Нелинейный закон подобия для отрывного обтекания идеальным газом прямоугольного крыла со сверхзвуковой скоростью Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Том III 1972 Мб

УДК 533.6.0115

НЕЛИНЕЙНЫЙ ЗАКОН ПОДОБИЯ ДЛЯ ОТРЫВНОГО ОБТЕКАНИЯ ИДЕАЛЬНЫМ ГАЗОМ ПРЯМОУГОЛЬНОГО КРЫЛА СО СВЕРХЗВУКОВОЙ СКОРОСТЬЮ*

А. А. Никольский

Решение задачи обтекания сверхзвуковым потоком прямоугольной пластины, помещенной под углом атаки а к однородному набегающему потоку, в линейной постановке приводит к бесконечно большим скоростям обтекания пластины около ее боковых кромок в плоскостях, нормальных к этим кромкам. Применение теоремы количества движения в рамках линейной теории показывает, что при этом вдоль линий боковых кромок к газу приложена подсасывающая сила. Такую возможность приходится отвергать даже при обтекании тел несжимаемой жидкостью, в сжимаемом же газе, как следует из уравнения Бернулли — Сен-Венана, максимальная скорость при стационарном обтекании тел вообще ограничена. В действительности в окрестности боковой кромки образуется поверхность тангенциального разрыва скорости, позволяющая реализовать течение с конечными скоростями, без подсасывающих сил, приложенных к линии боковой кромки. Линейная теория, непригодная в окрестности боковых кромок, тем не менее при малых углах атаки а дает главный (линейный по а) член для суммарной силы, действующей на пластину во всей области влияния боковых кромок. Учет отрыва потока в окрестности боковых кромок дает для этой силы, как показано ниже, добавку порядка о5^3.

Рассмотрим случай обтекания прямоугольной пластины, когда области влияния двух боковых кромок не перекрываются, что соответствует выполнению неравенства 2b\kl<^\, k=^Yb\to— где b — хорда пластины, / — ее размах, М<» = WooM» — число М набегающего потока; w&— модуль вектора скорости набегающего потока; — скорость звука в этом потоке (см. фигуру). Введем правую прямоугольную систему координат х, у, z, ось х которой направлена вдоль передней кромки в сторону от крыла, ось у — нормально к плоскости крыла, ось z — вдоль боковой кромки, вниз по потоку, как это изображено на фигуре. Обозначим через и, v, w компоненты вектора скорости по осям х, у, z; р — давление, р —плотность, значком оо снизу будем обозначать значения величин в набегающем потоке.

* Доложено на XIII Международном конгрессе по теоретической и прикладной механике, Москва, 21—26 августа, 1972 г.

1. Преобразование уравнений движения. В рассмотренном случае во всей области ($ влияния боковой кромки течение при достаточно малых а будет коническим. При малых аО спиральная

вихревая пелена 7 стягивается к оси г. В области /, внешней к окрестности величины kx/z, kyjz порядка 1. Положим w — Wtx-}-+ w', р = Роо-\- р', Р = Роо + Р'- В малые величины и, V, w', р', р' в области / основной вклад дают их значения, получаемые по обычной линейной теории, не учитывающей наличия поверхностей тангенциального разрыва. Обозначим эти значения через ии vu w'u Ри Рь Они, как известно, имеют порядок малости а. Положим их = ода» Ux\ Vt — a.Woo Vi, w[ = <XWX Wx\ p'l — ярк pi: p! = a poo Ru где величины, обозначенные большими буквами, имеют порядок 1. Дополнительные к ним величины иг — и — ии V2 — V — Vx, w'2 =

= w' — w[, р'2 = р'— р\, р2 = р' — pi являются в рассматриваемой области малыми более высокого порядка, чем а, но вместе с тем порядка более низкого, чем а2: они, как это будет показано ниже, имеют порядок а5/3. Зададимся для них таким порядком, положив щ = а5/3 Woo U2, v2 = а5/3 woo V2, w'2 = я5/3 WooW2, p\ = а5/3рм Р2,

р2 = “5,3ра>#5-

Подставляя в дифференциальные уравнения движения и уравнения сохранения для ударных волн выражения м = а©00£/1 + + а5/3 wx U2, v = aWn I/, + а5'3 ®>ос V2, w = wx + awx W, + a5/3 w^ W2, р=ры + а/?оо Pi + а5/3 Pco P2, P = pco + aPoo /?i + Poo a5/3 R2, отбрасывая величины порядка a2 и выше по сравнению с величинами порядка a и а5/3, а также пользуясь тем обстоятельством, что величины с индексом „1“ снизу удовлетворяют по определению линеаризованной системе уравнений, получим, что и величины с индексом „2“ снизу удовлетворяют той же линеаризованной системе уравнений и, таким образом, в области / можно положить

<р> = аФ: + а5/3Ф,, (1.1)

где <р' — общий потенциал скоростей возмущенного движения, aOj — потенциал скоростей возмущенного движения в линейной задаче, а5'3Ф2 — дополнительный потенциал скорости, связанный

•

с учетом наличия тангенциального разрыва на боковых кромках. Каждая из величин Ф,, Ф2 не зависит от а и удовлетворяет волновому уравнению

= 0 = <‘-2>

При этом имеем

дф1 , <?Ф, ' ' 04

Щ==а~дх~ у '°1 = а~ду * ®'1==а~57-’ = ; (1-3)

г., (ЗФ2 дФ2 , дФ., , , /л .

“2= ~дхГ’ ‘°2== ~ду~ ' т2==я1 Р*—— Рао®<х®2 • (1.4)

Дополнительное течение с потенциалом а5/3 Ф2 тоже является коническим течением, и к нему можно применить общую теорию Буземана таких течений, сводящую волновое уравнение движения к двумерному уравнению Лапласа [1].

В области //, являющейся окрестностью боковых кромок и поверхностей тангенциального разрыва, сходящих с них, зададимся решением в виде X—у — 02, и = аВУоо и, у = а10оо\/г,'11) = 1юаз(\+а*\%г)1 р — Рк = р=о з2 Р, Р — Рк (1+з3/?), где величина о характеризует размер области II, значок означает порядок величин. Подставляя написанные выше выражения в уравнение движения газа, отбрасывая величины порядка о2 и делая, кроме того, замену переменного 2 = хе/оо^, получим, ч1о в области II асимптотически удовлетворяются уравнения плоского нестационарного движении несжимаемой жидкости:

да ду______п ди ди , ди__________1 ду

дх ду ~ дх Ю ду ~ рх дх ’

ду , ду , ду 1 ду

—Ц —— -|- —-— =----------------------------------------------------— .

дt дх ду роо ду

(1.5)

Поскольку во всей возмущенной области завихренность потока, вызванная ударными волнами, имеет третий порядок малости по а, можно ввести потенциал скорости <р, полагая и = ду/дх, у — д^/ду, ча’ = д<?/дг, причем ср в области II будет удовлетворять двумерному уравнению Лапласа:

д2 © <?2 ф „

т*г+Ж=°- <>-6>

Порядок величины з нужно еще связать с порядком а. Подводя итог рассуждениям настоящего раздела, получаем, что во всей области влияния боковой кромки (сумма областей I и II) равномерно пригодно волновое уравнение для потенциала возмущенных скоростей:

-Ц- + -11— <М1-1)4^=0. (1.7)

К выводу о его пригодности в области / мы пришли в начале этого раздела, в области же II уравнение (1.7) с точностью до малых высшего порядка по о совпадает с уравнением (1.6).

Оправданием проведенных в этом разделе рассмотрений будет построение глобального течения во всей возмущенной области, удовлетворяющего исходным предпосылкам этих рассмотрений. *

2. Поле скоростей в области влияния боковой кромки. Поскольку уравнение (1.7) для потенциала скорости, общее для областей / и II, является линейным волновым уравнением, в рассматриваемом приближении границей влияния боковой кромки является конус Маха К с уравнением х2 у2 — г2//г2. Будем искать потенциал течения во всей области влияния боковой кромки в виде ср = ср1 _{_ <р2>-а компоненты скорости в виде и — и{ -{- и2, v — vl + г>2, ю' — тю\

где величины с индексом „1“ снизу соответствуют решению линейной задачи обтекания без учета поверхностей тангенциального разрыва, дающему бесконечную величину щ на боковой кромке; величины с индексом „2“ снизу соответствуют дополнительному полю скоростей, связанному с наличием

В соответствии с теорией линеаризованного конического обтекания края прямоугольной пластины [1] имеем следующие значения величин с индексом „1“ внутри конуса Маха:

МІ + И, = /і (х); к»! = И\ — ІУ\ =--- — ~ J 1^/, +

.. Г Xі + У2 2 г у

, = «»; у—ГЛ = -т—.., І =

Аналитическая функция /((х) имеет вид

1 х — у 2^

/і ('с) =----------1п------------г-р= .

71 ' 1 х + у 2 х

(2.1)

(2.2)

Главным членом для /Дх) при малых значениях |х| является выражение

А (*) = 2 /Тх . (2.3)

При малых х -»0 главный член функции и'х — становится аналитическим и имеет вид

. . , 1 й/, # у~2 1

и, — IV, =-----у-'] — = I--------а _________ . (2.4)

і

к х + іу

Поскольку при малых х имеем х^-^— ----------------, получаем

. . 2 ЧЮуь !Х т/" 2

и. — IV, = I

или, полагая г =■-- ?их г1,

2 а л/~Т

С = * + /у. (2.5)

Таким образом, имея в виду результаты разд. 1, касающиеся области II, получаем для этой области автомодельную задачу

отыскания нестационарного отрывного движения, где в терминологии работы [2] исходное поле скоростей имеет комплексный потенциал:

, ___ _____ 4 ’Ы)3!2 а

?1 + /ф1 = *х1/ТУ С , *== —-у-. (2.6)

В обозначениях работы [2] т = 1/2, «=1/2, а множитель г присутствует из-за иного, чем в работе [2], расположения относительно пластины системы координат х, у*.

Безразмерная комплексная переменная и безразмерная циркуляция б, не зависящие от величины х, определяются соотношениями

Л 4- 1у = С = Х2/3 ^ Г = „4/3 (2.7)

где Г — циркуляция части пелены, отсекаемой рассматриваемой

точкой. Поскольку величины и1( 1}и и)\ уже удовлетворяют необ-

ходимым условиям сопряжения потоков, внешнего к конусу Маха К и расположенного в конусе К, и условию обтекания пластины, для величин ы2, ^2. Щ следует потребовать обращения их в нуль на конусе Маха К, а для величины v2 — обращения в нуль на пластине. Найдем поле скоростей с индексом „2“ снизу при фиксированных конфигурации вихревой пелены и распределении циркуляции Г вдоль нее. Поле скоростей с индексом „2“ снизу, как было указано выше, удовлетворяет, аналогично полю скоростей с индексом *1“ снизу, уравнениям конических линеаризованных течений, поэтому и для него справедливы такие же, как (2.1), соотношения, где индекс „1“ за-менен индексом „2“:

щ + «, = -|-/2 (');

' ■ ' 1 1 /иЛ (2’8)

■Ы)2 = и2 — гг*2 = — — + — й/Л ,

где х то же, что и в формуле (2.1); аналитическая функция /2(т) уже определяете-я не равенством (2.2), а расположением и распределением циркуляции Г вихревой пелены т и дополнительными условиями

те>2 = 0 при 11 | = 1; з2 = 0 при у = 0, х < 0 .

При заданном у построим функцию /2(т) в нужном приближе-

нии. Второе из соотношений (2.8) показывает, что при малых т -»• О функция и'2 — /г»2, как и должно быть в области II в соответствии с разд. 1, является аналитической:

-^2 = --^^ • (2-9)

Пусть вихревая пелена задана, как в статьях [2] и [3], в параметрическом виде:

т = ' (Г) • (2.10)

* Автомодельная задача здесь ставится так. При t — 0 имеет место обтекание бесконечной полупластины ^ = 0, лг<^0 с комплексным потенциалом w — ? -j- іі/ = it. У t У С . Найти . при t > 0 движение около этой пластины с развивающейся поверхностью тангенциального разрыва, обеспечивающей конечную скорость в точке х — у = 0.

При у — 0, л:<0 должно быть ^ = 0 и должно выполняться условие (2.10) наличия заданного тангенциального разрыва.

Полагая х1 = У х, построим функцию и'2 — ю2=—- ^ ,

удовлетворяющую этим условиям, если положим:

1 1

х|—^(Г) т1 + г1(Г).

йТ. (2.11)

Выражение (2.11) определяет некоторую аналитическую функцию /2 (х) во всем круге |х| = 1, удовлетворяющую условию 1ш/2 = 0 при у — 0, х<0 и условию (2.10) наличия заданного тангенциального разрыва. Однако функция /2 не удовлетворяет необходимому условию Ие/2 = 0 при | х | = 1. Нужная функция получится, если к функции /2, определяемой равенством (2.11), добавить такую аналитическую функцию, чтобы их сумма уже удовлетворяла всем необходимым условиям. В правой части (2.9) ^ (Г)| — 0 при а-^0 и поэтому при | х| — 1 ее можно представить главным членом вида

г й/, к, 1 (• -----------

/4=-27^!^>'-<г) + МгЯ<я\

где интеграл в правой части берется по вихревой пелене 7. Отсюда для самой функции /2, определяемой соотношением (2.11), получим

л~-44^т^мг,+;‘ТГ1|'<г- <2-12)

Если к функции /2, определяемой соотношением (2.12), добавить аналитическую функцию/;, определяемую соотношением

/2 = -44х>-9^г1^(Г) + :^ТГ)]^Г, . (2.13)

7

то сумма их будет нужной нам функцией /2.

3. Вычисление сил. Результаты разд. 2 показывают, что на больших расстояниях в масштабе вихревой спирали 7, т. е. в области /, имеет место выражение

л = - Т 4 (тг + / !'■ <г» + ■ <3|>

Как следует из формул разд. 2, на спирали 7 при а-»0 х, (Г)~а'/3, Г — а4'3 и, таким образом, формула (3.1) показывает, что в области / /2 —я5/3, — а5'3. Поскольку в области II

и2 — /®2 = — -у | й/5

то и величины и2, V2 имеют в области II порядок а. Именно таким порядком для этих величин мы задавались в разд. 1 и теперь получили согласованное с исходными предположениями решение.

размерности -чт-~а4;3, 'Я2~а4/3, и2— а4/3, т. е. разность давления

Поскольку в области / в соответствии с разд. 1 для дополнительного давления р2 имеем выражение р'2 —— p^Wm^, то и дополнительное давление p'v а следовательно, и подъемная сила, действующая на часть крыла, лежащую в области /, имеет порядок а5'3, ибо площадь, на которой действует давление (площадь области /), порядка 1.

В области II, согласно разд. 1, для вычисления давления следует пользоваться формулой Лагранжа для нестационарного дви-

()<л р

жения -зрг ■+---п---1—£-- = у (0-. где t = zjwx. Однако здесь дви-

vf ^ Роо

жение автомбдельно и в соответствии с соотношениями теории ду dt

с двух сторон пластины имеет в этой области порядок а4/3. Поскольку характерный поперечный размер этой области — области интегрирования давления — имеет порядок а2/3, то вся подъемная сила, создаваемая частью крыла, расположенной в области 11г имеет порядок малости а2, больший, чем порядок а5'3 величины подъемной силы в области I. Заметим, что малый параметр з, который участвовал в рассуждениях разд. 1, при рассмотрении области II оказался, как видно из изложенного выше, пропорциональным величине а2/3. Проведенное рассмотрение показывает, что главный член дополнительной подъемной силы крыла внутри конуса Маха К можно получить, интегрируя по площади крыла выражение (3.1) (на крыле

Преобразуем интеграл от w'2(x, z) по поверхности s крыла, лежащей внутри конуса Маха, в рассматриваемом случае, когда w2(x, z) в силу коничности течения зависит только от величины \ = x/z:

\\k 1 z)dxdz=~ j ®ЛЕ)^ = |г J/*d-|qhr •

s 0 0

Пользуясь формулой для дополнительной подъемной силы У2 = J*JрсоWoo(ч1>'2в — w’2n)dxdz, где значки „в“ и „н“ относятся к

S

верхней и нижней поверхности крыла, получим:

1

Y, = Рсо Wco Цг J7s (х) d -утр? • (3-2>

о

В соответствии с введенными обозначениями имеем по формуле (2.7)

г = х4/з — G.

ВДоо

При малых т, соответствующих точкам 7, имеется связь

/— [ к л f х 1 / k

^=УтУт-У2 -ysr-

По формуле (3..1) получим:

2^J HG)-MC)]dO\ (3.3)

Интеграл в правой части (3.2) сходится и легко берется. Для коэффициента дополнительной подъемной силы У2(г), полученного

где величина универсальной для данной задачи константы с и ее смысл определяются предыдущими соотношениями.

Соотношение (3.4) является комбинированным законом подобия, давая для су, одновременно закон изменения по а и по М«> Константа с может быть определена либо теоретически путем решения сформулированной выше автомодельной нестационарной задачи для идеальной несжимаемой жидкости, либо экспериментально путем испытания в аэродинамической трубе одного прямоугольного в плане крыла при одном угле атаки а и одном числе М набегающего потока Ма>> 1.' '

Закон подобия (3.4) имеет большое сходство с предельным законом подобия для прямоугольных крыльев весьма малого удлинения, полученным автором в работе }3].

1. К о чин Н. Е., К и бель И. А., Розе Н. В. Теоретическая гидромеханика, ч. II, М., Изд. иностр. лит., 1963.

2. Никольский А. А. О «второй* форме движения идеальной жидкости около обтекаемого тела (исследование отрывных вихревых потоков). ДАН СССР, т. 116, № 2, 1957.

3. Никольский А. А. Законы подобия для трехмерного стационарного отрывного обтекания тел жидкостью и газом. .Ученые записки ЦАГИ“, т. 1, № 1, 1970.

делением этой силы на площадь ^ г2, к которой она приложена,

и на скоростной напор, получим выражение

ЛИТЕРАТУРА

Рукопись поступила 9/VI 1972 г.

2 — Ученые записки ЦАГИ № 6