Некоторые расчетные схемы задачи изгиба пластинки Текст научной статьи по специальности «Математика»

Том ХЫУ

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

2013

№ 2

УДК 624.075.8 517.958

НЕКОТОРЫЕ РАСЧЕТНЫЕ СХЕМЫ ЗАДАЧИ ИЗГИБА ПЛАСТИНКИ

Ю. Ф. ЯРЕМЧУК

В предположениях теории изгиба тонкой однородной пластинки при малых прогибах получены три варианта уравнений равновесия пластинки, альтернативных известному бигар-моническому уравнению для функции прогиба ^ (х, у). Эти новые уравнения равновесия представлены для моментов Мх, Му и Мху с выполнением условий интегрируемости относительно прогиба. Корректность предлагаемых уравнений подтверждается двумя примерами расчета свободно опертой по всему контуру прямоугольной пластинки под действием однородной нагрузки и нагрузки, которая может быть представлена двойным тригонометрическим рядом.

Ключевые слова: изгиб тонкой пластинки, уравнения равновесия, функция прогиба, изгибающие моменты.

Моделирование упругих свойств конструкций летательных аппаратов и их моделей для трубных испытаний на основе пластинных аналогов не теряет своей актуальности [1, 2], особенно на начальных этапах проектирования перспективных конструкций. В предлагаемой статье дано расширение представлений об уравнениях теории изгиба тонких пластин. В частности, доказано, что задачу изгиба тонкой однородной пластинки можно сформулировать в четырех вариантах.

Рассматривается однородная тонкая пластинка. В рамках теории малых прогибов такой пластинки уравнение равновесия имеет вид [3]:

д2Мх дх2

д 2Му

ду 2

--2-

д 2М

ху

дхду

(1)

ЯРЕМЧУК Юлиан Федотович

кандидат технических наук, старший научный сотрудник, начальник бригады ОАО «Туполев»

В этом уравнении Мх = Мх (х, у) и Му = Му (х, у) — изгибающие моменты, отнесенные к единице длины, в поперечных сечениях пластинки; Мху = Му (х, у) — крутящий момент в сечениях;

д = д (х, у) — распределенная по поверхности пластинки нагрузка. Известным путем определяются перерезывающие силы Qx и Qy,

но в уравнениях, представленных ниже, они не участвуют.

Интегрируемость уравнения (1) обеспечивается уравнениями связей моментов с функцией прогибов w = w (х, у):

Мх =-В

Му = -в

Мху =(1 -V)

д^ дхду

Здесь V — коэффициент Пуассона; О — изгибная жесткость пластинки. В данной работе принято, что V и О постоянны в пределах пластинки.

Для решения конкретных задач уравнения (1) и (2) дополняются граничными условиями. Типичными граничными условиями на краю х = а являются [3]:

I П дм — 0; —

1х—а дх

— 0; Мх

— 0 — защемленный край; = 0 — край свободно оперт;

М\Х-а = 0

(

дМх

дх

--2-

дМху Л

ху

ду

— 0 — свободный край.

Традиционно задача изгиба пластинки формулируется (при подстановке выражений (2) в уравнение (1) и в граничные условия) в виде неоднородного бигармонического уравнения с соответствующими граничными условиями.

В данной статье предлагаются три формулировки задачи с моментами Мх, Му и М

в качестве неизвестных. Для этого исключаем функцию м из уравнений (2):

ху

| ((-М) — -(;

| (М-Vм* )—-( + .

(3)

Решая совместно уравнение (1) и систему (3) при граничных условиях, которым должны удовлетворять Мх, Му и Мху, можно найти некоторое множество функций Мх, Му и М*у.

Решение конкретной задачи является или элементом этого множества, или пределом последовательности элементов из этого множества функций. Далее, решая уравнения (2) с граничными условиями для функции м (х, у) и ее первых производных, можно найти требуемую функцию прогиба. Система уравнений «совместности деформаций» (3) это гарантирует.

Интегрируя систему уравнений (3), можно выразить моменты Мх и Му через Мху :

1

(1

1

д \МхуФ + \Мхуй* + / (X) + (у )

ду

му—-(1 -V

УдХ 1Мху^у + д 1 М*у'х + Vf (х ) + 8 (у )

д ду

Дальнейшая их подстановка в (1) дает следующее уравнение равновесия: д г, , , д

■ГМ йу + —Г..

дxJ ху ' дИ

Муйх

-Г(х) + 8"(у) —(1 -ч)д(х, у).

(4)

(5)

(6)

В уравнении (6) символ А — оператор Лапласа. Таким образом, получено одно интегро-дифференциальное уравнение относительно одной неизвестной функции МХу. Интегралы, входящие в уравнение (6) и в формулы (4), (5) здесь и далее являются неопределенными, а неопределенные функции интегрирования включены в f (х) и 8 (у).

Применение дифференциального оператора д2/дхду к уравнению (6) приводит к следующему равенству:

ААМху —(1 -V)

д 2д дхду

(7)

т. е. М*у как решение однородного уравнения является бигармонической функцией.

Другой вариант формулировки той же задачи, где базовой функцией является изгибающий момент Мх, следующий:

(1 + у)

М -V)

дх'

-\\Mxdydy + ^Мх + Ц+ /1 (х)у + /2 (х)

(8)

1

Мху (1 -V

^ \мх^+дУ \мх^+^ ч^у+v | л (х )dx+1 & (у

ду

(9)

Уравнение равновесия пластинки записывается в виде

2Мх

-^Г IIMxdydy + -^т- ||мrdxdx + V дх2М х ду2 33 х

+/1 (х)у + /2 (х) + £1 (у)х + £2 (у) = 0.

ГГ qdxdx +qdydy -

(10)

д 4

Вычисление смешанной производной —-—— в применении к уравнению (10) дает сле-

дх2ду 2

дующее неоднородное бигармоническое уравнение:

ЛДМх = -

( ^2 з2 Л

д ч д ч

-;т +V-

V

дх2 ду

(11)

Аналогично, при использовании в качестве определяющей функции момента Му, выводится третий вариант уравнения равновесия и зависимостей Мх и Мху от Му :

Мх =-

(1 + ^

(1 -V)

ду

-\\Mydxdx + у-+- Му + Ц qdxdx + £1 (у ) х + £2 (у)

(12)

1

^ (1 -V)

v-дy Г Mydx + дх |Mydy + VII qdxdy + VI £1 (у )dy + | /1 (х )dx

дх

(13)

2Му

_д2

ду2 " ' дх2

+/1 (х)у + /2 (х) + £1 (у)х + £2 (у) = 0.

д 2 д 2 --- ||Mydxdx +--^ ||Mydydy + VII qdydy +1| qdxdx -

(14)

Момент Му тоже удовлетворяет своему неоднородному бигармоническому уравнению:

ЛЛМу = -

д ч д ч —т+ v—т ду2 дх2

(15)

В качестве примера расчета рассматривается изгиб свободно опертой по всему контуру прямоугольной пластинки под действием однородной распределенной нагрузки интенсивности ч0. Пластинка изображена ниже на рисунке.

Граничные условия для этой задачи известны (см. [3]):

Мх

^ , = 0; МЛ ,„ — 0;

^а/ 2 ' х1у—±Ъ/ 2 '

МЛ , — 0; МЛ , — 0;

у1х—±а/ 2 ' у1у—±Ъ/ 2 ' Ч—±а/2; у—±Ъ/2 — 0.

(16)

Для расчета воспользуемся уравнением (6) и формулами (4), (5). Частное решение Мху0, Мх0 и Муо, соответствующее д — ^, ищется следующим образом: в силу симметрии задачи для нахождения решения уравнения (6) достаточно принять, что f (х) и 8 (х) являются симметричными функциями — многочленами второго порядка, а Мху — антисимметричной. Количество неизвестных коэффициентов многочленов для Мху, f (х) и 8 ( х) позволяет удовлетворить части

М*|*—±а/ 2 — 0

щее частное решение уравнения (6):

граничных условий (16), а именно Мх |х—±^2 — 0 и Му| ± — 0. В результате имеется следую-

Мх0 —

Му0 —

Мху0— % хУ;

1 + V

4 1 + V

(а/2)2 - х2

(Ъ/2)2 - у2

(17)

Решение однородного уравнения (7) для Мху есть бигармоническая антисимметричная функция. Следовательно, это решение представляется в виде

Мху — 2 [ Л1к ^ (а ку) + Л2 к (а ку)(а ку)] вш (а кх) -

к

+2[ Б/ (ргх) + Б21 (ргх )еЬ (ргх )] 81И (ргу).

(18)

/

Здесь Л1к, Л2к, (к —1,2,...) иБц, В21, (/ —1,2,...) — неизвестные постоянные, определяющиеся из граничных условий; коэффициенты ак и Р/ при х и у определены равенствами:

а

— (2к -1), Рг —(2/ -1).

Формулами (4) и (5) определяются соответствующие функции Мх и Му. В результате получается следующее общее решение уравнения равновесия для моментов:

Мх — 2 Г Л1к еЬ (а ку) + Л2к

1 + V

-1

1 -V

;Ь (а ку )-(а ку )Ь (а ку)

еоэ

(а кх) +

1 + V

2]Б1/ еЬ (Р/х) + В21 (Р/х ) + (Р/х )зЬ (Р/х )

еоэ (Р/у) + 40 (а/2)2 - х2

(19)

1 + V

Му — 2|Л1кеЬ(аку) + Л2к (аку) + (аку(аку)

1 + V

еоэ

(а кх) +

2^- Б еЬ (ргх) + В2/

1 -V

еЬ (ргх) - (Р/х(Р/х)

сое (Р/у) +40 (Ъ/2)2 - у2

(20)

Мху — 2[Л1к^ (аку) + Л2к (аку)еЬ (аку)]вШ (акх) -

|"2[ Б1/^ (Р/х) + В2/ (Р/х )еЬ (Р/х )] 81П (Р/у )-2 40 ху.

(21)

Подстановка (19) и (20) в граничные условия (16) для моментов дает следующие значения постоянных коэффициентов:

Лк — (1 Нр^

а а3 еЬ (а^

ГТГ к\)* (а к\

Л2к —-(1

а ак еЬ(ак 2

Бц — (1 (-1))/+1 /

Ъ в3 еЬ (Р/|

1 + V (_ а V (_ а

Б —-(1 -Л40 (-1) _I

Б2/ — (1 ^Ъ В3 ( Ъ в/ еЬ |Р/

При этом использованы разложения функций:

(а/2)2 - х2 ] — ^Е^еоэК^ [(Ъ/2)2 - у2 ] — ^^

л а к ак л Ъ I Р/

/+1

-еоэ

(Р/х ).

к

к

Окончательно получаются следующие выражения для моментов:

Мх =-(1 -V) а 2 2

(-1)

к+1

к (ака)оЬ {^к^^

„^ { ¿V { Ь

2^ + 1ак 2 1К I

еЬ(аку)-

-(а ку (а ку)г 0088 (а кх )+(1 -v)qoь2 2

(-1)г+1 1

(в/Ь )3 оЬ I Р,

Р/-2 ) * (в | ) оЬ (ргх)-

-(Р/х (Ргх )

гоз (Р/у) + чо (а/2)2 - х2

Му =(1 ^^а2 2

(-1)

к+1

к (ака)оЬ {ак|^

акЬ|'ЬI акЬ IоЬ(аку)-(аку)(а*у)

оо8(а кх) -

-(1 -у)„Ь2 2

(-1))+1 Г (в/Ь )3 оЬ

2|т^)+{в/ а I 'Ь И

оЬ (в/х )- (23)

1 + V

-(в/х)8Ь (в/х)Г008(в/у) + ^чо[(Ь/2)2 - у2

Мху = (1 -v)qoа2 2

(-1)

к+1

к (ака)оЬ {ак|^

1+ V { Ь Ь

^+[ак 21 'Ь [а к 2

8(а ку)-

-(аку )оЬ (аку) г вш (акх)+(1 - v)qoЬ 2 2

(-1)

/+1

/ (в/Ь )3оЬ [ в/ 02

1 + V 1 -V

- +

(24)

в/|) * К

зЬ (в/х) - (в/х)оЬ (в/х) Г яп (в/у) - -ч0хУ.

Переходя к определению функции прогиба пластинки ^ (х, у) и ее первых производных,

следует заметить, что первые два уравнения (2) решаются относительно производных

д^ дх2

д2 ^

д2 ^

и ——. Интегрируя —— и третье уравнение (2), можно написать следующие выражения для

ду дх2

производной

д^ дх

д^ 1 дх ~ Б (1 -

(-)Куф+^(х); §-vMy)+с1(у).

Функции (х) и О1 (у) являются неопределенными функциями интегрирования. Вычисление подинтегральных выражений и приравнивание этих двух представлений дает следующий результат:

0 (у) — 0; ^ (х) —-

4 В (1 -V)

2 Г Ч Ъ 2

1 3

X—X

3

дм 40 а

дх В

2-

к+1

к (а ка )4еЬ (а к 2) -(аку ) (аку )} зш (а кх)- ■40Ъ- 2—(—^

2 ( Ъ V ( Ъ

--- + 1 ак — I Ш| ак —

(1 -V) ( к 2) ( к 2

Л (а ку )-

В Г(в/Ъ)4еЬ(в/§

(25)

(в/х )-

-(в/х )еЬ (в/х)} еоэ (в/у )--

4 В (1 -V)

Нетрудно проверить, что выполняется равенство

— 0.

а Г 1 з — I х—х 2) 3

- V

Ъ \ 2 — I х - ух 2 1

дм дх

у—±Ь/ 2

д2 м

Аналогично, интегрируя —— и третье уравнение (2), можно получить:

ду2

— —т~—т [М йх + 02 (у); ду В(1 -V) ху У '

д 1

— —--Т-^[((у - vMx )) + ^ (х).

ду В (1 -V2) '

В результате получаются следующие выражения неопределенных функций ^ (х) и 02 (у)

„ дм

и производной —:

ду

Р2 (х) — 0; О2 (у) —

4В (1 -V)

7 \2 / \2 Ъ \ ( а

2) 7

1 3

у - 3 у г;

дм — 40а3 2 (-1)

к+1

ду В к (ака)еЬ(ак|\ -(а ку )еЬ (а ку)} сое (а кх) + ^^ 2-(-^

1 + V ( Ъ \ ( Ъ

ГГ^ I)* [а к I

8Ь (а ку )-

(26)

В Г (в/Ъ)4еЬ (в/|

+(*§) * (в/ а

еЬ (в/х )-

-(в/х (в/х)} э1п (в/у )-

4 В (1 -V)

Г( Ъ \2 1 3 ] "( а \2 2 "

1 т I у-ту - V 1 ^ I у - х У

( 2 ) 3 ( 2 )

Производная удовлетворяет условию

ду

дщ ду

с=±а/ 2

Интегрируя далее функции (25) и (26), можно представить щ (х, у) в следующих видах:

1=IlXdx+°3 (у)+с; щ=IдУdy+р3 (х)

щ =

дх

дщ ду

) + с.

Здесь ^3 (х) и Gз (у) — неопределенные функции интегрирования; С — константа. Равенство (х, у) = щ*2 (х, у) возможно лишь при следующих условиях:

Р3 (х ) = -

8Б (1 -V)

а )2 Ч Ь

2 1 4 х — х

03 (у)==-

8Б (1 -V)

2 У -[ а

2 1 4

У -7У 6

Константа С определяется из условия отсутствия смещения пластинки как целого, например, из условия

Щ ,„ , /„ = 0.

1х=а/ 2; у=Ь/ 2

с =

8Б (1 -V)

С, \4 / \2/,Л2

5 ( а ) ( а )( Ь ) 5 ( Ь

6 [ 2 ] Ч 2 ] ( 2 J + 6 ( 2

В результате получается следующее решение для функции прогиба:

щ = -

2

(-Ч

к+1

32В^ { а )5 и{ Ь

ак I I 0Ь (ак 2

^+[а4 1 'ь (а4

оЬ(акУ)-

ч0Ь

(-1)

/+1

-(акУ>Ь(акУ008(акх)--32^2{

в/ 2 I 0ЬI в/ 2

+{в/§) 'Ь {в/2

оЬ (в/х)-

(27)

-(в/х )8Ь (в/х )Г о08 (в/У )-

^ Л/ \4

х 1 2 ( х

2,2

vq0а Ь

32Б (1 -V)

32Б (1 -V)

а I-4[а) (у) +[~у

а I 3 [ а

ч0Ь

32Б (1 -V)

у )2 - 2 {у )4

Ь I 3 [ Ь I

2 2 5ч0а Ь

768Б (1 -V)

\2 г

а ) 6 ( Ь

Ь I 5 У + [ а

Функция w (х, y) равна нулю на границе области пластинки как функция ортогональная всем функциям cos (а^х) при y = ±2;

г/2 , b \

J w I х, ±— Icos (аkx)dx = 0, (к = 1,2,...),

а/ 2

J

-а/ 2

и всем функциям cos (Pj y) при х = ±

Ь/ 2

/ \

J wl±2, ylcos(ргу)dy = 0, ((= 1,2,...).

-Ъ/2

Для конкретных точек пластинки значения м (х, у), Мх, Му, Мху, определяемые формулами (27) и (22) — (24), совпадают с соответствующими значениями, приведенными в [3]. В качестве другого примера рассмотрим эту же самую пластинку под действием нагрузки, имеющей представление в виде двойного тригонометрического ряда (задача Навье [3]):

4 ( у ) —22 атп ео8 (а тх) (в„у )

т п

где атп — коэффициенты разложения; коэффициенты ат и вп определены, как и выше:

а к — (2к -1)-, в/ —(2/ - 1)П.

а Ъ

Для получения результата, очевидно, достаточно найти частное решение при нагрузке

4тп (^ у) — атп (атх)(впу). Воспользуемся уравнениями (7), (11) и (15). Моменты Мх, Му и Мху ищем в виде:

Мх — Лтп (атх)(впу); Му — Бтп ^(атх)СОв(впу); Мху — Стп Э1п(атх)Э1п(впу).

В таком виде Мх и Му удовлетворяют граничным условиям (16). Подстановка моментов в бигармонические уравнения (7), (11) и (15) позволяет найти коэффициенты Лтп, Бтп и Стп. В результате получается следующее решение:

2 2

Мх — (а тх )е°5 (впу );

(а' +Р2 )

2 2

My = amn +в"2 cos(атх)cos(P«y);

(ат +P2 )

а в

Mxy =(1 — v) amn~-sin (а тх )sin (РпУ ).

(а m +Р2 )

Так же, как и для пластинки под равномерной нагрузкой, при использовании уравнений (2) определяется функция прогиба

™ ( У)= ч2 С0!3(атх)с0§ (Р«У)•

О (ат +Р2 )

Полученные выражения для моментов и для прогиба в точности совпадают с представленными в монографии [3]. Точно такие же результаты получаются при использовании уравнения равновесия (10) и формул (8) и (9), или уравнения равновесия (14) и формул (12) и (13).

В процессе определения функции м (х, у) не было необходимости удовлетворять граничному условию = 0 , т. е. требовать равенства нулю функции прогиба на контуре пластинки.

Оказалось, что это граничное условие выполнилось автоматически, если не считать перемещения пластинки как твердого тела. Это, странное на первый взгляд, обстоятельство можно объяснить, перейдя к вариационной формулировке задачи изгиба пластинки.

Принято в задачах изгиба пластин делить граничные условия на два вида. 1. Геометрические граничные условия, которым удовлетворяет функция прогиба и ее производные первого порядка. Так в рассмотренной выше задаче изгиба свободно опертой пластинки функция прогиба м (х, у) удовлетворяет условию = 0. На первые производные функции

м (х, у) явно никаких ограничений не накладывается, но неявно выполняются условия

дм ду

с=±а/ 2

дм

= 0 и —

дх

= 0.

у=±Ь/ 2

2. Естественные граничные условия, которым должны удовлетворять изгибающие моменты и их производные первого порядка. В рассмотренной выше задаче такими являются следующие условия:

М± = 0 и Му| = 0.

Среди различных вариационных постановок задачи изгиба пластин известны следующие две [4]. В первой функция прогиба ищется в классе функций, удовлетворяющих геометрическим граничным условиям, и является функцией, доставляющей минимум функционала потенциальной энергии деформации пластинки:

П=2 (( о

(Дм)2 - 2(1 -V)

~,2 ( ~22 \ д м д м д м

дх 2 ду 2

дхду

ёхёу -дмёхёу.

Интегралы берутся по области, занятой пластинкой. При достижении минимума П естественные граничные условия удовлетворяются автоматически. Очевидно, что если бы на каком-то этапе минимизации было получено точное решение, то оно удовлетворяло бы также и естественным условиям.

Другая постановка задачи изгиба пластинки связана с максимизацией энергии деформации, взятой со знаком минус:

и = -

1ЯО((^)[Мх2 + М2У -2vMxMy + 2(1 + V)м2y]йхйу

Максимум и ищется в классе функций Мх, Му и Мху, удовлетворяющих уравнению равновесия и естественным граничным условиям. При достижении максимума и геометрические

граничные условия удовлетворяются автоматически. Следует заметить, что если бы в процессе максимизации было получено точное решение, то это решение удовлетворяло бы и геометрическим граничным условиям.

Рассмотренная выше задача изгиба просто опертой пластинки и является такой, что на этапе решения уравнения равновесия и при удовлетворении естественным граничным условиям получается точное решение для функций Mx, My и Mxy. Поэтому при интегрировании уравнений

связей (2) функция прогиба автоматически удовлетворяет геометрическим граничным условиям, за исключением смещений пластинки как твердого тела (перемещения пластинки вдоль оси z и поворотов вокруг осей x и y).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Можно сделать следующие выводы:

задача изгиба тонкой пластинки может быть равнозначно сформулирована в четырех различных видах, как относительно функции прогиба, так и моментов Mx, My и Mxy;

функции Mx, My и Mxy удовлетворяют, каждая своему, неоднородному бигармониче-скому уравнению.

ЛИТЕРАТУРА

1. Бирюк В. И., Ибрагимов М. Р., Коваленко В. В., Новиков А. П., Ти-товВ. Н., Чайка Т. Ю., ЧернавскихЮ. Н., Юдин В. Г. Перспективы снижения уровня звукового удара коммерческих сверхзвуковых самолетов нового поколения // Ученые записки ЦАГИ. 2010. Т. XLI, № 5, с. 13 — 18.

2. Амирьянц Г. А., Вермель В. Д., Ишмуратов Ф. З., Кудряшов А. Б., ОрловаО. А., РуденкоД. С. Проектирование упругоподобной модели, изготавливаемой с использованием современных цифровых технологий // Ученые записки ЦАГИ. 2012. Т. XLIII, № 3, с. 88 — 100.

3. Тимошенко С. П., Войновский-КригерС. Пластинки и оболочки. — М.: Физматгиз, 1963, 636 с.

4. R e i s s n e r E. On a variational theorem in elasticity // J. Math. and Phis., 1950. V. 29, N 2, p. 90 — 95.

Рукопись поступила 17/V 2012 г.