Нелокальная задача А. М. Нахушева для уравнения смешанного типа Текст научной статьи по специальности «Математика»

Дифференциальные уравнения

УДК. 517. 956 О.А. Репин

НЕЛОКАЛЬНАЯ ЗАДАЧА А.М.НАХУШЕВА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА

Для модельного уравнения смешанного типа поставлена и исследована краевая задача со смещением, причем областью эллиптичности уравнения является полубесконечная полоса. В области гиперболичности уравнения задается условие, связывающее с помощью дробных производных значение искомого решения в трех точках, две из которых лежат на граничных характеристиках из разных семейств, а третья - на линии вырождения уравнения. Доказана однозначная разрешимость рассматриваемой задачи.

1 Постановка задачи

Рассмотрим уравнение

GmU°signy\y\mUxx +Uyy = 0, m> 0 (1)

в бесконечной области ^ограниченной полупрямыми х=0, х=1, расположенными в

полуплоскости у>0, и характеристиками

2 m+2 2 m+2

АС:Х = х------ (-у)— = 0, ВС.Т1 = x +------(- у)~ = 1

m+2 т+2

уравнения (1), выходящими из точек А(0,0) и В(1,0).

Введем обозначения : W1 и W 2 - соответственно эллиптическая и гиперболическая части смешанной области W; Ah= Ак(р,1а), Bh=Bh(0,h), h>0; W1h - открытый прямоугольник с вершинами А, Аь, ßh , В; W h = W1h и АВ uW 2; 0О() и 0j(x) - аффиксы точек пересечения характеристик уравнения (1), выходящих из точки (х, 0), с характеристиками АС и ВС соответственно; I - единичный интервал 0<x<1 прямой у=0;(z)“+(p)(x), (д“ф)х) - операторы дробного интегродифференцирования в смысле Римана - Лиувилля [1], [2].

З а д а ч а 1. Найти функцию и(х,у) со следующими свойствами:

1) Gти ° 0 в Wj и W2;

/ - \ / - _________\

2) и(х,у) е С W п С1 W\ )В nC2(W\ АВ);

3) lim и( х, у ) = 0 равномерно по xel;

У ®+¥

4) существуют конечные и равные между собой пределы

lim иу (х, у) = lim иу (х, у) 1х е I ; у ® 0+0 у ® 0 - 0 V J

5) и(°, у) = у) Ц1^ ) = j2 (у) 0<J<¥;

6)a(x)(u[e0 [x) + b{x)( (U (t)]))(x) = C(x) - x-x)(о1-рU{t,0%x) Vxе I,

где у), j2 (у), а(х), Ь(х), С(х), - заданные функции, такие, что

3т 3т

Ф (У) , Ф (У) е С[0,+¥), у 4 ф (у), у 4 ф (у) е Х[0,+¥), а(х), Ь(х), С(х)е С(I)п С2 (I), (2)

(1 - х)В а(х) + хвЬ(х)^ 0 "х е I, (3)

т

в=—-—.

2(т + 2)

Отметим, что впервые краевое условие вида 6) для уравнения (1) появилось в работе

А.М.Нахушева [3, с.737] и задачи такого типа вошли в математическую литературу под

названием краевых задач со смещением.

В монографии [4, с.143] А.М.Нахушев выписал нелокальное внутреннекраевое условие для уравнения От и = 0, из которого условие 6) следует как частный случай.

Настоящая работа является продолжением исследований, начатых в [3], [5-7].

2 Единственность решения задачи 1.

Пусть, как обычно,

т (х) = и( х ,0), х е I,

V(х)= Пт и (х, у), х е I.

4 ' у®0-0 у 4 '

Фундаментальное соотношение между т(х) и V(х), принесенное на I из гиперболической £2 части смешанной области, имеет вид [3] (см. также, [5, с.80], [7, с.211]):

у 2 Г (1 - Ь)[(1 - х)ь а(х) + хь Ь(х )]у(х) = у 1Г (р)(1 - х )ь а(х ^Ц^т^х) - хь (1 - х )ь С (х), (4)

где

Г(2В) 1 ( 4 Л2В Г(1 - 2В)

У1 = —-—-, у2 = — -------- —--------.

г2 (в) 21т + 2 0 г2 (1 - в)

Из (4) непосредственно вытекает следующие утверждения Л е м м а 1. Если С(х) ° т(х) =0 на [0,1], то v(х) ° 0 на [0,1].

Л е м м а 2. Пусть тах т(х) = т(х0) > 0 ^т_т т(х) = т(х0) < 0^, х0 е I, а(х) Ь(х)>0, С(х) ° 0

на отрезке I. Тогда v(х0) > 0 (V(х0) < 0).

Доказательство леммы следует из (4) и принципа максимума для производных дробного порядка [10] .

Т е о р е м а 1. Решение задачи 1 единственно в классе функций

, ч (-Л (- _____________Л

и(х,у) е С £ п С1 £\ АВ п С2(£\ АВ),

V /

если

а(х), Ъ(х), С(х), є с(I).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть и(х,у) - решение однородной задачи 1 и, в частности,

U(0, у) = U(1, у ) = 0, у > 0. (5)

Покажем, что и(х,у) ° 0 в области W1 . Предположим противное. Тогда найдется такая область W1h (h > 0) в которой и(х,у) ■£ 0, и, следовательно, max|U > 0. Без ограничения

Dih

общности можно считать, что max|Щ = max U > 0. Убедимся, что max U достигается на Ah Bh .

Wih Wih Wih

Допустим, что это не так. Тогда ввиду (5) он должен достигаться в некоторой внутренней точке (х0,0) отрезка АВ. Но тогда по лемме типа леммы К.И. Бабенко [9,11] должно

выполняться Щу (х0,0 + 0) = n(х0 )< 0, что противоречит лемме 2. Следовательно, maxU должен

Wih

достигаться на Ah Bh .

Точно также можно убедиться, что maxU = max U при любом h*>h.

Wlh* Ah* Bh*

Так как W ih cQ ih,, имеем max| U |> max| U| > 0. Отсюда lim U( x, y)^ 0, что

Q1h* Q1h y —— +¥

противоречит условию 3) задачи 1. Следовательно, U(x,U = 0 в Wi; в частности,

U(x,0) = т(x) ° 0 на AB . Но тогда U(x , j) = 0 в области W 2 на основании леммы 1.

Таким образом, U(x,y) ° 0 в области W . Тем самым теорема 1 доказана.

3 Существование решения задачи 1.

Переходя к доказательству существования решения задачи 1, будем дополнительно предполагать, что

a(x) = xm1 (x),b(x) = xß(1 - x)m2 (x), C(x) = xß m3 (x),

m1 (x), m 2 (x), m 3 (x), c (x )e(2,a) (I) (6)

m1 (x), m 2 (x), m 3 (x )^ 0 "x e i .

Фундаментальное соотношение между т(х) и v(x), принесенное на I из эллиптической W1 части смешанной области W имеет вид [6] (см. также [8, с. 1125])

где

g3

1

(x) = -g3 Jv(t)G(x, t)dt +11 (x),

0

_ (2 - 4ß)2ß Г2 (ß)

(7)

4лГ (2ß)

G(x, t) = |x -1| 2ß - (x +1)-2ß + [n - x +1)-2ß + (n + x +1)-2ß - (n - x -1)-2ß -

n=1

- (n + x +1)-2ß ];

(8)

t1(x)= 2

Г

¥ 2m+1 + It 2

0

m +1 V xm±l

------ Im + 2)m+2

m + 2 j

m+1

shlx- m+2

_1 f¥ 2 m +1

t

0

oo АГПТ1 OO

J t 2 j1 (t )dt J

shl(1 -. shl

m+2

■(l) I 1

21

-------1 2

m + 2

V У

dl +

Jt 2 j2(t)dtJ ^sh1(l) 1 -_L

' 21 ^

------1 2

m+2 V 0

dl

(9)

^() - функция Бесселя первого рода [1, с.32]. Нетрудно видеть, что функция т^х) имеет производные любого порядка в интервале (0, 1). Производная т^х) при х—) 0 и х —1 остается ограниченной, что непосредственно следует из известной формулы

j chA(l - x) i2-2ßI 1

sh

2

(1 - 2ß )t 1-2ß1

dl = 2л2 2ß ¿(- 1)

n-1n2-2ß x

x cos ли(1 - x )K 1

v /

r \_\

1—2ß

ЛИ

(1 - 2ß )t1

V

0<x< 1.

j

На основании условия "склеивания" 4), исключая из (4) и (7) функцию т(х), получим g 2 Г (1 - ß)[(1 - x)ß a(x) + xß b(x)]v(x) + g1g 3 Г (ß)(1 - x)ß a(x )Д^ (J v(t )G(t, x )dt )(x) = g (x), (10)

где

§ () = У1Г (Р)(1- х(Ь а{х )Ц1+2\ Xх )- хр (1- х )Ь С( х). (11)

Учитывая вид функции О(х,0 из (8), выпишем равенства, которые нам потребуются в дальнейшем [9, 12]:

I1 (x) = Д1-2ß

у0+

Jv(t)

x-1| 2ßdt xx)_-

t(2ß)

ptgpßv(x) +J

1 / . \1-2ß

t У r v(t)dt x I t - x

0

2

1

12 (*) = «0-2Ь || г(ґ)(х +, )-2Ь411(х) - ^

1 ^ ґ ^1 2Ь VI х

(ґ )4ґ

ґ + X

і1

V'

\0

(1

2п - ? ^1-2 Ь V (ґ )4і ;

14 (х)= ^0-2Ь Iг(ґ)(2п + х - ґ)-2Ь4 (х) - —— V 0 0 — 2Р)

{1

'(0

0

1

16 (х) = ^0-2Ь Iг(ґ)(2п + х +ґ)-2Ь4ґ (х)- —ТГЬ) V 0 0 Ч2ЬІ

ФЬ И' V х 0 2п - х + ґ

1 [ ( 2п + ґ ^ 1-2Ь V (ґ )4ґ

р(2ь )ь к х 0 2п + х - ґ

1 I ( '2п - ґ 1-2Ь г(ґ)4ґ

г(2Ь )-0( ч х ) 2п - х - ґ

1 11 г2п + ґ > 1-2Ь V (ґ )4ґ

р(2 Ь И1 V х 0 2п + х + ґ

Используя явный вид интегралов I (х), 7 = 1,6, приведем (10) к сингулярному интегральному уравнению

1 1

[ (х) + ¿1 (х) + ^Жр а1 (х)^1 ]п (х) + к) (х)) п () (х, ( ) = ————)х), (12)

о у 21 I1 р)

а1 (х) = (1-х)Ь а(х), Ь1 (х) = хь Ь(х), (13)

У У з1 (р)

где

г 2 Г (1 - Ь) Г (2Ь)’

К (х, ґ) =

-х

ґ

1

п=1

х

2п + ґ

х

V ґ - х ґ + X; п=1

1 1

\1-2b

/

1

1

2п - ґ + х 2п - ґ - х

ч2п + ґ + х 2п + ґ + х Перепишем функцию К( х, ґ) в виде

где

К (х, ґ) = Я( х, ґ) =

ґі V-2ь

1

1

1

ґ - х ґ + х - 2 хґ 1

+

Я( х, ґ)

ґ + х - 2 хґ ґ - х

- +

+Х

п=1

2п - ґ ґ

\1-2P

1

1

-X

2п + ґ ґ

\1-2P

V /

1

1

2п + ґ + х 2п + ґ + х

2п - ґ + х 2п - ґ - х

Заметим, что ряд в выражении для Я(х, ґ) сходится равномерно в квадрате 0 < х, ґ < 1, исключая прямую ґ-0, причем в окрестности ґ-0 функция Я(х, ґ) представима в виде

Я( х, ґ) = хґ2 ь-1 Q( х, ґ),

где Q(х, ґ) - непрерывная и ограниченная в замкнутом единичном квадрате функция.

На основании (11) справедлива следующая запись:

g( х) = г 1Г (ь )(1- х ) ь а( х) ГЩ Iт 1(ґ)(х - ґ ) 2Ь-14ґ - х Ь (1 - х ) Ь С( х )

Интегрируя по частям в интеграле, а затем дифференцируя по переменной х, находим

- х Ь(1 - х )Ь С (х)

g (х)=Г2рі(1 - х )Ь а(х)

Ч (0)х2Ь-1 + |<(ґ )(х - ґ )2М4ґ

Поскольку

а(х) = х^1 (х), с(х) = хьт3 (х), то функция g(х) в (14) принимает следующий вид:

Полагая

x~2ßv(x) = р(х), )(х)= ^ ^(1 - ь) x~2bg(x) > (x0 = 0

и учитывая тождество

t ( 1 1 ö 1 1 - 2t

+

x v t - x t + x - 2xt 0 t - x t + x - 2 xt приведем уравнение (12) к виду

[ (x) + bj (x) + Tttgpßfl^ (x]p(x) +

• t - x t + x - 2 xt

0

0

(15)

Используя обычную методику [9, 12], уравнение (15) можно привести к интегральному уравнению Фредгольма второго рода, разрешимость которого будет следовать из

областях W1 и W 2.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника. 1987. 668 с.

2. НахушевА.М. К теории дробного исчисления // Дифференц. уравнения. 1988. т. 24. №2. С. 313 - 324.

3. Нахушев А.М. Новая краевая задача для одного вырождающегося гиперболического уравнения // ДАН СССР. 1969. Т. 187. №4. С. 736 - 739.

4. Нахушев А.М. Уравнения математической биологии. М.:Высш. шк. 1995. 301с.

I im „

5. Кумыкова С.К. Об одной краевой задаче со смещением для уравнения sgn y\y\ ихх + и = 0 // Дифференц.

уравнения . 1976. Т.12. №1. С. 79 - 88.

6. Репин О.А. Задача Трикоми для уравнения смешанного типа в области, эллиптическая часть которой -полуполоса //Дифференц. уравнения. 1996. Т. 32. №4. С. 565 - 567.

7. Лернер М.Е., Репин О.А. Существенно нелокальная краевая задача для уравнения с частными производными // Матем. заметки. 2000. Т.67. Вып. 3. С. 478 - 480.

8. Хачев М.М. Задача Дирихле для уравнения Геллерстедта в бесконечной прямоугольной области // Дифференц. уравнения. 1999. Т.35. №8. С.1122-1126.

9. Лернер М.Е., Репин О.А. Об одной задаче с двумя нелокальными краевыми условиями для уравнения смешанного типа // Сибирск. матем. журнал. 1999. Т.40. №6. С. 1260 - 1275.

10. Нахушев А.М. Обратные задачи для вырождающихся уравнений и интегральные уравнения Вольтерра третьего рода // Дифференц. уравнения. 1974. Т.10. N 1. С. 100 - 111.

11. Бабенко К.И. К проблеме уравнеий смешанного типа. Дисс. ... д.ф.-м. н. Москва. 1951.

12. СмирновМ.М. Уравнения смешанного типа. М.: Высш. шк. 1985. 304 с.

единственности решения задачи 1. Зная v(x), определим функцию

соответственно в