do(u) символ G будем опускать.
Степенной последовательностью графа называется список степеней его вершин. Последовательность d = (ф, й2,. . ., dm) целых неотрицательных чисел ниже называется т-последовательностью; m-последовательность d называется графической, если существует граф, степенная последовательность которого с точностью до упорядочения совпадает с d. Этот граф называется реализацией m-последовательности d.
П
Назовем m-последовательность правильной, если ^ ф - четное число.
г = 1
При этом ясно, что согласно «леммы о рукопожатиях» всякая графическая последовательность является правильной.
Для последовательностей будем также использовать запись d = (с^1, с(р,. . ., СрР)} где числа сг- попарно различны, а показатель ф означает количество повторений числа Ci в последовательности d.
С графом Кп свяжем евклидово пространство RE размерности (п2 — гг)/2, взаимно-однозначно поставив в соответствие каждому ребру ось координат в RE. Это пространство может рассматриваться как множество вектор-столбцов ж, компоненты которых индексируются элементами из Е. Если ж £ RE и R С Е,
то через ж(R) обозначим линейную форму ^ же.
eeR
Вектором инциденций произвольного подграфа G С Кп называется вектор xG £ Re с компонентами хЕ = 1 при е £ EG, хЕ = 0 при е ф EG. Последнее правило, очевидно, задает взаимно однозначное соответствие между множеством подграфов графа Кп и множеством вершин единичного куба в пространстве RE. На основании этого соответствия там, где это не вызовет недоразумений, (ОД)-вектор ж мы будем также называть подграфом графа Кп.
Множество Р С RE называется многогранником, если Р является выпуклой оболочкой конечного числа точек. Под размерностью dimP многогранника Р будем понимать уменьшенную на 1 мощность максимального аффинно независимого семейства его точек. Линейное неравенство о1 ж < а0
(а, ж £ RE,a ф- 0,ао £ R1) называется опорным относительно многогранника Р, если существуют такие ж', х" £ Р, что о1 х' = а0 и атх" < а0. Всякое опорное к Р неравенство порождает множество {ж £ Р|атж = а0}, которое называется гранью многогранника Р. Опорное к Р неравенство называется фасетным, если оно порождает фасету многогранника Р. Множество всех вершин многогранника Р будем обозначать через vertP. Наконец, опорные к Р неравенства атх < а0 и стж < с0 называются эквивалентные (относительно Р), если они порождают одну и ту же грань.
Как уже говорилось, фасетные неравенства играют особую роль для многогранника, так как каждое из них (с точностью до эквивалентности) присутствует в любой системе линейных уравнений и неравенств, описывающих этот многогранник.
Обозначим через ткуП множество всех связных Ачфакторов в Кп. Многогранником связных Ачфакторов является множество
Pk,n = conv{xH £ RE\H £ тк.п}.
Так как T\^n = 0, тп_ijn = {Кп} и случаи n < 4 тривиальны с точки зрения построения линейного описания многогранника Рцп, ниже мы будем всюду полагать, что 2 < k < п — 2, ип>5.
Пусть G С Кп. Ранг rr(G) подграфа G относительно Tkjfl определим так: rk(G) = max{|EG П ЕН|,при условии, что Е4 £ ткуП}.
Ранговым неравенством, индуцированным графом G, называется линейное неравенство вида
x(EG) < rk(G). (1)
Как уже говорилось, ранговые неравенства в силу определения величины rk(G) образуют класс всех опорных к Рк)П неравенств с коэффициентами 0 и 1 в левой части. Кроме того, нормаль порождаемой неравенством (1) гиперплоскости в Re определяется подграфом G (является его вектором инциденций). Поэтому представляет интерес следующий вопрос: существуют ли среди ранговых неравенств фасетные неравенства и если существуют, то какими графами они индуцируются?
В [4] доказано следующее необходимое условие фасетности рангового неравенства относительно pkjfl при к > 2.
Теорема 1. Пусть неравенство а1 ж < а0, й / 0 опорно к Рк}П, {ж1, ж2,. . ., ж*}
множество вершин порождаемой им грани. Если
р| Ех%
%=1
> 2 или
Е\ ( U Ex'
i=1
> 2, то неравенство а1 ж < а0 не является фасетным.
Определение . Пусть Р, D2}... ряющих следующим условиям:
1) \VP\ = р, |КД'| = dpi = 1,...
, Dq С К7
— семейство клик, удовлетво-
2) УД- П VD3 = 0;
3) |УД П VP\ = 1.
Тогда граф F = Р U Д U D2 U . . . U Dq называется простым гребнем. При этом Р будем называть ручкой простого гребня Д или просто ручкой, а Д — зубом простого гребня F или просто зубом.
Кроме того, пусть в дальнейшем Р0 С Кп — клика порядка р0, такая, что VРо = VKn\VF. Из вьттттесказанного следует, что р + q(d — 1) + р0 = п.
Следующие параграфы посвящены поиску необходимых условий на величины р, q, ф, ро, при которых ранговое неравенство, порожденное простым гребнем F:
х(EF) < r2k(F).
может быть фасетным для многогранника связных 2£;-факторов.
3. Необходимое условие фасетности гребневых неравенств
В дальнейшем будем рассматривать только графы без петель и кратных ребер.
Для доказательства теоремы нам понадобится несколько вспомогательных лемм.
Лемма 1. Пусть Gn — связный граф, в котором ровно п вершин степени 2к, к > 2, тогда, если п > 2к — 1, то существует связный граф с п + 1 вершиной степени 2к и таким же набором степеней остальных вершин.
Доказательство. Докажем, что в Gn существует к попарно несмежных ребер.
Предположим, что не существует к попарно несмежных ребер, тогда пусть Н С Gn — максимальное паросочетание. По предположению \ЕН\ < к — 1, то есть |VН\ < 2к — 2. Отсюда следует, что по крайней мере одна вершина степени 2к не принадлежит VH. Пусть и £ VGn\VН. Так как do(u) = 2к, то и инцидентна 2к вершинам, а поскольку |VН\ < 2к — 2, то существует v £ VG\VН, инцидентная и. Ребро uv не является смежным ни для какого ребра из ЕН, значит, EH U {uv} - совокупность попарно несмежных ребер, и \ЕН\ < |EH U {гш}|, что противоречит максимальности Н. Отсюда следует, что в Gn существует к попарно несмежных ребер.
Построим Gn+1. Добавим к VGn вершину w, то есть VGn+\ = VGn U {н>}. Пусть ег- = гггщ, г = 1 . . . к - совокупность попарно несмежных ребер из Gn. Тогда EGn+1 = (EGn\(yjkl=lei)) U (Ukl=lutw) U (Ukl=lvtw).
Из построения видно, что dan+1 (w) = 2k, а степени вершин Gn не изменились. Следовательно, Gn+\ имеет ровно п + 1 вершину степени 2к и такой же, как у Gn, набор степеней остальных вершин. ■
Из леммы 1 очевидно следует существование связных 2А;-факторов при к >2.
Лемма 2. При n > 2к + 2 п-последователъностъ (2кп 1,2) может быть реализована связным графом.
Доказательство. Докажем по индукции. Пусть Gn - граф, реализующий п-последовательность (2кп~1 }2). Построим G2k+2- Для этого возьмем VG2k+2 = VK2k+i и {и}. Выберем ребро vxv2 £ K2k+i, тогда EG2k+2 = (EK2k+i\{viV2}) U \uvi, uv2}. Легко видеть, что da2k+2 (и) = 2, a Vc £ УАДщ! da2k (г) = 2А;. Таким образом, база индукции у нас есть.
Предположим, что граф Gno п0 > 2к + 2 существует. В (ДПо ровно п0 — 1 вершин степени 2к, и так как п0 — 1 > 2к + 2 — 1 > 2к — 1, то по лемме 1 существует 6rno+i. По принципу математической индукции Gn существует при п>2к + 2. Я
Лемма 3. При n > 2А; + 3,1 < / < п п-последователъностъ ((2к)п \ (2к — 2)1) может быть реализована связным графом.
Доказательство. Рассмотрим отдельно случаи I = 1 и I = 2. Построим связные графы Gi и G2, реализующие соответственно (2к + 3)-последовательности ((2£;)2fc+2, (2к — 2)1) и ((2A;)2fc+1, (2к — 2)2). Пусть G - такой граф, что VG = VK2k+i U {гг}. Так как К2к+\ состоит из 2к + 1 вершины степени 2к, то из доказательства леммы 1 следует, что существуют попарно несмежные ребра ei,e2,...,efc £ ЕК2к+к Пусть ег = ищг, где i = 1 . . . (к — 1). Тогда EG = (ЕK2k+i\{^iEi ei)) U (U{Г^щгг) U (UiZiviw). Граф G реализует (2к + 2)-последовательность ((2A;)2fc+1, (2к — 2)1). Из существования G по лемме 1 следует существование связного графа G\.
Теперь построим G2- Пусть VG2 = VG U {гг}. Так как G содержит 2к + 1 вершину степени 2к, то из доказательства леммы 1 следует, что существуют попарно несмежные е1? е2,. . ., вк £ EK2k+i- Пусть ег- = ищу где i = 1 ... (к — 1). Тогда EG2 = (EG\(UjIi ei)) U (и^щ-гг) U (и^Г^щгг). Из построения видно, что граф G2 реализует (2к + 3)-последовательность ((2к)2к+1, (2к — 2)2), также из построения следует его связность.
Докажем существование связных реализаций п-последовательностей ((2A;)n_1, (2к — 2)1) и ((2A;)n_2, (2к — 2)2) индукцией по п. При п = 2к + 3 графы Gi и G2 являются реализациями соответствующих последовательностей. Они и станут базой индукции. Предположим, что существуют связные графы, реализующие no-последовательности ((2A;)no_1, (2к — 2)1) и ((2A;)n°-2, (2к — 2)2), при п0 > 2к + 3. В этих графах вершин степени 2к не менее, чем 2к — 1, следовательно, по лемме 1 существуют связные графы, реализующие (п0 + 1)-последовательности ((2к)п°} (2к — 2)1) и ((2A;)no_1, (2к — 2)2). По принципу математической индукции для любого п > 2к + 3 существуют связные реализации п-последовательностей ((2A;)n_1, (2к — 2)1) и ((2£;)n-2, (2к — 2)2).
Докажем случай 3 < I < п. Если 3 < I < (2к + 1), то возьмем граф K2k+i и выберем в нем цикл С длины I. В силу полноты K2k+i такой цикл существует. Тогда пусть граф G}, такой, что VGi = VK2k+i, a EGi = EK2k+i\EC. Очевидно, что граф Gi связный и реализует (2к + ^-последовательность ((2k)2k+1~l, (2к — 2)1). Он будет базой индукции. В случае (2к + 1) < I < п в
качестве базы индукции Gi возьмем (2к — 2)-фактор на I вершинах. Существование такого графа следует из леммы 1. Таким образом, при 3 < / < п база индукции есть.
Предположим, что существует граф Gyno, реализующий п0-последователь-ность ((2к)п°~1, (2к — 2)1). Докажем, что в нем существует к попарно несмежных ребер. Предположим что это не так. Пусть Н С Gy„0 — максимальное паросочетание. По предположению \ЕН\ < к — 1, то есть \VH\ < 2к — 2. Пусть существует вершина и степени 2к, не принадлежащая VH, тогда в силу того, что \VH\ < 2к — 2, существует v £ VGi>no\VН, инцидентная и. Ребро uv не является смежным ни для какого ребра из ЕН} значит, EH U {uv} — совокупность попарно несмежных ребер и \ЕН\ < \ЕН U {гш}|, что противоречит максимальности Н. Отсюда следует, что в Gy„0 существует к попарно несмежных ребер.
Пусть все вершины из VGijfl0\VН имеют степень 2к — 2, тогда в силу того, что \VH\ < 2к — 2, а |Убг;)Гго| > 2к + 1, существуют две вершины u, v £ VGijfl0\VН степени 2к — 2. Из максимальности Н следует, что и ж v инцидентны всем вершинам из Н. Пусть u0v0 £ ЕН. Ребра и0и и v0v существуют и не являются смежными ни для какого ребра Н, кроме u0v0. Тогда пусть Н\ такой, что VН\ = VНU {и, г}, a EHi = (EH\u0v0) U {и0и} г0г}. По построению Нi является паросочетанием, и \ЕН\ \ > \ЕН|, что противоречит максимальности Н. Таким образом, существование в Gy„0 к попарно несмежных ребер доказано. Построим Gyno_|_i. Добавим к VGijfl0 вершину ?г, то есть VG^no \ i = VGijnoU{w}. Пусть ег- = ищу i = 1 ... к - совокупность попарно несмежных ребер из Gn. Тогда EGitTl0+1 = (EGitTl0\(Uf=1e8)) U (Ukl=lutw) U (Ukl=lvtw). Из построения видно, что dot nQ+1(w) = 2к, а степени вершин Gi>no не изменились. Следовательно, Gi}Tl0+1 реализует (п0 + ^-последовательность ((2к)По+1~\ (2к — 2)1). По принципу математической индукции при 3</<пип>2А; + 3 существует связный граф, реализующий п-последовательность ((2k)n~l, (2к — 2)1). Ш
Теорема 2. Пусть F С Кп — простой гребень. Если выполняются следующие условия:
a) Ро = 0 или р0 > 2k + 1,
b) di > 2к -\- 2, i = 1 . . . q,
c) Р Д 2к + 3,
то ранговое неравенство
x(EF) < r2k(F)
не является фасетным к Р2к,п-
Доказательство. Рассмотрим два случая: 1) р > 2к + 3, q < р, di > 2к + 2, ро = 0; 2)р > 2А; + 3, q < р, di > 2А; + 2,р0 > 2А; + 1 и покажем, что в этих случаях неравенство х(EF) < r2k(F) не является фасетным.
1) Сначала рассмотрим случай р0 = 0, то есть, когда VF = VKn.
Из определения ранга следует, что r2k(F) < А;|УТ|. Покажем, что r2k(F) = А;|УС|, для чего конструктивно построим граф Н*, на котором достигается оценка |Ci7* П EF \ = А;|УС|.
Пусть Н1 — связная реализация ^-последовательности ((2k)p~q}(2k — 2)q) на множестве вершин VP. Поскольку р > 2к + 3, то по лемме 3 такой граф существует. Так как Р — клика, то Нi С Р. При этом можно так построить Нi, что вершины, в которых зубья присоединяются к ручке, будут иметь степень 2к — 2. Другими словами:
dHl (u) = 2А; - 2, н £ УА П (U?=1 VD&, dHl(u) = 2k,ueVP\({Jl1 УД).
Далее на множестве вершин УД построим граф Дг — связную реализацию ^-последовательности ((2£;Дг_1,2), для каждого i = 1,. . . , g. Это возможно по лемме 2. Так как Д — клика, то Дг С Д. Кроме того можно так построить Дц что вершина, в которой зуб присоединяется к ручке, будет иметь степень
2. Другими словами выполняются следующие равенства:
dн2,{и) = 2, {и} = УД П УД i = 1,..., q\
dн2,{и) = 2&, и £ УД\УА, г = 1,..., д.
Построим граф Н* из Д и Дц г = 1,...,д по следующей схеме ЕН* = EEli U (Ui=i АДг). По построению Д и Дц г = 1,. . . , q справедливо равенство VH* = VF Так как р0 = 0, то VH* = У АД.
Из построения Д и Дг справедливо равенство
du*{u) = 2А, и £ УА\ (УА П (U!=1 УД))- Для каждого г = 1,...,д, если вершина u G УД П УР, то сД* (и) = dFl (и) + сД2г (и) = (2к — 2) + 2 = 2к} в силу того, что |УР П УД| = 1.
Таким образом, Е4* - остовный однородный степени 2к подграф. Кроме того из связности Д и Дг- следует связность Е4*, и значит, Е4* £ т2*;)Гг. По построению ЕН* С А А, значит, \ЕН* П АА| = | A AT* | = k\VF\.
Рассмотрим ребро е0 = u0v0 ф EF, u0}v0 £ УА. Такое ребро существует, например, пусть и0 £ УАДУА, г0 £ УА\УАг-, так как ф- > 2А; + 2 при г = 1... д, р > 2А; + 3 и |УД П УА| = 1, то такие вершины существуют. В этом случае е0 ф АА. По тем же соображениям существует еще одно ребро е\ = U\V\ ф A A, Hi, Hi £ У А, отличное от е0.
Пусть е0 £ АД, где Д £ т2*;)Гг. Покажем, что тогда
|АД П АА| < r2k(F).
Так как Д £ т2куП} то dFonF(u) У 2А, где и £ УА.
Поскольку е0 ф А А, следовательно е0 ф А(Д П А), значит, верны неравенства dHonF(u0) < 2к - 1, dHonF(v0) <2к-1.
Заметим, что У (Д П А) = УА = У АД. Тогда
|АД П АА| = |А(Д П А)| = - ^ dHonF(u) = - ^ dH:nF(u) +
u(E.VF u£VF\-{uo до}
А2(^hoc\f(uo) + Доп^(^о)) У - • 2А; • (|УА| — 2) +
+ ^ • (2А; - 1 + 2А; - 1) = А|УА| — 2А + 2А — 1 = А|УА| - 1 < А|УА|.
Следовательно, \ЕН0 П EF\ < г2ДК), то есть xH(EF) < r2k(F). В силу произвольности Н0, из того, что хH(EF) = г2ДК), где Н £ T2k,m следует, что е0 ф ЕН и в силу равноправности е0 и ei, ei ф ЕН.
Так как неравенство х(EF) < r2k(F) опорно к многограннику Р2к,п и для каждого Н £ T2fcjn, для которого xH(EF) = r2k(F), следует, что e0,ei ф ЕН, а значит
Е\
U н
хн (EF)=r2k(F)
> 2
и по теореме 1 неравенство х(EF) < г2ДК) не является фасетным для многогранника связных 2£;-факторов.
2) Теперь рассмотрим случай р0 > 2к-\-1, р > 2& + 3, ф > 2А; + 2 при i = 1 ... q, q < р.
Из определения ранга следует, что г2ДК) < £;|УК|. Докажем, что не существует связного 2А;-фактора Н, для которого |ЕН П EF| = k\VF\.
Пусть Н — произвольный связный 2А;-фактор. Так как Н — остовный, то существует такое ребро е = u*v* £ ЕН, что u* £ VF,v* ф УК. Ясно, что У(ЯПК) = VF.
Так как е ф УК, Н £ т2к,п, то б?яп^(^*) < 2к — 1, и* £ У (Я П F) н для любой вершины и £ У (Я П К), dunf(u) < 2А;, так как Н £ r2fcjn. Тогда
\ЕН П КК| = |К(Я П К)| = ^ ]Г dHnF(u) = l- ]Г dHrF(u) +
«gvf ueKF\{u*}
+ (|VT| - 1) + i - (2fc - 1) = - fc + к - i =
= k\VF\ - ^ < k\VF\.
Так как H - произволен, то г2ДК) = тах{|КЯ П КЯ|,Я £ т2к,п} < k\VF\. Так как г2ДК) - целое число, то г2ДК) < &|УК| — 1. Построим 2А;-фактор Н*, удовлетворяющий условию \ЕН* П EF\ = &|УК| — 1.
Пусть Н1 и Я2г такие же, как в случае р0 = 0, и Н3 = Нi U (1Дг9=1 Я2г). Как и в предыдущем случае, Я3 связный однородный степени 2А; подграф, но не остовный, так как существует остаток VKn\VF, \VKn\VF\ = p0 > 2k -\-l. Построим на вершинах VKn\VF связный 2А;-фактор и удалим из него произвольное ребро. Получится граф Я4 — связная реализация р0-последовательности ((2к)р°-2,(2к - I)2).
Пусть Wi и w2 £ УЯ4 — вершины степени 2к — 1. Выберем произвольное ребро е0 £ Я3,е0 = u0v0. Построим Н* по следующей схеме: ЕН* = (КЯ3\{е0}) U ЕН4 U {u0w1? v0w2}. По построению VН* = УАД, и dF*(u) = 2к для любой вершины и £ VKn. Кроме того Н* связный в силу связности Н3 и Я4, значит Н* является связным 2к-фактором. Заметим, что ЕН* П EF = (ЕН3\е0) П EF = (ЕН3 П КК)\е0, поэтому \ЕН* П EF\ = \ЕН3 П EF\ — 1, так как е0 £ EF. По доказанному для случая р0 = 0, имеем \ЕН3 П EF\ = k\VF\. Следовательно, |ЕН* П EF| = k\VF\ — 1, г2ДК) = k\VF\ — 1.
Возьмем пару ребер е0 = u0v0 ф EF, u0,v0 £ VF и e\ = U\V\ ф EF, G
УЯ. Как было доказано выше, такие ребра существуют.
Пусть е0 G ЯЯ0, где Я0 £ r2jt)ri. Покажем, что тогда
\ЕЕ[0 П EF\ < r2k(F).
В силу связности и остовности Я0 существует такое ребро е2 = и2с2, что u2 £ VF, v2 £ VKn\VF. Так как it0,c0 £ УЯ, то е2 / е0.
Если u2 ф u0,u2 ф с0, то dponp(u) < 2А;, где и (4 VF. Так как е0, е2 ф EF, следовательно, е0, е2 ф Я(Я0ПЯ), а значит, dponp(u0) < 2А;—1, dponp(v0) < 2А;—1, dH0nF{u2) < 2k — 1.
Заметим, что так как Я0 — остовный, то У(Я0 Г) F) = VF. Тогда |ЕЯ0 П EF| = |Я(Я0 ПЯ)| = ± £ йЯопяН = ^ ^я0пяН +
u^VF и£VF\{uo ,vo ,U2 }
+ -(dH0nF(uo) + dHonp(vo) + dHonp(u2)) < — • 2A; • (|УЯ| — 3) +
+ - • (2k - 1 + 2A; - 1 + 2k - 1) = 2k\VF\ - 3k + 3k - - =
2 v J 2 2
= k\VF\ - 1^ < k\VF\ - 1.
Следовательно, |ЯЯ0 П EF\ < r2k(F), то есть xH(EF) < r2k(F).
В случае u2 = u0, так как e0, e2 ф EF, to dponp(u0) < 2A; — 2 и dponp(v0) < 2 A; - 1.
Аналогично получаем, что |ЯЯ0 П ЯЯ| < г2&(Я), то же самое для случая
и2 = v0.
В силу произвольности Я0, из равенства xH(EF) = r2k(F), где Я £ т2к,п следует е0 ф ЕН. Аналогичными рассуждениями получим е\ ф ЕН.
Так как неравенство х(EF) < r2k(F) опорно к многограннику Р2к,п и для любого 2Яфактора Я, удовлетворяющего уравнению xH(EF) = r2k(F), имеем
е0, ei ф ЯЯ, то
Е\
U н
xH(PP)=r2k(P)
> 2.
Отсюда по теореме 1 неравенство х(EF) < r2k(F) не является фасетным для многогранника связных 2£;-факторов. ■
Литература
1. Емеличев В.А., Ковалев М.М., Кравцов М.К. Многогранники, графы, оптимизация. М: Наука, 1983. 335 с. 2
2. Емеличев В.А., Мельников О.И., Сарванов В.И., Тышкевич Р.И. Лекции по теории графов. М.: Наука, 1990. 383 с.
3. Мищенко В.А. Необходимые условия фасетности гребневых неравенств для многогранников 3 и 4-факторов: Дипломная работа. Омск, 1997. 33 с.
4. Симанчёв Р.Ю. О ранговых неравенствах, порождающих фасеты многогранника связных k-факторов // Дискретный анализ и исследование операций. Новосибирск, 1996. Т. 3. N 3. С.84-110.
5. Схрейвер А. Теория линейного и целочисленного программирования: В 2 т. М.: Мир, 1991. 702 с.
6. Харари Ф. Теория графов. М.: Мир, 1973. 300 с.
7. Edmonds J. Maximum matching anrl a polyhedron with 0,1- vertices // Journal of Research of the National Bureau of Standarts B. 1965. P.125-130.
8. Edmonds J., Johnson E.L. Matching: a well-solved class of integer linear programs / Ed. by R.Guy, H.Hanani, N.Sauer and J.Schonheim. / Combinatorial structures and their applications. // Gordon and Breach, New York, 1970. P.89-92.
9. Grotschel M. Holland O. Solution of large-scale symmetric travelling salesman problems If Mathematical Programming. 1991. N51. P.141-202.
10. Grotschel M. Padberg M.W. On the symmetric travelling salesman problem II: lifting theorem and facets // Mathematical Programming. 1979. N16. P.281-302.
11. Grotschel M. Padberg M.W. Polyhedral theory // Ed. by E.L. Lawler, J.K. Lenstra, A.N.G. Rinnooy Kan, D.B. Shmoys, The Traveling Salesman Problem // John Wiley & Sons Ltd., 1985. P.251-305.
12. Grotschel M. Pulleyblank W.R. Clique tree inequalities and the symmetric traveling salesman problem // Math, of Operations Research. 1986. Vol. 11. N 4. P.537-569.
