CC BY
29
УДК 517.956.3
КОРРЕКТНОСТЬ ЛОКАЛЬНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ В ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ ДЛЯ МНОГОМЕРНОГО ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ
С. А. Алдашев
Актюбинский государственный университет им. К. Жубанова,
030000, Казахстан, Актобе, ул. Бр. Жубановых, 263.
E-mail: aldash51@mail .ru
Показана однозначная разрешимость локальной краевой задачи в цилиндрической области для многомерного волнового уравнения, которая является обобщением задач Дирихле и Пуанкаре. Получен критерий единственности регулярного решения.
Ключевые слова: многомерное волновое уравнение, цилиндрическая область, локальная краевая задача, 'разрешимость, единственность решения.
В работе показана однозначная разрешимость локальной краевой задачи в цилиндрической области для многомерного волнового уравнения, которая является обобщением задач Дирихле и Пуанкаре. Получен критерий единственности регулярного решения.
Для двумерного пространства в [1] было показано, что одна из фундаментальных задач математической физики — изучение поведения колебаний струны — некорректна, когда краевые условия заданы на всей границе области. Как замечено в [2,3], задача Дирихле некорректна не только для волнового уравнения, но и для общих гиперболических уравнений. В [4] показано, что решение задачи Дирихле существует в прямоугольных областях. В дальнейшем эта задача исследовалась методами функционального анализа [5], которые сложно применить в приложениях.
Для трёхмерного пространства получены теоремы единственности решения задачи Дирихле для строго гиперболических уравнений [6,7], а в [8,9] доказана корректность задач Дирихле и Пуанкаре для многомерного волнового уравнения.
Пусть Da — цилиндрическая область евклидова пространства Ет+\ точек {х\,х2, ■ ■ ■ ,хт, t), ограниченная цилиндром Г = {(x,t) : \х\ = 1}, плоскостями i = а > 0 и i = 0, где |ж| — длина вектора х = (х\,х2, ■ ■ ■ ,хт). Части этих поверхностей, образующих границу dDa области Da, обозначим через Га, Sa, So соответственно.
В области Da рассмотрим многомерное волновое уравнение
Ахи - utt = 0, (1)
где Ах — оператор Лапласа по переменным х\,..., хт, т ^ 2.
В дальнейшем для удобства перейдём от декартовых координат х\, Х2, ■ ■ ■, Хт, t К сферическим Г, в\, 02, ... ,вт-1, t, Г ^ 0, 0 ^ 9\ < 2-7Г, 0 ^ Oi ^ 7Г, i = 2,3,..., т — 1.
Серик Аймурзаевич Алдашев (д.ф.-м.н., проф.), директор, институт прикладной математики и информатики.
Рассмотрим следующую локальную краевую задачу.
Задача 1. Haumu решение уравнения (1) в области Da из класса C(Da) П Cl(Da U So) П C2(Da), удовлетворяющее краевым условиям
u\sa=^^r’e^ и\Га=ф1^,в), (Pu + rfUt)\So=<P2(r,e),
где /5, 7 = const, /5 2 + 72 /0, которая является обобщением задач Дирихле (7 = 0) и Пуанкаре (/5 = 0).
Пусть {Упт(0)}—система линейно независимых сферических функций порядка п, 1 ^ k ^ кп, (m—2)\n\kn = (п+т—3)!(2n+m—2), в = (в\,..., 0m_i), W\ (I = 0,1,...) — пространства Соболева.
Имеют место следующие утверждения [10].
Лемма 1. Пусть /(г, 9) € W!,(S). Если I ^ т — 1, то 'ряд
ОС кп
/(^) = ЕЁ/Жт№ (2)
п=0к=1
а также ряды, полученные из него дифференцированием порядка р ^ l—m+1, сходятся абсолютно и равномерно.
Лемма 2. Для того чтобы f(r,6) € И7^»?), необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты ряда (2) удовлетворяли неравенствам
ОС кп
I/o1 Ml ^ сь ЕЕ n2l\fn(r)\2 ^ С2, СЬ С2 = COnst. п=1к=1
Через <^in(r), ÿn(t), ф\п(г) обозначим коэффициенты разложения ряда (2), соответственно функций ipi (г,в), ip(t,6), ip2(r,6).
Теорема 1. Пусть ipi(г, в) € Wl2(Sa), ip(t,9) € W^(Ta), <р2(г,в) € WÏ,(S0), I > 3m/2 и
Р sin ц3>па ф 7 cos ц3>па, s = 1,2,.... (3)
Тогда задача 1 однозначно разрешима, где ц3 — положительные нули функций Бесселя первого рода Jn+(m-2)/2ÍZ)■
Доказательство. В сферических координатах уравнение (1) имеет вид
771 — 1 1
Uгг Н- xàiJj Uft — 0; (^)
rp 4 '
т—1 1 „
s = - V_________-________
g¡ sin"1“-i -1 dj дв] V J ddj ) ’
5-1 = 1, = (sin 6>i * * * sin 6»j_i)2, j > 1.
Известно [10], что спектр оператора 6 состоит из собственных чисел \п = = п(п + т — 2), п = 0,1,... , каждому из которых соответствует кп ортонор-мированных собственных функций
Так как искомое решение задачи И принадлежит классу С{Оа) П С2(Оа), его можно искать в виде
СЮ кп
и(г,е,г) (5)
п=0к=1
где и^{г, ¿) — функции, подлежащие определению.
Подставляя (5) в (4), используя ортогональность сферических функций ¥п,т(0) (см- [Ю]), будем иметь
ик„ + т ^ик = цик, к = 1,2,..., кп, п = 0,1,..., (6)
при этом первое условие краевых условий (2) с учётом леммы 1 запишется в виде
ик(г, а) = <р$п(г), ик{ 1, г) = фк(Ь),
Рик(г, 0) + 7й^(г,0) = <р$п(г), к = 1,2,... кп, п = 0,1,... .
Произведя замену ьк(г, ¿) = ик(г,1) — фк(Ь) в соотношениях (6), (7), получим
I _______1,-Л _ = л
ипгг 1 ипг 2 п пЫ Vй/
йп(г,а) = <Р1п(г), ьк(1,1) = 0, /3ьк(г,0) + 7^*(г,0) = <р^(г), (9)
/п(г, *) = Фпгг + ^Фп, <Р1п(г) = <р$п(г) - ф„(а), к /м\ -к /м\ Оп1,к(г\\ Л,Л/,&
¥2п(г) = <¿2п(г) ~ РФп(о) - 7^(0), к = 1,2,..., кп, тг = 0,1,-----
После замены г^(г,¿) = г(-1~т^2ук(г,1) задача (8), (9) приводится к следующему виду:
Ььк = ьк„ - ьки + ^ьк = ¡к(г, *), (10)
г£(г,а) = фкп(г), ук{ 1,4) = 0, /3г£(г,0) + 71&(г,0) = ^(г), (11)
Лга = ((ш-1)(3-ш)-4Лп)/4, ¡к(г,г) = г(т_1)/2/^(г,£),
фкп(г) = г^-1У2^кп(г), ¿ = 1,2.
Решение задачи (10), (11) представляется так:
<&*) = ^1пМ) +'Ь>2пМ), (12)
где ^п(г, ¿) — решение задачи
£г>1п = /пМ)> (13)
^1п(^ «) = °> *) = 0, МпМ) + 7^1п*(^0) = 0, (14)
а г>2п(г, ¿) — решение задачи
Ьь\п = О, (15)
^2п(г, а) = Фы(г), г>2п(М) = О, МпМ) + 7^2п*(^0) = фкп{г). (16)
Решение вышеуказанных задач будем искать в виде
СЮ
$ = '52 Яа{г)Т8(^), (17)
8=1
при этом
fn(r,t) = J2as,n(t)Rs(r), фк1п{г) = J2bs,nRs(r),
8 =1 8=1
СО
<pL(r) = J2es>nRs(r)-
(18)
8=1
Подставляя (17) в (13), (14), с учётом (18) получим
Rsrr H---2^s I^RS = 0 < r < 1, (19)
Rs( 1) = 0, |iîs(0)| < oo, (20)
Tstt + nTs(t) = —aSin(t), 0 < t < a, (21)
Ts(a) = 0, f3Ts( 0) + 7Tsi( 0) = 0. (22)
Согласно [11], ограниченным решением задачи (19), (20) является
Rs(r) = VrJ„(ns,nr), (23)
где v = {n + {m- 2))/2, /л = n2s n.
Общее решение уравнения (21) представимо в виде
COS Lls fit f^
Ts,n(t) = Cis COS /J.s,nt + c2s sin ns,nt H-— / as>n(0 sin nSin£d£-
l^s,n Jo
Sin fXs,nt f* , . , .
---------— / asAOcos^s^dÇ, (24)
H-s,n J0
где C\si C2s — произвольные постоянные [10].
Удовлетворив условиям (22), получим систему алгебраических уравнений
f I • cœfjis>na fa
Cis cos ¡j,s>na + c2s sin /ns>na =-------!— / as>n(Ç) sin ц3,п£(К +
l^s,n Jo
sin fj,sna Г (25)
H--------!— / asAOcos^s^dÇ,
l^s,n Jo
fiCu + 7 fIsC2s = 0, которое имеет единственное решение, если выполняется условие (3).
(26)
Подставляя (23) в (18), определяем
СЮ СЮ
Г~1/2й{г, ¿) = 52 аз,п{Ь)’]ЛИз,пГ), Г~1/2ф1п(г) = 52 ЬЗ'П^ЦЗ'ПГ),
8=1 8=1
СЮ
г~1/2Ф2п(г) = ^е5)Г1Л(^;гаг), 0 < Г < 1.
8=1
Ряды (26)—разложения в ряды Фурье—Бесселя [12], если
ав)„(£) = 2[Л+1(^;Г1)]“2 [ лД/п(С,$^(^з,пО^, (27)
■)о
Ь.в,п = 2[<7г/_|_1(//8)П)] / \/С^’1гг,(С)^(/^«,гаС)^С)
■)о
&з,п = 2[<Л/+1 (/^8,п)] [ л/С(^2гг,(С)^(/^«,гаС)^С) (28)
■)о
ц3, 8 = 1,2,... —положительные нули функций Бесселя «Л, (-г), расположенные в порядке возрастания их величины.
Из (23), (24) получим решение задачи (13), (14) в виде
СЮ
п(г’ *) = 52 у/гТзА^М^пГ), (29)
8=1
где а8)П(£), С1в, С2« определяются из (27), (25).
Далее, подставляя (23) в (15) и (16), с учётом (18) будем иметь задачу
Увы + ^Уз = 0) (30)
Уа{а) = Ъ3,п, (ЗУ3(0) + 7^(0) = е3. (31)
Общее решение уравнения (30) имеет вид
Уз,п{Ь) = сЛз СОй ИзА + с'2з эт ц3,пг, (32)
где с'1з1 ¿2ц — произвольные постоянные. Удовлетворив условиям (31), полу-
чим
/^С18 'У/^з^з — &з,п-
Из (23), (32) имеем
С^з СОЭ -\- С23 6Ш 1Л8п(Х — Ь8^п, (33)
У2п(г, I) = 52 у/гу8,п(1)МРз,пГ), (34)
8=1
где Ь3, е3, с!и, с'2з находятся из (28), (33).
Таким образом, из (5), (12) следует, что решением задачи 1 является ряд
СЮ кп
¿(г, в, г) = 5252 {'Фп^) + Г(1“т)/2 ь\п(г, *) + ь$п(г, ¿) } у£т(в), (35)
оо кп
и{ _ ", ■'
п=0к=1
где У1п(г, ¿), 1’2п(г!^) определяются ИЗ (29), (34).
Отметим следующие свойства нулей функций Бесселя (см. [12,13]):
1°) если ци>1, ци>2, ■ ■ ■ — положительные нули функций «Л,(-г), упорядоченные по возрастанию значений, то
О < 1^и,1 ^ ц-и+1,1 ^ Цч*,2 ^ ц-и+1,2 ^ Цч>,з ..., у > 1; (36)
2°) если /.¿г,, /х^, [л!1 являются наименьшими положительными нулями функ-
ций «Л,(-г), <7^,(-г), </^(<г) соответственно, то справедливы неравенства
л/г/(г/ + 2) < < л/2(г/ + 1)(г/ + 3), г/ > О,
л/г/(г/ + 2) < ¡л^ < л/2г/(г/ + 1), г/ > 0, (37)
л/г/(г/ - 1) < ¡л’1 < \/(и2 - 1), г/ > 1
и формулы
sinz = — z ^(4n2 — 1) 1[Jra(nz)]2) ,
71= 1
Mz) = yvzcos(z-r--i) + 0(im)-
2J¿(z) = J^-i(z) - J^+i(z).
(38)
Учитывая (36)—(38) и применяя признак Даламбера, можно показать, что ряды (29), (34) и продифференцированные ряды сходятся абсолютно и равномерно.
Далее, используя формулы (38) и оценки [12]
г¥1
\kn\ < cm“-2, gfirfmW) < c2nm/2-1+9, (39)
где j = 1,2,... ,m — l,g = 0,l,...,a также леммы, ограничения на заданные функции Lp\(r,0), Lp2(r,0), i¡){t,9), аналогично [8,9] показывается, что полученное решение в виде ряда (35) и дважды продифференцированные ряды сходятся абсолютно и равномерно. Это означает, что решение (35) принадлежит классу C(Da) П Cl(Da U So) П C2(Da). □
Теорема 2. Решение задачи 1 единственно тогда и только тогда, когда выполняется условие (3).
Доказательство. Если выполняется условие (3), то из теоремы 1 вытекает единственность решения задачи 1. Пусть теперь условие (3) нарушено хотя бы для одного s = р. Тогда нетривальным решением однородной задачи, соответствующей задаче 1, является функция
СО кп
u(r,t>,t) = £5>-V('2—,/2 \/3 sin flpt - JUp COS Hpt\ Jn+(m-2)/2(^Pr)Y^m(e),
n=0k= 1
при этом из (38), (39) следует, что она принадлежит искомому классу, если
I > 3m/2.D
В заключение отметим, что в [14] для уравнения (1) внутри характеристической области приведены корректные постановки задач Дирихле и Пуанкаре.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Hadamard J. Sur les problèmes aux dérivés partielles et leur signification physique// Princeton University Bulletin, 1902. Vol. 13. Pp. 49-52.
2. Бицадзе A. В. Уравнения смешанного типа. М.: АН СССР, 1959. 164 с. [Bitsadze А. V. Mixed-Type Equations. Moscow: Akad. Nauk USSR, 1959. 164 pp.]
3. Нахушев А. М. Задачи со смещением для уравнений в частных производных. М.: Наука, 2006. 287 с. [Nakhushev А. М. Problems with Displacement for a Partial Differential Equation. Moscow: Nauka, 2006. 287 pp.]
4. Bourgin D. G., Duffin R. The Dirichlet problem for the virbrating string equation // Bull. Amer. Math. Soc., 1939. Vol. 45. Pp. 851-858.
5. Fox D. W., Pucci C. The Dirichlet problem for the wave equation // Ann. Mat. Рига Appl. (4), 1958. Vol. 46. Pp. 155-182.
6. Нахушев А. М. Критерий единственности задачи Дирихле для уравнения смешанного типа в цилиндрической области// Диффер. уравн., 1970. Т. 6, №1. С. 190-191.
[Nakhushev А. М. Uniqueness Criterion for the Dirichlet Problem for an Equation of Mixed Type in a Cylindrical Domain// Differ. Uravn., 1970. Vol. 6, no. 1. Pp. 190-191].
7. Dunninger D. R.; Zachmanoglou E. C. The condition for uniqueness of the Dirichlet problem for hyperbolic equations in cylindrical domains // J. Math. Mech., 1969. Vol. 18. Pp. 763-766.
8. Aldashev S. A. The well-posedness of the Dirichlet problem in the cylindric domain for the multidimensional wave equation // Math. Probl. Eng, 2010. Vol. 2010, 653215. 7 pp.
9. Алдашев С. А. Корректность задачи Пуанкаре в цилиндрической области для многомерного волнового уравнения / Современная математика и ее приложения, Т. 67, Уравнения с частными производными, 2010. С. 28-32; Aldashev S. A. The well-posedness of the Poincaré problem in the cylindric domain for the higher-dimensional wave equation // J. Math. Sci. (N. Y.), 2011. Vol. 173, no. 2. Pp. 150-154.
10. Михлин С. Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. М.: Физматлит, 1962. 254 с. [Mihlin S. G. Higher-dimensional singular integrals and integral equations. Moscow: Fizmatlit, 1962. 254 pp.]
11. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука,
1965. 703 с. \Kamke Е. Manual of ordinary differential equations. Moscow: Nauka, 1965. 703 pp.]
12. Erdélyi A., Magnus W., Oberhettinger F., Tricomi F. G. Higher transcendental functions. Vol. II / ed. H. Bateman. New York - Toronto - London: McGraw-Hill Book Co, Inc., 1953. 396 pp.; русск. пер.: Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. В 3-х т. Т. 2: Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены. М.: Наука, 1974. 295 с.
13. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1966. 724 с. [Tihonov A. N., Samarskiy A. A. Equations of mathematical physics. Moscow: Nauka,
1966. 724 pp.]
14. Алдашев С. А. Задачи Дирихле и Пуанкаре для многомерного волнового уравнения// Изв. НАН РК, Сер. физ.-мат., 2010. №1. С. 3-6. [Aldashev S.A. Dirichlet and Poincaré problems for higher-dimensional wave equation// Izv. NAN RK, Ser. Fiz.-Mat., 2010. no. 1. Pp. 3-6].
Поступила в редакцию 10/V/2012; в окончательном варианте — 12/VIII/2012.
MSC: 35L05; 35R25
THE WELL-POSEDNESS OF THE LOCAL BOUNDARY VALUE PROBLEM IN A CYLINDRIC DOMAIN FOR THE MULTI-DIMENSIONAL WAVE EQUATION
S. A. Aldashev
Aktobe State University after K. Zhubanov,
263, Zhubanov Bruthers St., Aktobe, Kazakhstan, 030000.
E-mail: aldash5iamail.ru
This paper proves the unique solvability of the local boundary value problem in a cylindric domain for the multi-dimensional wave equation, which is the generalization of the Dirichlet and Poincare problems. We also obtain the criterion for the uniqueness of the regular solution.
Key words: multi-dimensional wave equation, cylindrical domain, local boundary value problem, solvability, uniqueness of solutions.
Original article submitted 10/V/2012; revision submitted 12/VIII/2012.
Serik A. Aldashev (Dr. Sci. (Phys. & Math.)), Director, Institute of Applied Mathematics.
