CC BY
39НАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ, 2008, №1
ВОПРОСЫ МЕХАНИКИ ГОРНЫХ ПОРОД И ЭКСПЛУАТАЦИИ ИНЖЕНЕРНЫХ СООРУЖЕНИЙ
УДК 539.4
Нелокальные критерии разрушения. Критерий напряжений в точке*
С.В. Сукнёв
Рассмотрены особенности применения нелокальных критериев разрушения в задаче о прочности твёрдого тела, содержащего концентратор напряжений, при растяжении и сжатии. Показаны преимущества и ограничения использования критерия напряжений в точке.
Considered are some specific features of application for nonlocal criteria of fracture in a strength problem of solid body containing a stress concentrator under tension and compression. Advantages and restrictions for using the point stress criterion are shown.
Введение. В предыдущей работе [1] были рассмотрены возможности применения классических критериев, критериев механики разрушения, а также критерия средних напряжений в задаче о прочности твёрдого тела, содержащего концентратор напряжений.
Показано, что при проведении расчётов на прочность конструкций и сооружений из структурно-неоднородных материалов, таких как горные породы, высокопрочные металлические сплавы, композиты, бетон, чугун, механические и прочностные свойства которых подвержены сильному влиянию масштабного фактора, традиционный подход имеет весьма ограниченную область применения.
Условие прочности имеет вид *
сте < сто, (1)
где ае =Дсту); сто = const. Эквивалентное напряжение ае характеризует внутреннее напряжённое состояние тела и в общем случае является функцией компонент тензора напряжений ег,7. Предельное напряжение Оо характеризует стандартные (усреднённые) механические свойства тела и полагается константой материала. Наступлению
СУКНЕВ Сергей Викторович - д.т.н., зав. лаб. ИГДС СО РАН.
*Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 06-08-96002) и Сибирского отделения РАН (интеграционный проект № 6.19).
предельного состояния (разрушению) соответствует знак равенства в выражении (1), а критическое напряжение ас, при котором в наиболее напряжённой точке тела достигается предельное состояние, определяется выражением
где К, — коэффициент концентрации напряжений, характеризующий отношение эквивалентного напряжения сте в наиболее напряжённой точке тела к приложенному напряжению а. Область применения традиционного подхода ограничена невысокими значениями К,, когда размер зоны концентрации напряжений достаточно велик и сопоставим с размерами стандартных образцов, чтобы считать ст0 = const.
При очень высоких значениях К, используют подход линейной механики разрушения, в соответствии с которым предельное состояние оценивают на основе анализа особенности распределения напряжений вблизи вершины концентратора напряжений (трещины). Для прямолинейной трещины нормального отрыва длиной I = 2а критическое напряжение определяется выражением
где Кс - критический коэффициент интенсивности напряжений, характеризующий локальные свойства материала. Область применения этого подхода ограничена очень острыми концентра-
торами, когда характер распределения напряжений позволяет отнести их к концентраторам типа трещин.
Указанные ограничения приводят к тому, что подходы классической механики и механики разрушения имеют различные области практического применения. Первый подход используется при проектировании конструкции, когда ставится задача оптимизации её формы с целью максимально возможного снижения концентрации напряжений, а второй подход используется на стадии эксплуатации конструкции, когда ставится задача оценки её остаточного ресурса с учётом влияния имеющихся в конструкции дефектов, наибольшую опасность из которых представляют дефекты типа трещин. Проблема состоит в том, что большая часть конструктивных, технологических и эксплуатационных дефектов и концентраторов напряжений, имеющих высокое, но конечное значение коэффициента концентрации, оказывается вне области применения этих подходов. Поэтому актуальной является задача разработки новых подходов к расчётам конструкций на прочность, позволяющих охватить весь спектр концентраторов напряжений и с единых позиций подходить к расчёту конструкций с тупым концентратором напряжений и с трещиной.
В настоящее время интенсивно разрабатываются так называемые нелокальные критерии разрушения, в частности, интегральный критерий или критерий средних напряжений, который был рассмотрен в работе [1]. Общим свойством нелокальных критериев является введение внутреннего размера материала, характеризующего его структуру, что позволяет описать масштабный эффект в условиях концентрации напряжений и тем самым расширить область применения по сравнению с традиционными критериями и критериями механики разрушения. Интегральный критерий прочности имеет вид
Ю<*<£То> (4)
где - усреднённое на расстоянии с} по
опасному сечению значение эквивалентного напряжения:
ных) концентраторов напряжений. Однако применение критерия требует выполнения процедуры интегрирования, что в ряде случаев вызывает определённые трудности, особенно при решении несимметричных задач. Поэтому наряду с критерием средних напряжений широкое распространение получил критерий напряжений в точке.
Критерий напряжений в точке. В этом критерии интегрирование заменяется вычислением эквивалентного напряжения ае в некоторой точке, удалённой от точки максимума на расстояние d. Критерий прочности принимает вид
: oe{d)<a0. v (5)
Параметр d полагается новой константой материала, вообще говоря, не совпадающей с аналогичным параметром в интегральном критерии. Для обоснования критерия (5) приводятся те же рассуждения о перераспределении напряжений в зоне предразрушения, что и для критерия (4). Ввиду малости d напряжения на границе зоны предразрушения считаются приблизительно равными напряжениям, полученным из решения линейно-упругой задачи. Для критерия (5) используются различные названия, в том числе критерий прочности по минимальным напряжениям и критерий прочности по граничным (border) напряжениям. Однако чаще всего используют название критерий прочности по напряжениям в точке или просто критерий напряжений в точке (point stress criterion), предложенное Whitney и Nuismer [2], и обозначают PSC.
Критерий PSC обладает основными достоинствами интегрального критерия, а именно: возможностью описания масштабного эффекта и применимостью как для гладких, так и для сингулярных концентраторов напряжений. Для прямолинейной трещины длиной / = 2а в пластине, к которой на бесконечности приложено равномерное растягивающее напряжение ст, распределение нормальных напряжений сту в опасном сечении имеет вид (начало координат - в центре трещины) [3]:
* (6)
Размер усреднения d полагают константой материала.
Важным свойством интегрального критерия является его применимость как для гладких (тупых), так и для сингулярных (трещиноподоб-
Подставив в (6) значение х = а + d и приравняв полученный результат к Оо, получим критическое напряжение
+ ... <тс = сг0-. (7)
Для длинных трещин (/»сГ) формула (7) совпадает с формулой (3), полученной в рамках подхода линейной механики разрушения.
Однако вместе с преимуществами критерий PSC обладает и недостатками интегрального критерия. В частности, из (7) следует, что образование в пластине любой сколь угодно малой трещины приводит к снижению её прочности. Аналогичный вывод имеет место для твёрдого тела, содержащего искусственный дефект произвольной формы, что не согласуется с современными представлениями о реальном твёрдом теле, обладающем изначальной, присущей ему дефектностью [4]. Поэтому малые искусственные дефекты, размеры которых сопоставимы с размерами структурных составляющих материала, не оказывают влияния на его прочность до тех пор, пока их размеры не достигнут определённого (критического) значения. В рассмотренном выше примере задача определения критического размера дефекта в рамках критерия PSC не может быть поставлена. Заметим только, что при малых / скорость убывания критического напряжения по формуле (7) значительно ниже, чем по интегральному критерию, поэтому использование критерия PSC в этой области более предпочтительно. Вне области малых 1 более предпочтительным является использование интегрального критерия. Очевидно, критерий PSC представляет собой определённый компромисс между точностью и простотой: при некотором увеличении погрешности его использование значительно проще, чем интегрального критерия.
Были предприняты попытки повышения точности критерия PSC за счёт отказа от рассмотрения размера d в качестве константы материала. Для оценки прочности пластин с круговым отверстием Pipes, Wetherhold и Gillespie (Jr.) [5] предложили модифицированный критерий PSC, в котором размер d предполагается зависящим от радиуса отверстия R:
,_СVRoT с '
где т и С - новые феноменологические константы; R0 - вспомогательный параметр, введённый, чтобы обезразмерить R. Введение дополнительных констант в критерий прочности позволило более точно описать некоторые экспериментальные данные [5]. Однако для оценки прочности пластин с эллиптическим отверстием пришлось снова вводить дополнительные константы. Это связано с тем, что на некотором удалении от точки максимума эквивалентного напряжения его величина для более острого концентратора становится меньше, чем для менее острого (при одинаковом размере концентраторов по опасно-
му сечению). Это показано на рис. 1, где приведены распределения первого главного напряжения Oí в опасном сечении при одноосном растяжении пластины с эллиптическими отверстиями различной остроты, т.е. с различными значениями коэффициента концентрации напряжений К,. В результате критическое напряжение оказывается немонотонной функцией коэффициента концентрации напряжений. Начиная с некоторого К,, критическое напряжение возрастает с его увеличением и в некоторых случаях может даже превысить прочность гладкого образца. Понятно, что такое поведение критического напряжения является физически абсурдным. Tan [6] предложил следующее представление для d\
d = m{alar)\bldi,
где а и b - большая и малая полуоси эллипса, соответственно; т. е и / феноменологические константы; аг - обезразмеривающий параметр. Очевидно, введение дополнительных констант не делает критерий более привлекательным, а его физический смысл более ясным.
х/а
Рис. 1. Распределение первого главного напряжения в опасном сечении (1 - К, = 3; 2 - К, = 21)
Смешанное нагружение. При решении несимметричных задач возникают новые трудности с применением критерия РБС. Рассмотрим в качестве примера задачу о наклонном эллиптическом вырезе при растяжении (рис. 2). Данная задача представляет не только практический интерес, но также позволяет провести тестирование различных критериев разрушения в условиях нагружения смешанного типа.
Применительно к рассматриваемой задаче большинство теорий прочности предсказывают наступление предельного состояния в точке максимума первого главного напряжения на
У
А
Рис. 2. Наклонный эллиптический вьфез
контуре выреза. В соответствии с традиционным подходом критическое напряжение определяется выражением (2). Как было отмечено выше, область его применения ограничена невысокими значениями К,. Это означает, что для узкого эллиптического выреза выражение (2) может быть применено лишь при малых углах наклона со. С увеличением угла наклона выреза коэффициент концентрации напряжений быстро возрастает, а с ним возрастает и погрешность определения критического напряжения по формуле (2), что подтверждается известными экспериментальными данными, полученными в работе [7].
В связи с этим было предложено [8-11] искать опасную точку не на границе выреза, а на внешнем контуре, отстоящем на некотором расстоянии от выреза. При этом возникают два вопроса: какова форма внешнего контура и на каком расстоянии от границы выреза он находится? Не привлекая каких-либо физических соображений на этот счёт, в работах [8, 9] в качестве внешнего контура используется окружность радиуса г с центром в точке максимума тангенциального напряжения на границе выреза, а в работах [10, 11] - конфокальный эллипс с размером большой полуоси (а + г), где а - большая полуось эллиптического выреза. Величина г подбирается исходя из наилучшего соответствия результатов расчёта экспериментальным данным. Расчёт критического напряжения производился на основе различных критериев прочности: максимального тангенциального напряжения (MTS) [9], максимального тангенциального главного напряжения (MTPS) [9], максимального главного напряжения (MPS) [9, 11], максимальной тангенциальной деформации (MTSN) [9, 10], минимума плотности энергии деформации (SED) [8, 9].
Сопоставление результатов расчёта ас с экспериментальными данными не выявило преимущества какого-либо из перечисленных критериев перед остальными [9]. Очевидно, это обусловлено тем, что параметр аппроксимации г связан с физическими механизмами разруше материала, которые определяют вид того i иного критерия прочности. Более того, иску 5енное введение в критерий прочности дополни ильного феноменологического параметра «размывает» физическую суть критерия и делает непринципиальным его выбор для проведения расчётов на прочность. Об этом же свидетельствует и такая деталь, на которую обратили внимание Maiti и Smith [9]: на удалении от контура выреза положение, направление и величина первого главного и тангенциального напряжений, вообще говоря, не совпадают. В результате, вместо одного критерия MTS на контуре выреза, мы получаем сразу три критерия на удалении от него: MTS, MPS и MTPS, причём, как уже было сказано, ни один из них не продемонстрировал преимущества перед остальными. Таким образом, неопределённость в выборе опасной точки и критерия прочности затрудняет практическое применение описанного подхода для оценки критической нагрузки.
Сжатие. Другая ситуация возникает в случае, когда тело подвергается не растяжению, а сжатию. Рассмотрим для примера концентратор напряжений в виде кругового отверстия. Распределение нормальных напряжений av вдоль линии приложения нагрузки (ось х) имеет вид [12]:
где р - приложенное сжимающее напряжение (давление); а - радиус отверстия. Начало координат выбрано в центре отверстия, напряжение р принято положительным. Растягивающие напряжения достигают своего максимального значения егП1ах = р на контуре отверстия в точках х = ±а, при удалении от него напряжения быстро убывают. Распределение напряжений а^х) показано на рис. 3. Как видно из (8) и рис. 3, на некотором расстоянии от контура отверстия напряжение (Ту переходит через нуль и меняет знак. Это приводит к тому, что при уменьшении диаметра отверстия I = 2а критическая величина приложенного давления рс, при котором на контуре отверстия образуются трещины отрыва, стремится к неограниченному значению. В действительности, это значение, очевидно, ограничено пределом прочности материала на сжатие
Рис. 3. Распределение нормальных напряжений вдоль тпши приложения нагрузки
. откуда следует, что существует критическое ачение размера отверстия / = /с, ниже которо-: трещины отрыва на контуре отверстия не "разуются. Другими словами, при / < 1С мате-;ал не чувствует присутствия концентратора ^ спряжений.
Критическое давление получим, подставив в v 1 значение х = а + d и приравняв полученный ■ .зультат к а0:
2(1 + 2 d/l)
Рс
J>L,
(9)
3-(1 + 2с///)
"ле % ~ / Со; С0 - предел прочности материала -1 сжатие.
Была проведена экспериментальная проверка зможности применения критерия напряжений ~очке к оценке образования трещин отрыва при -атии. В качестве модельного материала ис-льзовали дигидрат сульфата кальция (двух-дный гипс), приготовленный из водного распора строительного гипса. Наряду с полуводным
сульфатом кальция, строительный гипс уже содержит в своём составе определённую долю двухводного сульфата кальция, который не участвует в реакции гидратации при изготовлении образцов и фактически играет роль заполнителя. Были изготовлены две партии образцов: одна из гипсового материала с высоким (более 90 %) содержанием полуводного сульфата кальция (гипс 1), вторая - из гипсового материала с низким (в пределах 60-70 %) содержанием полувод-ного сульфата кальция в исходном составе (гипс 2).
Образование трещин отрыва в зонах концентрации напряжений исследовали на образцах, содержащих центральные круговые отверстия различного диаметра и подверженных одноосному сжатию со скоростью 0,5 мм/мин. Образцы представляли собой квадратные плиты размером 200x200 мм и толщиной 30-35 мм. Диаметр отверстия изменяли от 3,5 до 25 мм. На контур отверстия наносили графитовые датчики электропроводимости. Регистрацию трещин отрыва осуществляли по диаграммам изменения электропроводимости графитовых датчиков в процессе нагружения образца. Методика проведения эксперимента описана в работе [13].
На рис. 4, а представлены экспериментальные данные (точки) о величине нагрузки в момент образования трещин отрыва на контуре отверстия в зависимости от его диаметра, полученные на образцах из гипса 1, и результаты расчёта критического давления (сплошная кривая) по формуле (9). Штриховая прямая рассчитана согласно традиционному подходу. Аналогичные результаты, полученные на образцах из гипса 2, приведены на рис. 4, б. Рис. 4 иллюстрирует существенный масштабный эффект, т.е. влияние
Рс/Со
0,8 ■
0,4 ■
рс! Со
3 L, см
Рис. 4. Зависимость критического давления от диаметра отверстия
; сукнёв
диаметра отверстия на локальную прочность материала. С его уменьшением критическое давление возрастает, достигая предела прочности на сжатие, с увеличением - асимптотически приближается к пределу прочности на растяжение. Такое поведение качественно описывается критерием напряжений в точке. Однако удовлетворительное количественное соответствие расчётных и экспериментальных значений получено только для гипса 1 (рис. 4, а). Критический диаметр отверстия 1С оказался приблизительно равным 6с1. Эти результаты в целом повторяют выводы, сделанные ранее [1] в отношении критерия средних напряжений.
Выводы 1. Критерий напряжений в точке, так же как критерий средних напряжений, позволяет описать масштабный эффект локальной прочности материала в условиях концентрации напряжений. При растяжении использование критерия напряжений в точке более предпочтительно в области малых дефектов. Вне этой области более предпочтительным является использование критерия средних напряжений.
2. Упрощение процедуры расчёта критического напряжения по критерию напряжений в точке по сравнению с критерием средних напряжений приводит к дополнительному ограничению области его применения, связанному с немонотонным характером поведения критического напряжения при увеличении остроты концентратора напряжений.
3. Экспериментально показано, что для некоторых материалов критерий напряжений в точке может быть успешно применён как для описания масштабного эффекта, так и для оценки критического размера дефекта при сжатии. Однако применение критерия для других материалов позволяет получить лишь качественные оценки локальной прочности.
Литература
1. Сукнёв С.В. Нелокальные критерии разрушения. Критерий средних напряжений // Наука и образование.-2007,-№ 1,-С. 28-33.
2. Whitney J.M., Nuismer R.J. Stress fracture criteria for laminated composites containing stress concentrations // J. Compos. Mater. - 1974. - Vol. 8, No. 4. - P. 253-265.
3. Хеллан К. Введение в механику разрушения. -М.: Мир, 1988. -364 с.
4. Shaw М.С. A critical review of mechanical failure criteria // Trans. ASME. J. Eng. Mater, and Technol. -1984.-Vol. 106, No. 3,- P. 219-226.
5. Pipes R.В., Wetherhold R. C„ Gillespie J. W. (Jr.) Notched strength of composite materials // J. Compos. Mater. - 1979. - Vol. 13. - P. 148-160.
6. Tan S. C. Laminated composites containing an elliptical opening. II. Experiment and model modification // J. Compos. Mater. - 1987. - Vol. 21, No. 10. - P. 949-968.
7. WuH.C., Yao R.F., Yip M.C. Experimental investigation of the angled elliptic notch problem in tension // Trans. ASME. J. Appl. Mech. - 1977. - Vol. 44, No. 3. -P. 455-461.
8. Kipp M.E., Sih G.C. The strain energy density failure criterion applied to notched elastic solids // Int. J. Solids Struct. - 1975. - Vol. 11, No. 2. - P. 153-173.
9. MaitiS.K., Smith R.A. Comparison of the criteria for mixed mode brittle fracture based on the preinstability stress-strain field. Part I: Slit and elliptical cracks under uniaxial tensile loading // Int. J. Fract. - 1983. - Vol. 23, No. 4.-P. 281-295.
10. Wu H.-C., Chang K.-J. Angled elliptic notch problem in compression and tension // Trans. ASME. J. Appl. Mech. - 1978. - Vol. 45, No. 2. - P. 258-262.
11. Yeh H.-Y., KimC.H. Fracture mechanics of the angled elliptic crack under uniaxial tension // Eng. Fract. Mech. - 1995.-Vol. 50, No. l.-P. 103-110.
12. Седов Л.И. Механика сплошной среды. - М.: Наука, 1984.-Т. 2.-560 с.
13. Сукнев С.В., Елшин В.К., Новопаишн М.Д. Экспериментальное моделирование процессов трещино-образования в образцах горных пород с отверстием // ФТПРПИ. - 2003. - № 5. _ с. 47-54,
♦> ♦> ♦»
