CC BY
36
УДК 517.956.32 Е.В. Филимонова
КРАЕВАЯ ЗАДАЧА С ОПЕРАТОРОМ М. САЙГО ДЛЯ ПАРАБОЛОГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
Для уравнения смешанного парабологиперболического типа исследована задача, в которой краевое условие содержит линейную комбинацию обобщенных дробных интегродифференциальных операторов с гипергеометрической функцией Гаусса в ядре.
1. Постановка задачи. Рассмотрим уравнение смешанного парабологиперболического типа
Uxx - Uy = 0 (y > 0), \y\mUx - Uyy = 0 (m > 0, y < ü) (1)
в области D, которая представляет собой объединение верхней полуплоскости D + = {x,y) •' - да < x < +¥, y > 0}, области D , лежащей в нижней полуплоскости (y < 0), ограниченной характеристиками
2 / \(т+2>/ 2 / \(m+2)/
AC: о = x-------(- y) /2 = 0, BC: з = x +----(- y) /2 = 1,
m + 2 m + 2
и отрезком [0,1] прямой y = 0. Пусть J = (0,l) единичный интервал прямой y = 0, и0 - аффикс точки пересечения характеристики уравнения (1), выходящей из точки x є J , с характеристикой AC. Iq’^ 3 f и і!-в'3 f - операторы обобщенного дробного интегродифференцирования с гипергеометрической функцией Гаусса F(a,b;c;z) [1, 2]. іg+ f и I61- f - операторы дробного интегродифференцирования Римана - Лиувилля [2].
Для уравнения (1) изучим следующую краевую задачу со смещением: найти решение
U ( x, y ) уравнения (1) из класса и(x,у)є C^Djn C2 (d +u D“) удовлетворяющее краевым
условиям
Ul = 0, -¥< x £ 0, 1 £ x < +¥,
\y=ü
A{fü+b'~a~в t2в-1U [и0 (t )])x) + B(la+ ^^^U (t, ü))(x) +
+c (1a:1- вь-а-в g (t py (t, ö)\x)=ш(x) ^ x є j,в = (2)
условиям склеивания
U(x,-ü) = 6(x)U(x,+ü) ^x є J0, (3)
lim U (x,y)= в(x) lim U (x,y) + г(x) (x є J). (4)
y®-0 У y®+0 У
Здесь g (x)^(x~),б (x), в (x)^(x)- заданные функции, A,B,C - действительные постоянные, такие,
что
g (x )б (x)в (x ),г (x )є C1 J 0 n C3 (j ), ш(с)є H л J ^n C3 (j), ^x\x=1 = ü, Щ (x)| x=1 = ü,
A 2 Г (1 - в )-Cg (ЩЛг 1Г (в )+ B ]> 0 ^ x є J ^; (5)
Л^гів)*в -ö (x€J) Ag’r{1 - в)-Cg(x)*0 (xє4' (6)
б(x) в (x) > 0, (б(x) в (x)) £ 0 ^x є J j; (7)
a,b,л - действительные постоянные, такие, что
-ß< a < 1 - в, b > 2в -1, max{a + в, 1 - 2в }< л < 1.
2. Единственность решения задачи. Пусть существует решение U (x,y) поставленной задачи для уравнения (1). Из уравнения (1) следует, что ф(x) = U(x,+0) и н1 (x)= lim U (x,y) свя-
y®+0
заны следующим соотношением, принесенным из параболической части D + смешанной области D на линию у = 0 [3, с.98]:
Ф"(x) = щ (x), ф(0) = ф 1 = 0 (8)
или
ф (x)= j(x -1)н1 (t)dt + xj(t - 1)н1 (t)dt. (9)
Найдем соотношение между ф (x) = U(x,-0) и н2 (x)= lim U (x,y),
y принесенное на линию
y®-0 y
у = 0 из гиперболической части Б области Б. Для этого выпишем решение задачи Коши для
уравнения (1) при у < 0, которое в характеристических координатах о,з выражается формулой
[4, с. 103]
тт ( \ (()(з “ о У~2в Л } н2 () Л
и (0’3 )= г1 \( \1-в (. \1-в ~ г2 )( \ (----\7,
о (з - Ч ( - 0 \ о (з - Ч ( - 0 \
где г = ГМ г = 1 (_А_)2в Г - 2в \
Г2(в)’ 2 2 èm - 2) Г2(1 - в)'
Отсюда, используя соотношение
2
x ( (m + 2) x ö m+2 и0 =-------il- 1
2 è 4
имеем
U [и0 (x)] = г1 Г (в ) І^’в-1ф (x)-г2 Г (l - в ) il-- в’2в-1’в-% (x). (10)
Подставляя выражение (10) в (2) и применяя соотношения
10б+вз f (x ) = x^- в -з і^6-3-6- в f (x ) (б > 0 )
Пв І0д+ f (x ) = Ібо++гв+дз f (x ) (г > 0 )
для операторов обобщенного дробного интегродифференцирования [1], после преобразований получим выражение
ф (x ) = A Г ( ) B (l1+- 2в [Aг2 Г (l - в ) - C g (t )н2 (t ))x ) +
Aг1 Г (в ) + B
+-----------(Ц---(l-a+ - в’2в -1-b'G ш( )x ) (11)
Aг1 Г (в ) + By0+
Для доказательства единственности решения исходной задачи рассмотрим соответствующую однородную задачу (m(x) ° 0, г(x) ° 0) и оценим интеграл [5, с. 175], [8]
1
І = j ф (x )н2 (x)dx. (12)
0
Согласно условиям склеивания (З), (4) (с г(%) = 0 ), имеем
1
І = j б (x ) в (x ) ф (x) н1 (x ) dx,
0
откуда, интегрируя по частям и используя (8), получаем
l 1 l d2 l
І = j 6(x ) в (x) ф (x )ф” (x )dx = — j ф2 (x ) —2 [б (x ) в (x ^dx - j б (x ) в (x *)[ф' (x ) dx. (1З)
0 2 0 dx 0
Отсюда в силу (7) вытекает оценка сверху для интеграла (12):
І < 0. (14)
Покажем, что для І справедлива аналогичная оценка снизу:
І > 0. (15)
При ш(х\ ° 0 равенство (11) принимает вид
7 х ф (х )=[А.Г(. \.п]г(1 \ 1
[Аг2Г (1 - в \ - С g (\] н2 (\ Л
[Аг1 Г (в \ + В]Г (1- 2в \ Тогда, согласно (12),
1х
[Аг1 Г (в \ + В] Г (1 - 2в )1 = | н2 (х \ йх |
0 0
Справедлива формула
(х - * т
[Аг2Г (1 - в \ - С g (*\] н2 (*\ Л
(х - * \
2в
х - *
-2в
1 ^ ( 1 \
—7 г-----7 г 1Я2^соя^х - *\Ля \ 0 < в < — I
Г (2в \ соя(рв \ ^ 2 0
(17)
(см. [6, формула (2.5.3.10)] с б = 2р,Ь = |х-*|). Умножая обе части (16) на Г(2в\соя(рв\, используя (17) и соотношение (1.60) из [2, с.30], изменяя порядок интегрирования в полученном выражении, имеем
¥ 1 х
[Аг1 Г (в \ + В] р , I = 2 Г я2в-1йя Г соя(ях') н2 (х\ йх Г [Аг2Г(1 - в \- С g()] соя(*\ н2 (\ Л + $т{рв \ 0 0 0
¥ 1 х
+ 21я2в-1йя|я!п(ях \ н2 (х\ йх| [Аг2 Г(1 - в \ - С g (\ \ н2 (\ й*.
0
В силу формул
Л
2 соя(ях \ н2 (х\ | [Аг2Г (1 - в \- Cg (\ соя(* \н2 (* \Л ■-
X
| [Аг2Г(1 - в )- С g()] соя(я*\ н2 (\ Л
Аг2Г(1 - в \ - С g (х\ йх
х
2 я!п(ях \ н2 (х\ | [Аг2 Г(1 - в \- Cg (\ \ н2 (\ Л -
Аг2Г (1 - в \ - С g (х\ йх
получим
[Аг1 Г (в \ + В] Р I = Г я2в-1йя Г ятупв) ■' ■'
о 0 Аг2Г(1 - в\-Cg(x\ йх
л
¡[Аг2Г(1 - в)- Сg()] \ н2 (\ Л
Г [А г2 Г (1 - в)-С g ()] соя(я* *\н2 (\&
¥ 1 +Г я2в-1л Г
0 Аг2Г( - в \- С g (х\ йх
Г[Аг2Г(1 - в )- С g()] ят(я*\ н2 (\ Л
Введем обозначения:
11 =1
0Аг2Г(1 - в \- Cg (х\ йх
12 =
1
1
0Аг2Г(1 - в \- Cg (х\ йх Тогда (18) примет вид
р
л
¡[Аг2Г(1 - в)- Сg()] соя(*\ н2 (\ &
0
х
\\Лг2Г(1 - в)-Сg()] sin ( \ н2 (\ Л
йх.
йх,
йх.
йх +
(18)
[Аг1 Г (в \ + В] р , I = Г я2в-1 11 йя + Г я2в-1 12 ск. ят(рв) ■’ ■’
12 00
Рассмотрим интеграл 11. Проинтегрировав его по частям, получим
(19)
I, =
1
1 Аг2Г(1 - в)-Cg(l)
1
Г[Аг2Г(1 - в \- С g()]соя(я**\н2 ()й
0
2
1
0
2
1
со
а
1
2
1
2
1
2
¥
¥
і
І
С ёх (х)
О [Аг2Г(і - в )~ Сё (х)Г
Л
І [Аг2Г(і - в )- С ё(ґ)] со5(ґ) н2 (ґ) Сґ
Сх.
Проводя аналогичные вычисления для интеграла 12, будем иметь
І2 =
1
і
Аг2Г(1 - в)-Сё(1)
С ёх (х)
0 [Аг2 Г(1 - в )- Cg (х)] В результате (19) примет вид
„2в-1
і
¡[Аг2Г(1 - в)- Сё(ґ)] БІП(ґ) Н2 () Сґ
0 х
1 [Аг2 Г (і - в )- С ё ()] біп (і) н2 () Сґ
Сх.
I =
иіп
s
іп(рв ) О [Аг2Г(і - в ) - С ё(і)] ]Аг1Г(в ) + в]
Сёх (х)
І s2вІ
О
¥
І
І ]Аг2 Г (і - в )- С ё (ґ)] соз(ґ) н2 (ґ) Сґ
х
І\Аг2 Г (і - в )-Сё (ґ)] соз(ґ) н2 () Сґ
Си -
О ]Аг2Г(і - в)-Сё(і)]]АгіГ(в) + В]
Си -
]Аг2Г(і - в)-Сё(х)[^7^(3) + В]
і
І]Аг2Г(і - в)- Сё()]иіп(иґ)н2(Сґ
х
І ]Аг2Г(і - в )- С ё()] иіп(иґ) н2 () Сґ
Сх +
Сёх (х)
- Г^в________
Г0 I \Аг2Г (1 - в )-С g (х\][Аг1 Г (в ) + В]
Учитывая условия (5), (6), приходим к оценке (15).
Соединяя (14), (15), заключаем, что I = 0, и тогда из (13) имеем
1 1 ,2/ Ч Л2 '
Сх.
2 | ф2 (х\ ~Т2 [б(х\ в (х)] Лх - | б(х\ в (х\ [ф' (х\Лх = 0
2 0 йх 0
Отсюда в силу условий (7) и (8) получаем ф (х)° 0 ^х е ^^ и, следовательно, и(х,у)° 0 в Б,
что доказывает единственность решения исходной задачи.
3. Сведение краевой задачи к интегральному уравнению. Учитывая условия склеивания (3), (4) и равенство (9), получим
ф(х\ = б(хн2()Л - б(х\Г ——^\Л + а(х\ х ГV2(1 \<й -а(х\ х Г(1 ^(*\dt. (20)
0в (\ 0 в (\ 0,р(t\ о р(t\
Исключая т2 (х\ из уравнений (11) и (20), вводя обозначение п2 (х\ = п(х\, будем иметь
б(х)[х , ґ н()Сґ - б(х)[——1}г)Сґ + б(х)х І н()сСґ - б(х)х [——іІг
0в () 0 в () 0в () о в ()
• (х -ґ) г(ґ)
і
ґ-і х\—гт н( в(
і (ґ-і)г(ґ)
С =
і
Агі Г (в ) + В
(іі++ 2в ]Аг2Г(і - в)-Сё()] н())х)+ ! (і0Гв,2в-^шОХх). (21)
Применив к обеим частям (21) оператор Оі+2в, умножив на
Агі Г (в ) + В
Агі Г ( в ) + В
Аг2Г(і - в)-Сё(х)
’• 5 - і
получим
(х)-Ж!7ІГ^І Іґ-ЇІ'(’)Л + ґ Нгн()л
Г (2в) Сх О (х - ґ) 10в () 0в (5) у
В(х) (рі+2в (ц:-в,2в-і-ь,0ш()))х), (22)
= - С(х) С г б(ґ)Сґ (г(ґ - 5)г(5Ь7+ґ і( - і)г(5)±
= -Г(2в ) <іх | (х - ґ)і-2в в (5) +ґ | в (5)
где с(х)= АгіГ(в): В_______________ р(х)=_______________і____________.
Аг2Г(і - в)-Сё(х); Аг2Г(і - в)- Сё(х)
2
2
¥
Преобразуем выражения в левой части уравнения (22). С помощью формулы из [7, с.115] непосредственно проверяется справедливость равенств
й х б(1 )Л \ *- и н( \ = Хх(х - и\2в
Г Г*-3 н(и\=[у-У
йх | (х - *\1-2в | в (иИ'\ Л = 1 в (и\
(х - и )\б х [ +(х]
(1 + 2в ) Г ^ + (х ~^]2 <Ъ +
Г0 (1 - 2Г2-
(1 - 2 )1-
-йг
н(и )йи
(и -1\ н(и\ г* б( (* \ + б (* \
м и = Г ^ -1 ^ Л' + - у / Л
йх I (х - ,Г-1 в И ^ ~1 в () Л\ (х - Л
(23)
(24)
Подставляя (23) и (24) в (22), получим интегральное уравнение Фредгольма второго рода для функции н(х\
где
н(х\-| К (х,5\н(\йи = / (х\,
0
К (х, и \ = Ь(х, и \+М (х, и \,
(25)
Ь(х,и ) =
С (х \ (х - и \2
Г (2в \ в (и \
(1 + 2в У
V-2в
-йг +
2в
(х > и \ (х < и ),
С(х) и -1 Г *б((*)+ б(:)
I •>
/ (х )=-
М(х’5^=т2\I '("''у"*'ж,
Г (2в \ в (и \ 0 (х - * \
С(х\ йХ б()Л ( Г ( - 5)г(и\ + л ( - 1)г(и\
Г О\Т)М I Г Г(2в \ йх | (х - *У-2в I Г
- Р(х\ (б0+26 (I,
К* \
К 0
-а- в,2в-1-Ь,0
0+ '
-йи
Рассмотрим ядро и свободный член интегрального уравнения (25). Применяя метод интегрирования по частям, приведем функции Ь(х,и \ и М (х,и \ к виду
Ь(х\ =
С (х\ (х - и)2
Г1 + 2в \ в (5 \ (1 + 2в\Г ^ - 2 )2в [б 2 [ + (х - и ')х]2 + б[ + (х - и '\2^й2
+ (х - и\ |(1 - 2Г [2 (бх [ + (х - и)г\\; ' + 22 б х [ + (х - 1 >Л
(х > и\, (26)
(х < и \
М (х,и ) = ■
С(х\ и -1
Г (1 + 2в \ в (и \ Используя формулу из [7, с. 115], получим
Л
х2в б(0) + Г(х - *\2в [2б((*\ + *б(”(*)]Л
(27)
/ (х )=-
С(х \
Г (2в \
Г <х=£- ((1 + 2в) 1 б[г +(х ] <ъ + (х - и) 1 °х1[+(х-1:’к]
I в(’) Г ’I (1 - 2)1-2- ' 'I (1 - 2)1-2-
■
г(и\ йи
+
+
Г
Г
(х - * У'
Л
а-в,2в-1-Ь,0
+ ш\и
Проинтегрировав по частям, будем иметь
2
г
2
0
0
2
f(x )=-
C(x)
Г (l + 2в )
x ( — )2в f l
[ s— (l + 2в)[(l — z)2в [бz[s + (x — s)z]z + 6[s + (x — s)z]dz +
j в (s) J
i ' 11 (x — s) j(l — z)2в z2 (бx[s + (x — s)z])z + 2z 6x[s + (x — s)z]]dz г()ds +
+
j(s—Ms)
Ks )
x2e б (о) + j (x — t )2в \_2 6t (t) +16t (t )dt
ds
■ D(x)(Dl2в (l—a+ в2в-l-b0m(s^t)x) (28)
Для дальнейшего нам потребуются леммы, доказанные в работе [9].
Лемма 1. Пусть 0 <-б < л < 1 и в < Ш1п[0,з +1] Если ф(х\е Нл \0,1\ то
ф\х\е Нтт[л+б'-в][0,1]
Лемма 2. Пусть 0 < б < л < 1, л - б < 1 и с(х) = хм, где 0 < м< л - б +1.
Если ф(х\ е Нл0 (с; [0,1]), то
(рф)е НГб(с; [0,1]).
Здесь Нл [0,1] (0 < л < 1\ - пространство функций, удовлетворяющих на отрезке [0, 1]
условию Гельдера фиксированного порядка л, а H0)\0,—] - его подпространство [2]:
Н0 [0,1] = фх \ е Н л [0,1] ф0 \ = ф(1\ = 0}
Перейдем к исследованию функции
/, (х )=(р0+2‘ (к- "'2‘М*)
Так как ш(х \ е Н л \0,1] 0 < а + в < л < 1, Ь > 2в -1, то на основании леммы 1
(т-а- в, 2в-1-Ь,0„ ^ тттт\л-а- в,Ь+1-2в ||"л 71 /лл\
Ь + ш({\Ах\е Н [0,1] (29)
Далее, поскольку /2 (0) = /2 (1\ = 0, 0 < 1 - 2в < л < 1, л < 2 - 2в , где
/2 (х Яс- в2'-1-ЬМ \
то на основании леммы 2 и (29)
{р1+2в /2 %х \е Нт'п[л-а-вМ1-2в ]+2в-1 [0,1] (30)
Из (26), (27), (28), (30) видно, что К (х,и \ и / (х \ непрерывные функции.
Отсюда и из единственности искомого решения вытекает существование решения исходной задачи.
о
о
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Saigo M. A remark on integral operators involving the Gauss hypergeometric functions // Math. Rep. Kyushu Univ. 1978. Vol.11. №2. P. 135-143.
2. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Мн. 1987. -688с.
3. БжихатловХ.Г., Карасев И.М., Лесковский И.П., Нахушев А.М. Избранные вопросы дифференциальных и интегральных уравнений. Нальчик. 1972.
4. СмирновМ.М. Уравнения смешанного типа. М. 1985.
5. Репин О.А. Нелокальная краевая задача для параболо-гиперболического уравнения с характеристической лини-
ей изменения типа // Дифференц. уравнения. 1992. Т.28. №1. С.173-176.
6. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Элементарные функции. М. 1981.
7. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М. 1974.
8. Килбас А.А., Репин О.А. Задача со смещением для параболо-гиперболического уравнения // Дифференц. урав-
нения. 1998. Т.34. №6. С.799-805.
9. Saigo M., Kilbas A.A. Generalized fractional integrals and derivatives in Holder spaces // Transform Methods and Special Functions, Sofia 94 (Proceeding of International Workshop). Sci. Cult. Tech. Publ., Singapore. 1995. P.282-293.
Поступила 2l.03.2004 г.
