Нелинейный фильтр с показательными весами гиперболического вида Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 65.012.12

НЕЛИНЕЙНЫЙ ФИЛЬТР С ПОКАЗАТЕЛЬНЫМИ ВЕСАМИ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ВИДА

В. А. Толстунов

NONLINEAR FILTER WITH EXPONENTIAL WEIGHTS OF HYPERBOLIC TYPE

V. A. Tolstunov

Предлагается алгоритм усредняющего фильтра, весовые коэффициенты которого зависят от значений входного сигнала и являются показательными функциями гиперболического вида. Приведены результаты цифрового моделирования работы данного фильтра в случае, когда мешающий шум является суммой гауссовских и импульсных помех.

The author proposes the algorithm of the smoothing filter using weight coefficients. These coefficients depend on the input signal and are exponential of hyperbolic type. The results of digital modeling of the given filter are shown, when disturbing noise is a sum of the normal and pulsed components.

Ключевые слова: фильтр, мешающий шум, погрешность фильтрации, цифровое моделирование.

Keywords: filter, disturbing noise, inaccuracy of filtering, digital modeling.

Цифровые фильтры взвешенного усреднения нашли широкое применение при решении ряда практических задач [1 - 3]. Как правило, весовые множители этих фильтров являются константами, которые образуют фильтрующую маску, и значения этих констант зависят от их положения в маске.

В настоящей работе рассматривается усредняющий фильтр, весовые коэффициенты которого зависят от значений отсчетов входного сигнала и не зависят от их положения в апертуре [4].

Пусть на вход фильтра с длиной апертуры т

поступают дискретные сигналы Х = Я; + П1 ,

отсчеты полезного

чески

одинаковы.

Тогда

• = sk + ni

Ук = к+( m-1)/2

IЛ• )

(1)

i=k-(m-1)/2

Веса f (•) выберем таким образом, чтобы слагаемые в числителе (1) имели относительно близкие значения. Положим, в частности

Л/

•, а = const > 0 .

f (•) = а Тогда из (1)

к +( m-1)/2

- V

I

•а

Ук

i=k-( m-1)/2

к +( m-1)/2 - 1/

г = 1,2,... , где ^ = ) -

детерминированного сигнала, П = п(;) - отсчеты

мешающего шума. Будем полагать, что в пределах апертуры фильтра отсчеты полезного сигнала практи-

I а

i=k-( m-1)/2

(2)

/7 т - 1 / , т +1 г = (к--2—, •••, к,..., к +--2—) . По значениям

входного сигнала (хк_m-y^•••,хк^хк+т-у) будем

определять значение выхода фильтра Ук , соответствующего отсчету Хк .

В качестве выхода сглаживающего фильтра возьмем среднее значение отсчетов хг, с весовыми множители /() , то есть

к+(т-1)/2

X ^ (х)

г=к-(т-1)/2

Рассмотрим свойства фильтра (2) в случае, когда = Я; + <^г + ?7г, где 8! - значение полезного сигнала, ^ - значение гауссовского шума, - значение импульсного шума. Будем полагать, что гауссов-ский шум имеет нулевое математическое ожидание и 2

дисперсию, равную (7 . Импульсный шум может

принимать значения

- A , 0, A > 0 с

вероятностями

Р (г = А) = Р, Р (г =- А) = ^ Р ( = 0) = 1 - Р - Я.

Фильтр (2) был промоделирован численно. В качестве полезного сигнала был выбран прямоугольный импульс с высотой ступеньки 20. Результат фильтрации характеризовался погрешностью

1 N

R = -L II Si - уг| Nt!1 ' г|

(3)

где N - число отсчетов сигнала.

На рисунке 1 показана зависимость погрешности Я при удалении импульсного шума (т = 3, А = 30, Р = 0.4,ст = 0)

от величины параметра 0Г-. Кривая (1) показывает за-шумление сигнала согласно (4).

1 Ы

Я0 = ^ 1" • (4)

Кривая (2) показывает погрешность (3) для алгоритма (2). Как следует из данного рисунка, лучшие

результаты фильтрации достигаются при а << 1.

Рис. 1. Зависимость погрешности от параметра СС

На рисунке 2 показана погрешность Я при удалении импульсного шума от величины вероятности его появления р. Параметры моделирования:

А = 30, а = 0, т = 3, а = 0.001.

Кривая (1) показывает зашумление сигнала, рассчитываемое по формуле (4). Кривая (3) показывает погрешность фильтра (2). Для сравнения, кривая (2) показывает погрешность классического медианного фильтра [1, с. 349]. Из рисунка 2 видно, что, по сравнению с медианным фильтром, погрешность исследуемого фильтра (2) существенно меньше зависит от вероятности появления импульсного шума.

Рис. 2. Зависимость погрешности от вероятности р

На рисунке 3 показана зависимость погрешности

К от амплитуды А импульсного шума. Параметры

моделирования: т = 3, р = 0.4, а = 0,а = 0.001.

Кривая (1) показывает зашумление сигнала, кривая (2) показывает погрешность медианного фильтра, кривая (3) соответствует погрешности фильтра (2). Из рисунка видно, что, по сравнению с медианным фильтром, погрешность исследуемого фильтра также существенно меньше зависит от амплитуды импульсного шума.

На рис. 4 показана зависимость погрешности Я от параметра с гауссовского шума. Параметры модели-

рования: т = 3, р = q = 0, а = 1. Кривая (1) показывает зашумление сигнала, кривая (2) показывает погрешность медианного фильтра, кривая (3) соответствует погрешности фильтра (2).

Рис. 3. Зависимость погрешности от амплитуды

.4

Рис. 4. Зависимость погрешности от параметра СГ

На рисунке 5 показаны:

а - зашумленный полезный сигнал

(А = 30, р = 0.4, q = 0,а = 0, Я0 = 9.9),

б - выход классического медианного фильтра ( т = 3, Я = 6.7),

в - выход исследуемого фильтра (2)

(т = 3,а = 0.001, Я = 2.31).

Как видно из приведенных результатов, фильтр (2) существенно лучше медианного фильтра удаляет неотрицательный импульсный шум. Исследования показали также, что фильтр (2) лучше медианного удаляет и отрицательный импульсный шум, но при этом следует использовать параметр а >> 1.

10 20

40 50 5а

60 70 80 90 100

10 20 30 40 50 60 70 80

5б

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

6а

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 6б

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

5в

Рис. 5. Результаты удаления неотрицательного импульсного шума

На рисунке 6 показаны:

а - полезный сигнал с наложенным гауссовским шумом (р = 0, q = 0,а = 1,5, Я0 = 3.74),

б - выход классического медианного фильтра (т = 3,Я = 2.58 ),

в - выход исследуемого фильтра (2)

(т = 3,а = 1, Я = 2.28).

Как и следовало ожидать, медианный фильтр и фильтр (2) удаляют гауссовский шум практически одинаково.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

6в

Рис. 6. Результаты удаления гауссовского шума

Фильтр (2) легко обобщается для обработки изображений. Если в этом случае размер апертуры равен

т х п, то

к+(т_1)/2 1+(п_1)/2 _ 1/

н(е)/2 I+(п~1)/

а ух.

Ун

_ г=к_(т_1)/2 у=1 _(п_1)/2

У

к+(т_1)/2 I+(п_1))2 _

£ Е а

г=к_(т_1))2 у=/_(п_1)/2

(5)

Фильтр (5) был промоделирован численно. Результат фильтрации оценивался погрешностью:

60

50

40

30

20

10

0

30

60

40

10

0

90 100

60

40

35

30

25

20

15

10

10

5

NN

R = NI — y,

N i=l J=1

где N2 - размер изображения. Результат зашумления характеризовался величиной

NN

R0 = NI IIIs,

N '=1 J=l

x.

Рис. 7. Исходное и зашумленное изображения

На рисунке 9 показаны: а - исходное изображение с наложенным отрицательным импульсным шумом

(A = 100, p = 0, q = 0.4, R0 = 0.1519),

б - выход медианного фильтра (m = n = 3, R = 0.041), в - выход фильтра (5)

(m = n = 3,а = 0.001, R = 0.0238).

При этом, при использовании алгоритма (5) значения Xij из [0,1] обращались преобразованием

На рисунке 7 показаны: а - исходное изображение, б - изображение с наложенным импульсным шумом (А = 100, р = 0.3,^ = 7, Я0 = 0.1335).

На рисунке 8 показаны: а - выход медианного фильтра (т = п = 3,Я = 0.061), б - выход фильтра (5) (т = п = 3,а = 0.001, Я = 0.0357).

l

Рис. S. Результат удаления шума

X, . Обработанное изображение возвраща-

у У

лось затем к исходному представлению преобразованием У у = 1 _ У у . Как видно из приведенных результатов, фильтр (5) существенно лучше медианного убрал отрицательный импульсный шум.

Таким образом, проведенные исследования нелинейного фильтра (2) показали, что он достаточно хорошо удаляет аддитивные гауссовский шум и импульсный шум большой амплитуды и высокой интенсивности.

б

Рис. 9. Результат удаления отрицательного шума

а

в

Литература

1. Гонсалес Р., Вудс Р. Цифровая обработка изображений. М.: Техносфера, 2005. 1072 с.

2. Грузман И. С., Киричук В. С., Косых В. П., Перетягин Г. И., Спектор А. А. Цифровая обработка изображений в информационных системах: учебное пособие. Новосибирск: Изд-во НГТУ 2000. 168 с.

3. Толстунов В. А. Нелинейная фильтрация на основе степенного преобразования // Доклады ТУСУРа. 2012. № 1(25). Ч. 1. С. 71 - 75.

4. Толстунов В. А., Шлындова Ю. В. Нелинейный сглаживающий фильтр с гиперболическими весовыми множителями // Вестник КемГУ 2013. № 4(56). Т. 2. С. 70 - 74.

Информация об авторе:

Толстунов Владимир Андреевич - кандидат технических наук, доцент кафедры автоматизации исследований и технической кибернетики КемГУ, [email protected].

Vladimir А. Tolstunov - Candidate of Technical Sciences, Assistant Professor at the Department of Investigations Automation and Engineering Cybernetics, Kemerovo State University.

Статья поступила в редколлегию 22.12.2014 г.