CC BY
11
Владикавказский математический журнал Октябрь декабрь, 2002, Том 4, Выпуск 4
УДК 517.9
НЕЛОКАЛЬНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ НАГРУЖЕННОГО УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
М. 3. Худалов
В статье рассматривается нелокальная задача для нагруженного уравнения параболического типа и установлена единственность ее решения. Для этой задачи построена схема Ротэ. Получена априорная оценка для решения исходной задачи методом Ротэ, из которой следует сходимость метода Ротэ. Построена разностная схема.
1. Априорная оценка
В области Б = {(ж, : 0 < х < £, 0 < £ < Т} рассмотрим задачу
ди д дЬ дх
к{х,Цдх
Ш
+ + /(ж, г), (1.1)
к=1
I
т *) Щ^1 = А« + /«<&- /л (¿),
о (1.2)
и(х, 0) = щ(х), (1-3)
где ак — постоянные числа, к(х, I) ^ С\ > 0, 0 < £1 < £2 < • • • < Ст < £ — фиксированные точки интервала (0,1). Задачи типа (1.1)-(1.3) встречаются при изучении переноса примеси вдоль русла рек [1]. Предположим, что задача (1.1)—(1.3) имеет регулярное решение. Тогда, умножая уравнение (1.1) скалярно на и, получим
\
(Щ, и) - ((ких)х,и) - I аски(£к,г),и I = (/, и), (1.4)
\&=о /
где
I I
(«,„)=/„„*, ||и|В = /»»(*,0*.
о о
Оценим отдельно члены, входящие в тождество (1.4). Очевидно, что
1 д
{щ,и) = 2 ¿^1Н1о>
© 2002 Худалов М. 3.
I I
I
/с (1/ гг. (}>х о ' ж
((ких)х,и) =у (ких)хийх = (ких)и
о о
I
=к(£, г)их (£, $и(£, ¿) - к{0, г)их (0, г)и{0, - У ки1<1х
о
= - р2и2(£, г) + и(г, - рщ2(о, г)
I I
— и(0, ¿) J иёх + и(0,— У кь2йх, о о
Для оценки третьего члена используем известную лемму:
Лемма. Для любой функции у(х) €Е ИЛ21(0,1) и для любого е > 0 справедливо неравенство
тахг^ж) < е\\ух\\1 + 0 + ^ |М|.
Действительно
I
(т \ т „
) =1%2<хки(£к,г) / и(х,1)(],х
к=1 / /г=1 ^
< V ы Г + < \ Е ы им*+сеЦ|
/ Ь — 1
2 2м '"7 2
/г=1 4 7 к=1
л ш Ш * т
" .....|2 е I III 112
2 ^ 1 ...... 2 ' 111 "и 2
/г=1 /г=1 /г=1
1
С учетом этих оценок (1.4) запишем в виде Э
(т \
< + е + Ы(£ + М1 + + +
1/1 =
2С1-4С2г-Зе-еЕМ' ^ > °>
к=1
(1.5)
/г=1
2
0
где Сг = тах{|/?1|, |/?2|}- Проинтегрируем неравенство (1.5) по т от 0 до 1
г
ММ)11о + < + + / (/*?(*) + /'¡(¿МЛ- + 11«о(®)Ио, (1-6)
а:112,(Э( — / 11и110 1 Далее из (1.6) следует
где \\UxW2Qt = /1М1о^т-' о
г
2.
\\u\\t)^u2j\\u\\t)dт + F(t), (1.7)
о
где
ри.) =
2е
*"(*) = ¿11/111,+ М-оМе + I ^22(т)+^(Т))С1Т.
о
*
Отсюда на основании леммы 1 из [2] находим j' ||и||о<^т -Р(^). Подставляя послед-
о
нее в (1.7), окончательно выводим
1М1о + \KWIq, < М | ||/||2)0( + ||«о(®)||о + I()И?(т) +^{т))йт ) . (1.8) Из оценки (1.8) следует единственность решения рассматриваемой задачи (1.1)-(1.3).
2. Метод Ротэ Задаче (1.1)—(1.3) поставим в соответствие схему Ротэ:
8
, / ,Ч дУ
+ + (2-1)
к=1
I
о
(2.2)
у(ж, 0) = «о(ж), к(х,1) ^ с\ > 0, (2-3)
гДе Уг = (у — у)/т, у = у-*, У = У1'т = Т/Эо — шаг сетки по времени. Как и выше, умножим уравнение (2.1) скалярно на 2ту:
(т \
Ураку((к,г),у\т + 2ти,у). (2.4)
г
Преобразуем слагаемые, входящие в тождество (2.4)
2т(уьу) = \\у\\1^\\у\\1 + т\\у1\\1
I ^ I
{{кух)х,у) = У (кух)хуйх = (кух)у о - J ку2хс1х о о
I
= щ, г)ух (£, г)у(е, г) - к(о, г)Ух (о, *) - ^ ку2хёх
о
I
,2 (я + \ , ,.,(/) о „,2/
= -/32у2(£, I) + у(£, 1)^(1) - (31У2(0,1) - 2/(0, ¿) J уйх
о
I
+У(0, — / ку2хс1х,
о
I
т
I I 1
Е"^^'^ I и(х,г)ёх^^^[е\\ух\\20 + С4у\\2а]+-^2\ак\\\у\\2а^
к=1 ц /г=1 /г=1
т ^ т
< I Е ММ1о + 2 X ^ + 11у11О'
/г=1 /г=1
1
Подставляя последние неравенства в (2.4), находим
Ы2о ~ М + ъЫ2оТ < «2||у||§т + + + (2.5)
где «1, «2 — некоторые положительные постоянные. Суммируя (2.5) по от 1 до получаем
з з 1 з
1Ы1оЕ \\у*\\1т < «2 Е Е (н/5"11о++/*!&'))1М*)и§.
¿' = 1 ¿' = 1 з'
(2.6)
Из оценки (2.6) с помощью леммы 4 из [3, гл. 3, § 1] при малом г, находим з
1М1о + Ё\\у(\\1т < М Ё (|1/5"Но + г + |М*)||§ , (2.7)
з'=1 у'=1
где М > 0 — постоянная, не зависящая от т. Из (2.7) выводится обычным образом сходимость метода Ротэ со скоростью 0(т).
¡и
3. Разностные схемы для нагруженных уравнений параболического типа
В замкнутой области Ю введем сетку = х и)^ = х^ = гк •. г = 0,1,... , Ы, а)т = tj = зт : ] = 0,1,... ,^о- Дифференциальной задаче (1.1)—(1.3) ставим в соответствие разностную схему
Уг = КУ^+ф, уМ=ау + {1-а)у, у = у1+\
(3.1)
А~у =
(ЧУх.о-РгУо 0.5Л
+ Е ак
к=1
Уь
н-+Уч,+1
Ку= { Ау = (ау^)х + £ ак
к=1
Уги^Т- +Угк + 1—п*
н
, х е шн
1
0,5/1
X уЛ х = о,
к=0
к=1
н
0.5Л
ж = 0,
у(ж,0) = щ{х), хешн,
аД?) = ? =
А = + <^0! р2 = 77~ТГ + ,
0,5Л
0,5Л
Й=Г|, ¿ = 0, г = ЛГ,
[И, г = 1,2,... ,ЛГ- 1.
Будем считать, что шаг сетки по пространственной координате Ь, больше половины длины наименьшего из сегментов [0, £1], [£1, £2]; • • • ; [Ст; 1] (см. [4]). Для схемы (3.1) верна оценка
з
\\У3+1Ш + Е ИУ*Ио т < М (Е 11^" Но ^ + + + 1М®)Но) . (3.2)
з'=0
Нетрудно получить оценку для погрешности аппроксимации. Для этого обозначим г:= у — и. Тогда задача для погрешности будет выглядеть так
11
гг = Кг{ст)+ф, ф = 0{Ь2+та), а = 1 при а ф -, а = 2 при ст = -. (3.3)
Для доказательства схемы применим оценку (3.2) к задаче для погрешности (3.3). В результате получим оценку, из которой и следует сходимость схемы:
з'=О
и'=0
П1
к
3
3
Литература
1. Анохин Ю. А., Горстко А. В., Дамещек Л. Ю. и др. Математические модели и методы управления крупномасштабным водным объектом.—Новосибирск: Наука, 1987.—187 с.
2. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики.—М.: Наука, 1973.—407 с.
3. Самарский А. А., Гулин А. В. Теория устойчивости разностных схем.—М.: Наука, 1973.—415 с.
4. Ильин В. А., Моисеев Е. И. Нелокальная задача для оператора Штурма — Лиувилля в дифференциальной и разностной трактовках // Докл. АН СССР, 1986.— Т. 291, № 3.—С. 534-539.
г. Владикавказ
Статья поступила 25 декабря 2002 г.
