CC BY
29
УДК 621.54
А.А. Кондрашов, асп., +79156813324, [email protected] (Россия, Тула, ТулГУ)
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЧАСТНЫЕ МОДЕЛИ РУКИ ШАРНИРНО-СОЧЛЕНЕННОЙ КОНСТРУКЦИИ
Предложена комплексная математическая нелинейная модель руки шарнирно-сочлененной конструкции может быть разделена на 6 частных модели, которые описывают различные физические взаимосвязи в системе
Ключевые слова: математическая модель, аэрогидромеханика, термодинамика, геометрия, механика упругости тел, механика момента количества движения, кинематическое взаимодействие, нелинейная модель.
Опишем антагонистическую модель пары мышц, представленную на рис. 1. Каждый мускул управляется двумя 3/2-пневмораспределителями, при помощи которых реализуются состояния впуска, задержки и выпуска. Таким образом, укомплектованный сустав имеет 2 пары переключающих клапанов, которые работают в каждом случае исключительно противофазно. Если в мускул 1 жидкость нагнетается, то из мускула 2 она спускается и наоборот. Согласно данному положению работу 4 спаренных переключающих клапанов можно описать при помощи модели гидроусилителя (сервоклапан). В таком случае широта импульса и будет пропорциональна степени открытия гидроусилителя.
Комплексная модель руки шарнирно-сочлененной конструкции может быть разделена на 6 частных модели, которые описывают различные физические взаимосвязи в системе. Каждая частная модель предназначена для индивидуального движения мускула.
а
/\\ б
Рис. 1. Граф потока сигналов (а) и эскиз антагонистичной мускульной пары каждая с динамическими компонентами (б)
1. Аэрогидромеханика. Частная модель аэрогидромеханики включает в себя упрощённую пневмоклапанную модель, которая указывает на
Pw
взаимосвязь между шириной импульса u задающего воздействия системы и потоками массы т\ и т2 для обоих мускулов. Данная часть показана
Известия ТулГУ. Технические науки. 2012. Выл. 4
на рис. 1 как возникновение сигнала и пневматический исполнительный орган.
Обусловленные применением в мобильной и пространственно ограниченной системе, скоростные переключающие вентили используются в качестве дополнения. Переключатели в противоположность клапанам пропорционального регулирования управляются при помощи сигнала ШИМ (сигналом широтно-импульсной модуляции). Сечение провода полностью открывается на регулируемый промежуток времени и затем снова полностью закрывается. При достаточной подаче тактовых импульсов и при стремлении минимальной продолжительности открытия к нулю составляющая открытия может упрощенно быть рассмотрена как часть поперечного сечения клапана пропорционального регулирования и таким образом аппроксимирована.
В литературе существуют различные характеристики для гидроусилителя пневматического применения, которые получены отчасти экспериментальным путём. Использованная здесь характеристика (1) моделирует поведение клапана при помощи конструктивно обусловленного порога чувствительности и смещённой нулевой оси [1].
( 2 к+2Л
2 к ( Р Л к ( Р Л к
К5ре1Тр (к -1) {Ру\ {Ру\
1 V
где я=1.4 [-] - показатель изэнтропы для окружающего воздуха при 20°, К$рег=287 [Дж/кг/К] - удельной газовой постоянной воздуха, ТР [К] -температура нагнетаемого воздуха, Р [бар] - давление нагнетаемого воздуха в мускуле, а Ру [бар] - давление системы питания.
Поток массы т [кг/с] в мускуле или на нем зависит от заданной широты импульса иРш |>] сигнала ШИМ (сигнала широтно-импульсной
модуляции), от фактической площади поперечного сечения 5 [м2] при
2
полностью открытом клапане и от характеристики клапана Ф(Р) [кг/с /м~] согласно формуле (1). Потоки массы обоих мускулов (2) отличаются друг от друга противоположным знаком и индексацией, поскольку они зависят не только от соответствующего мышечного давления, но и от направления течения:
щ =иР™АФ1(Р1) и т2 =-иР™АФ2(Р2)- (2)
Линеаризация формулы (2) в рабочей точке Р0 даёт
щ =иР™АФ1{Р0) и т2=-иРм;АФ2(Р0). (3)
В Р0, находящемся наполовину между атмосферным давлением и давлением системы питания, оба мускула обладают одинаковым внутренним давлением, исходя из чего можно предположить также и приблизительно одинаковый поток массы Ф1 = Ф2 = Ф в обоих направлениях.
2. Термодинамика. Взаимосвязь потоков массы т1/2 (2) из главы 1 с исполнительным органом можно представить с помощью термодинамического описания воздуха, нагнетаемого клапанами в мускулы. К тому же политропическая корреляция Р^^/т)х, равная константе, дифференцируется и предполагается равной нулю [1]:
f f V1 к ^
р
Vm
= 0 ^ р = kP
i • ТУЛ
m V
v m V y
Линеаризация формулы (4) в рабочих точках P0, V0 и m0 даёт
p = kPo
f ■ Т> ^
m V
m0 V0
(4)
(5)
v
При объёме V0 растянутого мускула и массе m0, заключённой в мускуле, система находится соответственно в рабочей точке под давлением P0.
3. Геометрия. Содержащийся в мускуле объем V и дифференцирование по времени V , определённое согласно формуле (5), из главы 2 можно рассчитать по формуле [2]:
V = h(L) ^ V = h'(L)L . (6)
Дифференцирование объёма по времени в формуле (6) можно абстрактно произвести согласно цепному правилу дифференцирования, где h' описывает внешнюю производную по соотношению объёма, а L — внутреннюю производную по L.
Линеаризация из формулы (6) в рабочей точке V0 и L0 даёт
V = Vo + h'(Lo ) ^ V = h'(Lo )&. (7)
При этом l = L-L0 является длиной мускула в рабочей точке.
4. Механика упругости тел. Связи между сокращением мышцы и одновременной выработкой силы можно добиться при помощи механической взаимосвязи динамического воздействия L = f(F,P), произведённого метрологически:
F = f (L, P ) . (8)
Предположим, что случай f является непрерывно дифференцируемой функцией, тогда (8) в рабочей точке L0 и P0 могут быть абстрактно линеаризированны.
F = f(Lo,Po )+ fil + fpP. (9)
При этом f является для отклонения частной производной f по l при l = L-Lo, а fp — частной производной от f по p при p = P-P0 для смещения давления соответственно в рабочей точке.
5. Механика момента количества движения. Отдельный мускул может быть описан через отношения (3), (5), (7) и (9). Сочленение двух
Известия ТулГУ. Технические науки. 2012. Вып. 4
мускулов в одну антагонистичную мускульную пару может быть осуществлено только при помощи закона момента количества движения применительно к шарнирному соединению с плечом нагрузки. Кроме того на основании модели, изображённой на рисунке 1 можно вообразить силовую схему свободного тела с механическими внутренними усилиями мускульных приводов, воздействующих на шарнирное соединение. На шарнирное соединение по радиусу шарнира г действуют силы Fl и F2, производимые мускулами, необходимая нагрузка М на нагрузочном плече на расстоянии R, а также более точно определённый опрокидывающий момент Т. Плечо нагрузки и собственно шарнирное соединение будут упрощенно рассматриваться, как лишённые массы:
Уф = -8ф + ^ - F2)г + MgR^(ф)+ Т . (10)
В использованном законе момента количества движения (10) У [кг-м ] означает момент инерции массы нагрузки, д [-] — коэффициент трения, g [м/с] — это ускорение силы тяжести, а ф [рад] — угол шарнирного соединения.
Линеаризация (10) в рабочей точке ф0 = 0 даёт
./ф = -5ф + ^1 - F2 )г + MgR + Т . (11)
6. Кинематическое взаимодействие. Взаимосвязь (11) и (9) для каждого мускула действительна только, когда оба мускула испытывают постоянное сильное натяжение, передаваемое посредствам сухожилий через шарнирное соединение. Кинематические величины длин L1/2 или 11/2 обоих мускулов в таком случае можно уменьшить на угол вращения относительно продольной оси ф и радиус г шарнирного соединения.
11=^1 - ^ )=-фг и 12 = ^2 - ^ )=фг (12)
Чтобы (12) было верно, в первую очередь необходимо обратить внимание не на то, чтобы оба мускула приводились в движение при помощи предварительного натяжения, а чтобы оба мускула были принудительно сцеплены.
7. Нелинейная модель. На основании частных моделей, разработанных выше антагонистичная мускульная пара может быть упорядочена. Для этого с одной стороны используются зависимости механики упругости тел (8) обоих мускулов согласно закону момента количества движения (10) и с другой стороны геометрическое отношение объёмов (6) обоих мускулов согласно термодинамической корреляции (4). Таким образом, при применении аэрогидромеханических отношений клапанов обоих мускулов, получается следующая система нелинейных уравнений (13).
Управление, вычислительная техника и информационные технологии
1 (- 8ф + (f (L, P) - f (l2, P2 )> + MgR cosfo) + T)
J
ф " ф kP1 rm 1 h'(L1 Vm1 h(L1)
P1 P2 = kP2 ' m 2 h'(L2 )L I m2 h(L2 )
m1 uPwA01 (P1)
m2 _ - uPwAO2(p2 )
(13)
При дальнейшем замещении L1/2 в формуле (13) уравнениями (12) общую динамику антагонистичной мускульной пары, изображённой на рис. 1, можно полностью описать с помощью 6 переменных.
Список литературы
1., A Flatness Based Design for Tracking Control of Pneumatic Muscle Actuators. / A. Hildebrandt, [et al.]. Seventh International Conference on Control, Automation, Robotics and Vision (ICARCV). 2002. P. 1156-1161.
2. Tsagarakis N., Caldwell D.G., Improved Modelling and Assessment of pneumatic Muscle Actuator. // Proceedings of the 2000 IEEE International Conference on Robotics & Automation, San Francisco, CA, 2000: p. 3641-3646
A.A. Kondrashov
NONLINEAR PRIVATE MODELS OF THE ARM OF THE SHARNIRNO-JOINTED DESIGN
The complex mathematical nonlinear model of the arm of the sharnirno-jointed design is offered can be divided into 6 private models which present various physical interconnections in system.
Key words: mathematical model, an aerohydromechanics, thermodynamics, geometry, mechanics of pressure of bodies, mechanics of an angular momentum, the kinematic interacting, nonlinear model.
Получено 18.04.12
