Некоторые свойства регулярных билинейных операторов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал Апрель-июнь, 1999, Том 1, Выпуск 2

УДК 517.98

НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА РЕГУЛЯРНЫХ БИЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ

Г. Н. Шотаев

В работе рассматриваются вопросы, связанные с регулярными билинейными операторами в векторных решетках, а именно: приводится достаточно просто проверяемое условие анормальности для таких операторов (п. 1) и дается описание осколков положительного билинейного оператора (п. 2). Основные определения и утверждения см. в [1] и [2].

1. Пусть Е и F — векторные решетки, G — К-пространство.

Определение. Билинейный оператор b : Е х F —> G называется положительным, если Ь(е, /) 0 при всех е ^ 0, / ^ 0 и регулярным, если он представим в виде Ь = Ь\ — где Ь\ и &2 — положительные билинейные операторы.

Определение. Билинейный оператор b : Е х F —> G называется раздельно о-не-прерьшным (порядково-непреръшным), если частные отображения Ь(е, ■) : F ^ G, и b{-, f):E—>G о-непрерывны при всех / (г F и с (г /'.'.

Докажем, что из раздельной о-непрерывности регулярного билинейного оператора следует его о-непрерывность по совокупности переменных.

Пусть еа ей fa /. Покажем, что тогда b(ea,fa) b(e,f). Имеем \b(ea, fa) — b(e, f )\ = \b(ea, fa) — b(ea, f ) + b(ea, f ) — b(e, f )\

^ \b{ea,fa ~ /) + b{ea - e,/)| = \b{ea,fa - /) | + ga ^ ga + \b\{\ea\,\fa - f |),

К П TT H

где ga —> U. lio определению, ea —> e означает, что существуют возрастающее

направление иа f е и убывающее направление va 4- е и выполняется иа ^ еа ^ va. С другой стороны,

\еа\ = е(Х V (—еа) ^ va V ^ v(Xo V «Оо при а > а„.

Тогда

|Ь|(|еа|, |/а - /I) < |Ь|(«ао V uao,\fa - /|) 0.

Тем самым

\b(eafa-b(e,f)\^0

и b(eafa) Ь(е, /).

Доказательство закончено.

© 1999 Шотаев Г. Н.

Замечание, В дальнейшем вместо о-непрерывности по совокупности переменных будем говорить о порядковой непрерывности билинейного оператора.

Через £Г(Р, б) и £П(Р, О) соответственно обозначим ^-пространства регулярных и регулярных порядково непрерывных операторов из Р в О, ВГ(Е, О) и ВП(Е, С) соответственно обозначают ^-пространства билинейных регулярных и билинейных регулярных порядково непрерывных операторов из Е х в О (см. [3]). Там же приводится следующее утверждение: ^-пространства ВГ(Е, С) и СГ(Е, £г (Р, б)) линейно и решеточно изоморфны, из которого очевидно следует, что пространства ВП(Е,Е; б) и СП{Е, Сп{Е,0)) также линейно и решеточно изоморфны.

Определение. Оператор Ь € ВГ(Е,Е;С) называется анормальным (соответственно анормальным по одной переменной), если он обращается в ноль на некотором фундаменте векторной решетки ЕхЕ (соответственно на фундаменте вида Е0хЕ или Е х где Е0 и — фундаменты в £ и Р)- Если оператор Ь Е ВГ(Е, Р; б) дизъюнктен всем анормальным (анормальным по одной переменной), то его будем называть нормальным (соответственно, нормальным по одной переменной).

Теорема 1. Для оператора Ь € ВГ(Е, С) равносильны следующие условия: (1) Ь раздельно нормален, (2) Ь нормален, (3) Ь порядково непрерывен.

Доказательство. (1)=>-(3). Допустим, что Ь раздельно нормален и Т = ЬЬ : Е —> £( /•'. (•'). где Ь, — указанный выше изоморфизм. Если оператор $ : Е —> £( /•'. (•') анормален, то Б\е =0 для некоторого фундамента Е0 С Е. Но это означает (5е)/ = 0 для всех е € Е0 и / € -Р. Отсюда для билинейного оператора с = Л-15 получаем с(е,/) = 0 (е € € -Р), т. е. с анормален по одной переменной. По условию Ыс,

что равносильно Тс^. Следовательно, Т нормален. Для линейного оператора понятия порядковой непрерывности и нормальности совпадают (см.например [4, теорема VIII.5.1]), поэтому Т порядково непрерывен. Это дает порядковую непрерывность Ь по первой переменной. Аналогично доказывается порядковая непрерывность по второй переменной. Тогда условие (3) становится очевидным.

(3)^=^(2). Пусть Ь порядково непрерывен, Ь' — произвольный анормальный оператор из ВГ{Е,Е; О) и Ь0 = \Ь\ А \Ь'\. Для любого с € ВГ{Е,Е; О) и е € Е+

(}гс+)е = {¡гс)+е = вир{{¡1с+)е' : 0 < е' < е}.

Из этой формулы видно, что если с порядково непрерывен или анормален, то с+ тоже порядково непрерывен или анормален соответственно. Значит \Ь\ порядково непрерывен, \Ь'\ анормален, а Ь0 и порядково непрерывен и анормален. Так как фундамент в ЕхЕ является порядково плотным подмножеством, то получается Ь0 = 0, т. е. ЬйЬ' и Ь нормален.

(2)=>-(1). Это утверждение очевидно. Теорема доказана.

замечание. Понятие анормального билинейного оператора впервые введено в [5]. Там же установлена эквивалентность (2)-^=>-(3). Доказанная эквивалентность (].)-$=>-(2) дает более просто проверяемое условие анормальности. В приведенном доказательстве использовались некоторые соображения из [5].

2. Следующая задача состоит в описании осколков положительного билинейного оператора. Сначала рассмотрим случай линейных операторов. Пусть Е и — К-пространства и Г : /',' —» /•' — положительный оператор. Базу единичных элементов

2-46

Г. H. Шотаев

if-пространства {T}dd — компоненты, порожденной оператором Т в if-пространстве регулярных операторов, — обозначим через Вт- Следуя терминологии Р. Пахте [9], каждый элемент базы Вт вида рТо (где ржа — порядковые проекторы в F и Е

п

соответственно) будем называть элементарным, а каждый элемент вида V ¡¡¡'Га, —

г = 1

простым. Множество всех простых элементов булевой алгебры Вт обозначим через

. I7 .

Замечание. В [6] показано, что если Т является оператором Магарам или по-рядково непрерывным решеточным гомоморфизмом, то Вт = -1 / • Для произвольного множества D С Вт положим

D^ = {е € Вт : существует направление (еа) С D такое, что еа f е}

и

D^ = {е € Вт : существует направление (еа) С D такое, что еа 4- е}. Сформулируем теперь основной результат о структуре булевой алгебры Вт-

Теорема 2 [6]. Пусть Е и F — произвольные К-пространства, а Т : Е —F — положительный оператор. Тогда Вт = А^.

Замечания. Р. Пахте [9], а затем X. Алипрантис и О. Буркиншо [10] показали этот результат в случае существования достаточного числа порядково непрерывных функционалов на F (см. также [7]).

Используя технику булевозначного анализа, аналогичные результаты получены С. С. Кутателадзе в [8], без дополнительных предположений.

Для проекторов р, о обозначим через р ® о проектор в C(E,F), действующий по правилу Т —> рТо (Т € C(E,Fj). Пусть Асг — множество всех проекторов в C(E,F)

п

вида Х>« ® где pi,... ,pn € ^(F) и ai,... ,<тп € Ц$Г(Е). Символ ^r(Z) всегда ■¡,=1

обозначает булеву алгебру порядковых проекторов в iT-пространстве Z. Следствие. Имеет место равенство

yr(C(E,F)) = (ACr)w.

Доказательство. Пусть тт € y$r(£(E,F)). Зафиксируем полное семейство попарно дизъюнктных положительных операторов (Tç)çes в пространстве С{Е, F). Если

7rç — проектор на компоненту {Tç}dd, то тт = supîrîrç. Для конечного множества в € S

Ses

обозначим через булеву алгебру порядковых проекторов, действующих на компоненте {X^çee Tç}dd. При этом будем считать, что € Ц$Г(£(Е, F)). Этого можно

добиться, если доопределить проектор в нулем на {Tff}d. Но тогда Y1 £

«ее

следовательно, n € (иф^, где объединение берется по всем конечным в. По теореме 2 G (Àcr)^\ значит

тг е

что и требовалось показать.

Теорема 3. Пусть Е, F и G — К-пространства н Ь : /',' х /•' —» С — положительный билинейный оператор. Пусть Bf, — булева алгебра осколков Ь, а Аъ — множество

п

элементов из В¡, вида ^ &Ф{рк <8> <Jk), гДе £ ^ЛЩ о^ £ tyr(F) и (здесь

■¡,=1

ab(p ® сг) — оператор, действующий по правилу (е, /) ab(ae,pf) (е € E,f € F). Тогда =

Доказательство, Рассмотрим положительный оператор Cr(F,G) та-

кой, что (Se)(f) = b(e,f). Так как соответствие b S является изоморфизмом К-пространств, то нужно только показать, что В$ = где A°s состоит из осколков

S вида о ® pSa и их конечных сумм, где о € р € и сг € Для

фиксированного сг, по предыдущему следствию, получим nSa € где п —

произвольный проектор в TZ(F, G). Теперь уже можно сослаться на теорему 2 и доказательство заканчивается.

Литература

1. Канторович Л. В., Вулих Б. 3., Пинскер А. Г. Функциональный анализ в полуупорядоченных пространствах. M.-J1.: Гостехиздат, 1950.

2. Кусраев А. Г. Векторная двойственность и ее приложения. Новосибирск: Наука, 1985.

3. Шотаев Г. Н. О билинейных операторах в решеточно нормированных пространствах // Оптимизация. Тр. Ин-та математики АН СССР. Сиб. отд-ние. 1986. Вып. 37. С. 38-50.

4. Вулих Б. 3. Введение в теорию полуупорядоченных пространств. М.: Физматгиз, 1961.

5. Кусраев А. Г. Об одном свойстве базы if-пространства регулярных операторов и некоторых его приложениях. Новосибирск, 1977. 17 с. Препринт АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т математики.

6. Стрижевский В. 3. Структура пространства порядково-непрерывных операторов: Автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук: 01.01.01. Новосибирск, 1985. 12 с.

7. Акилов Г. П., Колесников Е. В., Кусраев А. Г. Лебегово расширение положительного оператора // Докл. АН СССР. 1988. Т. 298, № 3. С. 521-524.

8. Кутателадзе С. С. Об осколках положительных операторов // Сиб. мат. журн. 1989. Т. 30. № 5. С. 111-119.

9. Pagter R. The components of a positive operator // Indag. math. 1983. V. 45, № 2. P. 229-241.

10. Aliprantis Ch. D., Burkinshow O. The components of a positive operator // Math. Z. V. 184, № 2. P. 245-257.