CC BY
15
МЕХАНИКА
УДК 539.3: 534.1
НЕКОТОРЫЕ ПОЛУЯВНЫЕ АЛГОРИТМЫ РЕКОНСТРУКЦИИ ИНТЕРФЕЙСНЫХ ТРЕЩИН
© 2003 г. А. О. Ватульян, А.Н. Соловьев
The mode of detection of cracks in elastic solids and methods of identification of sizes and positional relationship of a system of cracks on an contact boundary of elastic solids based on a solution of two types of systems of boundary integral equations are obtained. These methods are based on the analysis of a field of displacements, measured on a part of exterior boundary of a solid, free from mechanical stresses.
Предлагаются способ регистрации трещин в упругих телах и методы определения формы системы трещин на внутренней границе раздела упругих тел, основанные на анализе решений двух типов систем граничных интегральных уравнений (ГИУ). Информацией для реконструкции трещин служит поле смещений, измеренное на части внешней границы тела, свободной от механических напряжений.
Введение
Одной из распространенных математических моделей деформированного твердого тела с дефектами в виде трещин при пренебрежении взаимодействием внутренних поверхностей является линейно упругое тело с разрезами. В рамках этой модели на берегах трещин-разрезов задаются граничные условия в напряжениях (в частности условия их отсутствия). В рамках такой линейной модели правомочно ставить задачи об установившихся колебаниях тела. При этом измерение амплитуд граничных волновых полей позволяет гораздо эффективнее, чем в статике, проводить восстановление напряженно-деформированного состояния (НДС) внутри тела и на его границах (в том числе внутренних), а по структуре этих полей идентифицировать дефекты. Среди задач реконструкции трещин внутри упругого тела наиболее простыми представляются задачи, в которых известна ориентация сечения тела (в общем случае криволинейная поверхность), содержащего дефекты. В случае плоского сечения его определение на основе анализа электростатических полей, описываемых краевой задачей для уравнения Лапласа, проведено в [1], для гармонических колебаний изотропного упругого тела эта процедура осуществлена в [2]. Метод, предложенный в [2], опирается на возможность измерить на всей границе тела как вектор напряжений, так и вектор смещений. К сожалению, получить такую информацию о граничных полях далеко не всегда возможно и приходится предварительно решать задачу продолжения полей. К тому же типу относятся задачи определения интерфейсных трещин на внутренних границах составного упругого тела. Некоторые методы решения таких обратных задач теории упругости представлены в литературе. Так в [3] предлагается метод неклассических
ГИУ, детально изложенный в [4], в [5] для решения задачи идентификации интерфейсной трещины применяется итерационный метод, основанный на алгоритме, предложенном и обоснованном для статических задач теории упругости в [6].
Одним из существенных требований к постановке этих обратных задач, приближающим их к практическому применению, является условие, при котором возможно измерение граничных сопряженных полей не на всей внешней границе, а лишь на ее части. В такой постановке в настоящей работе предлагаются два подхода к решению проблемы идентификации и формулировка систем ГИУ либо относительно скачков смещений на трещинах, либо компонент вектора напряжений на внутренней границе, содержащей дефекты. Эти системы являются интегральными уравнениями Фредгольма 1-го рода с гладкими ядрами, поэтому процедура их решения требует регуляризации. В работе решение их строится на основе сочетания идей метода граничных элементов и метода регуляризации А.Н. Тихонова [7]. Дальнейший анализ построенных решений позволяет осуществлять процедуру идентификации трещин.
Постановка обратной задачи
В декартовой прямоугольной системе координат 0хух2хт) (х = (х1,х2,хз)) рассматривается конечное составное упругое тело, занимающее область V = Уу и У2. Подобласти У± и У2 ограничены поверхностями 51 и ^ и и 5 соответственно, где 5 -
внутренняя поверхность раздела подобластей. Поверхность 52 состоит из двух непересекающихся частей 52 = 52ы и 52г, часть Б2и закреплена, на 52/ задан вектор напряжений. На поверхности ^ задано разбиение ^ = £1и и 51г и 50, части которого попарно не пересекаются. Часть 5^ закреплена, на задан вектор напряжений, часть — свободна от напряже-■ ний и на ней известен вектор смещений. На внутренней поверхности 5 имеется система непересекающихся трещин Г = (Г? = Г™ I) Г^2)).
ч;
(і)
Краевая задача, в которой кроме определения ха- Далее рассмотрим краевую задачу 2 для тела
рактеристик НДС требуется определить геометрию при действии тех же нагрузок на 50, причем по-
системы трещин Г, формулируется следующим обра- верхносхь 5 свободна от напряжений, зом. Она состоит из уравнений линейной теории уп- Задача 2
ругости [8] в случае установившихся колебаний: Эта задача описывается дифференциальными
уравнениями (1) относительно м,- , граничны-
ми условиями вида
»{ к„=о, I 15,,=^'к,=°’
Ч к = д1,п] к = й Ое.§), 2.5 е 50 -
а также условиями отсутствия нагрузок на 5
Ч Ь =0 •
Замечание 2. Зависимость функций 0*(х,^) и
(х,£) от £ означает, что может быть рассмотрено некоторое однопараметрическое семейство, например в?(х,§) = 1?й(х-§); (6)
0; (Х^) = Р' 8(х-%) . '
Вывод ГИУ с помощью решения задачи 1
Предположим, что найдено решение классической
о= -рсо2и?\ к = 1,2, хеУк,
Лк)_ (к) (к).
°Ц ~ ут1 т,1 '
граничных условий прямой задачи “}2)и,. = 0. ^ \5гг°Ч)п]\*ггЕ1 ,
= 0, г™ к = 4Ч' |5|> = р„ /,П) |5о = 0 ;
условий непрерывности на 5 \ Г
и1-1) Ь\Г~и/2) Ь\Г’ 41) Ь\Г=42) Ь\Г : (2)
условий на берегах трещин
= * = 1,2, 9 = 1,2
(3)
и дополнительных условии, отвечающих измерению вектора смещений на З'д
^к = ^0). ' ' (4)
где а\р, - компоненты тензоров напряжений и
,(*)
упругих постоянных; щ ’ - компоненты вектора задачи 1. Обозначим
смещений; , со - плотность и круговая частота колебаний; пу - компоненты единичных векторов внешней нормали к соответствующим поверхностям.
м І5„ - Ф (*>£)> ^о>
м к= Ф (*•£)•’ Iе £є ^0 •
Введем в рассмотрение оператор'
Замечание 1. На практике обычно задается не 0 а* л** ^*\ г 0/ еч.о
^ Р С(ми,р,§,0 ,0 ,<2 )= К-(*)&• _■
ПП^ТТРПР'НМРі РРТГТППЯ ТТРПРМРТТТЄНИИ ИППТП/ ИЯ Лл Я — —.----— — * і — _ л
распределение вектора перемещений всюду на 50, а значения перемещений в некотором наборе, точек, соответствующих местам установки датчиков, причем - ¡ф,- (х,£)р; (х)сіБх - |0,- (x,^)g¡ (x)dSx=Gl(^) (7)
>0
аналог (4) имеет вид:
= 11 ¡т ’ От = 1,2,..л/.
Для анализа сформулированной краевой задачи удобно рассмотреть ряд вспомогательных задач, которые описаны ниже.
Вспомогательные задачи
Рассмотрим краевую задачу 1 для тела V без де-
$2,
Применим к телам УІ и У2 теорему взаимности работ [8] и с учетом условий непрерывности (2) на 5 \ Г и (5) на 5 получим, что
К(г.і)^і(г)^ = Сі(£). (8)
г,
где Хі(х) ~ скачки компонент вектора перемещений
фектов, тогда на внутренней поверхности 5 гранич- на трещинах, при этом на £ \ Г эти скачки равны ну-
ные условия будут соответствовать непрерывности лю. Обозначим
векторов смещении и напряжении.
Задача 1
Эта задача состоит из дифференциальных уравнений движения (1) относительно и*, хе У[ и и**, хе\?2 , граничных условий
«ГХ=о, гРк^ГЧк^0-иР к=°- ‘Р к = 4*4к = 0’
‘Р к=4*4 к=&(-’ %)' 5о
и условий непрерывности на 5
Ж/ при ХЄ ^
0 при х є 51 \ Г і
Тогда соотношение (8) представляет собой систему интегральных уравнений (при интегрировании по известной поверхности 5) относительно функций Х, (х), хе 5
/1* (х&Х^х)^ = Сіф, £ є 50.
5
(9)
Уравнение (9) при различном выборе частот и фиктивных нагрузок может служить для реконструкции трещин.
Вывод ГИУ с помощью решения задачи 2
Пусть вспомогательная задача 2 решена. Обозначим м к = 0 (2,1), хеБц, £е£0 .
Введем в рассмотрение оператор
^(м°,£,0 ,в ) = К°(х)0,. (х,ОйБх-
*0
- \Фг (г.1)р<(г)^х=^(£)- (Ю)
*1,
Рассмотрим тело, занимающее подобласть ^, и применим к нему теорему взаимности работ [8]. Тогда
/и/(*.£)*/(1)Ф^с = ^(£)- (11)
5\Г,
Учитывая, что сомножители подынтегрального выражения в (11) определены всюду ца 5 и в силу (3)
*Р|г, = 0 (12)
соотношение (11) может быть истолковано как система ГИУ по известной границе 5
(*,Ы1)(х№х = |б50 . (13)
5
При численной реализации решения системы ГИУ (13) в отличие от системы (9) основой идентификации размеров трещин служат два свойства решения: соотношения (12) (обращение в нуль на границе функций раскрытия) и сингулярное поведение компонент вектора напряжений на краях трещин.
Частотное сканирование и регистрация трещин
Если частота колебаний рассматриваемой конструкции не определяется технологическими условиями, то возможно расширение области определения функций, стоящих в левых и правых частях соотношений (9) и (13), на следующую частотную область
сое ¿2 = и«=1 ’ &п = [ю£А),®л£) 1 -
где набор интервалов £2„ выбирается из предварительного модального анализа конструкции без дефектов и включает в себя такие формы колебаний, при которых происходит интенсивное раскрытие трещин (часто это моды растяжения — сжатия или сдвига в окрестности поверхности 5 , в то время как изгибные моды менее чувствительны к наличию трещиноподобных дефектов).
Теперь система ГИУ (9) примет вид
/ (* (х,§;,а»Х1(х,а»<Кх = , (14)
5
^е50, ше £2 .
Поскольку носитель функций Х,(х,со) не зависит от со, то решение уравнения (14) в наборе частот из £2 значительно повышает разрешающую способность предлагаемого подхода и точность реконструкции трещин.
Отметим, что функция й] (£,со) равна тождественно нулю, если в теле отсутствуют трещины. Это обстоятельство дает простой способ регистрации наличия трещин в теле, причем и в том случае, когда
поверхность 5 заранее неизвестна. Для этого достаточно выбрать одну из схем нагружения в задаче 1, например (6) при ^ = £ , и построить зависимость
С1{сй) = С1<£к,о)), соеП, по виду которой при знании точности измерений ПОЛЯ смещений ииз (4) и точности вычисления интегралов (7) можно судить о наличии трещин.
Аналогом (13) служит следующая система
/м,- (х,£,со)11[\х,о))(15х = ^(£,й)), 50, сое О. ,
5
где так же, как и в (14), принцип восстановления геометрии Г не зависит от частоты со.
Замечание 3. Отметим, что при выборе функций
♦
2, 0 в рамках дискретной схемы их носители выбираются в точках измерения смещений хт, благодаря чему интегралы в операторах (7), (10) вычисляются явно.
Численный пример реконструкции трещин
В качестве примера применения предложенного метода рассмотрим схему, приводящую к уравнению (13) в задаче об идентификации двух трещин Ц =КЬ и Г2 =МЫ, находящихся между слоями полупассивно-го биморфа (рис.1), представляющего собой составной прямоугольник АОВСЕБ (А(0;-€,03), 0(0;0), В(0;0,03), С(0,1;0,03), Е(0,1;0), 0(0,1;-0,03), К(0,03;0), Ц0,05,0), М(0,065;0), N(0,08^) - размеры в метрах). Верхний слой ОВСЕ выполнен из меди, нижний АОЕБ - из пьезокерамики Р2Т-4. Задача решается в условиях плоской деформации, колебания (с частотой / = со1(2я) — 20 кГц) возбуждаются разностью потенциалов У0 =1000 В, подаваемой на электроды, находящиеся на сторонах ОЕ и АБ, сторона АВ жестко защемлена, остальные внешние границы свободны от механических напряжений:
Рис. 1
При проведении численных экспериментов, решение прямой задачи и построение ядра уравнения (13), модальный анализ конструкций, решение задач для тел без дефектов и «измерение» полей смещений произво-
t н
дилось с помощью конечно-элементного комплекса АСЕЬАН [9]. Трещины моделировались отверстиями, у которых поперечный размер много меньше их длины (в расчетах их отношение имело порядок 10-7), при этом предполагалось, что берега трещины не взаимодействуют между собой. На краю трещин конечноэлементная сетка сгущалась с помощью введения дополнительных узлов. В последней версии комплекса АСЕЬАМ разработан язык команд [10], позволяющий эффективно решать множественные задачи, такие как численное построение тензора Грина, что является необходимым для построения предлагаемых выше систем операторных уравнений. При проведении модельных расчетов считалось, что сторона ВС доступна для измерения вектора смещений и на ней было выбрано 39 внутренних равноотстоящих узлов, смещения которых моделировали процесс измерений. Частота, на которой проводился численный эксперимент, выбрана из соображений интенсивного раскрытия трещин на ней при отличии от собственной частоты краевой задачи 2. В табл. 1 представлены первые шесть собственных резонансных частот, причем пятая частота для тела без трещины соответствует поперечному растяжению-сжатию в собственной форме колебаний вдоль линии стыковки материалов.
Таблица 1
Номер частоты Без дефектов, кГц Краевая задача 2, кГц
1 2,851 1,721
2 9,194 7,946
3 9,858 9,575
4 19,01 17,51
5 22,32 27,18
6 24,16 27,88
На рис. 2 на недеформированном состоянии тела представлено распределение компонент вектора смещений и тензора напряжений в прямой задаче, причем на рис. 2 а изображено щ , на рис.2 б - и3, на рис.2 в - <733 (цвета обращены для наглядности), на рис. 2 г - <т13 .
а б
в г
Решение ГИУ (13) проводилось на основе идей метода граничных элементов. При его дискретизации использовались различные типы граничных элементов, причем принимались как разрывная кусочнопостоянная, так и непрерывная кусочно-линейная аппроксимация неизвестных. Численные эксперименты показали, что более предпочтительной является первая схема Решение дискретного аналога уравнения (13) проводилось методом регуляризации А.Н Тихонова [7], параметр регуляризации в случае п = 40 был равен 2х 10~14 (п - число точек, в которых проводились «измерения»).
На рис. 3 изображены напряжения Стзз(х1,0)х10^6 Н/м2 - кривые 1 и (Т13(11,0)хЮ'6Н/м2 - кривые 2, найденные из решения обратной задачи, причем на рис. 3 а прямая задача не содержала трещин, а рис. 3 б соответствует одной трещине КЬ. В численном эксперименте изучалось влияние количества п точек наблюдения на точность реконструкции трещин.
2
0,02 0,04 0,06 0,08
Рис. 3
На рис. 4 изображены напряжения сг33 (Х| ,0) х 10'6 Н/м2 - кривые 1,2
и ОхзС^Д^хЮ^Н/м2 - кривые 3, 4, причем кривые 2 и 4 представляют конечно-элементное решение прямой задачи с двумя трещинами КЬ и МЫ, а кривые 1, 3 найдены из решения обратной задачи при п = 40*
та?
0,02
0,04
0,06
0,08
Рис. 4
Как видно из рис. 3 и 4, концы трещин легко идентифицируются по экстремальным значения напряжений при решении обратной задачи.
В табл. 2 представлена относительная погрешность (в процентах) нахождения координат концов трещин хк , х^, хм , Хдг, когда шаг между точками «измерений» составлял 0,0025 м и они располагались в центре стороны ВС.
Таблица 2
Число измерений п ХК XL *М xN
10 5,0 6,4 3,8 5,5
20 4,2 3,6 2,0 3,3
30 4,2 2,5 1.9 3,1
40 4,2 2,5 1,9 3,1
Проведенные численные эксперименты показали, что точность определения координат концов трещин в значительной мере зависит от расположения участка «измерения».
Авторы благодарят сотрудников кафедры математического моделирования РГУ — коллег по разработке пакета ACELAN, результаты которых использовались при проведении расчетов.
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 02-01-01124) и при частичной поддержке гранта Президента РФ' по ведущим научным школам НШ-2113.2003.
Литература
1. Bannour Т, Ben Abda A., Jaoua М. // Inverse Problems. 1997. Vol. 13. P. 899-917.
2. Ватульян А. О., Соловьев А.Н. II Теоретическая и прикладная механика. 2003. Вып. 37. С. 141-145.
3. Соловьев А.Н. И Современные проблемы МСС: Тр. VIII Междунар. науч. конф. Ростов н/Д 2002. Т. 1. С. 163-169.
4. Ватульян А.О. и др. II ПММ. 2000. Т. 64, Вып. 3. С. 373-380.
5. Weikl W. et al. И Inverse Problems. 2001. Vol. 17. P. 1957-1975.
6. Козлов B.A., Мазъя В.Г., Фомин A.B. II ЖВМ и МФ. 1991. Т. 31. С. 45-52.
7. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М., 1979.
8. Новацкий В. Теория упругости. М., 1975.
9. Белоконь A.B. и др. II ПММ. 2000. Т. 64. Вып. 3. С. 381— 393.
10. Наседкин A.B. и др. П Зимняя школа по механике сплошных сред (тринадцатая). Школа молодых ученых по механике сплошных сред: Тез. докл. Екатеринбург, 2003. С. 274.
У
Ростовский государственный университет
7 сентября 2003 г.
Коллектив редакции и члены редколлегии журнала «Известия вузов. Северо-Кавказский регион» сердечно поздравляют Александра Ованесовича Ватулъяна, крупного специалиста в области механики деформируемого твердого тела, одного из активнейших рецензентов, с 50-летием и желают здоровья, осуществления идей, талантливых учеников, творческих удач.
