Характеристическая алгебра Ли и интегрируемые по Дарбу дискретные цепочки Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 2. № 4 (2010). С. 39-51.

УДК 517.957

ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ АЛГЕБРА ЛИ И ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ПО ДАРБУ ДИСКРЕТНЫЕ

ЦЕПОЧКИ

Н.А. ЖЕЛТУХИНА, А.У. САКИЕВА, И.Т. ХАБИБУЛЛИН

Аннотация. Рассматривается дифференциально-разностное уравнение dXt(n + 1, x) = f (x, t(n, x),t(n + 1, x), dxt(n, x)) с неизвестной функцией t(n,x), зависящей от непрерывной переменной x и дискретной переменной n. Уравнение называется интегрируемым по Дарбу, если существуют функции F и I, зависящие от конечного числа аргументов x, {t(n + k,x)}<j=_,

{dXkt(n, x)} , такие, что DXF = 0 и DI = I, где Dx — оператор полного дифферен-

цирования по x, а D — оператор сдвига: Dp(n) = p(n + 1). Доказано, что уравнение интегрируемо по Дарбу тогда и только тогда, когда его характеристические алгебры Ли по обоим направлениям конечномерны. Описана структура интегралов. Дано описание характеристических алгебр для некоторого класса интегрируемых уравнений.

Ключевые слова: интегрируемые цепочки, классификация, x-интеграл, n-интеграл, характеристическая алгебра Ли, условия интегрируемости.

1. Введение

В настоящей заметке рассматриваются дискретные уравнения (или цепочки) вида d d

—tin + 1,x) = f (x,t(n, x),t(n + 1,x), —t(n, x)) . (1)

dx dx

Искомая функция t = t(n,x) зависит от дискретной переменной n и непрерывной переменной x. Предполагается, что функция f = f (x,t,t1,tx) является локально аналитической, и Jf не равна нулю тождественно. Отметим, что в последние два десятилетия дискретные модели вида (1) интенсивно изучаются благодаря приложениям в различных областях естествознания (см. [1]—[3] и ссылки в них). В статье рассматривается класс уравнений (1), допускающих в известном смысле явную формулу для общего решения.

Далее мы будем пользоваться нижним индексом для обозначения сдвига дискретного

d

аргумента: tk = t(n + k,x), k £ Z, и производной по переменной x: tm = tx = — t(n,x),

dx

d2 m t[2] = txx = ~xx2t(n,x), t[m] = dXmt(n,x), m £ N.

Введем набор динамических переменных, состоящий из {tk}<к=~оо; {t[m]}m=i. Обозначим через D и Dx оператор сдвига по n и оператор дифференцирования по x, соответственно. Например, Dh(n,x) = h(n + 1,x) и Dxh(n,x) = dxh(n,x). Функции I и F, зависящие

N.A. Zheltukhina, A.U. Sakieya, I.T. Habibullin, Characteristic Lie algebra and Darboux Integrable Discrete Chains.

© ЖЕЛТУХИНА Н.А., Сакиева А.У.,ХАвивуллин И.Т. 2010.

Работа поддержана РФФИ (грант 10-01-31222 СТ-а, 09-01-92431КЕ-а, 10-01-00088-а), МК-8247.2010.1. Поступила 1 июля 2010 г.

от х и конечного числа динамических переменных, называются, соответственно, п и х-интегралами (1), если Д1 = I и ДхГ = 0 (по поводу определения см. также [4]). Очевидно, что константа является х-интегралом, и любая функция, зависящая только от х -п-интегралом. Такие интегралы называются тривиальными интегралами. Заметим также, что любой п-интеграл I не зависит от переменных гт, т Е Z\{0}, и любой х-интеграл Г не зависит от переменных Ц[т], т Е N.

Уравнение (1) называется интегрируемым по Дарбу, если оно допускает нетривиальный п-интеграл и нетривиальный х-интеграл. Для интегрируемого по Дарбу уравнения г1х = г1гх/г функции Г = \п(г1/г) и I = гх/г являются х- и п-интегралами.

Основные идеи интегрирования уравнений в частных производных гиперболического типа восходят к классическим работам Лапласа, Дарбу, Гурса, Вессио, Монжа, Ампера, Лежандра, Егорова и др. Первоначальное понимание интегрирования уравнения в частных производных как процедуры нахождения явной функции для его общего решения позднее было заменено другими, менее обременительными определениями. Например, интегрируемость по Дарбу уравнения гиперболического типа означает лишь существование интегралов по обоим характеристическим направлениям, что позволяет свести уравнение к двум обыкновенным дифференциальным уравнениям. Другое, не менее известное опре-делние интегрируемости предполагает наличие дифференциальной подстановки, сводящей заданное уравнение к уравнению иху = 0.

Для отыскания интегралов при условии, что они существуют, Дарбу использовал каскадный метод Лапласа. Альтернативный подход, более алгебраический, основанный на характеристических векторных полях, использовали Гурса и Вессио. Именно этот метод позволил Гурса получить список интегрируемых уравнений [5]. Важный вклад в развитие алгебраического метода исследования уравнений был сделан А.Б. Шабатом. Например, в работе [10] А.Б. Шабат и Р.И. Ямилов исследовали при помощи характеристической алгебры систему гиперболических уравнений специального вида, называемую экспоненциальной системой

игху = ехр(аци1 + а»2и2 + ... + ашим). (2)

Было доказано, что система (2) интегрируема по Дарбу тогда и только тогда, когда матрица коэффициентов системы А = {а^} совпадает с матрицей Картана полупростой алгебры Ли. А.В. Жибер и Ф.Х. Мукминов исследовали структуру характеристических алгебр Ли для так называемых квадратичных систем, включающих в себя уравнение Лиувилля и уравнение синус-Гордон (см. [6]). В статьях [6] и [7] изучается глубокая связь между характеристическими алгебрами Ли и парами Лакса гиперболических Б-интегрируемых уравнений, а также обсуждаются возможные способы адаптации характеристических алгебр Ли к задаче о классификации таких уравнений.

Недавно было введено понятие характеристической алгебры Ли дискретной модели. В наших статьях [8]-[9] был разработан эффективный метод классификации моделей, интегрируемых по Дарбу. С помощью этого метода были получены новые классификационные результаты. Характерная особенность дискретных моделей в том, что в характеристической алгебре имеется автоморфизм, порожденный оператором сдвига, выполняющий исключительно важную роль при классификации.

Согласно предположению, что f (х, г, Ц]_, гх) = 0, мы можем записать (по крайней мере, локально) уравнение (1) в форме гх(п — 1,х) = д(х,г(п,х),г(п — 1,х),гх(п,х)). Так как х-интеграл Г не зависит от переменных Цк], к Е N, то уравнение ДхГ = 0 принимает вид КГ = 0, где

д д д д д д К = дх +Ьх дг + fд)i; + дЖ1, + Л «2 + д-1 дЛ +.... (3)

Также ХГ = 0, где X = , ведь Г не зависит от гх. Следовательно, любое векторное

поле из алгебры Ли, порожденной К и X, обращает в нуль Г. Эта алгебра называется

характеристической алгеброй Ли Ьх уравнения (1) в направлении х. Следует иметь в виду, что Ьх является алгеброй Ли над полем локально аналитических функций, зависящих от х и конечного числа динамических переменных, а не над числовым полем.

Связь между интегрируемостью по Дарбу уравнения (1) и его алгеброй Ли Ьх сформулирована в следующем важном критерии.

Теорема 1. Уравнение (1) допускает нетривиальный х-интеграл тогда и только тогда, когда его алгебра Ли Ьх конечномерна.

Перепишем равенство О1 = I, определяющее п-интеграл I, в развернутом виде

Очевидно левая часть этого равенства содержит переменную Ь\, а его правая часть - не

Обозначим N * размерность линейного пространства, порожденного операторами }°°.

Алгебра Ли над полем локально аналитических функций, порожденная операторами

Теорема 2. Если уравнение (1) допускает нетривиальный п-интеграл, то его алгебра Ли Ьп конечномерна.

Статья построена следующим образом. В разделе 2 описана структура п-интегралов и х-интегралов для интегрируемых по Дарбу уравнений. В частности, показано, что можно выбрать п-интеграл минимального порядка и х-интеграл минимального порядка в специальной канонической форме, удобной для классификации.

В разделе 3 условие интегрируемости уравнений по Дарбу переформулировано в терминах характеристических алгебр Ли. Доказано, что необходимым условием существования нетривиальных х- и п-интегралов является конечномерность соответствующих характеристических алгебр. В случае х-интеграла это условие является и достаточным. Утверждения, рассматриваемые в разделах 2 и 3, являются основой для дальнейших исследований классификационной задачи для уравнения (1) с помощью характеристических алгебр Ли.

В разделе 4 приведены примеры интегрируемых по Дарбу уравнений. Для каждого такого уравнения вида Ь\х = Ьх + d(t, ) представлены алгебры Ьп и Ьх . Напомним, что для

I^, t\, f, fx,...) I^, t,tx, іхх,...).

(4)

где

(6)

Можно показать, что О 3У0О31 = 0 для любого натурального ]. Непосредственные вычисления показывают, что

Б-Yo Dj = Xj-l + У і , з > 2,

где

{Уі }^ и {Хі }^ , называется характеристической алгеброй Ьп уравнения (1) в направ

лении п.

интегрируемых по Дарбу экспоненциальных систем уравнений в частных производных характеристическая алгебра Ли является полупростой (см.[10]). Наши примеры показывают, что в общем случае алгебра не обязательно полупроста.

2. Структура интегралов

Будем считать порядком нетривиального п-интеграла I = I(х,Ь,Ьх,... ,Ьщ) с число к.

Лемма 1. Предположим, что уравнение (1) допускает нетривиальный п-интеграл. Тогда для любого нетривиального п-интеграла I*(х,1,Ьх,... ) наименьшего порядка и

для любого п-интеграла I имеем

I = ф(х.I *,DXI *,02х I *,...), (9)

где ф -некоторая функция.

Доказательство: Обозначим I* = I*(х,Ь,... ,Цщ) — п-интеграл наименьшего порядка. Пусть I любой другой п-интеграл, I = I(х,Ь,... ,ЦГ]). Очевидно г > к. Введем новые

) I* Dr-

/X1 , . . ., Dx

переменные х, І, Іх, ..., І[к-1], I*, Ох1 *, ..., Вгх кI* вместо переменных х, І, Іх, . . ., і[к-1], І [к] ,

І[к+1], ..., І[х]. Получаем I = I(х,і,іх,... , І[щ-1], I*, ОхІ*,... , Огх кI*). Разложим функцию I

'X^ > • • • ) ^х

в степенной ряд в окрестности точки ((I*)0, *)0,.. . , (ОХ-кI*)о):

'х± /о, — , V^х

I =5] Его,П,-„гг-к (I* - (По)г0 Ш* - Ш*)0)Ч . . . фх~кI* - фх~кПоУг-к . (10)

г0,г1 ,---,гг — к

Тогда

DI = ^ DEг0,г1 ,...,гг—к^I* - (I*)о)г0(DDxI* - Ш*)о)г1 ... (DDx-kI* - (^х~кПоУг—к .

г0,г1 ,---,гт — к

Так как DI = I, DDXI* = D:X DI* = D:XI* и разложение в степенной ряд для функции I единственно, то DEг0,гl,..,гr—k = Ег0,ги..,гг—к, т.е. все Ег0,г1 ,.,гг—к(х,Ь,... ,Цк-1]) — п-интегралы. Так как минимальный п-интеграл зависит от х, Ь, ..., Ьщ], то все функции Ег0,г1,..,гг_к(х,Ь,... ,Ь[к-1]) являются тривиальными п-интегралами, т.е. функциями, зависящими только от х. Теперь формула (9) следует непосредственно из (10).

Определим порядок нетривиального х-интеграла Г = Г(х,Ьк,Ьк+1, ...,Ьт) с -тЙ^ = 0, как

дЪ[т\

т - к.

Лемма 2. Предположим, что уравнение (1) допускает нетривиальный х-интеграл. Тогда для любого нетривиального х-интеграла Г*(х,Ь,Ь1,... ,Ьт) наименьшего порядка и для любого х-интеграла Г имеем

Г = £(Г*^Г*^2Г *,...), (11)

где £ — некоторая функция.

Доказательство: Обозначим Г * = Г *(х,Ь,Ь1,... ,Ьт) х-интеграл наименьшего порядка. Пусть Г — любой другой х-интеграл, Г = Г(х, Ь,Ь1,... ,Ьг). Очевидно, I > т. Введем новые переменные х, Ь, Ь1, ..., Ьт-1, Г *, DГ*, ..., Dl-mГ* вместо переменных х, Ь, Ь1, ...,Ьт-1, Ьт, ..., и. Получим , Г = Г(х,Ь,Ь1,... ,Ьт-1, Г *^Г * ,...^1-тГ *). Представим функцию Г степенным рядом в окрестности точки ((Г*)0, ^Г*)0,. . . , ^1-тГ*)0):

Г = ^ Кг0,г1,..,Ч—т (Г * - (Г *)о)г0 ^Г * - ^Г *)о)г1 ... (^-т Г * - (^-т Г *)о)г1—т . (12)

г0,г11...,г1 — т

Тогда

DxГ = ^ Dx{Kг0,гl,...,гl_m}(Г*-(Г*)о)г0^Г*-^Г*)о)г1 ... (^-тГ*-(^-тГ*)о)г1—т +

г0,г1 ,...,г1 — т

+ 5] Кго,г1,..,,ч_т Dx{(Г* - (Г*)о )г0 ^Г* - ^Г * )о)г1 . . . (^-т Г* - (^-т Г *)о)Ч—т }

-т

г0 ,г1 ,...,'г1 — т

Так как DXDjГ* = DjDXГ* = 0, то DX{(Г* - (Г*)0)г0^Г* - ^Г*)0)г1 ... ^1-тГ*--^1-тГ*)0)г1—т } = 0. Следовательно,

0 = DxГ = £ Dx{Kго,n }(Г* - (Г')о)‘0(ОГ* - (ОГ*)о)г1...

г0,г1,...,г1-

т

. . . (р1-тГ * - Г *) 0)г1 — т .

Согласно единственности представления нуля степенным рядом имеем DX{Kг0^г1^..,il_,m} = 0, т.е. все Кг0,г1,...^_т (х,Ь,..., Ьт-1) являются х-интегралами. Так как минимальный нетривиальный х-интеграл имеет порядок т, то все функции Кг0г1..,г1_т являются тривиальными х-интегралами, т.е. константами. Получаем, что уравнение (11) следует из (12).

Следующие две леммы являются обобщениями Леммы 1.2 из работы [11] на дискретный случай.

Лемма 3. Среди всех нетривиальных п-интегралов I*(х, Ь,Ьх:,... , Ьщ) наименьшего порядка с к > 2 существует п-интеграл ^(х.п.Ь.Ьз;,... ,Ь[к]) такой, что

I0 (х,п,Ь^,.. .,Ь[к]) = а(х, п,Ь, IX,... ,Цк-1])Цк] + b(x,n,t,tx,... ,Ь[к-1]), (13)

где a(x,n,t,tx,... ,Ь[к-1]) = c(n,x)a(x,t,tx,... ,Цк-1]).

Доказательство: Рассмотрим нетривиальный минимальный п-интеграл I*(х, ... , Ьщ)

с к > 2. Равенство DI* = I* можно записать следующим образом

I *(x,t1,f,fx, . . .,![к-1]) = I *(x,t,tx, . . .,Ь[к]).

Продифференцируем обе части последнего равенства по Ьщ:

дI*(x,tl,f,...,f[k-l]) _ д^к-1] = д!:*(х,Ь,...,Ь[к]) д^к-1] дЬ[к] дЬ[к] .

Так как = *-ъх, то уравнение (14) можно переписать следующим образом

ш * (x,tl,f,...,f[k-l]) = ^ *(х,Ь,...,Цк])

д^к-1] Нх = дЬ[к] . ( )

Продифференцируем еще раз по Ьщ обе части последнего уравнения, получим:

д 2I * (x,t1,f,...,f[k-1]) г2 _ д2]: *(х,Ь,...,Ь\к])

или

д 2/\к-1] х дЬ2

п,д2^\*2 = д]2Л

^дЬ2 дЬ2п

где I* = I*(х,Ь,... ,Ьщ). Из равенства (15) следует, что

д2I* 1 I дIМ 2 _ д2Р { ( дI*

т.е. функция

дЬп, \ I дЬ[к] ( дЬп, | V дЬ

д21*

д$к\

3 := [к\

01 * '2

дЦк]

:14)

является п-интегралом и, согласно Леммы 1, мы получаем, что 3 = ф(х, I*). Следователь-

но,

д2I* дН(хД*,п) ( дI*\2 дН

, где Н находим из уравнения —— = 3,

2

дЬ[к] д1 \дЬ[к] / д1

ясно, что Н(х, I*,п) = Н0(х, I*) + с(х, п). Имеем

д Г дТ*

° - Н(хД*,пП=0.

дЬ[к] { дЦ

Заметим, что e-Hо(x,I*)Ш— = e^+c(x,n) для некоторой функции д(х,Ь,Ь:Е,... ,Ь[к-1]) и

[к]

функции с(х,п). Введем функцию Ш таким образом, чтобы = e-Hо(x,I*'). Тогда и функция Ш = e9*(x,n,t,...,t[k—1^t[k] +1(х, п,Ь, . . . , Ь[к-1]) является п-интегралом,

[к]

где 1(х,п,Ь,... , Ь[к-1]) — некоторая функция.

Пример 1. Цепочка вида t1xtx = Ь1 + Ь допускает интегралы (см. [4])

I* = ^ - 1)2 г = (Ьз - Ь1)(Ь2 - Ь)

Ь2 + Ь1

Легко видеть, что п-интеграл, линейный по старшей переменной Ь^, явным образом зависит от переменной п:

Ь — 1

Ш = (-1)п ——.

tx

Лемма 4. Среди всех нетривиальных х-интегралов Г*(х, Ь-1,Ь, Ь1, . . . , Ьт) наименьшего порядка с т > 1 существует х-интеграл Г0(х,Ь-1,-,Ь1, ... ,Ьт) такой, что

Г0(х,Ь-1 ,Ь,Ь1, ...,Ьт) = А(х,Ь-1,Ь,... ,Ьт-1) + В(х,Ь,Ь1,... ,Ьт). (16)

Доказательство: Рассмотрим нетривиальный х-интеграл Г * (х,Ь-1,-,Ь1, ... ,Ьт) минимального порядка. Так как DXГ* = 0, то

дГ * дГ * дГ * дГ * дГ * дГ *

ж+дщц+^ -ж++...+(17)

Продифференцируем обе части (17) по 1т и по Ь-1, получим следующие уравнения:

д дГ

{^ + дГ (^^)} от- = 0, (18)

—-m —-m

{°+жт} £^ <19)

Продифференцируем (18) по Ь-1, получим,

o-РГ^ + _д^^г*_ + ^_ 32Г* _0

Dx Яи Яи + Си Си Си + Си ^ /) Си £и 0 . (20)

д^дЬ^ дЬ-1 д^дЬ^ дЬт дtmдt-1

ВхР— й

Из (18) и (19) следует ) =----хр*Ьт , =-1. Уравнение (20) принимает

т 1т —1 I

вид

Г* DA 1п^*т^—^ !> = 0. Г* Г*

~*т ^—1

р—

Согласно Леммы 2 имеем, р*тр—1 = ((Г*), или

Г * д

*т*—1^*^{^*\ тг/ / 771* \ 771* д

Г* Г— ((Г*) = НЧПГ*^ = дгН(Г*), где ((Г*) = Н'(Г*).

~*т 1

Таким образом, {1п Р*т — Н(Р*)} = 0, или е н(Е*'">Р*т = С(х,Ь,Ь1,... , Ьт) для некоторой

функции

С(х,Ь,Ь1,... ,Ьт). Обозначим Н(Р*) такую функцию, для которой Н'(Р*) = е-н(р. Тогда

81^*] = С(х,г,ги.. .,гт).

Таким образом, Н(Р*) = В(х,Ь,Ь1,... ,Ьт) + Л(х,Ь-1,Ь,... ,Ьт-1). Так как

РхН(Р*) = Н'(Р*)Рх(Р*) = 0, тогда Н(Р*) есть х-интеграл в виде (16).

Следствие 1. Среди всех нетривиальных х-интегралов Р(х,Ь,... ,Ьт) наименьшего порядка с т > 2, существует х-интеграл Р0(х,Ь,... ,іт) такой, что

Р (хі ^, . . . , Ьт) Л(x, t, . . . , Ьт-І^ + B(x, Ь1., . . . ., Ьт) .

3. Алгебраический критерий интегрируемости по Дарбу В этом разделе приводятся доказательства Теорем 1 и 2.

Докажем Теорему 1. Предположим, что уравнение (1) допускает нетривиальный х-интеграл. Рассмотрим один из таких интегралов Р = Р(х,Ь,Ь1,... ,Ьт) с = 0 тождественно. Введем

Ь{хт) = {Т(т) = Рт(Т) : Т Є Ьх}, где Рт — оператор проектирования, действующий следующим образом

« (4+4+£ * I)=*1+ь1+£ -1 ^=12-з-- (21)

\ к=1 к/ к=1 к

Обозначим М1 размерность ЬХ^. Очевидно, М1 ^ т + 2. Пусть множество

{Т01,Т02,... ,Т0М1} образует базис в Ь^. Для любого і = 1,2,...,^, введем

ГО

Тз = ^2 а к (Тз) ~щ. -векторное поле из Ьх такое, что Рт(Т) = Т0з. Покажем, что мно-к=І

жество {ТІ,Т2,...,Тм1} образует базис в Ьх. Возьмем произвольное векторное поле

Т = а(Т)дх + Ь(Т)д *3(Т)дт из Ьх. Так как Рт(Т) Є ЬХГ), то Рт(Т) = ^2 взТоз.

3 3=1

Покажем, что Т = ^ взТз, или, X = 0, где X = Т — ^ взТз. Получаем, Рт(X) = 0. Так

3=І 3=І

как Р — х-интеграл, зависящий от х, Ь, Ь1, ... , Ьт , то РР есть х-интеграл, зависящий от переменных х, Ь1, Ь2, ... , Ьт, Ьт+1. Следовательно,

М1 ) 5

/ N1

0 = Х (РР) = Рт(Х )РР + I ат+1(Т) — в3 ат+1(Тз)

____ 3ат+1(Тз) I дь

\ / дЬт+1

\ 3=1 /

М1 ) д

ат+1(Т) — ^2 в3 ат+1(Тз ^ дЬ--------~РР.

N1

Так как — РР = Рдд-Р = 0, то ат+1(Т) = ^ взат+1(Тз), что равносильно

т+ т з=1

Рт+1(Х) = 0. Применяя последовательно оператор X к х-интегралам Р2Р, Р3Р, ..., по-

N1

лучим, что ат+і(Т) = ^ в з ат+г(Тз) для любого і = 1, 2, 3,..., что равносильно тому, что

з=1

Рт+і(Х) = 0 для любого натурального числа і. Следовательно, X = 0. Итак, любое векторное поле Т из Ьх может быть представлено в виде линейной комбинации векторных полей Т1, Т2, ..., Тм1 . Таким образом Ьх конечномерна.

Предположим, что размерность характеристической алгебры Ли Ьх конечна и обозначим ее N. Пусть Т\, Т2, ..., Тм образуют базис в Ьх. Введем Т0, = Рм(Т,), і = 1, 2,..., N. Получаем N уравнений Т0,Г = 0 для функции Г, зависящей от N + 3 переменных: х, Ьх, Ь, Ь1, ..., Ьм. Согласно Теореме Якоби, такая функция Г = Г(х,Ьх,Ь,Ь1,... ,Ьм), не являющаяся константой, существует. Более того, она не зависит от переменной Ьх и удовлетворяет уравнению ТГ = 0 для любого Т Є Ьх. Эта функция Г является нетривиальным х-интегралом уравнения (24). Теорема 1 доказана.

Докажем Теорему 2. Предположим, что уравнение (1) допускает нетривиальный п-интеграл. Рассмотрим один такой интеграл I = I(х,Ь,Ьх,Ь\2\,... ,Ь\т\) с = 0 тожде-

д^[т]

ственно. Введем алгебру Ли М, порожденную векторными полями {У, }О и {X, }^2, где число N2 будет определено позже. Определим

М(т) = {Т(т) = Рт(Т) : Т Є М}, оператор проектирования, определенный следующим образом — 1 д О д \ -1 д г д

Т о,к7- + £ «ктг— I = У' «кт— + £ «к-тт—, і = 1,2,3,.... (22)

^ дІк к=0 тк) к.І-Щ С%к к=0 а\к!

Обозначим N1 размерность М(т). Очевидно, N1 ^ т + N + 1. Множество

— 1 СО

{То1,То2,... , Том-і} образует базис в М(т). Обозначим Т, = ^ ак (Т,) д- + ак(Т,) д^-

к=—N2 - к=0 [-]

векторное поле из М такое, что Рт(Т,) = Т0,, і = 1, 2,...,^. Покажем, что множе-

ство {Т1,Т2,... ,ТМі} образует базис в М. Возьмем произвольное векторное поле Т =

N1

ТГі=—М2 (Т)д- + £О_о(Т)дд- из М. Так как Рт(Т) Є М<т>, то Рт(Т) = £ в,То,. Пока- [-] і=1

N1 N1

жем, что Т = ^2 в,Т,, что равносильно, % = 0, где % = Т — ^ в,Т,. Получаем, Рт(%) = 0. і=1 ,_1

Так как I является п-интегралом, зависящим от переменных х, Ь, Ьх, Ь\2\, ..., Ь[т] , то Вх1 есть п-интеграл, зависящий от переменных х, Ь, Ьх, Ь[2\, ..., Ь[т\, і\т+1\. Следовательно,

0 = %(Бх1) = Р*т(%)Вх1 + (ат+1(Т) — V в,ат+1(Т,) ) ——Ох1 =

' / д1\т,+ 1\

,=1

( ^ \ д

|^ат+1(Т ) — ^2 в, ат+1(Т, ^ дї|-----ц^х1.

N1

Так как ^х1 = 1 = 0, тогда ат+1(Т) = ^2 ві ат+1(Т,), а это означает, что

д^[гп+1] д^[гп] , 1

Рт+1(%) = 0. Применим последовательно оператор % к п-интегралам I, I, ..., по-

N1

лучим, что ат+г(Т) = ^ в,ат+г(Т,) для любого і = 1, 2, 3,..., то есть Рт+г(%) = 0 для

,_1

любого натурального числа і. Следовательно, % = 0. Итак, алгебра Ли М конечномерна. Тогда линейная оболочка векторных полей {У,}О имеет конечную размерность, скажем N. Пусть ^-любое число, удовлетворяющее условию N > N. Получаем, что алгебра Ьп, порожденная {У, ^ и {X, ^, есть субалгебра М, и следовательно Ьп конечномерна. Теорема 2 доказана.

Эта теорема верна и в обратную сторону. Из конечномерности алгебры Ьп следует существование п-интеграла, но он зависит явно от п. Нам не удалось доказать существование интеграла, независящего явно от п.

Докажем, что если алгебра Ли Ln для уравнения (1) конечномерна, то оно допускает нетривиальный n-интеграл. Предположим, что размерность характеристической алгебры Ли Ln конечна, обозначим ее N1. Пусть N — размерность линейной оболочки векторных полей {Yj}^°. Зададим N2 = N1 — N. Введем

L{xN2) = {T(m) = pNN](T) : T e Lx},

где

1 f) ° f) \ 1 f) N2 f)

£ * £ + £ a ^ = £ * £ + £ “* Щ. (23)

k=-N k k=0 [k] / k=-N k k=0

Пусть {T0j }Nl1 образует базис в lXN2 . Тогда мы имеем N1 уравнений T0jG = 0 для функции G, зависящей от N1 + 2 переменных: x, t, tx, ..., t\N2], t-i, . .., t-N. Согласно Теореме Якоби, такая функция G, не являющаяся константой, существует. Более того, она не зависит от переменных t-j, j = 1, 2,... N и удовлетворяет уравнению TG = 0 для любого T e Ln. Такая функция G = G(x,t,tx,... ,t[N2]) не единственна, но любое другое решение этих уравнений, зависящее от того же множества переменных, может быть представлено как h(x, G) для некоторой функции h.

Так как D-1 YjD = Yj+1, j = 0, 2, 3,..., D-1Y1D = Y2+X1, D-1XjD = Xj+1, то для любого векторного поля Z из Ln, мы имеем D-1ZD = Z* + XXn+1 для некоторого векторного поля Z* из Ln и некоторой функции X. Итак,

ZDG = D(D-1ZDG) = D(Z * + XXn+i)G = 0

для любого Z e Ln. Следовательно, DG также есть решение упомянутой выше системы дифференциальных уравнений в частных производных. Поэтому DG = h(x, G).

Решая обыкновенное разностное уравнение DG = h(x, G) первого порядка, получаем G = H(x,n,c), где с — произвольная постоянная. Решая уравнение G = H(x,n,c) относительно с, получаем с = I(G,x,n). Данная функция I(G,x,n) есть нетривиальный n-интеграл уравнения (24). Действительно, DI(G,x,n) = Dc = с = I(G,x,n). Итак, DI=I. То есть уравнение (1) допускает нетривиальный n-интеграл.

4. Частный случай: t1x = tx + d(t,t1)

Конечномерность алгебр Ли Lx и Ln была использована в работах [8] и [9] для класси-

фикации интегрируемых по Дарбу дискретных уравнений специального вида

t1x = tx + d(t,t1). (24)

Результат этой классификации представлен в следующей теореме [9].

Теорема 3. Уравнение (24) допускает нетривиальные x- и n-интегралы тогда и только тогда, когда d(t,t\) принадлежит одному из следующих классов:

(1) d(t,t1) = A(t1 — t), где A(t1 — t) задается неявно A(t1 — t) = dP(в), t1 — t = P(в), с

P(в), являющейся произвольным квазиполиномом, т.е. функцией, удовлетворяющей обыкновенному дифференциальному уравнению

P(N+1) = ^n P(N ] + ... + frP + VoP (25)

с постоянными коэффициентами ^k, 0 ^ k ^ N,

(2) d(t,ti) = C^tf — t2) + C2(t1 — t),

(3) d(t,t1) = JCse2atl + C4ea(tl+t) + C3e2at,

(4) d(t,ti) = C5(eatl — eat) + C6(e-atl — e-at),

где a = 0, Ci, 1 ^ i ^ 6, произвольные константы. Более того, некоторые нетривиальные x-интегралы F и n-интегралы I в каждом из этих случаев имеют вид

Г = х — /*1 * , I = ^(Вх)іх, где Ь(Ох)-дифференциальный оператор, который

обращает в нуль -Iр(0) где Бх9 = 1.

ні г = (-г11!2-1!, і = іх — Оіі2 — с2і,

ни

IV)

Г

“їв

^Сзе2ав+САеав+Сз

—

*2 *1

їв

л/Сзе2а“+С4Єа“+Сз аі —аі

I — 2іхх — аіХ — аСз е

-,2аі

Г = (еаі-еаі2 )(еаі1 -еаі3) І = і _г раі _ С р-

1 (еаі-еаія)(еаіі -еаі2)’ 1 іх С5е С6е

Уравнение вида тх = А(т), где т = і\ — і, интегрируемо в квадратурах. Но чтобы получить результат, следует выразить интеграл и затем найти обратную функцию. Общее решение задано неявно

п— 1

26)

Ь(и, х) = Ь(0, х) + Р(х + Сз ),

з=о

где 1(0, х) и С3 — произвольные функции от переменных х и ] соответственно, и А(т) = Р'(в), — Ь = Р(9). Действительно, мы имеем тх = Р$(9)9х = Р$(9), а это означает,

что 9х = 1, поэтому т(и, х) = Р(х + сп). Решая уравнение Ь(и + 1,х) — Ь(и, х) = Р(х + сп), получаем указанный выше результат. Из требования, чтобы тх = А(т) была интегрируемой по Дарбу, следует условие на функцию Р: она должна удовлетворять обыкновенному линейному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами.

Классификационная теорема 3 содержит все интегрируемые по Дарбу уравнения специального вида (24) вместе с соответствующими им нетривиальными х- и и- интегралами. Однако, характеристические алгебры Ьх и Ьп для интегрируемого по Дарбу уравнения(24) не были определены в работе [9]. В следующих двух подразделах мы представим характеристические алгебры Ли Ьх и Ьп для каждого из четырех классов, описанных в Теореме 3.

4.1. Алгебры Ли Ьх для интегрируемых по Дарбу уравнений Ь\х = Ьх + д,(1,1\). В работе [8] доказано , что если уравнение Ь\х = Ьх + ^Ь,1\) допускает нетривиальный х-интеграл, тогда оно допускает нетривиальный х-интеграл, не зависящий от х, поэтому рассматриваемые векторные поля не содержат слагаемых вида д/дх. Введем обозначения

я

■Х = 1х,к)= Е ^

к=-ж,

7 := [X,К] .

І0

і,

4.1.1. Случай 1: Ь\х = Ьх + А(Ь\ — Ь). Непосредственные вычисления показывают, что таблица умножения для алгебры Ли Ьх имеет вид

^х X К X

X 0 X 0

К —X 0 0

X 0 0 0

4.1.2. Случай 2: і\х = іх + С\(і\ — і2) + С2(і\ — і). Можно проверить, что

и

7 = 2С1 (ік — і) к=-ж,к=0

д

д_

дік

[3, К] = 202^2 (1к — Ь)2дг = 2°1(К — ЬхХ) — (2°1Ь + °2)3

к=-ж,к=0 к

и таблица умножения для алгебры Ли Ьх в этом случае имеет вид

^х X К X 3

X 0 X 0 0

К -X 0 _3 _2Сі(К _ іх^і) + (2Сіі + С2)3

X 0 3 0 0

3 0 2Сі(К _ іхХ) _ (2Сіі + С2)3 0 0

4.1.3. Случай 3: Ь1х = Ьх + \/С3е2а1:1 + С4еа(Ь1+г') + С3е2а. Можно убедиться, что [X, К] = аК — аЬхХ, и таблица умножения для алгебры Ли Ьх имеет вид

^х X К X

X 0 X 0

К _х 0 —аК + аіх^С

X 0 аК _ аіх)С 0

4.1.4. Случай 4:Ь1х = Ьх + С5(еаЬ1 — еаЬ) + С6(е а*1 — е аЬ). Непосредственные вычисления показывают, что

ГО

3 = а ^ {С5(еа*к — еа*) — Сб(е-а1к — е

к=-<х,к=0

и

[3, К] — 2С5С6а-2

ГО

к=—го,к=0 —аЬ

{еа(Ь — Ьк) + еа(Ьк-Ь) __ 2}^^-

д_ дік

а2(С5ваЬ + С6в-аЬ)(К _ іхХ) + а(С6е-аЬ _ С5еаЬ)3.

Обозначим

А = а2(СъеаЬ + СФ-аЬ), /32 = а(Сф-аЬ — СъеаЬ).

В этом случае таблица умножения для алгебры Ли Ьх принимает вид

^х X К X 3

X 0 X 0 0

К _х 0 _3 2 _ х і _ (К _

X 0 3 0 2 а _ К 2 а

3 0 @1(К _ ^ + @23 а2?С _ а2К 0

4.2. Алгебры Ли Ьп для интегрируемого по Дарбу уравнения Ь1х = Ьх + ((Ь, Ьх).

4.2.1. Случай 1: Ь1х = Ьх + А(Ьх — Ь). Алгебра Ли Ьп порождена только двумя векторными полями Хх и Ух, и может иметь только конечную размерность. Если А(Ьх — Ь) = — Ь + с,

где с -некоторая константа, то алгебра Ли Ьп тривиальна, состоит только из векторных полей Хх и Ух , с коммутативным соотношением [Хх, Ух] = 0. Если А{1\ — Ь) = — Ь + с, то

можно выбрать базис в Ьп состоящий из Ш = д, X = ^к=ГО О^кр(9)д/дЬ[к], с 9 = х + ап, Сх = [Ш, X], Ск+1 = [Ш,Ск], 1 ^ к ^ N — 1. Таблица умножения для Ьп в этом случае имеет вид

^п W 2 Сі С2 Ск См-і См

W 0 Сі С2 Сз Ск+і См К

2 _Сі 0 0 0 0 0 0

Сі С2 0 0 0 0 0 0

См —К 0 0 0 0 0 0

где К — ^0^ + ^\С\ + ... + ^мСN •

4-2.2. Случаи 2 и 4: —^2)+С2(^1—и £1х = 1Х+С5(еа11—еаг)+С'б(е-“*1 —в-"*).

В обоих случаях алгебра Ли Ьп тривиальна, состоит только из Х1 и У1 с коммутативным соотношением [Х1,У1] = 0.

4-2.3. Случай 3: £1х = £х+/Сзв2"*1 + С4ва(*1+*) + С3е2а. Обозначим X = А(т-1)е-ат-1 дГ—

и У1 = А(г-1)У1, С2 = [ХС1,1/1]. Непосредственные вычисления показывают, что таблица умножения для алгебры Ьп имеет вид

Ln *i Yi C2

*1 0 C2 a2C3Yi + C4/(2C3)Xi

Y1 -C2 0 K

C2 -a2C3Yi - C4/(2Cs)XTi -K 0

где K = -(a2C4/2)Yi + (2a2C4eaT-1 - а2Сз)Хь

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Забродин А.В. Разностные уравнения Хироты // ТМФ. 1997. 113:2. C. 179—230.

2. F.W. Nijhoff, H.W. Capel, The discrete Korteweg-de Vries equation // Acta Applicandae Mathematicae. 1995. 39. P. 133-158.

3. B. Grammaticos, G. Karra, V. Papageorgiou, A. Ramani, Integrability of discrete-time systems, Chaotic dynamics // NATO Adv. Sci. Inst. Ser. B Phys. 1992. 298. P. 75-90.

4. Адлер В.Э., Старцев С.Я. О дискретных аналогах уравнения Лиувилля // ТМФ. 1999. 121:2. C. 271-284.

5. E. Goursat, Recherches sur quelques equations aux derivees partielles du second ordre // Annales de la faculte des Sciences de l’Universite de Toulouse 2e serie. Tome 1, №1 (1899). P. 31-78.

6. Жибер А.В., Мукминов Ф.Х. Квадратичные системы, симметрии, характеристические и полные алгебры // Задачи математической физики и асимптотики их решений, ред. Л.А. Калякин. 1991. Уфа. Институт математики. РАН. C. 13-33.

7. Жибер А.В., Муртазина Р.Д. О характеристических алгебрах Ли уравнений иху = f (u,ux) // Фундамент. и прикл. матем. 2006. 12:7. C. 65-78.

8. I. Habibullin, N. Zheltukhina, A. Pekcan, On the classification of Darboux integrable chains // Journal of Math. Phys., 49. Issue: 10. 102702 (2008) //arXiv : nlin/0806.3144.

9. I. Habibullin, N. Zheltukhina, A. Pekcan, Complete list of Darboux integrable chains of the form tix = tx + d(t,ti). Journal of Math. Phys., 50, 102710 (2009) //arXiv : 0907.3785.

10. Шабат А.Б., Ямилов Р.И. Экспоненциальные системы типа I и матрицы Картана.

Preprint, Баш.филиал академии наук СССР. 1981. Уфа.

11. Жибер А.В. Квазилинейные гиперболические уравнения с бесконечномерной алгеброй симметрии // Изв. РАН. Сер. матем.. 1994. 58:4. C. 33-54.

Наталья Александровна Желтухина, Билькентский университет,

Билькент,

06800, Анкара, Турция

E-mail: [email protected] .edu.tr

Альфия Ураловна Сакиева,

Институт математики с ВЦ УНЦ РАН, ул. Чернышевского, 112,

450008, г. Уфа, Россия E-mail: [email protected]

Исмагил Талгатович Хабибуллин, Институт математики с ВЦ УНЦ РАН, ул. Чернышевского, 112,

450008, г. Уфа, Россия

E-mail: habibullinismagil@gmail .com