CC BY
23
17th Eurographics Workshop on Rendering. 2006.
15. Nichols G., Wyman C. Multiresolution splatting for indirect illumination // Proceedings for the ACM Symposium on Interactive 3D Graphics and Games. 2009. C 83-90
I.V. Danilin
INTERACTIVE GLOBAL ILLUMINATION BASED ON INSTANT RADIOSITY
Author introduces the indirect illumination method based on instant radiosity approach; GPU-accelerated ray tracing (via NVidia Optix engine) is used to generate VPLs; image-space scene analysis is used to reduce number of rays needed for correct computations; overall rendering pipeline exploits deferred shading approach.
Key words: global illumination, instant radiosity, ray tracing, GPU, nVidia Optix.
Получено 18.04.12
УДК 621.54
А.А. Кондрашов, асп., +79156813324, [email protected] (Россия, Тула, ТулГУ)
ЛИНЕЙНАЯ МОДЕЛЬ МУСКУЛЬНОЙ ПАРЫ В ФАЗОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Предложена линейная модель мускульной пары в фазовом пространстве, рассмотрены установившиеся параметры, а также управляемость и наблюдаемость данной системы.
Ключевые слова: линейная модель в фазовом пространстве, пневмомускульная пара, управляемость, наблюдаемость.
На рис.1 каждый пневмомускул управляется двумя 3/2-пневмораспределителями, при помощи которых реализуются состояния впуска, задержки и выпуска. Таким образом, укомплектованный сустав имеет 2 пары переключающих клапанов, которые работают в каждом случае исключительно противофазно. Если в мускул 1 газ нагнетается, то из мускула 2 он спускается и наоборот. Согласно данному положению работу 4 спаренных переключающих клапанов можно описать при помощи модели гидроусилителя (сервоклапан). В таком случае широта импульса и™ будет пропорциональна степени открытия гидроусилителя.
а
б
Рис. 1. Граф потока сигналов(а), эскиз антагонистичной мускульной пары каждая с динамическими компонентами(б)
Ранее установлено, что поток массы обоих мускулов, линеаризованный в точке Р0,
т1 = иРм'ЛФ1 (Р 0 ) и т 2 = -иРм'ЛФ 2 (Р 0 ), (1)
термодинамическое описание воздуха, нагнетаемого клапанами в мускулы, линеаризовано в точках Р0, У0 и т0 :
P = Щ
( .
m
v m0
(2)
0 J
Содержащийся в мускуле объем V и дифференцирование по времени V, линеаризованное в рабочей точке V0 и L0 ,
V = V0 + h(L0 ) ^ V = h'(L0 )l. (3)
Связи между сокращением мышцы и одновременной выработкой силы представлены при помощи механической взаимосвязи динамического воздействия L = f(F,P), произведённого метрологически, и линеаризованы в рабочей точке L0 и P0 (предположим, что случай f является непрерывно дифференцируемой функцией)
F = f(Lo, Po )+ fil + fpP, (4)
закон момента количества движения, линеаризован в рабочей точке ф0 = 0:
J&& = -5ф + (F1 - F2 )r + MgR + T, (5)
J [кг-м2] означает момент инерции массы нагрузки, ô [-] — коэффициент трения, g [м/с] — ускорение силы тяжести, ф [рад] — угол шарнирного соединения.
На шарнирное соединение по радиусу шарнира r действуют силы F1 и F2, производимые мускулами, необходимая нагрузка M на нагрузочном плече на расстоянии R, а также более точно определённый опрокидывающий момент T.
Антагонистичная мускульная пара может быть упорядочена. Таким образом, при применении аэрогидромеханических отношений клапанов
177
обоих мускулов, получается следующая система нелинейных уравнений
у (- 8ф + (/(I, ) - /(Ь2, Р2 )> + М8К сов(д>) +Т ),
(р
Ф Р, Рп
А™
кР1
кР,
(6)
к(Ь2) и^АФ^), -и^АФ2(Р2).
1. Линейная модель в фазовом пространстве. Для моделей фазового пространства линейной системы, инвариантной по временам, действительна общая индексация [1, 2]
х = Ах + Ьи + еТ,
Система матрицы А и векторы входных данных Ь, возмущающего импульса е и выходных данных С определяют систему линейных уравнений. Заключённые в рамку линейные отношения (1), (2), (3), (4) и (5) можно привести к упрощению нелинейной модели (6). Из них можно вывести модель фазового пространства формы (7), которая достаточно подробно описывает движения мускулов в небольшой области около положения покоя.
В качестве первой базисной формулы используется закон момента количества движения (5), который в положениях покоя Ьо и Л, приобретает следующую форму:
Ф = Ц-5Ф + (д(ь0,Р0)-/2(¿о,Р0)У + (дР1-/Р1Р2 + дК - д/2V)+
з
и
(8)
В положении равновесия система находится в покое, все действующие силы и моменты уравновешены за счет разницы упругомеханиче-ского предварительного натяжения/(Ьо,Ро) мускулов. При малых нагрузках М —> 0 разницы р = Р-Ро и I = Ь-Ьо в обоих мускулах столь малы, что их можно считать одинаковыми Р1 ~ Р2 и // ~ Следовательно для частных производных также действительно /р] ~ //•>? =/р или /ц ~ //? .//• При введении дифференциального давления Ар = Р1-Р2 между мускулами, а также введении отношения кинематической взаимосвязи 1\= (Ь^ — ) = — фг и
/2 = (/>2 — />о ) = Фг закон момента количества движения упрощается из (8) в
первое линеиное отношение
Ф = у (- 5ф + (грАр - 2//гф)г + т).
178
В качестве второй базисной формулы используется разница термодинамических отношений (2) обоих мускулов.
Ар = рх-р2 = кР0
У
т0 У0
- кРс
Гт2
Уо
т0 У0
(10)
В (10) соответствующие потоки массы (1), геометрические соотношения объёма (3) и кинематические взаимосвязи 1\= (Ь^ — ) = — фг и
/2 = {Ь2 ~ ^о)= Фг могут быть заменены:
Ар = 2 кР(
т0 У0
Исходя из (9) и (11) получаем следующую линейную систему:
(П)
Ф
Ф
Ар
0 1 0
2/1 г2 5 /рг
3 3 3
0 2кР0к'(ь0)г 0
Уо
Ф
Ф
Ар
+
2кР0АФ{Р0)
т0
и +
0 1
3
о
Т. (12)
Движение линейной системы антагонистичной мускульной пары практически в состоянии покоя можно описать при помощи дифференциального уравнения третьего порядка. Параметры к, 3, г и Ф(Ро), а также Ьо, Уо, 1}о и то с лёгкостью можно рассчитать или измерить. Остаются лишь коэффициент трения 5, частные производные/ и/р и И'(Ьо), которые необходимо будет потом установить из системы.
Из (12) получаем параметры состояния (ф,ф,Л/?) для векторах общей индексации в (7). Параметр состояния широты импульса и = и'п и возможное возмущение импульса Т рассматриваются как входные данные и состояния Ар, а ср как выходные данные. Таким образом, выведенные физические уравнения могут при помощи 6 независимых параметров % описать модель фазового пространства.
ф 0 1 0 ф 0 0
ф ф + 0 и +
Ар 0 и 0 Ар 0
Т.
(13)
Далее исходя из структуры линейной системы по (12) будут более подробно рассмотрены следующие характеристики.
2. Установившиеся параметры. При всех регулирующих переменных и=0 и возмущающих импульсах 7 0, можно определить такие состояния согласно условию х=А х = 0, для которых система находится в стационарном состоянии или также в состоянии равновесия. При ф = 0 в (12) исчезает средний столбец в матрице системы А и, таким образом, сохраня-
ется балансовое соотношение
Л
ф
Ар 2 fir
(14)
которое доказывает, что результирующая угла шарнирного соединения и отвечающее за это дифференциальное давление для каждого состояния равновесия имеют устойчивое соотношение.
3. Управляемость и наблюдаемость
Введённые Калманом [3] понятия управляемости и наблюдаемости систем, имеют большое значение для исследования систем фазового состояния. Таким образом, система, имеющая вид (7), является полностью управляемой, когда на все фазовые переменные х, влияет по крайней мере один параметр на входе иь и эта система является полностью наблюдаемой, когда все фазовые переменные можно вычислить или определить на основании параметров на выходе^-
Линейная система, инвариантная по времени, является в необходимой и достаточной степени полностью управляемой, когда квадратичная матрица имеет полную степень [1-2]:
S
ъ аъ
аЧ
ап~1ъ
при О = 3 —» S
ъ аъ
аЧ
(15)
Если в (15) заменить А и Ь из (19), а для всех неизвестных параметров прописать общую величину то получим матрицу управляемости С вида
0 1 0 ' "0 " 0 0 Ыъ
а = "Si и ъ = 0 0 Ыъ . (16)
0 0 _ Лз 0 Ы&5 .
При условии, что % Ф 0, 8 в (16) обладает степенью 3, что соответствует порядку системы, и полная управляемость следует уже без знания параметров а и ъ на основании структуры модели фазового пространства (12).
Линейная система, инвариантная по времени, является в необходимой и достаточной степени полностью наблюдаемой, когда квадратичная матрица имеет полную степень [1-3]:
в
С СА СА-
СА
п-1
при о = 3 в
С СА СА-
(17)
Если в (17) заменить С и^4 из (12), а для всех неизвестных параметров прописать общую величину то получим матрицу наблюдаемости в вида
при C = [1 0 о] ^ B
"1 О О " О 1 О . (18)
^ 2 \ 3 _
Результирующая матрица C состоит в данном случае только из угла мускульной пары, что предполагает использование минимального объёма для чего необходимого применение точного позиционирования, и таким образом описывает наиболее жёсткое условие наблюдаемости системы. При условии, что % Ф О, B в (18) опять обладает степенью 3, что является полной наблюдаемостью.
Для линейных систем, инвариантных по времени, т. е. время t в них представляется в уравнениях не явным, определённое практическое значение имеют матрицы управляемости и наблюдаемости [4,5].
В случае, если система является абсолютно управляемой, всеми её фазовыми переменными можно управлять при помощи параметров на входе, и это может выступать как в качестве стабильной, так и нестабильной составляющей собственного движения системы, которую нельзя было бы определить по выпускному ходу. Управляемость системы представляет собой, таким образом, критерий качества или эффективности дальнейшего регулирования.
Соответственно в абсолютно наблюдаемой системе поведение фазовых переменных можно вычислить по измерениям параметров на выходе, без измерения самих переменных.
Список литературы
1. Hartmann I., Landgraf C. Grundlagen der Linearen Regelungstechnik I und II. 1992, Berlin: Papyrus-Druck GmbH.
2. Lunze J., Regelungstechnik 1. 1996, Hamburg: Springer-Verlag. 472.
3. Kalman R.E. On the General Theory of Control Systems. in Automatic and Remote Control, Proceedings of the First International Congress of the IFAC. 1961. Moskau: Butterworth, London und R. Oldenbourg Verlag München.
4. Kalman R.E. Mathematical Description of Linear Dynamical Systems. Journal of the Society for Industrial and Applied Mathematics, Serie A, 1963. 1. P. 152-192.
A.A. Kondrashov
LINEAR MODEL PAIR MUSCLE IN THE PHASE SPACE
A linear model of muscle pairs in phase space, established the parameters examined, as well as controllability and observability of the system is proposed.
Key words: linear model in the phase space, pnevmomuskulnaya couple, controllability, observability.
Получено 18.04.12
