CC BY
131
УДК 539.4:622.023.23
Нелокальные и градиентные критерии разрушения квазихрупких материалов при сжатии
С.В. Сукнев
Институт горного дела Севера им. Н.В. Черского СО РАН, Якутск, 677980, Россия
Выполнен анализ возможности применения известных нелокальных и градиентных критериев разрушения для описания хрупкого, квазихрупкого и вязкого разрушения материалов с вырезами. Общим свойством выбранных критериев является введение внутреннего размера материала, характеризующего его структуру, что позволяет описать масштабный эффект в условиях концентрации напряжений и тем самым расширить область применения по сравнению с традиционными критериями. Показано, что эта область ограничена случаями хрупкого либо квазихрупкого разрушения с малой зоной предразрушения. Для расширения области применения критериев на случаи квазихрупкого разрушения с развитой зоной предразрушения предложено отказаться от гипотезы о размере зоны предразрушения как о константе материала, связанной только с его структурой. Разработаны, физически обоснованы и экспериментально подтверждены новые нелокальные критерии, являющиеся развитием критериев средних напряжений, напряжений в точке, фиктивной трещины, градиентного критерия и содержащие комплексный параметр, характеризующий размер зоны предразрушения и учитывающий не только структуру материала, но и пластические свойства материала, геометрию образца и условия его нагружения. Получены выражения для критического давления в задаче об образовании трещин отрыва при сжатии в образцах геоматериалов с круговым отверстием. Результаты расчетов хорошо согласуются с экспериментальными данными о разрушении гипсовых плит с отверстием. Кроме того, применение разработанных критериев позволило объяснить наблюдаемую в эксперименте смену характера разрушения с хрупкого на вязкий при увеличении размера отверстия.
Ключевые слова: хрупкое разрушение, квазихрупкое разрушение, вязкое разрушение, нелокальные критерии, градиентные критерии, геоматериалы, масштабный эффект, концентрация напряжений
DOI 10.24411/1683-805X-2018-14003
Nonlocal and gradient fracture criteria for quasi-brittle materials
under compression
S.V. Suknev
Chersky Institute of Mining of the North SB RAS, Yakutsk, 677980, Russia
This paper analyzes the possibility of using known nonlocal and gradient fracture criteria to describe brittle, quasi-brittle, and ductile fracture of notched materials. A common property of these criteria is the introduced internal dimension of the material characterizing its structure. It allows describing the scale effect at stress concentration and thus the scope of application of the criteria is expanded in comparison with conventional criteria. However, it is shown that the applications are limited to cases of brittle or quasi-brittle fracture with a small prefracture zone. If we want to apply the above criteria to cases of quasi-brittle fracture with a developed prefracture zone, we should abandon the hypothesis that the prefracture zone size is a constant of the material associated only with its structure. In this paper, we have developed and experimentally confirmed new nonlocal criteria based on the criteria for mean stresses, stresses at a point, a fictitious crack, and a gradient criterion. The new criteria contain a complex parameter that characterizes the prefracture zone size and takes into account the structure of the material, its plastic properties, sample geometry, and loading conditions. Expressions are obtained for the critical pressure in the problem of mode I crack formation in compressed samples of geomaterials with a circular hole. The calculation results agree well with the experimental data on the fracture of gypsum plates with a hole. In addition, the developed criteria helped to explain the experimentally observed change from brittle to ductile fracture behavior when the hole size is increased.
Keywords: brittle fracture, quasi-brittle fracture, ductile fracture, nonlocal criteria, gradient criteria, geomaterials, scale effect, stress concentrations
1. Введение
Нелокальные критерии разрушения основаны на представлении о формировании в материале зоны пред-
©Сукнев C.B., 2018
разрушения, в которой происходит локальное перераспределение напряжений, в то время как основной материал деформируется упруго вплоть до разрушения. Ти-
пичными представителями таких квазихрупких материалов являются геоматериалы (бетон, гипс, горные породы), композиты, высокопрочные металлические сплавы, чугун, графит и др. Разрушение рассматривается как физический процесс, происходящий не в математической точке, в которой достигается максимальное значение эквивалентного напряжения, а в некоторой ее малой окрестности (зоне предразрушения). Общим свойством этих критериев является введение внутреннего размера материала, характеризующего его структуру, что позволяет описать масштабный эффект в условиях концентрации напряжений и тем самым расширить область применения по сравнению с традиционными критериями.
Основы нелокальных критериев разрушения были заложены в работах K. Wieghardt [1], H. Neuber [2] и B.B. Новожилова [3], выдвинувших идею усреднения напряжений в зоне предразрушения. Для оценки прочности пластин с вырезами M.E. Waddoups, J.R. Eisenmann и B.E. Kaminski [4] применили подход фиктивной трещины, а J.G. Williams и P.D. Ewing [5] рассмотрели напряжения на небольшом удалении от точки максимума. На основе идеи усреднения напряжений E.Z. Laj-tai [6] предложил градиентный критерий разрушения. B дальнейшем эти подходы были развиты в работах [7-9] и др. Важной особенностью нелокальных критериев является возможность их применения для описания разрушения как вблизи гладких (тупых), так и сингулярных (острых) концентраторов напряжений. B качестве концентраторов напряжений будем рассматривать вырезы (отверстия, полости) в твердом теле.
Среди нелокальных критериев наибольшее распространение получили критерии средних напряжений и напряжений в точке. Для их обозначения используем аббревиатуры ASC (average stress criterion) и PSC (point stress criterion), введенные в работе [7]. Применение критериев ASC и PSC аналогично применению традиционных критериев с той разницей, что в расчет левой части критерия помимо компонент тензора напряжений также входит структурный параметр размерности длины. Вычисленная таким образом величина эквивалентного напряжения приравнивается к прочностной характеристике материала, которая полагается константой.
Другой подход к расчетам на прочность состоит в применении методов механики разрушения. Для трещины в твердом теле составляется энергетический баланс при ее виртуальном приращении на бесконечно малую величину и записывается условие роста трещины, которое и является критерием разрушения. Процедура применения критериев механики разрушения обычно сводится к расчету соответствующего коэффициента интенсивности напряжений, характеризующего степень снижения напряжений вблизи вершины трещины, и приравнивания его к критическому значению, которое
также полагается константой материала. Для того чтобы критерий линейной (упругой) механики разрушения применить к описанию разрушения вблизи гладкого выреза, поступают следующим образом. Предполагают, что в вершине выреза в зоне концентрации напряжений изначально существует воображаемая (фиктивная) трещина, длина которой является константой материала, характеризующей его структуру. Для трещины, находящейся в неоднородном поле напряжений, рассчитывается коэффициент интенсивности напряжений и применяется подход линейной механики разрушения. Длина фиктивной трещины и критический коэффициент интенсивности напряжений связаны предельным соотношением на прочность гладкого (без выреза) образца. Такой критерий разрушения будем обозначать FCC (fictitious crack criterion).
Упомянем также недавно предложенный в [10, 11] критерий FFM (finite fracture mechanics). В этом критерии постулируется, что рост трещины, включая момент ее возникновения вблизи выреза, происходит скачкообразно. Разрушение происходит, если энергия, высвобождаемая при скачкообразном изменении длины трещины, достигнет критического значения. Конечный размер приращения длины трещины рассматривается в качестве константы материала.
Указывая на общие свойства перечисленных критериев, D. Taylor [12] предложил рассматривать их как частные выражения некой общей «теории критических расстояний». В названии теории содержится основной признак, объединяющий эти критерии, — единственный параметр размерности длины, который связан с константами материала: пределом прочности гладкого образца и критическим коэффициентом интенсивности напряжений. В последнее время появилось большое количество работ, которые для описания разрушения материалов с вырезами апеллируют к теории критических расстояний [13].
В настоящее время наблюдается бурное развитие нелокальных критериев разрушения. По сути, все современные механические теории хрупкого разрушения твердых тел с вырезами являются нелокальными. Причем развитие критериев идeт по разным направлениям. Одно направление связано с уточнением функции эквивалентного напряжения (например, использование вместо максимального тангенциального напряжения максимального касательного напряжения [14], интенсивности напряжений [15], максимальной тангенциальной деформации [16] или плотности энергии деформации [17]). Другое направление связано с изменением процедуры применения критерия (например, выполнение усреднения в критерии ASC не по опасному сечению, а в некоторой области [12]).
В отдельную группу нелокальных критериев разрушения могут быть отнесены так называемые градиент-
ные критерии. В соответствии с этими критериями достижение предельного состояния в рассматриваемой точке тела определяется не только величиной действующих напряжений, но также их градиентами. Другими словами, эквивалентное напряжение является функцией компонент тензора напряжений и компонент тензора градиентов напряжений. Влияние градиентов напряжений на достижение предельного состояния может быть рассмотрено в рамках перечисленных выше нелокальных критериев. К примеру, градиентный критерий Lajtai [6] получен путем линеаризации подынтегральной функции в критерии ASC. M.I. Darby [18] применил критерий FCC для объяснения влияния градиента напряжений на прочность графита при изгибе. Наибольший интерес представляют критерии, разработанные на основе гипотезы о влиянии градиента напряжений на величину локального разрушающего напряжения в хрупких материалах [19-21]. Так, в работе [22] предложен градиентный критерий образования трещин отрыва при сжатии, который будем обозначать SGC (stress gradient criterion).
2. Области хрупкого, квазихрупкого и вязкого разрушения
Область применения нелокальных критериев - это, по преимуществу, хрупкое разрушение материалов с вырезами. Для описания вязкого разрушения необходима дополнительная информация о неупругом поведении материала в зоне предразрушения или о константах материала, характеризующих его пластические свойства. Промежуточное положение между хрупким и вязким разрушением занимают области квазихрупкого и квазивязкого разрушения. Эти области отличаются размером зоны предразрушения по отношению к длине трещины [23]. Часто такое отличие между областями не делается, а разрушение с развитой зоной повреж-денности, размер которой может быть сопоставим с размером трещины и тела, называют квазихрупким [24]. В дальнейшем мы не будем делать этого отличия и для простоты промежуточную область между хрупким и
вязким разрушением будем называть областью квазихрупкого разрушения.
Наглядно области хрупкого, квазихрупкого и вязкого разрушения могут быть представлены на диаграмме разрушения в координатах «разрушающая нагрузка -размер выреза» (рис. 1). Штриховая прямая на рис. 1 соответствует расчету разрушающей нагрузки (критического напряжения) по традиционному критерию прочности, который имеет вид
Oe <°0> (1)
где Ge = f (Gij ), G0 = const. Эквивалентное напряжение Ge характеризует внутреннее напряженное состояние тела и в общем случае является функцией компонент тензора напряжений . Прочность материала а0 полагается константой. Наступлению предельного состояния (разрушению) соответствует знак равенства в выражении (1). Критическое напряжение oc, при котором в наиболее напряженной точке тела достигается предельное состояние, определяется выражением
K t
(2)
Рис. 1. Диаграммы разрушения при хрупком (7), квазихрупком (2) и вязком (3) разрушении
где К — коэффициент концентрации упругих напряжений, характеризующий отношение эквивалентного напряжения а6 в наиболее напряженной точке тела к приложенному напряжению а.
Для упругопластического тела коэффициент концентрации напряжений К8 < Кх вследствие перераспределения упругих напряжений в пластической зоне (зоне предразрушения). Коэффициент К8 определяется из решения упругопластической задачи. Соответствующее значение критического напряжения показано на рис. 1, прямая 3. В соответствии с традиционным подходом к расчету на прочность разрушающее напряжение не зависит от размера концентратора напряжений, масштабный эффект отсутствует. Разрушение образца с вырезом любого размера I происходит при одних и тех же напряжениях ае < а0.
В соответствии с современными представлениями о реальном твердом теле, обладающем изначальной, присущей ему дефектностью, малые искусственные дефекты, размеры которых сопоставимы с размерами структурных составляющих материала, не оказывают влияния на его прочность до тех пор, пока их размеры не достигнут определенного (критического) значения. После достижения концентратором напряжений критического размера ¡с разрушающее напряжение уменьшается с ростом I, асимптотически приближаясь к теоретическому значению а0/К (рис. 1, кривая 7), рассчитанному по формуле (2), при хрупком разрушении, или к значению а0/К (рис. 1, кривая 2) при квазихрупком разрушении.
В первом случае материал ведет себя упруго вплоть до разрушения, демонстрирует выраженный масштаб-
_а0
ный эффект и разрушается без образования пластических (необратимых) деформаций в зоне концентрации напряжений. Квазихрупкое разрушение характеризуется образованием зоны поврежденности (пластичности). Если размер зоны поврежденности d сопоставим с размерами структурных составляющих материала, то его пластические свойства проявляются слабо и разрушение носит хрупкий характер. Но с увеличением d пластические свойства проявляются сильнее, характер разрушения меняется и масштабный эффект проявляется в меньшей степени. В пределе, когда размер зоны по-врежденности намного превышает размер структуры материала, мы имеем обычное вязкое разрушение упру-гопластического тела, при этом d пропорционален I, масштабный эффект отсутствует (рис. 1, прямая 3).
В настоящее время для описания квазихрупкого разрушения широко используются и развиваются модели когезионной зоны или когезионной трещины [25-27]. Под когезионной зоной понимается область материала, в которой силы сцепления между материальными частицами ослаблены по сравнению с основным материалом. Закон ослабления задается априори. Обычно когезион-ная зона представляется в виде математического разреза (трещины), по берегам которого действуют нормальные силы, имитирующие силы сцепления. Для расчета разрушающего напряжения используется аппарат механики трещин. Модель когезионной трещины представляет собой логическое развитие модели фиктивной трещины.
В результате распространения когезионных моделей сложилось упрощенное представление о моделях квазихрупкого и хрупкого разрушения по принципу использования или неиспользования в них в явном виде закона ослабления. Не вдаваясь в вопросы физической адекватности различных, в том числе когезионных, моделей разрушения, заметим, что не существует принципиальных ограничений на использование некогезионных моделей для описания квазихрупкого разрушения. Стоит упомянуть модели с затуплением вершины выреза в результате образования зоны поврежденности [28, 29] или модели с деградацией упругих свойств материала в той же зоне [30].
На практике определить степень «хрупкости» или «квазихрупкости» разрушения образцов с вырезами бывает сложно, поскольку это связано с трудностями надежной регистрации зоны предразрушения в образцах. Также затруднительно судить о степени «квазихрупкости» разрушения по скорости распространения трещины, которая зависит не только от размера зоны предразрушения, но также от геометрии образца и условий нагружения. В работе [31], в которой представлены результаты экспериментов по разрушению графитовых пластин с вырезами при растяжении, процесс разрушения образцов описывается как внезапный, без видимой стадии предразрушения, с почти линейной диаграммой деформирования. На этом основании разрушение об-
разцов характеризуется как хрупкое. При этом анализ результатов работы [31], представленный в работе [32], показал, что размер зоны предразрушения значительно превышал характерный внутренний (структурный) размер материала и зависел от радиуса вершины выреза, что указывает на квазихрупкий характер разрушения испытанных образцов.
В эксперименте как хрупкое, так и квазихрупкое разрушение характеризуется, как правило, внезапным образованием и быстрым ростом трещины (при соблюдении необходимых условий для распространения неустойчивой трещины). Только если в эксперименте наблюдается явное образование пластической зоны или зоны разупрочнения (растрескивания), которое сдерживает рост трещины, говорят о вязком характере разрушения. Поэтому для описания хрупкого (внезапного) разрушения используют различные критерии, включая когезионные модели. В качестве примера можно привести работы [33-35], в которых результаты расчетов по нелокальным и когезионным моделям сопоставлены с экспериментальными данными о хрупком разрушении материалов с вырезами. Сколько-нибудь существенного отличия в результатах применения когезионных и неко-гезионных моделей выявлено не было.
Большое значение для расчета разрушающего напряжения имеют не только вид критерия и соответствующая вычислительная процедура, но также правильное определение параметров критерия, прежде всего размера зоны предразрушения. В дальнейшем под квазихрупким разрушением будем понимать внезапное распространение неустойчивой трещины (характерное также для хрупкого разрушения), сопровождающееся образованием значительной зоны предразрушения. При этом размер зоны предразрушения d будем соотносить не с размером трещины, как это принято в механике трещин [23, 24], а с характерным размером структуры материала d0. Если d = d0 будем говорить о хрупком разрушении, если d >> d0 — о вязком разрушении. Размер d0 — это размер представительного объема материала, т.е. минимального объема, в котором осредненные напряжения могут быть рассчитаны в рамках теории упругости. Поэтому перераспределение напряжений в пределах d0 не связано с пластической (в макроскопическом смысле) деформацией материала. Пластические свойства материала начинают проявляться при d > ¿0 и проявляются тем сильнее, чем больше d по отношению к ¿0. С учетом этого представим d в следующем виде:
d = do + Р4, (3)
где Ье — размер зоны концентрации напряжений; в — безразмерный параметр, характеризующий пластичность материала. Для хрупких материалов в = 0, для пластичных материалов в>> 1. При в ~1 материал характеризуется умеренными пластическими свойствами.
При вязком разрушении критическое напряжение не зависит от размера концентратора напряжений, поэтому размер зоны поврежденности пропорционален размеру концентратора и, соответственно, размеру Le (при неизменных граничных условиях). При хрупком разрушении, напротив, размер зоны поврежденности не зависит от размера концентратора напряжений и определяется структурой материала.
При сжатии поведение разрушающего напряжения, характеризующего образование трещин отрыва вблизи выреза, имеет вид, аналогичный изображенному на рис. 1, с той лишь разницей, что роль коэффициента концентрации напряжений выполняет отношение предела прочности материала при сжатии к пределу прочности при растяжении, если в качестве а0 рассматривать предел прочности при сжатии С0. При малых значениях Le материал не чувствует присутствия концентратора напряжений и разрушается как гладкий образец при достижении критическим давлением предела прочности С0. После достижения критического размера концентратора разрушающее давление pc уменьшается, асимптотически приближаясь к пределу прочности материала при растяжении T0 в случае хрупкого разрушения и к напряжению Ts (С0 > Ts > T0) в случае вязкого разрушения.
3. Критерии квазихрупкого разрушения
Рассмотрим известные нелокальные критерии с учетом изложенных выше представлений о формировании зоны поврежденности.
3.1. Критерий средних напряжений
Из нелокальных критериев наибольшее распространение получил критерий средних напряжений, или интегральный критерий, который имеет вид
<ae>d <а0> (4)
где (ae >d — усредненное на расстоянии d по опасному сечению значение эквивалентного напряжения:
<°e > d = 1 R(*)dx. (5)
d 0
Для хрупких материалов размер усреднения d полагают константой материала, характеризующей его структуру: d = d0 = const. (6)
Критическое давление для образца с круговым отверстием [36]:
Pc = ХС0
(1 + 2 d/l )3 1 + dll
(7)
Здесь % = Г0/ С0; I — диаметр отверстия; 1С — критический диаметр отверстия.
Для описания квазихрупкого разрушения размер усреднения будем определять по формуле (3), в которой размер зоны концентрации напряжений а.
Рис. 2. Распределение эквивалентного напряжения по опасному сечению
На рис. 2 схематично показано распределение эквивалентного напряжения по опасному сечению, отнесенное к величине максимального эквивалентного напряжения на контуре отверстия. Из точки максимума проведена касательная до пересечения с осью х. В соответствии с (8) размер зоны концентрации напряжений Le определяется длиной отрезка на оси х от контура отверстия до точки пересечения касательной с осью.
Распределение нормального напряжения а^ вдоль линии приложения нагрузки имеет вид [37]
«.=p
/4 2^
3 a a
x x
V У
(9)
где р — приложенное сжимающее напряжение (давление); а — радиус отверстия. Начало координат выбрано в центре отверстия, напряжениер принято положительным. Размер зоны концентрации напряжений, рассчитанный по формуле (8) с учетом (9), составил Ье = II10.
Критическое давление получим, подставив (3) в (7) с учетом сделанной оценки для Ье:
\3
Pc = хС
(1 + 2 dо/1 + 0.2|3 )3
(10)
(11)
Le Igrad a
(8)
1 + d0/1 + 0.1р
При I ^ <» имеем = (1 + 0.2 в)3 Т0 1 + 0.1в .
Для квазихрупких материалов, характеризующихся умеренными пластическими свойствами, параметр в приближенно равен:
Р = 2(Т;/Г0 -1). (12)
3.2. Критерий напряжений в точке
Применение критерия средних напряжений требует выполнения процедуры интегрирования, что в ряде случаев вызывает определенные трудности, особенно при решении несимметричных задач. Поэтому наряду с критерием средних напряжений широкое распространение получил критерий напряжений в точке. В этом критерии интегрирование заменяется вычислением эквивалентного напряжения ае в некоторой точке, уда-
ленной от точки максимума на расстояние d. Критерий прочности принимает вид ае (й) < а0.
Параметр d также полагается константой материала, не совпадающей с аналогичным параметром в интегральном критерии. Критическое давление для образца с круговым отверстием определяется выражением [36]
2(1 + 2й/г )4
Рс = хО
I >1с.
(13)
'3 - (1 + 2й/1 )2 Подставив (3) в (13), с учетом сделанной выше оценки для Ье получим
Р 2(1++0-2Р)4 (14)
Рс =ХС03 - (1 + 2^/ I + 0.2Р)2' (14)
При I ^ ^ имеем
= 2(1+ 0.2р)4 (15) Т0 3 - (1 + 0.2Р)2'
Для квазихрупких материалов, характеризующихся умеренными пластическими свойствами, параметр в приближенно равен
в» ТЗ / Т-1. (16)
3.3. Критерий фиктивной трещины
Критерий фиктивной трещины основан на моделировании зоны предразрушения в виде трещины, исходящей из вершины концентратора. Для трещины, находящейся в неоднородном поле напряжений, рассчитывается коэффициент интенсивности напряжений и применяется подход линейной механики разрушения, в соответствии с которым наступление предельного состояния (рост трещины) связывают с достижением коэффициентом интенсивности напряжений критического значения. Условие прочности записывают в виде К < Кс, где К — коэффициент интенсивности напряжений; Кс — его критическое значение. Длину трещины d полагают константой материала.
Критическое давление для образца с круговым отверстием определяется выражением [36]
Л 1 {л 2d ^-3/2 рс =хС0 - 2Г + Т
3 Л 2d + -| 1 + — 21 I
-712
л d d2 1+-Т + —7
I 21
(17)
/у
Подставив (3) в (17), с учетом сделанной выше оценки для Ье получим
{
Рс = ХС0
-2 {1 +0.2
-3/2
+ 3 {1 + 0.2 р + ^
-7/2
{
1 + 0.1Р + +1
I 21 I
2 У У
При I ^ тс имеем
Т { 1
= | —(1 + 0.2 р)-3/2 + -(1 + 0.2 в )-7/2 х
х| 1+0.1в+- (0.1в)2
3 -(
2
У-1
(19)
Для квазихрупких материалов, характеризующихся умеренными пластическими свойствами, параметр в приближенно равен
в»|(Г8/Т0 -1). (20)
3.4. Градиентный критерий
Альтернативная точка зрения на масштабный эффект состоит в том, что в хрупких материалах он связан не с перераспределением напряжений, а с реальным увеличением локального разрушающего напряжения. Эта гипотеза, в частности, лежит в основе статистических теорий прочности.
На основе этой гипотезы для описания хрупкого разрушения был предложен градиентный подход [38], в соответствии с которым локальная прочность материала предполагается зависящей от размера зоны концентрации напряжений Ье. Если размер Ье достаточно велик по сравнению с размерами структурных составляющих материала, то величина локальной прочности мало отличается от величины предельного напряжения а0, определенной в условиях однородного распределения напряжений. Наоборот, если Ье сопоставим с размерами структурных элементов, их влияние на локальную прочность становится заметным. Причем это влияние тем больше, чем меньше размер Ье по отношению к характерному размеру структуры материала А0. Таким образом, локальная прочность материала зависит не просто от размера зоны концентрации напряжений Ье, а от соотношения Ь0/Ье, которое характеризует масштаб в рассматриваемой задаче. С учетом этого условие локальной прочности представляется в виде
ае < /(а0> V АД
Функция локальной прочности /(а0, Ь0/Ье) определяется с учетом дополнительных условий, отражающих специфику рассматриваемой задачи. Для задачи об образовании трещин отрыва при сжатии функция локальной прочности имеет вид [22]
(
/ (а0, V 4) = а0
{ т У
У
1 +
(21)
Соответственно, критическое давление, при котором на контуре отверстия образуются трещины отрыва, определяется выражением
{
Рс = хО
{т У
Л
1 +
(22)
Хотя градиентный критерий не предполагает образования в материале зоны поврежденности, его приме-
нение позволяет описывать разрушение не только хрупких материалов, но также материалов, демонстрирующих заметные пластические свойства [36]. Это оказалось возможным благодаря тому, что в выражении (22) присутствует дополнительный параметр — показатель степени п. В задаче о разрушении хрупкого материала с концентратором напряжений при одноосном растяжении показатель п связан с характером сингулярности поля напряжений при вырождении концентратора в трещину. В отличие от случая разрушения при одноосном растяжении, в рассматриваемой задаче об образовании трещин отрыва при сжатии показатель п не имеет ясного физического смысла и определяется как параметр аппроксимации экспериментальных данных. Опытным путем установлено, что для хрупких материалов п =1. Для квазихрупких материалов, разрушение которых сопровождалось образованием значительной зоны поврежденности, п оказался равным 0.5. При этом, как видно из выражения (22), величина п не влияет на качественный характер зависимости рС(Le), она имеет вид кривой 1 (рис. 1), характерной для хрупкого разрушения. В этом заключается очевидное противоречие, которое может быть устранено путем модернизации критерия аналогично тому, как это было сделано выше с нелокальными критериями.
Для структурного параметра Ь0 запишем выражение, аналогичное (3):
Lo = d 0 +вLe. (23)
В первоначальной формулировке критерия параметр Ь0 имел смысл характерного размера структуры материала d0 и не ассоциировался с зоной предразрушения. С учетом (23) L0 приобретает смысл параметра d в нелокальных критериях, а увеличение локальной прочности (21) связано не только с реальным масштабным эффектом, характерным для хрупких материалов, но также с «видимым» (кажущимся) увеличением за счет перераспределения упругих напряжений в зоне пред-разрушения.
Подстановка (23) в (21) с учетом того, что для хрупких материалов п =1, дает
f (Сто, L„/Le) = °0
г
1+ß Le
(24)
Второе слагаемое в правой части выражения (24) определяет вклад в масштабный эффект реального увеличения локальной прочности материала, а третье — «видимого».
Критическое давление для образца с круговым отверстием получим, подставив (23) в (22) с учетом сделанной выше оценки для Ье и приняв п =1:
Рс =ХС0|1 + в + 10I. (25)
I
При l ^ го имеем
TJ To = 1 + ß,
откуда
ß = Ts/T,-1. (27)
При d0 = 0 выражение (25) определяет критическое давление согласно традиционному подходу к расчетам на прочность.
4. Экспериментальная проверка
Проверку применимости разработанных критериев квазихрупкого разрушения проведем на экспериментальных данных об образовании трещин отрыва при сжатии в образцах геоматериалов с круговым отверстием.
Испытывали образцы, изготовленные из гипсового материала различного состава. Одна партия образцов была изготовлена из гипсового материала с высоким (более 90 %) содержанием полуводного гипса (гипс 1), вторая — из гипсового материала с низким (в пределах 60-70 %) содержанием полуводного гипса в исходном составе (гипс 2). Особенности изготовления образцов и методика проведения эксперимента описаны в работе [36].
Образцы из гипса 1 продемонстрировали хрупкий характер разрушения. Формирование трещин отрыва на контуре кругового отверстия носило внезапный характер для всех исследованных диаметров отверстий, протяженность трещин в момент образования составляла 5-6 см. С увеличением диаметра отверстия наблюдалось снижение величины критического давления в момент образования трещин, дальнейшее развитие трещин приводило к разрушению образца путем раскалывания на две части.
Формирование трещин отрыва на контуре кругового отверстия в образцах из гипса 2 имело различный характер для малых и больших отверстий. Их образование на контуре отверстий малого диаметра (до 5 мм включительно) носило внезапный характер, также как и в образцах из гипса 1 образцы разрушались хрупко. Появление и распространение трещин на контуре отверстия большого диаметра (10 мм и более) происходило постепенно, что характерно для вязкого разрушения. После образования удаленных от контура отверстия трещин раскрытие первичных трещин отрыва уменьшалось, их рост прекращался, на дальнейший процесс разрушения образца они влияния не оказывали.
4.1. Критерий средних напряжений
На рис. 3, а представлены экспериментальные данные (темные точки) о величине нагрузки в момент образования трещин отрыва на контуре отверстия в зависимости от его диаметра, полученные на образцах из гипса 1, и результаты расчета критического давления (кривая 1) по формуле (10) при ß = 0. Размер d0 определялся исходя из наилучшего соответствия результатов расчета и экспериментальных данных. Его величина составила 1.1 мм и оказалась сопоставимой с размером
Рис. 3. Зависимость критического давления от диаметра отверстия. Расчет по критерию средних напряжений (а), по градиентному критерию (б)
наиболее крупных пор. Штриховая прямая рассчитана согласно традиционному подходу.
Там же приведены экспериментальные данные (светлые точки) и результаты расчета для гипса 2 при значениях в = 0 (кривая 2) и в = 2.5 (кривая 3). B первом случае размер d0 составил 4.5 мм, во втором — 2 мм. B соответствии с формулой (11), напряжение Ts в первом случае равно T0, во втором — Ts = 2.7T0 (сплошная прямая).
Рисунок 3, а иллюстрирует существенный масштабный эффект, т.е. влияние диаметра отверстия на локальную прочность материала. С его уменьшением критическое давление возрастает, достигая предела прочности на сжатие, с увеличением — асимптотически приближается к пределу прочности на растяжение T0 для гип-са1 и к напряжению Ts для гипса 2. Такое поведение хорошо описывается модифицированным критерием средних напряжений, в котором размер усреднения d определяется по формуле (3).
4.2. Критерий напряжений в точке
Расчет критического давления для образцов из гипса 1 выполнен по формуле (14) при в = 0. Размер d0 составил 0.55 мм. Расчеты для гипса 2 были выполнены при значениях в = 0 и 1. B первом случае размер d0 составил 2.25 мм, во втором — 0.6 мм. B соответствии с формулой (15), напряжение Ts в первом случае равно T0, во втором — Ts = 2.7T0. Результаты расчетов по критерию PSC оказались близки к результатам расчетов по критерию ASC и имеют вид, аналогичный изображенному на рис. 3, а. Данные эксперимента хорошо описываются модифицированным критерием напряжений в точке, в котором размер d определяется по формуле (3).
4.3. Критерий фиктивной трещины
Расчет критического давления для образцов из гипса 1 выполнен по формуле (18) при в = 0. Размер d0 составил 0.8 мм. Расчеты для гипса 2 были выполнены при значениях в = 0 и 1.45. B первом случае размер d0 составил 3.3 мм, во втором — 0.9 мм. B соответствии
с формулой (19), напряжение Ts в первом случае равно T0, во втором — Ts = 2.7T0. Результаты расчетов по критерию FCC близки к результатам расчетов по критериям ASC и PSC и имеют вид, аналогичный изображенному на рис. 3, а. Экспериментальные данные хорошо описываются модифицированным критерием фиктивной трещины, в котором длина фиктивной трещины d определяется по формуле (3).
4.4. Градиентный критерий
На рис. 3, б представлены экспериментальные данные (темные точки) о величине нагрузки в момент образования трещин отрыва на контуре отверстия в зависимости от его диаметра, полученные на образцах из гипса 1, и результаты расчета критического давления (кривая 1) по формуле (25) при ß = 0. Размер d0 составил 0.7 мм. Штриховая прямая рассчитана согласно традиционному подходу.
Там же приведены экспериментальные данные (светлые точки) и результаты расчета для гипса 2 по формуле (22) при значении n = 0.5 (кривая 2) и по формуле (25) при ß = 1.7 (кривая 3). В первом случае структурный параметр d0 составил 14 мм, во втором — 1.8 мм. При расчете критического давления по формуле (22), очевидно, ß = 0. В соответствии с формулой (26), напряжение Ts в первом случае равно T0, во втором — Ts = 2.7 T0 (сплошная прямая).
Результаты эксперимента одинаково хорошо описываются как градиентным критерием в первоначальной постановке, так и модифицированным критерием, в котором структурный параметр L0 определяется по формуле (23).
5. Обсуждение
Проанализируем результаты расчетов, выполненных по различным нелокальным критериям, в сопоставлении с полученными экспериментальными данными.
Как видно из рис. 3, а, экспериментальные данные, полученные при хрупком (гипс 1) и вязком (гипс 2) характере распространения трещины, хорошо описы-
ваются модифицированными нелокальными критериями, которые учитывают изменение размера зоны пред-разрушения в соответствии с выражением (3). В первом случае параметр пластичности в равен нулю, во втором — определяется видом нелокального критерия и зависит от соотношения ТБ/Т0. Напряжение Т8 определяется асимптотическим видом зависимости рc (Le) и для всех рассмотренных критериев составило 2.7Т0.
Параметр 40 в выражении (3) представляет собой характерный размер структуры материала и во всех случаях составил величину порядка 1 мм, сопоставимую с размером наиболее крупных пор в материале. Поскольку размер 40, также как параметр в, зависит от вида критерия, нельзя ожидать его точного совпадения для различных нелокальных критериев. Поэтому можно говорить лишь о совпадении по порядку величины.
Важный результат состоит в том, что близкие значения параметра 40 получены для гипса 1 и гипса 2. И в первом, и во втором случае образцы изготавливали по одной технологии с использованием в-полугидрата сульфата кальция (при различном соотношении полугидрата и дигидрата в составе цемента). Поэтому образцы имели не только одинаковый скелет, но также близкие значения размеров пор и общей пористости. Об этом можно судить по прочностным характеристикам материалов: значения пределов прочности при растяжении и пределов прочности при сжатии отличались для гипса 1 и 2 не более чем на 10 %. Отсюда можно заключить, что полученные при использовании модифицированных критериев (в отличие от исходных критериев) значения 40 действительно характеризуют структуру материала.
Это отличие в использовании исходных и модифицированных критериев наиболее наглядно видно на примере градиентного критерия. Хотя результаты эксперимента одинаково хорошо описываются как градиентным критерием в первоначальной постановке, так и модифицированным критерием (рис. 3, б), значение структурного параметра 40 составило в первом случае 14 мм, что намного (более чем на порядок) превышает максимальные размеры структурных составляющих материала. Более того, этот размер значительно превышает даже размер зоны поврежденности, рассчитанный по нелокальным критериям. Поэтому физический смысл структурного параметра становится малопонятным. То же относится и к параметру п в градиентном критерии, о чем говорилось выше. С учетом этого можно сделать вывод о том, что использование модифицированного градиентного критерия является более предпочтительным.
Таким образом, все рассмотренные модифицированные критерии, включая градиентный критерий, позволяют не только точнее описать экспериментальные данные о разрушении квазихрупких материалов, но
также содержат константы, имеющие более понятный физический смысл.
Результаты расчета критического давления, выполненные по модифицированным критериям, рассмотренным в работе, приведены на рис. 4.
Результаты расчетов по различным критериям достаточно близки, хотя в их основу положены совершенно разные подходы (только критерии средних напряжений и напряжений в точке, по сути, основаны на одном подходе). Это свидетельствует о том, что вид критерия, на самом деле, не имеет столь принципиального значения. Для адекватного описания разрушения материалов не меньшее (а возможно и большее) значение имеет правильное определение констант материала. Определение параметров критерия только как констант аппроксимации экспериментальных данных, не имеющих ясного физического смысла, а то и противоречащих объективным данным о структуре и свойствах материала, ставит под сомнение физическое содержание самого критерия.
Предложенное в настоящей работе представление структурного параметра d в нелокальных критериях (или L0 в градиентном критерии) в виде суммы двух слагаемых, одно из которых характеризует собственно структуру материала, а второе — зону неупругих деформаций, позволяет более полно описать процесс разрушения материала, в частности переход от хрупкого разрушения к вязкому.
Для гипса 1 параметр пластичности в оказался равен нулю, что согласуется с наблюдаемым в эксперименте внезапным образованием трещин отрыва, характерным для хрупкого разрушения. Перераспределение напряжений в пределах размера 40 связано не с пластическими свойствами материала, а с дискретностью его структуры. Гипс 2 обладает пластическими свойствами и параметр в не равен нулю. Но эти свойства начнут проявляться только тогда, когда в^. будет больше 40.
Рис. 4. Зависимость критического давления от диаметра отверстия. Темные точки — экспериментальные данные для гипса 1, светлые точки — для гипса 2. Сплошные кривые — расчет по критериям ASC, PSC, FCC и SGC; штриховые прямые — расчет по традиционному критерию
Таблица
Параметры гипса 2
Критерий do, мм ß l , мм
ASC 2.0 2.5 8.0
PSC 0.6 1.0 6.0
FCC 0.9 1.45 6.2
SGC 1.8 1.7 10.6
В образцах с отверстиями малого диаметра пластическая зона также мала и не оказывает влияния на характер разрушения. С увеличением диаметра размер пластической зоны увеличивается и уже она определяет вязкий характер распространения трещины, что и наблюдалось в эксперименте. Таким образом, условие хрупкого разрушения образцов с концентраторами напряжений можно представить в виде PLe < d0.
При в = 0 материал является хрупким по определению, а при в > 0 характер разрушения определяется размером и формой концентратора напряжений, а также условиями нагружения (краевыми условиями). В случае кругового отверстия можно сделать следующую оценку для диаметра отверстия l *, начиная с которого распространение трещины будет носить вязкий характер:
l * = 10d0/P. (28)
В таблице приведены значения l , рассчитанные для гипса 2 по различным критериям. Хотя формула (28) является оценочной, рассчитанные по ней значения диаметра отверстия l хорошо количественно согласуются с тем, что наблюдалось в эксперименте.
Также заметим, что если для хрупкого материала критический размер дефекта определенной формы связан с характерным размером структуры d0, то для квазихрупкого материала (в > 0) критический размер зависит также от параметра пластичности в, причем с увеличением параметра пластичности увеличивается и критический размер дефекта, что вполне закономерно.
Проиллюстрируем это на примере градиентного критерия. Критический размер дефекта в виде кругового отверстия lc получим, приравняв разрушающее давление pc в формуле (25) к пределу прочности материала при сжатии: = 10dp c i/x-i-Р"
Увеличение критического размера дефекта в более пластичных материалах с равными (или близкими) значениями d0 подтверждается данными эксперимента (рис. 4).
6. Заключение
На основе проведенного анализа существующих нелокальных критериев разрушения, отличительной особенностью которых является введение дополнитель-
ной константы материала размерности длины (внутренний размер материала), характеризующей его структуру, показано, что область их применения ограничена случаями хрупкого либо квазихрупкого разрушения с малой зоной предразрушения. Для расширения области применения критериев на случаи квазихрупкого разрушения с развитой зоной предразрушения предложено отказаться от гипотезы о размере зоны предразрушения, как о константе материала, связанной только с его структурой. Отруктурный параметр, лежащий в основе нелокальных критериев, объединенных в «теорию критических расстояний», должен рассматриваться в качестве константы материала только в одном частном случае — при хрупком разрушении. Для квазихрупких материалов этот параметр отражает не только структурные особенности материала, но также пластические свойства материала, геометрию тела и условия его нагружения. При таком подходе алгоритм решения задачи о прочности твердого тела остается прежним, а все трудности, связанные с корректной оценкой влияния геометрии и граничных условий, переносятся на «структурный» параметр, который теперь представляется в виде суммы двух слагаемых. Первое их них характеризует собственно структуру материала и является константой, а второе отражает формирование зоны неупругих деформаций, или зоны поврежденности, и зависит от пластических свойств материала, геометрии образца и условий его нагружения (краевых условий).
Предложенный подход использован при разработке новых (модифицированных) критериев средних напряжений, напряжений в точке, фиктивной трещины, а также градиентного критерия. Критерии содержат минимальное количество дополнительных констант, которые имеют ясный физический смысл. Проведена проверка применимости разработанных критериев квазихрупкого разрушения на примере задачи об образовании трещин отрыва при сжатии в образцах геоматериалов с круговым отверстием. Показано, что все рассмотренные модифицированные критерии хорошо описывают экспериментальные данные о разрушении квазихрупких материалов и, кроме того, позволяют объяснить наблюдаемую в эксперименте смену характера разрушения образцов при увеличении размера отверстия.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект M 18-G5-GG323).
Литература
1. Wieghardt K. Über das Spalten und Zerreisen elastischer Körper // Zeitschrift für Mathematik und Physik. - 1907. - V. 55. - No. 1-2. -P. 60-103.
2. Neuber H. Kerbspannungslehre, Grundlagen für eine genaue Spannungsrechnung. - Berlin: Springer-Verlag, 1937.
3. Hoвoжuлoв B.B. О необходимом и достаточном критерии хрупкой
прочности // ПММ. - 1969. - Т. 33. - M 2. - C. 212-222.
4. WaddoupsM.E., EisenmannJ.R., KaminskiB.E. Macroscopic fracture mechanics of advanced composite materials // J. Compos. Mater. -1971. - V. 5. - No. 4. - P. 446-454.
5. Williams J.G., Ewing P.D. Fracture under complex stress—The angled crack problem // Int. J. Fract. Mech. - 1972. - V. 8. - No. 4. - P. 441446.
6. Lajtai E.Z. Effect of tensile stress gradient on brittle fracture initiation // Int. J. Rock Mech. Min. Sci. - 1972. - V. 9. - No. 5. - P. 569-578.
7. Whitney J.M., Nuismer R.J. Stress fracture criteria for laminated composites containing stress concentrations // J. Compos. Mater. - 1974. -V. 8. - No. 4. - P. 253-265.
8. Tirosh J. On the tensile and compressive strength of solids weakened (strengthened) by an inhomogeneity // Trans. ASME. J. Appl. Mech. -1977. - V. 44. - No. 3. - P. 449-454.
9. Mikhailov S.E. A functional approach to non-local strength condition and fracture criteria // Eng. Fract. Mech. - 1995. - V. 52. - No. 4. -P. 731-754.
10. Pugno N.M., RuoffR.S. Quantized fracture mechanics // Philos. Mag. - 2004. - V. 84. - No. 27. - P. 2829-2845.
11. Taylor D., Cornetti P., Pugno N. The fracture mechanics of finite crack extension // Eng. Fract. Mech. - 2005. - V. 72. - No. 7. - P. 10211038.
12. Taylor D. The theory of critical distances. - Oxford: Elsevier, 2007. -284 p.
13. Critical distance theories of fracture // Eng. Fract. Mech. - 2008. -V. 75. - No. 7. - P. 1695-1890.
14. Radaj D., Zhang S. Process zone fracture criteria for crack tips // Eng. Fract. Mech. - 1995. - V. 50. - No. 1. - P. 111-120.
15. Toribio J. A fracture criterion for high-strength steel notched bars // Eng. Fract. Mech. - 1997. - V. 57. - No. 4. - P. 391-404.
16. WuH.-C., ChangK.-J. Angled elliptic notch problem in compression and tension // Trans. ASME. J. Appl. Mech. - 1978. - V. 45. -No. 2. - P. 258-262.
17. KippM.E., Sih G.C. The strain energy density failure criterion applied to notched elastic solids // Int. J. Solids Struct. - 1975. - V. 11.-No. 2. - P. 153-173.
18. DarbyM.I. Effect of stress gradient on the fracture of graphite // Eng. Fract. Mech. - 1978. - V. 10. - No. 3. - P. 687-688.
19. Серенсен С.В. Динамическая прочность металлов и расчет деталей авиаконструкций // Тр. Всесоюз. конф. по прочности авиаконструкций (23-27 дек. 1933 г.). - М.: ЦАГИ, 1935. - Вып. 2. -С. 39-57.
20. Афанасьев Н.Н. О пределе усталости образцов с выточкой // ЖТФ. - 1936. - Т. 6. - №. 8. - С. 1393-1402.
21. УжикГ.В. Масштабный фактор в связи с оценкой прочности металлов и расчетом деталей машин // Изв. АН СССР. Отделение техн. наук. - 1955. - № 11. - С. 109-121.
22. Сукнев С.В., Новопашин М.Д. Критерий образования трещин отрыва в горных породах при сжатии // ФТПРПИ. - 2003. - №2.-С. 30-37.
23. КорневВ.М, ЗиновьевА.А. Модель квазихрупкого разрушения горных пород // ФТПРПИ. - 2013. - № 4. - С. 74-82.
24. Панасюк В.В. Механика квазихрупкого разрушения материалов. -Киев: Наукова думка, 1991. - 416 с.
25. Elices M., Guinea G.V., Gomez J., Planas J. The cohesive zone model: advantages, limitations and challenges // Eng. Fract. Mech. - 2002. -V. 69. - No. 2. - P. 137-163.
26. WnukM.P. New mathematical models pertinent to material fracture at meso- and nanoscales // Физ. мезомех. - 2009. - Т. 12. - № 4. -С. 71-77.
27. Астапов Н.С. Модифицированная модель зоны предразруше-ния квазихрупких структурированных материалов // Физ. мезомех. - 2014. - Т. 17. - № 1. - С. 89-96.
28. Полилов А.Н. Схема предразрушения композитов около отверстий // Изв. АН СССР. МТТ. - 1982. - № 3. - С. 110-117.
29. Berto F., LazzarinP., Radaj D. Fictitious notch rounding concept applied to V-notches with root hole subjected to in-plane mixed mode loading // Eng. Fract. Mech. - 2014. - V. 128. - P. 171-188.
30. Tan S.C. A progressive failure model for composite laminates containing openings // J. Compos. Mater. - 1991. - V. 25. - No. 5. -P. 556-577.
31. Lazzarin P., Berto F., AyatollahiM.R. Brittle failure of inclined keyhole notches in isostatic graphite under in-plane mixed mode loading // Fatigue Fract. Eng. Mater. Struct. - 2013. - V. 36. - No. 9. - P. 942955.
32. Torabi A.R., PirhadiE. Stress-based criteria for brittle fracture in key-hole notches under mixed mode loading // Eur. J. Mech. A. Solids. - 2015. - V. 49. - P. 1-12.
33. GomezF.J., Guinea G.V., ElicesM. Failure criteria for linear elastic materials with U-notches // Int. J. Fract. - 2006. - V. 141. - No. 12.- P. 99-113.
34. Li J., ZhangX.B. A criterion study for non-singular stress concentrations in brittle or quasi-brittle materials // Eng. Fract. Mech. - 2006. -V. 73. - No. 4. - P. 505-523.
35. Lecampion B. Modeling size effects associated with tensile fracture initiation from a wellbore // Int. J. Rock Mech. Min. Sci. - 2012. -V. 56. - P. 67-76.
36. Сукнев С.В. Применение нелокальных и градиентных критериев для оценки разрушения геоматериалов в зонах концентрации растягивающих напряжений // Физ. мезомех. - 2011. - Т. 14. -№ 2. - С. 67-75.
37. Седов Л.И. Механика сплошной среды. - М.: Наука, 1984. - Т. 2. -560 с.
38. Сукнев С.В., НовопашинМ.Д. Определение локальных механических свойств материалов // ДАН. - 2000. - Т. 373. - № 1. -С. 48-50.
Поступила в редакцию 07.03.2018 г.
Сведения об авторе
Сукнев Сергей Викторович, д.т.н., зав. лаб. ИГДС СО РАН, [email protected]
