CC BY
32
ИНФОРМАТИКА
УДК 519.1: 519.8
НЕПРЕРЫВНОЕ РАСПИСАНИЕ С ДВУХЭЛЕМЕНТНЫМИ ПРЕДПИСАНИЯМИ
А.М. Магомедов
Дагестанский государственный университет, Махачкала, кафедра дискретной математики и информатики E-mail: Magomedtagir1 @yandex.ru
Для двухэлементных предписаний найдены условия существования непререрыв-ного расписания.
Ключевые слова: двудольная интерпретация, рёберная раскраска, непрерывное расписание.
The Continuous Schedule with Two-Element Instructions A.M. Magomedov
Dagestan State University, Machachkala,
Chair of Descrete Mathematics and Computer Science
E-mail: magomedtagir1 @yandex.ru
For two-element instructions conditions of existence of the continuous schedule of service are found.
Keywords: bipartite graph, edge-coloring, continuous schedule. ВВЕДЕНИЕ
В статье использованы обозначения и определения из [1]. Заданы l приборов, n требований, l ^ n, и семейство О = {щ,... , щ} 2-элементных предписаний (неупорядоченных наборов) щ с элементами из множества N = {1,... ,n}. Каждый i-й прибор должен выполнить одну операцию над каждым требованием из щ, порядок выполнения операций произвольный, длительность каждой операции равна единице. В каждую единицу времени каждый прибор обслуживает не более одного требования и каждое требование обслуживается не более чем одним прибором (условие неразделяемого доступа).
Пусть repWi j — количество вхождений j G N в щ; rep&Щ — количество вхождений предписания щ в О' ç О; rep & j = е& rep ^ j ; N (О' ) = {j G N | rep & j = 0}; m = maxieN rep & j.
Согласно условию неразделяемого доступа, длительность любого расписания обслуживания не меньше m. В случае четного m всегда можно построить расписание длительности m, непрерывное в том смысле, что каждый прибор выполняет предписанные ему операции в последовательные единицы времени [2]. Поскольку отсюда вытекает существование непрерывного расписания длительности m + 1 для любого нечетного m, то вопрос о существовании непрерывного расписания длительности m сохраняет актуальность только для нечетных m. Сформулируем задачу.
Задача о непрерывном расписании: существует ли (l х m)-матрица M с элементами из множества {0,1,..., n}, в каждом столбце
НАУЧНЫЙ ОТДЕЛ
которой ненулевые элементы попарно различны, а ненулевые элементы любой строки 1 ^ i ^ l образуют предписание о и размещаются в соседних ячейках строки?
Интерпретация: равенство Mjjj = k означает при k е N, что в j-й момент времени прибор i обслуживает требование k, а при k = 0 — что в j-й момент времени прибор i не обслуживает ни одного требования.
Непрерывные расписания востребованы, когда операции включения - выключения приборов сопряжены со значительными затратами, или стоимость простоев приборов неприемлемо велика. В.А. Струсевич и Е.Р. Ерошина [3, с. 199-200] установили NP-полноту задачи о непрерывном расписании при l ^ 2 в случае отсутствия ограничений на мощности предписаний oj. Из результата [4] следует, что утверждение работы [3] остается в силе и при ограничениях ^ (m + 1)/2, 1 ^ i ^ l. В [5] найдены необходимые и достаточные условия существования непрерывного расписания для случая m = 5.
Элементы множества {j е N | repn j = k}, где О' С О, будем называть (О', ^-элементами. В разд. 2 данной статьи будут рассмотрены непрерывные расписания длительности 3, содержащие в первом (или третьем) столбце лишь (О, 3)-элементы; в разд. 3 в терминах рёберной раскраски двудольных графов рассмотрена характеризация разбиения семейства О на такие подсемейства, для каждого из которых существует непрерывное расписание длительности 3; результаты разд. 2-3 использованы в разд. 4 для доказательства следующего основного результата статьи.
Теорема 1. Пусть О = {о} — семейство 2-элементных предписаний о, заданных на множестве N, m = maxjeN repnj = 2p +1; p е Z +. Непрерывное (l x т)-расписание для семейства О существует тогда и только тогда, когда
|О'| < p|N(О')| V О' С О. (1)
Пусть a, b е {<, =, =, >}. Двудольный граф G = (X, Y, E), в котором для всех вершин x е X и y е Y выполнены соотношения вида
dGxaA, dGybB,
будем называть (aA, bB)-графом. Если знак операции опущен, подразумевается знак бинарной операции «=»; если условия для x е X или y е Y отсутствуют, будем использовать сокращенные записи: (, bB) или (aA,) соответственно.
Примеры. Термин «(2, 0 (mod 4))-граф» применим к двудольному графу G = (X, Y, E), в котором степени вершин x е X равны 2, а степени вершины y е Y кратны 4; термин «(2, ^ ^-граф» — к двудольному графу, в котором степени вершин x е X равны 2, а наибольшая степень вершины множества Y равна k; в «(^)-графе» G = (X, Y, E) степени вершин y е Y равны k.
1. НЕПРЕРЫВНОЕ РАСПИСАНИЕ ДЛЯ СЛУЧАЯ m = 3
Реберно-вершинным инцидентным паросочетанием графа G называется взаимно-однозначное отображение, сопоставляющее каждому ребру графа единственную вершину, инцидентную этому ребру. Граф обладает реберно-вершинным инцидентным паросочетанием тогда и только тогда, когда каждая связная компонента графа содержит не более одного цикла [6, теорема 4.4.6].
Определим граф G' = (V',E'), ассоциированный с семейством О:
- каждому требованию j е N сопоставим вершину Vj е V' с индексом j, которую назовем ассоциированной с требованием j;
- для каждого о = (k,j) е О соединим вершины , Vj е V' (ассоциированные с требованиями k, j е N) repno ребрами.
Двудольным представлением графа G' = (V', E'), V' = {vj}, E' = {ej}, будем называть двудольный (2, )-граф:
G = (X, Y, E), X = {xj}, Y = {yj},
такой, что (xj, yj) е E в том и только в том случае, если ребро ej и вершина Vj инцидентны в графе G'.
Замечание 1. Если G = (X, Y, E) — двудольное представление графа G' = (V', E'), то:
1) в графе G существует полное паросочетание множества X с множеством Y тогда и только тогда, когда в G' существует реберно-вершинное инцидентное паросочетание;
2) количество циклов в связной компоненте графа G равно количеству циклов в соответствующей связной компоненте графа G' = (V',E').
Пусть G' = (V', E'), V' = (vi,..., vn}, E' = (ei,..., e}, m = A(G'). Если для ассоциированного с графом G' семейства предписаний существует непрерывное (1 х т)-расписание, то граф G' и его двудольное представление G = (X, Y, E) будем называть графами непрерывного расписания.
Лемма 1. Двудольный (2, < 3)-граф G = (X, Y, E) является графом непрерывного расписания тогда и только тогда, когда существует полное паросочетание множества X с множеством Y.
Доказательство. Докажем необходимость. Если для семейства 2-элементных предписаний, ассоциированного с графом G, существует непрерывное (1 х 3)-расписание M, то элемент k = принадлежит множеству N для любого 1 ^ i ^ 1, и все ненулевые элементы второго столбца попарно различны; следовательно, набор ребер ((xi5yki) 11 < i < 1} служит полным паросочетанием множества X с множеством Y.
Докажем достаточность. Без ограничения общности будем считать, что граф G — связный. Из замечания 1 и работы [6, теорема 4.4.6] следует, что возможны два случая:
• G является деревом;
• G состоит из единственной замкнутой цепи C и некоторого множества деревьев (может быть, пустого), каждое из которых имеет с C точно одну общую вершину — «точку прикрепления».
В первом случае обозначим произвольную вершину дерева через y и продолжим доказательство, начиная с пункта «начало операции» (см. ниже). Во втором случае выберем направление обхода C, ориентируя тем самым каждое ребро из C, и выполним помечивание д дуг цепи C метками 1 и 2 следующим образом (в качестве индекса вершины x G X для удобства чтения указан список индексов обеих вершин Y, смежных вершине x):
если xij G X, yi, yj G Y, (yi,Xj), (xj, yj) G E, то д(у*,Xj) = 1, д(ху, yj) = 2. (2)
Понятно, что 1) степень точки прикрепления равна 3; 2) точка прикрепления не принадлежит X. Если множество точек прикрепления не пусто, то выполним для каждой точки прикрепления y следующую операцию.
Начало операции. Сориентируем ребра соответствующего дерева так, чтобы получить ориентированное корневое дерево с корнем в вершине y. Пометим дуги ориентированного корневого дерева по правилу (2) со следующим уточнением: если из вершины yi выходит, кроме дуги (yi,xij), еще одна дуга (yi5xik), то положим ^(yi,xik) = 3. Конец операции.
Для получения искомого непрерывного расписания разместим для каждой вершины xij элементы
1,j G N в отдельной строке (1 х 3)-матрицы: i — в столбце с номером, равным ^(yi,xij-), а j — в столбце с номером, равным ^(xij-,yj). Затем во все незаполненные ячейки матрицы занесем нулевые значения.
Поскольку |^(yi,xij) — ^(xij, yj)| = 1, то элементы i и j размещаются в соседних ячейках строки; а поскольку для любой невисячей вершины yi метки инцидентных дуг (двух либо трех) различны, то никакое i G N не размещается в одном столбце дважды, другими словами, ненулевые элементы в каждом столбце попарно различны. Лемма доказана.
Следствие 1. Если G' является графом непрерывного расписания, а его двудольное представление G = (X, Y, E) является (, < 3)-графом, то для семейства 0, ассоциированного с G', существует «левостороннее» [4] («правостороннее») непрерывное расписание, в котором элемент i G N размещается в 3-м столбце (соответственно в 1-м столбце) в том и только в том случае, когда степень вершины yi в графе G равна 3 (другими словами, когда i является (0,3)-элементом).
2. РЁБЕРНАЯ P-РАСКРАСКА ДВУДОЛЬНОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
Лемма 2. Пусть в связном двудольном (2,0 (mod 2))-графе G = (X, Y, E) существует (1, < 2)-подграф G' = (X, Y',E'). Тогда
• либо найдется вершина y G Y такая, что y = 2,
• либо y = 4 для всех y G Y.
Доказательство. Подграф графа G, дополнительный к подграфу G', обозначим G'. Рассмотрим случай, когда не существует вершины y Е Y степени 2, другими словами (ввиду четности day), day > 4 для всех y Е Y. Докажем, что тогда day = 4 для всех y Е Y.
Допустим противное: пусть имеется вершина yo Е Y, такая, что dayo > 4; ввиду ограничений dc y ^ 2 для всех y Е Y' и тривиального тождества day = dory + da y, отсюда вытекает, что
dgryo - da' yo > 0. (3)
Если dory < dG' y для какой-либо вершины y е Y, то из do y < 2 для всех y Е Y' следует неравенство day ^ 3, которое ввиду четности day эквивалентно равенству day = 2, что в нашем случае невозможно. Таким образом, в рассматриваемом случае
dary > da' y V y е Y. (4)
Тогда, с одной стороны,
(dary - da' y) = (daryo - da' yo) + (day - da' y) > 0,
yeY yeY\{yo}
согласно (3) и (4). С другой стороны, из равенств
dax = 2 V x Е X и da' x = 1 V x Е X
следует
^ (dG7У - dG' y) = 0.
ver
Полученное противоречие доказывает, что либо существует вершина y е Y, степень которой равна 2, либо dGУ = 4 для всех y е Y. Лемма доказана.
Далее через c(v,i) обозначается число ребер, инцидентных вершине v и раскрашенных в цвет i. Лемма 3. Пусть в сязном двудольном (2, )-графе H = (XH, YH, EH) существует (1, < 2)-под-граф G' = (XH, Y', E'); i и j — заданные целые положительные числа, i = j.
Тогда существуют (1, < 2)-подграф G" = (XH, Y", E'') и реберная 2-раскраска графа H цветами i и j, такая, что:
(ci) для каждой вершины x е XH обоим инцидентным x ребрам присвоен один и тот же цвет; (с2) если y е Y" и dG» y = 2, то ребрам множества E'', инцидентным вершине y, присвоены
разные цвета; (c3) если y е Y и dHy > 2, то |c(y, i) — c(y, j)| < 1.
Доказательство. Для каждой вершины y е Yh такой, что y ^ 3 и doy = 2, обозначим инцидентные ей в графе G' ребра через (xil,y), (xi2,y) и выполним замену «родительских элементов», — вершины y и всех инцидентных ей в графе H ребер (xil, y),..., (xik, y), — на конструкцию «дочерних элементов», состоящую из двух новых вершин y', y'' и k новых ребер:
(xil , y ' ), (xi 2 ,y') и (xi3 jy'O,..., (xife ,y'0.
Полученный двудольный граф обозначим Go = (Xh,Yo,Eo).
Случай 1. Если граф G0 — не эйлеров, то соединим все его нечетные вершины фиктивными ребрами с фиктивной вершиной vo и получим эйлеров граф с эйлеровой цепью:
vo, ei, vi, e2, ..., Vq—i, eg, vo. (5)
Выполним реберную 2-раскраску эйлеровой цепи по следующему правилу:
- ребру e1 присвоим цвет i;
- пусть некоторому ребру e^ присвоен цвет с, равный i или j; тогда ребру ek+1 присвоим цвет с, если vk е XH, и цвет (i + j — с) — в противном случае; k = 1,..., q — 1.
Затем удалим фиктивные элементы, отождествляя дочерние вершины каждой пары с восстановлением родительских вершин и сохраняя за ребрами присвоенные цвета.
Случай 2. Если граф G0 — эйлеров, то удобно рассмотреть следующие подслучаи.
2.1. Все вершины множества |Y01 имеют четные степени, |Xh| четно.
2.2. Все вершины множества |Y01 имеют четные степени, |Xh| нечетно. Применив лемму 2, получим, что Y0 содержит некоторую вершину y0 степени 2.
2.2.1. Y0 содержит такую вершину y0 степени 2, что для одного (и только для одного) из ребер, инцидентных y0, родительское ребро принадлежит E'.
2.2.2. Для каждой вершины степени 2 из Y0 выполнено свойство: для каждого из двух инцидентных ребер соответствующее «родительское» ребро принадлежит E'.
Рассмотрение каждого из перечисленных случаев не представляет труда, причем за исключением случая 2.2.2 в качестве G'' может быть выбран исходный подграф G'. Лемма доказана.
Далее r(S) — множество вершин, смежных вершинам множества S.
Лемма 4. Пусть р — целое положительное число, G = (X, Y, E) — двудольный (2, <2р+1)-граф, A(G) = 2р +1,
|S| < р |r(S)| V S с X. (6)
Тогда существуют (1,р)-подграф G' = (X, Y',E') графа G и рёберная р-раскраска C графа G такие, что
если y е Y, (x',y), (x'',y) е Е', то C(x',y) = C(x'', y); (7)
если x е X, (ж, y'), (x, y'') е E, то C(x, y')= C(x,y''); (8)
(c(y,i) - 2)(c(y,j) - 2) > 0 V y е Y, 1 < i,j < р. (9)
Доказательство. Заменим каждую вершину y k и набор всех инцидентных yk ребер (xi1, y k),..., (xiq, y k) на конструкцию из новых вершин y (1),..., y(p) и ребер
(xii ^i1^..^ (xiq ,y(1)); ... (xii ,y(p)),..., (xiq ,y(p)).
Полученный граф обозначим G1 = (X, Yi, E1); ясно, что da1 x = 2р для всех x е X. Множество вершин, смежных с вершинами S в графе G1, обозначим Г1 (S). Так как Г1 (y(1)) = ■ ■ ■ = Г1 (y(p)) = r(yk), то |Г1 (S)| = р|Г^)| для всех S с X .Из (6) следует, что |S | < | Г1 (S) | для любого S с X; по теореме Холла [1, теорема 8.13] в графе G1 существует полное паросочетание M1 множества X с множеством Yl.
Пусть Y2 = { y е Yl | 2р < dGl y ^ 2р +1 }; G2 = (X2, Y2, E2) — подграф графа Gl, порожденный множеством Y2. Так как
max dGa x < 2р < min dGa y,
xex2 yeY2
то, согласно следствию теоремы Холла [1, следствие 8.16.1], в G2 существует полное паросочетание M2 множества Y2 с множеством X2.
По теореме Мендельсона - Далмеджа [1, теорема 8.21] из ребер Ml и M2 можно построить полное паросочетание M' множества X в Yl, насыщающее все 2р- и (2р + 1)-вершины в графе Gl.
Восстановим граф G, для чего выполним отождествление каждого дочернего набора вершин y (1),...,y (p) с возвратом к родительской вершине y. Затем среди ребер графа G, инцидентных каждой вершине yk, выделим каждое такое ребро (x,yk), для которого одно из ребер набора (x, y (1)),..., (x, y (p)) принадлежит M'.
Обозначим множество выделенных ребер через E', а подграф графа G, порожденный множеством E', через G' = (X, Y',E'). Поскольку каждой вершине x е X инцидентно точно одно ребро из E', а каждой вершине y е Y не более р ребер из E', то (8) выполнено.
Для каждой вершины y е Y выполним действия:
- пусть {(xil ,y),..., (xik ,y)} — подмножество, образованное в E' ребрами, инцидентными вершине y;
- присвоим цвет j каждому ребру (x^., y) этого подмножества, а также ребру, смежному ребру (xj,y); 1 < j < k < р.
Для построения требуемой реберной р-раскраски выполним следующий алгоритм.
Пока имеются вершина y е Y и два цвета i и j такие, что do y > 2, |c(y, i) — c(y, j )| > 1, выполним действия:
начало
• обозначим Ek = {e е E | цвет ребра e равен k}; k = 1,...
• для каждой связной компоненты H = (Xh, Yh, Eh) подграфа, порожденного в графе G множеством ребер Ej n Ej:
- заметим, что H удовлетворяет условиям леммы 3;
- построим новую реберную 2-раскраску для H цветами i и j такую, что для любой вершины y степени больше 2 выполняется неравенство |c(y,i) — c(y, j)| ^ 1.
конец
В результате получим реберную p-раскраску графа G, удовлетворяющую (7)-(8), для которой выполняется следующее условие, равносильное (9): ни в одной вершине y е Y цвет не представлен более двух раз, если какой-либо другой цвет представлен в ней менее двух раз. Лемма доказана.
3. ХАРАКТЕРИЗАЦИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ РАСПИСАНИЙ
Приведем доказательство теоремы 1.
Необходимость. Пусть для семейства О существует непрерывное (l х ш)-расписание M. Рассмотрим произвольное подсемейство О' С О и (l', m')-подматрицу M', образованную в M строками и столбцами, содержащими все предписания из О', и обозначим: p' = |_m'/2j, nj — количество ненулевых элементов в столбце 2i матрицы M'; 1 ^ i ^ p'.
Поскольку каждое 2-элементное предписание из О' содержит точно один из своих элементов в одном из столбцов матрицы M' с четным номером, то |О'| = ni + ••• + и'р,. Из условия бес-повторности ненулевых элементов в каждом столбце расписания следует, что nj ^ |N(О')|. Тогда ni + ■ ■ ■ + n'p, < p'|N(О')|; следовательно, |О'| < p'|N(О')|.
Достаточность. Для двудольного представления G = (X, Y, E) графа, ассоциированного с семейством О, выполнены условия леммы 4. Поэтому существуют (1^)-подграф G' = (X, Y',E') графа G и реберная p-раскраска C графа G, удовлетворяющие (7)-(9).
Рассмотрим индуцированное раскраской C разбиение множества E на подмножества Ei,...,Ep, где Ej — множество ребер i-го цвета (lj = |Ej|). Подграф графа G, порожденный множеством ребер Ej, обозначим Gj = (Xj,Yj, Ej), а подсемейство семейства О, ассоциированное с Ej, — через Оj; 1 ^ i ^ p.
Выделим три важных свойства Gj.
Заметим, прежде всего, что неравенство dot y ^ 3, согласно (9), влечет dGá y ^ 2 для всех j е P \ {i}, где P = {1,... ,p}; отсюда и из тривиальных соотношений
do y = dot y + doj y < A(G) = 2p + 1,
3 = 1
j=j
имеем
dGy = 2p +1; dGiy = 3; dGjy = 2 V j e P \ {i}.
Сформулируем первые два свойства. Свойство 1: A(G^ < 3 для всех Gj.
Свойство 2: Пусть y e Y. Тогда (dGy = 2p +1) ^ (Eli : dGiy = 3) ^ (dGjy = 2 V j e P \ {i}). Далее, существование (1,^)-подграфа G' = (X, Y', E') и реберной p-раскраски C графа G, где для каждой вершины y e Y' цвета ребер множества E', инцидентных y, различны, означает, согласно (8), что множество E' n Ej образует в графе Gj паросочетание множества Xj с Yj.
Таким образом, каждый Gj является (2, ^ 3)-графом, удовлетворяющим условиям леммы 1, что позволяет сформулировать свойство 3: Gj — граф непрерывного расписания.
Согласно следствию 1, для каждого Gj можно указать такое «правостороннее» («левостороннее») непрерывное расписание, в котором элемент i e N размещается в 3-м столбце (соответственно в 1-м столбце) в том и только в том случае, когда степень вершины yj в графе G равна 3.
Удобно доказать следующее «расширенное утверждение»: для О существует непрерывное l х (2p + 1)-расписание, в котором все ненулевые элементы столбца 2p +1 суть (О, 2p + 1)-элементы.
Доказательство проведем индукцией по p. В случае p =1 достаточно предъявить правостороннее непрерывное расписание для О.
В качестве индуктивного предположения допустим, что «расширенное утверждение» справедливо при p' = p—1: для семейства О' = {Oi,..., Ор>} существует непрерывное расписание M', в котором все ненулевые элементы (2p' + 1)-го столбца есть (О', 2p' + 1)-элементы. Для каждого из этих элементов а:
• найдется i, 1 < i < p', для которого repа > 3;
• согласно свойствам 1-2, repniа = 2 для любого j е P \ {i}; в частности, repnpа = 2, т.е. а является (Ор, 2)-элементом.
В соответствии с леммой 1 и следствием 1 построим для Ор левостороннее непрерывное (lp х 3)-расписание M'', которое содержит:
• в первом столбце — по одному экземпляру каждого из (Ор, 3)-элементов и только их; согласно свойству 2, каждый из них является (О', 2p — 1)-элементом;
• в третьем столбце — по одному экземпляру каждого из (Ор, 2)- и (Ор, 3)-элементов и только их, — (Ор, 1)-элементы в третьем столбце отсутствуют (а (Ор, 2)-элементы отсутствуют в первом столбце).
Построим l х (2p +1)-матрицу M, l = l' + 1р: в левом-верхнем углу разместим l' х (2p' + 1)-матрицу M', в правом-нижнем углу — (1р х 3)-матрицу M'', все элементы вне этих двух матриц положим равными 0.
Поскольку каждый ненулевой элемент последнего столбца матрицы M' является (Ор,2)-элементом, а каждый ненулевой элемент первого столбца матрицы M'' — (Ор, 3)-элементом, то все ненулевые элементы в столбце 2p — 1 матрицы M различны. Поэтому M является непрерывным расписанием для семейства О. Первая часть расширенного утверждения доказана. Осталось показать, что M можно преобразовать к виду, где каждый элемент столбца 2p + 1 является (О, 2p + 1)-элементом.
Множество всех ненулевых элементов последнего столбца матрицы M разобьем на подмножества S1 и S2 следующим образом. В S1 включим все (О, 2p + 1)-элементы: все (Ор, 3)-элементы и те из (Ор, 2)-элементов столбца, которые являются одновременно и (О', 2p — 1)-элементами.
К S2 отнесем все остальные ненулевые элементы столбца, а именно (Ор, 2)-элементы, не являющиеся (О', 2p — 1)-элементами. Поскольку, как уже отмечалось, (Ор, 2) отсутствуют в первом столбце матрицы M''; по предположению индукции они отсутствуют также и в последнем столбце матрицы M'.
Таким образом, элементы М^2р+1 множества S2 отсутствуют в столбце 2p — 1 матрицы M: поскольку ненулевые элементы в i-й строке расположены рядом, то М^,2р = 0, М^,2р-1 = 0.
Переместив каждый из этих элементов Мг,2р+1 в ячейку М^,2р-1 (с обнулением ячейки Мг,2р+1), получим непрерывное расписание, удовлетворяющее «расширенному утверждению». Теорема доказана.
В статье [5] показано, что проверка условий (1) осуществима за полиномиальное время.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты 09-01-96504-р_юг_а и 07-01-00143-а).
Библиографический список
1. Свами М, Тхуласираман К. Графы, сети и алгорит- циализированных процессоров без отношения предше-мы. М.: Мир, 1984. 455 с. ствования // Вестн. Моск. энерг. ин-та. Сер. Автомати-
2. Магомедов A.M. Уплотнение расписания с дирек- ка, вычислительная техника, информатика. 2009. № 5. тивным сроком, кратным количеству занятий каждо- C. 14-17.
го преподавателя // Мат. заметки. 2009. Т. 85, № 1. 5. Магомедов А.М., Сапоженко А.А. Условия суще-
C. 65-72. ствования непрерывных расписаний длительности пять
3. Танаев В.С., Сотсков Ю.Н., Струсевич В.А. Тео- // Вестн. МГУ. Сер. Вычислительная математика и ки-рия расписаний. Многостадийные системы. М.: Наука, бернетика. 2010. Т. 34, № 1. C. 39-44.
1989. 328 с. 6. Оре О. Теория графов. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат.
4. Магомедов А.М. Непрерывное расписание для спе- лит., 1980. 336 с.
