Нелокальные краевые задачи в цилиндрической области для многомерного волнового уравнения Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА MATHEMATICS

УДК 517.956

DOI: 10.18413/2075-4639-2018-50-1-5-13

НЕЛОКАЛЬНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ В ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ ДЛЯ МНОГОМЕРНОГО ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ

NON-LOCAL BOUNDARY VALUE PROBLEMS IN THE CYLINDRICAL DOMAIN FIR THE MULTIDIMENSTIONAL WAVE EQUATION

С.А. Алдашев S.A. Aldashev

Институт математики и математического моделирования МОН РК, Алматы, Казахстан

Institute of Mathematics and Mathematical Modelling, Ministry of Education and Science, Almaty,

Kazakhstan

E-mail: а[email protected]

Аннотация

Адамар показал, что одна из фундаментальных задач математической физики - изучение поведения колеблющейся струны - некорректна, когда краевые условия заданы на всей границе области. Как заметили А. В. Бицадзе и А. М. Нахушев, задача Дирихле некорректна (в смысле однозначной разрешимости) не только для волнового уравнения, но и для общих гиперболических уравнений. Ранее были изучены задачи Дирихле и Пуанкаре, и связанные с ними локальные краевые задачи в цилиндрической области для многомерных гиперболических уравнений, и показано, что однозначная разрешимость этих задач существенно зависит от высоты рассматриваемых цилиндрических областей. Нелокальные краевые задачи для этих уравнений не исследованы. В данной статье, используя метод, предложенный автором ранее, показана однозначная разрешимость и получен явный вид классических решений нелокальных краевых задач для многомерного волнового уравнения в цилиндрической области, которые являются обобщением смешанной задачи и задач Дирихле и Пуанкаре. Получен критерий единственности регулярного решения этих задач.

Abstract

Hadamard showed that one of the fundamental problems of the mathematical physics - the study of the oscillating string - is ill-posed when the boundary value conditions are defined on the entire boundary of the domain. A.V. Bitsadze and A.M. Nakhushev noted that the Dirichlet problem is ill-posed (in terms of unique solvability) not only for the wave equation but for the general hyperbolic equations. The Di-richlet and Poincare problems, and their related local boundary value problems for multidimensional hyperbolic equations have been studied, and it has been shown that the unique solvability of these problems crucially depends on the height of the cylindrical domain under study. Non-local boundary value problems for these equations have not yet been analyzed. Using the method proposed by the author earlier, this paper shows the unique solvability and obtains the explicit form of the classical solution for the multidimensional wave equation in the cylindrical domain, which are the generalization of the mixed problem and the Dirichlet and Poincare problems. We also obtain the criterion of uniqueness of the regular solution of these problems.

Ключевые слова: нелокальная задача; многомерное уравнение; критериий единственности; однозначная разрешимость; функции Бесселя.

Keywords: non-local problem, multidimensional equation, uniqueness criterion, unique solvability, Bes-sel functions.

1. Введение

Локальные краевые задачи в цилиндрической области для многомерных гиперболических уравнений изучены в [1-7,12,13].

Насколько нам известно, для этих уравнений нелокальные краевые задачи еще не исследованы.

В работе показана однозначная разрешимость и получен явный вид классических решений нелокальных краевых задач для многомерного волнового уравнения в цилиндрической области, которые являются обобщением смешанной задачи и задач Дирихле и Пуанкаре. Получен критерий единственности регулярного решения этих задач.

2. Постановка задачи и результат

Пусть Da - цилиндрическая область евклидова пространства точек (x,..., xm, t), ограниченная цилиндром Г = {(x, t): |x| = 1j, плоскостями t = a > 0 и t = 0 где |x| — длина вектора x = (x,..., X,,). Части этих поверхностей, образующих границу 5Q области Q обозначим через Г а, , S0 соответственно.

В области D рассмотрим многомерное волновое уравнение

axu—utt = а (1)

где Ax — оператор Лапласа по переменным X = (x1,..., xm ), m > 2 .

В дальнейшем нам удобно перейти от декартовых координатx1,...,xm,t к сферическим r,ei,..,em_l, t, r > 0,0 <в1 <ж, i = 1,2,..., m — 2,0 <в< 2л,в = (в1,...,вт_1).

Рассмотрим следующие нелокальные краевые задачи Задача 1. Найти решение уравнения (1) в области Da из класса

C (Da ) nN1 (Da u S0 u Sa ) n C2 (Da ), удовлетворяющее краевым условиям

\PiU (r,в, 0) = YiU (r, в, a) + ft (r,0), ^

\fiUt (r, в, 0) = YtUi (r,e,a) + ?2 (r, в), u \ra = y(t,e).

Задача 2. Найти решение уравнения (1) в области Da из класса C (Da ) nN (Da u S ) nC2 (Da ), удовлетворяющее краевым условиям

u (r, в, 0) = ^ (r, в), Put (r, в, 0) = yu(r, в, a) + ft (r, в), u ^ = щ (t, в ), (з)

где P, Yj = const, P] + y] ^ 0, j = 1,2.

Пусть (в)}система линейно независимого сферических функций порядка

и, 1 < к < kn, (m - 2)\n\kn = (n + m - 3)\(2n + m - 2), Wl2 (S0), I = 0,1,... - пространства Соболева.

Имеет место ([8])

Лемма 1. Пусть f (r, в) е Wl2 (S0). Если I > m -1, то ряд

^ n

fM^YYfk (r)Ykm (в), (4)

=0 к =1

n

а также ряды, полученные из него дифференцированием порядка p < l — m +1, сходятся абсолютно и равномерно.

Лемма 2. Для того, чтобы f (r, в) е Wl2 (S0), необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты ряда (4) удовлетворяли неравенствам

I I <Ю кп 2

fo1 И< с,, ^^Vf (r)| < С2, с,, С2 = const.

n=1 к=1

Л,

Через, ( (r), (2п (r), \укп (t), обозначим коэффициенты ряда (4), соответственно функций ((г,в)(r,0) ,v(t,0).

Пусть ( (r,в),( (r,e)eW¡(S0),¥(t,e)eW¡ (Ta), l > y.

Тогда справедлива

Теорема . Если выполняется условие

(Д/2 + А/)cos * ДА + /1/2, s=1,2> (5)

то задача 1 однозначно разрешима. Если выполняется условие

/isin s = l2— (6)

то задача 2 имеет единственное решение, где jsn - положительные нули функций Бесселя первого рода J 2, (z) .

п+(--

2

Теорема 2. Решение задачи 1 единственно тогда и только тогда, когда имеет место соотношение (5). Решение задачи 2 единственное тогда и только тогда, когда выполняется условие (6).

Доказательство. Сначала рассмотрим задачу 1. В сферических координатах уравнения (1) имеет вид

т~1 1 г л

игг +-иг —2 8и - utt = 0 (7)

r r

m-1 1 д д / \

S = -Y-L—--— (sinm-j-1—) , g = 1, g = (sin ej... sin в,. J )2, j >1.

% gj sinдв/ j V 1 J '

Известно ([8]), что спектр оператора 8 состоит из собственных Яп = п(п + т - 2), п = 0,1,..., каждому из которых соответствует кп ортонормированных собственного функций С (в).

Так как искомое решение задачи 1 принадлежит классу C (Da*)t^ C2 (Da), то его можно искать в виде

и (г, 0,0 = И"» (г, ОС (в), (8)

п=0 к=1

где иП(г, £)- функции, подлежащие определению.

Подставляя (8) в (7), используя ортогональность сферических функций У*т (в) ([8]), будем иметь

-к т — 1- к X - к -к ——

ипгг +-ипг —Пип — и пи = 0, к = 1, кп, п = 0,1,..., (9)

г г

при этом краевое условие (2), с учетом леммы 1, запишется в виде

Д ип (г, 0) = ухип (г,а) + ( (г), Ди* (г, 0) = у2иП (г,а) + (р2п (г),

икп (1,X) = ¥кы (г),2 = 1,2п,п = 0,1,....

В (9), (10) произведя замену и„ (г,Х) = ип (г,Х(X) получим

-2 —-1-2 Х-2 -2 —г2,,

Опгг +-Опг--п Оп-Ом = /п ( г,Х ) , (11)

г г

ДОп ( г, 0) = 71 Оп ( г,а) + (1п( г ) , Д2 °кпX ( г,0) = Г2°пХ ( ^ а ) + (2п ( г ) ,

Оп (1,X) = 0,2 = 1,2п,п = 0,1,....

(12)

/2 (г,X) = ^ + Л¥кп ( (г) = (I +ГУ„ (а) -(0), г

(п (г) == ( (г) + 72¥кл (а) - Р2ука (0).

-к (Ь—

Произведя замену Оп (г, X) = г 2 о2 (г, X) задачу (11), (12) приведем к следующей задаче

Л ,2

О О о О2 = /2 (г,X), (13)

р

А^ 0) = ГА* (г, а) + ф1 (г), Ди* (г, 0) = ^ (г, а) + ф12п (г), л,

(14)

окп (1,X) = 0,2 = 1,2п,п = 0,1,....

- (т-1)(3-т)-4Л ,, ч Л =(--п, /2 (г, X) = г 2 /п (г, X),

(—-1)

( (г) = г~( (г), ] = 1,2. Решение задачи (13), (14) рассмотрим в виде

ад

окп (г, X) = Y Я (г)Т (X), (15)

¿=1

при этом пусть

ад ад ад

/:(г,г) = ^а1тЛг), ф1{г) = ^Ък„Л{г\ фк2п{г) = Т,екпЛЛг\ (16)

¿=1 ¿=1 Подставляя (15) в (13), (14), с учетом (16), получим

Я. +

^ Лп ^

— + м

Vг у

Я = 0,0 < г < 1, (17)

Я, (1) = 0,|Я,(0)|<ад, (18)

Т„(X) + МТ (X) = -акт(X), 0 < X <а, (19)

ДТ(0) = ЛТ (а) + Ькт, ДТЛ (0) = уТ(а)+. (20)

,=1

Ограниченным решением задачи (17), (18) является ([9])

Я (г) = ),

(21)

где у = п +

(т — 2)

2

Общее решение уравнения (19) представимо в виде ([9])

(г) = с1. + с2. эт +

Ц.

|акш(£)яп

81П Ц.З

г

| а1 (^)с08 Ц^^

(22)

Ц..,п 0

с\э, ^ — произвольные постоянные, удовлетворив условию (20) получим систему алгебраических уравнений

(Д — 71 гоэ ц^а) А — 7А. ®1п Ц^а

71

соэ

а а

+ ьк

72с1. ^ + (Д2 — 72 С2.

ек —7

п. /2

5,п

V 0

аа

а\а1 + С08 Цпа\а1 С08 Цп^

Ц.

которое имеет единственное решение, если выполняется условие (5). Подставляя (21) в (16) получим

(23)

'лк(г,*)=Еа.(олСц, пг) , г^ф\п(г)=еь^^пг),

X=1

X=1

.=1

Ряды (24)-разложение в ряды Фурье-Бесселя ([10]), если

1

а1 (*)=2 [л+1(ц.,п) ]—2 ¡4а/к а *) ^(ц.Л

0

1

ькш = 2 [Л+1(ц.,п) ]—2 ¡Шп (£) ЛСц^),

0 1

2 [ з^ц) ]—2 ¡Шп (а) зл.ма

ек =

п

(24)

(25)

цвп — положительные нули функций Бесселя 3 (г) расположенные в порядке возрастания

их величины.

Из (21), (22) имеем решение задачи (13), (14) в виде

да

<М=!>Я,п(г)з {т-2)(ц/),

где акш (г), Ькт, екш определяются из (25), а сь, с2. — из (23).

г

г

0

.=1

2

Таким образом, из (8) следует, что решением задачи 1 является ряд

п

( г,в, X ) = Ц

и (г

п=0 2=1

(1-—)

V (X) + г~оп (г, X)

(в),

где о>2 (г, X) находятся из (26).

Учитывая формулу ([10]) 23. (2) = 1 ( г )- 3.+1 ( г ), оценки ([11,18])

(27)

3.(2 к -2

соб

Ж2

\2п\ < Сп

—-2

дв:

г Ж

2 - —.—

V 2 4 У

таА-п,— (в) < с2п

' 1 ^

V 22 у

.> 0,

-1+г

< е2п2 , у = 1, — -1,1 = 0,1,.

(28)

а также леммы, условия на заданные функции ( (г, в),(2 (г, в), v( г, в), как в ([3-7]), можно показать, что полученное единственное решение (27) принадлежит классу С (А,)п С1 ()п С2 (Я).

Следовательно, задача 1 однозначно разрешима.

Теперь рассмотрим задачу 2. Ее решение, также будем искать в виде ряда (8), где функции ип (г, X) будут определены ниже. Тогда, аналогично задаче 1, ип удовлетворяет уравнению (9), при этом краевое условие (3), в силу (8) запишется в виде

—к

—к

(29)

(1-—)

ип (^ 0) = (щ (г) , ДЦл (^ 0) = 72ип (^ а) + (2п (г) ,

икп (1, X ) = ¥1 (X), 2 = 12, п = 0,1,....

Произведя сначала замену О2 (г,X) = ип (г,)-V (X), а затем оО (г, X) = г 2 оО (г, X) задачу (9), (29) приведем к следующей задаче

О (г,X) = /2 (г, X), (30)

о':, (г, 0) = ф\п (г), До'ш (г, 0) = ур* (г,а) + ф\п (г),

(—-1)

о2 (1,X) = 0,2 = 1,2п,п = 0,1,...,

>и-1)

(31)

где ( (г) = г 2 (((г)-¥кп (0)), ( (г) = г 2 ((2)-у^й2 (а)-Д^ (0)).

Если решение задачи (30), (31) будем искать в виде (15), то приходим к задаче (17), (18) и к задаче для (19) с данными

Т(0) = Ь2,, ДТ(0) = уТ(а) + вкт. (32)

Удовлетворив общее решение (22) уравнения (19) краевому условию (32) будем иметь

—

C1s bns,

(MsA - 7 sin Vsna) n2s = 7lbl COS Msna +

7

+

-sin

s,n а

COS

(33)

Ms,n

in Ms,na\at (£)cos MsJd%

+ ek

из которого однозначно определяются коэффициенты cls, c2s, если выполняется условие (6).

Таким образом, из (21), (22) получим решение задачи (30), (31) в виде (26), где akns(t), b*, ekns находятся из (25Х а с1х, С2s - из (33).

Следовательно, единственное решение задачи 2 представимо по формуле (27).

Теорема 1 доказана.

Теперь докажем теорему 2. Если выполняется условие (5), то из теоремы 1 вытекает единственность решения задачи 1. Пусть теперь условие (5) нарушено, хотя бы для одного s = I. Тогда нетривиальным решением однородной задачи, соответствующей задачи 1 является

(2-ш)

u(',6>t) = £&"pr 2 Tun(t)J m_2(Mlnr),

(34)

=1 k=1

где

T,n (t) =

Cos Mi,nt + sin Mi,nt, 7j * 0, j =1 ,2 , sin Mi,nt, 7i = 0 , 72 * 0 , Cos Mi X 72 = 0, 7i * 0,

3т

при этом из (28) получим, что функция (34) принадлежит искомому классу, если р .

Если имеет место соотношение (6), то из теоремы 1 следует единственность решения задачи 2. Пусть теперь условие (6) не выполняется хотя бы для одного 5 = I. Тогда ненулевым решением однородной задачи 2 будет функция

к

(2-m)

и(r,в,t) = XZn~"r 2 (sinMiJ) J ¿-¿ßijX

n=1 k=1

Ln'f m-2 V"l ,n n+

2

3m

которая принадлежит классу C(Da)nC1 (Da ^S0) nC2 (Da) при p .

Теорема 2 доказана.

3. Заключение

В работе показана однозначная разрешимость и получен явный вид нелокальных краевых задач в цилиндрической области для многомерного волнового уравнения, которые являются обобщением смешанной задачи и задач Дирихле и Пуанкаре. Показан также критерий единственности регулярного решения этих задач.

0

k

да

2

да

Список литературы References

1. Нахушев А.М. 2006. Задачи со смещением для уравнений в частных производных, Москва, Наука.

Nakhushev A.M. 2006. The Problems with a Shift for Partial Differential Equations (in Russian), Moscow, Nauka.

2. Алдашев С.А. 2010. Корректность задачи Пуанкаре в цилиндрической области для многомерного волнового уравнения. Современная математика и ее приложения. Уравнения с частными производными, 67: 28-32.

Aldashev S.A. 2010. The well-posedness of the Poincare problem in cylindrical domain for the multidimensional wave equation (in Russian). Sovremennaya Matematika i Ee Prilozheniya. Uravneniya s Chastnymi Proizvodnymi, 67: 28-32.

3. Алдашев С.А. 2011. Корректность задачи Дирихле в цилиндрической области для многомерных гиперболических уравнений с волновым оператором. Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академи наук, 13(1): 21-29.

Aldashev S.A. 2011. The well-posedness of the Dirichlet problem in cylindrical domain for the multidimensional hyperbolic equations with a wave operator (in Russian).Doklady Adygskoi (Cherkesskoi) Mezhdunarodnoi Akademii Nauk, 13(1): 21-29.

4. Алдашев С.А. 2013. Корректность задачи Пуанкаре в цилиндрической области для многомерных гиперболических уравнений с волновым оператором. Журнал вычислительной и прикладной математики, № 4(114): 68-76.

Aldashev S.A. 2013. The well-posedness of the Poincare problem in cylindrical domain for the multidimensional hyperbolic equations with a wave operator (in Russian). Zhurnal Vychislitelnoi i Priklad-noi Matematiki, № 4(114): 68-76.

5. Алдашев С. А. 2012. Корректность локальной краевой задачи в цилиндрической области для многомерного волнового уравнения. Вестник Самарского гос.техн.ун-та, Сер. физ.-мат. Науки, № 4(29): 48-55.

Aldashev S.A. 2012. The well-posedness ofthe local boundary value problem in cylindrical domain for the multidimensional wave equation (in Russian).Vestnik Samarskogo Gos. Tech. Universiteta, Ser. Fiz.-Mat. Nauki, № 4(29): 48-55.

6. Алдашев С. А. 2015. Корректность локальной краевой задачи в цилиндрической области для многомерных гиперболических уравнений с волновым оператором. Вестник НГУ , Сер. мат., мех. и инф.,15, № 4: 3-11.

Aldashev S.A. 2015. The well-posedness of the local boundary value problem in cylindrical domain for the multidimensional hyperbolic equations with a wave operator (in Russian). Vestnik NGU, Ser. Mat., Mech. and Inf., 15, № 4: 3-11.

7. Алдашев С.А. 2017. Корректность смешанной задачи для многомерных гиперболических уравнений с волновым оператором. Укр. матем. журнал, 69,№ 7: 992-999.

Aldashev S.A. 2017. The well-posedness of the mixed problem in cylindrical domain for the multidimensional hyperbolic equations with a wave operator (in Russian). Ukr. Mat. Zhurnal}, 69, no. 7: 992999.

8. Михлин С.Г. 1962. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. М.: Физматгиз, 254 с.

Mikhlin S.G. 1962. Multidimensional Singular Integrals and Integral Equations (in Russian). Moscow, Fizmatgiz.

9. Камке Э. 1965. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 703 с.

Kamke E. 1965. The Handbook of Ordinary Differential Equations (in Russian). Мoscow, Nauka.

10.Бейтмен Г., Эрдейи А. 1974. Высшие трансцендентные функции, т.2. М.: Наука, 295 с.

Bateman, G. Erdelyi, A. 1974. The Higher Transcendental Functions, 2 (in Russian). Moscow,

Nauka.

11.Тихонов А. Н., Самарский А. А. 1966. Уравнения математической физики, М.: Наука,

724с.

Tikhonov, A., N., Samarskii A. A. 1966. The Equations of Mathematical Physics (in Russian), Moscow, Nauka.

12.Aldashev S. A. 2010. The well-posedness of the Dirichet problem in the cylindric domain for the multidimensional ware equation. Mathematical Problems in Engineering, Article ID653215: 1-7.

Aldashev S. A. 2010. The well-posedness of the Dirichet problem in the cylindric domain for the multidimensional ware equation. Mathematical Problems in Engineering, Article ID653215:1-7.

13. Aldashev S. A. 2011. The well-posedness of the Poincare problem in a cylindrical domain for the higher-dimensional wave equation. Journal of Mathematical Sciences, 173, no. 2: 150-154.

Aldashev S. A. 2011. The well-posedness of the Poincare problem in a cylindrical domain for the higher-dimensional wave equation. Journal of Mathematical Sciences, 173, no. 2: 150-154.