Новый метод ГИУ в краевых задачах для эллиптических операторов и его численная реализация Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вычислительные технологии

Том 7, № 1, 2002

НОВЫЙ МЕТОД ГИУ В КРАЕВЫХ ЗАДАЧАХ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ И ЕГО ЧИСЛЕННАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ *

А. О. Влтульян, О. В. Ковалев Ростовский государственный университет, Ростов-на-Дону, Россия e-mail: [email protected], [email protected] А. Н. Соловьев Донской государственный технический университет Ростов-на-Дону, Россия e-mail: [email protected]

New methods for solving boundary value problems for elliptical operators are developed. The original problems are reduced to systems of non-classical boundary integral equations of the first kind with smooth kernels as distinct from the classical singular boundary integral equations. Some approaches to the numerical solution of these systems on the base of combination of spline approximation and regularization methods are discussed. Numerical examples are provided.

Введение

Пусть П С Яп (п = 2, 3) — ограниченная односвязная область, звездная относительно некоторого шара, с кусочно-гладкой границей Г. В области П рассмотрим краевую задачу для эллиптического оператора с постоянными коэффициентами:

Ьqjщ = (ая^т1 дтд[ + k2Аqщ, ] = 1,... Ж, т, 1 = 1,... п, к, Аq е Я, (1)

дП = Г = Ги и Г4, щ|Ги = < мщщ|Г( = (2)

где = а^т п,1 дт, пт — компоненты вектора внешней единичной нормали к поверхности Г. Будем считать, что главная часть оператора Ьqj является эллиптической, т. е. det{aqjmгímíг} = 0 для одновременно не равных нулю ¿т.

Сформулированная выше задача часто используется при математическом моделировании различных явлений и процессов в естествознании. К этому классу операторов относятся операторы Лапласа и Гельмгольца, операторы, описывающие равновесие и установившиеся колебания в анизотропной теории упругости, электроупругости, магнитоупругости и других моделях сплошной среды. Для большинства краевых задач для этих операторов

*Частичная поддержка Российского фонда фундаментальных исследований, гранты №00-15-96087, №99-01-01011.

© А. О. Ватульян, О. В. Ковалев, А. Н. Соловьев, 2002.

в случае сложной геометрии области П точное решение построить не удается и возникает проблема эффективного численного анализа задачи. В настоящее время наиболее распространенными являются метод конечных разностей, метод конечных элементов, а также метод граничных интегральных уравнений (ГИУ) и основанный на нем метод граничных элементов. Основным достоинством метода ГИУ является снижение размерности исследуемой задачи на единицу.

Родоначальником метода ГИУ можно назвать Фредгольма, который впервые свел краевую задачу для оператора Лапласа к интегральному уравнению по границе области, используя понятие фундаментального решения и теоремы о потенциалах простого и двойного слоев. Дальнейшее развитие этод метод получил в работах грузинской школы математиков, возглавляемой В. Д. Купрадзе. В этих работах построены и исследованы системы ГИУ для задач изотропной теории упругости и термоупругости [?, ?]. В 70-80-х годах метод ГИУ в его дискретном варианте — метод граничных элементов (МГЭ - англ. ВЕМ) — стал бурно развиваться в западных странах, был распростренен на некоторые классы нелинейных задач на основе метода последовательных приближений. Наиболее полное представление о методике и возможностях этого способа можно составить по монографиям [?, ?].

Вывод ГИУ во всех этих случаях опирается на фундаментальные и сингулярные решения соответствующего дифференциального оператора, формулы Грина или Гаусса — Остроградского, основные теоремы, аналогичные теоремам теории потенциала. К сожалению, для многих операторов (анизотропной теории упругости, электроупругости, магни-тоэлектроупругости) построить фундаментальные решения в явном виде не удается; возможно лишь построение их интегрального представления [5-8]. Отсутствие явных представлений ядер интегральных операторов в получаемых системах ГИУ при дискретизации приводит к необходимости вычисления большого количества кратных нерегулярных интегралов, что в значительной степени снижает эффективность МГЭ.

Поэтому в последние годы возрос интерес к построению систем неклассических ГИУ без использования фундаментальных решений [9-15]. Кроме того, для эллиптических операторов в последнее время ставятся неклассические краевые задачи, в которых по переопределенной информации на части границы требуется установить граничные поля на оставшейся части, их решение основано на сведении краевых задач к системам неклассических ГИУ [?, ?]. В настоящей работе обсуждены основные идеи построения систем ГИУ такого вида для произвольных эллиптических операторов типа (1), (2) и некоторые аспекты построения их дискретных аналогов.

1. Построение системы ГИУ 1-го рода

К краевой задаче (1), (2) применим преобразование Фурье с параметром а = (а\, а2,... , ап), в результате которого относительно трансформант щ (а) получим систему линейных алгебраических уравнений:

АязЩ = [а(1утгата1 - к2Хдщ(а) = У (а, к) ,

где

Решим эту систему относительно вектора трансформант Фурье u:

Uj(а) = {A-1}jq (а, k) Vq(а) = pq ^ ^^ . (4)

Здесь A (а, k) — матрица коэффицентов системы (3); pqj (a,k) — компоненты матрицы P, присоединенной к A, которые относительно а^ являются полиномами степени 2N — 2, p0 (а, k) — полином степени 2N, равный определителю матрицы A, называемый характеристическим многочленом оператора L.

Согласно основной теореме алгебры, полином р0(а, k) обращается в нуль на 2N многообразиях в Cn-1:

а„ = ага5 (в, k), s = 1, 2,..., 2N, в = (аь а2,..., ап-1).

Далее для простоты будем считать, что эти многообразия различны (хотя это требование выполняется не всегда — примером этому может служить оператор, возникающий в задачах изотропной теории упругости [?]).

Трансформанта Фурье функции Uj в этом случае является функцией целой, но в то же время представляется через матрицу A-1, в выражении которой в знаменателе стоит характеристический многочлен ро(а^), обращающийся в нуль на множествах ап = ага5 (в, k). Чтобы удовлетворить требованию аналитичности преобразования Фурье, потребуем равенства нулю на этих множествах также и выражений в числителе правой части

(4):

Pqj (в, а™ (в, k), k) Vq(в, а„5 (в, k), k) = 0, (5)

в G Cn-1, s = 1, 2,..., 2N, q = 1, 2,...,N.

В итоге получается система из 2N2 уравнений, но так как функции ага5(в, k) — нули детерминанта A, а pqr — компоненты матрицы, присоединенной к A, линейно независимыми из них являются лишь 2N уравнений, соответствующих, например, q =1.

Таким образом, связь между значениями функций Uj и tj на Г может быть схематично представлена как

[ )tj (x)dx —i Kj (ж,в)и,- (x)dx = 0, в G Cn-1, s = 1, 2,..., 2N, (6)

где

(X, в) = Ру (в, а-(в, к), к) ег(а>х), К^ж, в) = Р1г (в, а-(в, к), к) аг^атпег(а>х). С учетом граничных условий система (5) переписывается следующим образом:

Jр^ (в,а«5(в, к), к) ^(жУ(а'х)^Г-^р1Г (в,«пв(в,к),к) а^«™пщ(ж)е^(а'х)^Г = СДв),

Ги Г

(7)

£*(в) = -/Ру (в, а™ (в, к), к) ¿°(х)ег(а>х^Г + г^рь- (в, агав(в, к), к) аг^атпгщ0(ж)ег(а>х)¿Г.

Г Ги

Соотношения (7) можно трактовать как систему граничных интегральных уравнений, которые связывают неизвестные граничные значения п^ на участке Г и tj — на Ги с заданными (см. формулу (2)).

Функции К1 и К^ являются гладкими, следовательно, (7) — это система граничных интегральных уравнений 1-го рода с гладкими ядрами, обращение которой в общем случае является задачей некорректной. Однако при более внимательном рассмотрении можно прийти к выводу об условной корректности этой задачи [?]. Применение специальных регуляризирующих методов приводит к устойчивой процедуре решения системы. В качестве таких методов были выбраны метод регуляризации Тихонова [?] или проекционно-итерационный метода Пейджа — Саундерса [?].

2. Дискретизация системы ГИУ

Дискретизация системы (7) проводилась на основе идеологии метода граничных элемен-

М1 М2

тов. Граница области была разбита на элементы Ги = Р| Гр, Г = П Гр, на кото-

р= 1 р=М1+1

рых при помощи некоторых функций формы (линейных, квадратичных, сингулярных) и введения узловых значений строилась аппроксимация неизвестных функций и геометрии границы, так, на элементе Гр: хг ^ хрг(т), Uj(х) ^ пpj(т), tj(х) ^ tpj(т), где т £ [-1,1]. В этом случае дискретный вариант системы (7) с учетом граничных условий (2) выглядит следующим образом:

М1 1 М2 I

£ / К^(хр(т(т).р(т)dт - £ / К®(хр(т),в^(т).(т)dт = С3(в), (8)

Р=1 -1 р=М1+1-1

^ = 1, 2,..., 2Ж, где .]р(т) — якобиан преобразования хг ^ хрг(т).

Напомним, что в этой системе и К^, и К^, и имеют функциональную зависимость от в (в £ Сп-1). Поэтому для получения необходимого количества уравнений относительно узловых неизвестных следует потребовать выполнения системы (8) в некотором наборе точек вт. Вопрос об оптимальном выборе этого набора точек или способе дискретизации ГИУ (6) и влиянии этих факторов на получаемые численные результаты еще остается открытым.

В качестве способа регуляризации можно использовать как метод регуляризации А. Н. Тихонова, так и метод регуляризации на компактных множествах. Во втором случае можно сузить область искомых решений до некоторого компакта в Ь2 и использовать для этого информацию о свойствах решения, известную априори. Классические методы аппроксимации неизвестных функций на элементе обеспечивают принадлежность искомого решения пространству суммируемых или непрерывных функций, хотя известно, что при отсутствии на поверхности Г особых точек или линий (точек нерегулярности границы, точек смены граничных условий или точек разрыва нагрузки) решение является гладкой функцией [?]. Некоторые способы использования аппроксимаций высокого порядка в таких уравнениях обсуждаются в [?, ?].

Исходя из этого, было предложено аппроксимировать неизвестные функции на участках границы между особыми точками при помощи параметрических сплайнов [?, ?]. Такое приближение обеспечило гладкость искомых функций во внутренних узлах участка

вплоть до второй производной по дуге и непрерывность или сингулярность (в зависимости от вида особой точки) во внешних узлах.

Важным достоинством предложенной схемы МГЭ является то обстоятельство, что коэффициенты, получающиеся при дискретизации алгебраических систем, выписываются в явном виде, что значительно сокращает время расчетов.

3. Примеры

Рассмотрим ряд примеров, иллюстрирующих предложенный подход.

Пример 1. Краевая задача для оператора Гельмгольца в плоском случае.

Задача (1,2) приобретает вид

Аи + к2и = 0,

u = u(xi,x3), (xl,x3) E Г, Г = ru и rt, граничные условия

u

du

Uo, т— дн

= jo

fo

rt

Описанным выше методом получаем ГИУ вида

ди дн

e'k(ax)ds — ik / (a,n)ue'k(a'x)ds = F(a)

rt

F(a) = -J (a'n)u>e"k("')ds + ik i ke'H"'"ds-

Ги rt

где a = ^al, 1 — afj, al E C.

Отметим, что при выборе al = cos p и a3 = sin p (p E [0, 2п]) это уравнение подробно исследовано в [?].

Введя аппроксимацию границы линейными элементами

Mi M2

Ги = Р| Гр, г = Р| Гр, x' = 9Р' + вр'Т, т E [—1,1], i =1, 3,

p=l p=M1+l

в,

р'

x'p+l + x'p о _ x'p+l x'p

~, Pp' ~

2 2

Жф+1 и ХгР — координаты соответственно конца и начала элемента Гр, а аппроксимацию на них неизвестных функций постоянными

u

Up, —

du дн

T

р

относительно неизвестных значений функций на элементах ир и Тр получим систему линейных алгебраических уравнений

М1 м2

1врТр Р

р=1 р=М1 + 1

Г

и

Г

Г

p

p

где а«, в = 1, 2,... , N, пробегает набор точек, удовлетворяющих соотношению + = 1, а /¡р равен

¡р ^р

ехр (¿к (а«,0р))2г ^ (аввр)), = ^ + вр2з•

^ > мр у к (а« ,вр)

Если же неизвестные функции на элементах аппроксимировать линейными функциями

и

1

1

ди

2(1 - Т+ 2(1 + ТдП

1

1

о(1 - т)Тр + -(1 + т)Тр+1

2

2

и учитывать их непрерывность, то в предположении гладкости и односвязности участков Ги и Г относительно узловых значений [7р и Тр получается следующая система:

Мх-1

М2-1

¿к ^ [(а«, Пр) 42) + (а«, Пр+1) и + £ [/£> + /¡1+1

р=1 р=М1 + 1

Тр +

+/Щ1+1ТМ1 + /¡2)2ТМ2 = Т(а«) + ¿к (а«, щ) /¡1>и0 + ¿к (а«, ПМ1) /¡М,и0

г

г

р

р

г(1) -т /., / д ^ / Й1п(к (а«,вр)) exP(-¿k (а«,вр))

4> = ^ exp(¿k (а«,^р)^ к2 (а«,вр)2---к (а«,вр)

/ (2) = ¿т ехр(?к (а л )) ^ 8Ш(к (а«,^р)) exp(¿k (а«,^р))

'¡р = ¿^ eXP(¿k (а«,Лр)^ к2 (а«,вр)2 к (а«, вр)

Заметим, что здесь проявляется одно из важнейших достоинств предложенного метода: все коэффициенты алгебраических систем в отличие от классического МГЭ выписываются в явном виде. Получающиеся системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) оказываются плохо обусловленными; для их решения использован проекционно-итерационный метод Пейджа — Саундерса [?].

Помимо описанных здесь также были построены квадратичные аппроксимации элементов и функций на них (приближение осуществлялось отрезком параболы, проходящей через концы элемента и специально вводимый дополнительный внутренний узел). В этом случае для аппроксимации функций было предложено использовать технику эрмитовых элементов (проводилось сглаживание по первой производной по дуге). Коэффициенты получавшихся СЛАУ выражались через интегралы Френеля.

Алгоритмы расчета резонансных частот были протестированы на задаче Дирихле для круга, для которой известны точные их значения, являющиеся нулями функции Бесселя /0(г). Результаты расчетов показали достаточную точность (погрешность в определении первых трех частот не превышает 1 %).

Проведено сравнение различных способов аппроксимации границы и интерполяции неизвестных функций на элементах на примере расчета резонансных частот и определения значений неизвестных граничных значений для уравнения Гелмьгольца для эллиптических областей с полуосями а и Ь, некоторые результаты которого приведены в табл. 1. Здесь номеру I соответствуют результаты, полученные предлагаемым методом, использующим квадратичную аппроксимацию границы и технику эрмитовых элементов, номеру II — методом, использующим квадратичную аппроксимацию как границы, так и функции без сглаживания, номеру III — методом, аппроксимирующим границу квадратичными элементами, а функцию на них — константами, номеру IV — данные линейной и постоянной аппроксимации границы и неизвестных функций.

По времени счета и затрачиваемым машинным ресурсам самый экономичный результат показал метод линейной аппроксимации границы с постоянной или линейной аппроксимацией неизвестных функций.

Таблица 1

Расчет резонансных частот (къ к2, кз) для уравнения Гельмгольца для эллиптических областей с граничным условием = 1 в зависимости от вида аппроксимации и количества элементов

М2 Эллипс а = 4, Ь = 1 Эллипс а = 2, Ь =1

I II III IV I II III IV

к1

8 1.7091 1.7091 — — 1.889 1.890 1.895 1.991

12 1.7089 1.7089 1.7091 1.7343 1.888 1.888 1.891 1.952

20 1.7088 1.7088 1.7088 1.7179 1.888 1.888 1.888 1.904

к2

10 2.2754 2.2754 2.2332 2.3102 3.1673 3.1673 3.1861 3.2128

20 2.2751 2.2751 2.2754 2.2571 3.1668 3.1668 3.1667 3.1932

60 2.2751 2.2751 2.2751 2.2770 3.1668 3.1668 3.1668 3.1793

кз

10 2.8918 2.8998 2.7637 2.9399 4.5665 4.5672 4.6790 —

20 2.8979 2.8979 2.8654 2.9086 4.5658 4.5668 4.5633 4.6034

30 2.8979 2.8979 2.8979 2.9086 4.5668 4.5668 4.5668 4.5826

60 2.8979 2.8979 2.8979 2.9005 4.5668 4.5668 4.5668 4.5712

Заметим, что процедуры решения, использующие сглаживающую аппроксимацию неизвестных функций и квадратичную аппроксимацию границы, оказались наиболее устойчивыми и быстрее всего сходящимися (по количеству элементов) из всех рассмотренных и их применение оправдано при сильном изменении решения вблизи резонансов или на высоких частотах. Так, в задаче для окружности в районе первой частоты они дают погрешность решения в 1 % при пяти — восьми элементах, а линейные элементы с линейной аппроксимацией функции — при тридцати — пятидесяти, в районе третьей частоты — при шести — двенадцати и семидесяти — девяноста соответственно.

+ ■+>у'

4 V + / /

+ / /

\ \ + + / / + ' /

\ \+ + ч

\У + //

N \+ + //

\ \ + ♦ + /

\ \ + + + //

\ +++-ьн+++ //

тг/2 у

и

-4

-6

■10

-12

Рис. 1.

Все исследованные методы при увеличении числа элементов сходились к одному пределу, но за разное число итераций. На рис. 1 приведены три графика, иллюстрирующие

и|г в задаче для эллипса 3: 1 (с граничным условием ди/дп = 1) в зависимости от угловой координаты крестами обозначено решение, полученное аппроксимацией границы и функции линейными элементами при разбиении контура на 24 элемента, пунктиром — при помощи эрмитовых элементов с разбиением на 15 элементов, а сплошной линией — предел, к которому сходятся оба этих метода.

Кроме этого, были проведены эксперименты со сплайновой аппроксимацией; они показали, что ее применение оправдано в случаях сильного изменения решения, например при больших частотах или частотах, близких к резонансным (они давали погрешность порядка 10 % при к ~ к6). Увеличение количества узлов приводит не к существенным изменениям, а лишь к небольшому уточнению решения, что говорит о внутренней устойчивости метода.

Пример 2. Краевая задача для оператора электроупругости. Рассмотрена задача об установившихся колебаниях электроупругой среды класса 6тт в случае плоской деформации (смещения «1, и потенциал ^ зависят только от координат х и х3, а = 0).

Краевая задача (1), (2) в этом случае принимает вид [?]

д2М1 д2«1 ^^«з . . , , дV 71 й—2 + —2 + (77 + 74) о—О--+ (¿1 + "5) 70

дх12

(77 + 74)

дх32 д 2из

д2и1 + 74"-2 +

дх1дх3 д 2«з

дх1дх3 дх12 дх32

. д2^ + *570 + 70

дх1дх3

дV

—к2и1,

дх32

—к2и3,

дУ , д2мз д2«3 , д2^ (¿1 + ¿5) 70я„ а„ + "570дХ^ + ^0-—2 — "7

дх1дх3

где проведено обезразмеривание:

дх32

джт2

д V

дх32

0,

(9)

и»

71 = С11/С33, 74 = С44/С33, 77 = С13/С33, 70

е33

-\/С33э33

"1 = в13/в33, "5 = е15/б33, ¿7 = эп /э33,

к2

р^

2к2

С33

полагая

V) к

с33 хг

и Х = —

э33 к

(10)

(к — характерный линейный размер области П). Граничные условия имеют вид

Г = Ги и Гст, Г = Г- и Г+ и Гн,

¿г = + 043П3 |Гст = ¿0, «г|Ги = и0, 2 =1, 3,

= 0, ^Г± = ±^0,

где ¿¿0, и0 — известные функции; а — заданная константа. Соответственно неизвестными являются компоненты вектора напряжений (¿1, ¿3) на Ги, компоненты вектора смещений (и1,и3) на Гст, потенциал ^ на Гн и нормальная составляющая вектора электрической индукции Д3 на Г- и Г+.

Введем вспомогательные обобщенные векторы смещений х = («1,«3, и напряжений Т = (¿1,^3,Дга). Тогда система (6) для задачи (9), (10) будет иметь вид

[Р (а) Т(х) — гкР (а) В (а, п) х(х)] егк(а'х)^Г = 0,

(11)

A (а)

В (а, n)

p0 (ai, а3) = detA = 0,

Yi ai2 + Y4 аз2 - 1 (77 + 74) ai аз (¿i + ¿5) Yo ai аз

(Y7 + Y4) al аз 74 а!2 + аз2 - 1 ¿570 а!2 + 7оаз2

(¿i + ¿5) Yo al аз ¿570 ai2 + 7оаз2 -¿7 ai2 - аз2

Yi al ni + 74 аз Пз 74 аз ni + 77 al Пз ¿570 аз ni + ¿i7o al Пз

77 аз ni + 74 ai пз 74 ai ni + аз пЗ ¿570 aiYo ni + 7оаз пЗ

¿iYo аз ni + ¿5Y0 ai Пз ¿570 ai ni + 70аз Пз -¿7 ai ni - аз Пз

Р (а) — матрица алгебраических дополнений к матрице А.

Так как р0 в этом случае является бикубическим многочленом, можно построить следующие выражения для его корней:

«3« = аз«±(«1) = ±¿^(«1), « = 1, 2, 3, « е С. С учетом этого система (11) записывается так:

J Рзт («1, ±г^Ы) Тт(х)егк(а1х1±г^(а1)хз) ¿Г-

г

- ¿к / Р,т («1, ±г^Ы) Втр («1, ±г^Ы,п) хР(х)егк(а1Х1±г^(а1)хз^Г = 0,

где индексы 3, т, р, 5 меняются от 1 до 3. В итоге получаются 18 скалярных уравнений, но напомним, независимыми из них являются только 6, которые соответствуют, например, 3 = 1.

Аппроксимация границы осуществлялась линейными элементами, а интерполяция неизвестных функций — константами. Проведено сравнение полученных результатов на примере краевой задачи для области, для которой существует точное решение: электроупругая среда занимает прямоугольник [-а, а] х [-6,6], при этом его верхняя и нижняя стороны свободны от напряжений и на них задается разность потенциалов, равная 2^0, на боковых сторонах заданы условия скользящей заделки вдоль координаты х3:

и1 |хх=±а = 0, ^33 к, = ±ь = °

^L^ia = 0,

^1З|х1 =

xi=±b

0,

D1 Ixi =±a = 0,

из = A sin к*жз, ^ = 70«з + Вхз,

|хз=±Ь

Точное решение имеет вид

ul = 0,

k / 2 \ — 1 2

где k* = ==; A = ^ ^y0 sin k*b - k*b cos k*bj ; В = -k*A cos k*b.

В табл. 2 приведено сравнение данных расчета резонансных частот для различных соотношений сторон прямоугольника (расчеты проводились для пьезокерамики PZT-4 [?]). Для каждой частоты бралось различное количество элементов на стороне. Отношение числа элементов по сторонам xl = ±a и хз = ±b было пропорционально отношению длин сторон прямоугольника, при этом количество элементов на боковой стороне выбиралось исходя из эмпирической формулы N = [kb] + 2 (примерно шесть элементов на одну длину волны). Отметим, что при увеличении числа элементов существенного улучшения нахождения значений резонансных частот не наблюдалось.

Таблица 2

Результаты точного и приближенного решений

Геометрия Точное решение Приближенное

а = 1, Ь = 1 1.6102 1.6094

5.411 5.4112

9.0881 9.0873

12.74991 12.751

16.40671 16.4051

20.0613 20.0625

а =1, Ь = 4 0.4025 0.4018

1.3528 1.3527

2.27204 2.2724

3.18747 3.18745

4.1016 4.1019

5.01532 5.0124

а = 1, Ь = 2 0.80512 0.8062

2.70567 2.7055

4.54408 4.54491

6.374955 6.3749

8.20335 8.20000

10.03064 10.0244

На рис. 2 и 3 приведены точное (сплошные линии) и приближенное (прерывистые линии и светлые кружки) решения для квадрата [0,а] х [0,6] (а = Ь =1), ^о = 1-0 при к = 4 и десяти элементах на стороне. На рис. 2 показано смещение и1(х1, 0) (кривые 1), смещение и3(хь 0) (кривые 2) и нормальная компонента вектора электрической индукции £3(хь 0) (кривые 3), которые являются неизвестными на стороне х3 = 0. На рис. 3 изображены напряжение а11(а,х3) (кривые 1), смещение и3(а,х3) (кривые 2) и ^(а,х3) (кривые 3), которые являются неизвестными на стороне х1 = а. Представленные рисунки и проведенные расчеты свидетельствуют о достаточно точном нахождении амплитудных значений граничных неизвестных в широком диапазоне частот.

Следует отметить, что в рассмотренном примере в окрестности конца электрода неизвестные краевой задачи не имеют особенностей. Иначе дело обстоит в случае частичного электродного покрытия плоских граней, и тогда для получения достоверного решения и

Рис. 2.

Рис. 3.

численной сходимости предлагаемого алгоритма необходимо в окрестностях особых точек границы использовать структурные граничные элементы, учитывающие поведение неизвестных ( в частности, корневую особенность нормальной компоненты вектора электрической индукции у края электрода).

В проведенных расчетах переменная a1 пробегала некоторый отрезок на вещественной оси, помимо этого проводились эксперименты при Ima 1 = 0, в этом случае выявилась сильная зависимость точности решения от выбранного множества точек коллокаций. Вопрос о зависимости получаемого решения от этого множества и взаимосвязи его с выбираемым алгоритмом интерполяции неизвестных функциий и границы нуждается в более глубоком исследовании.

Список литературы

[1] Купрадзе В. Д. Методы теории потенциала в теории упругости. М.: Физматгиз, 1963. 472 с.

[2] Трехмерные задачи математической теории упругости и термоупругости / В. Д. Купрадзе, Т. Г. Гегелиа, М. О. Башелейшвили, Т. В. Бурчуладзе. М.: Наука, 1976. 603 с.

[3] Бреббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. Методы граничных элементов. М.: Мир, 1987. 524 с.

[4] Бенерджи П., Баттерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных науках. М.: Мир, 1984. 494 с.

[5] Ватульян А. О., Кубликов В. Л. О граничных интегральных уравнениях в электроупругости // ПММ. 1989. T. 53, вып. 6. C. 1037-1041.

[6] Ватульян А. О., Гусева И. А. О колебаниях ортотропной полуплоскости с полостью // ПМТФ. 1993. №2. C. 123-127.

[7] Vatulian A. O., Kublikov V. L. Boundary element method in electroelasticity // Boundary Elements Communications. 1995. Vol. 6. P. 59-61.

[8] Ватульян А. О., Коробейник М. Ю. О граничных интегральных уравнениях в магнитоэлектроупругости // Докл. РАН. 1996. T. 348, №5. C. 600-602.

[9] Бабешко В. А. К проблеме исследования динамических свойств трещиноподобных тел // Докл. АН СССР. 1989. Т. 304, №2. С. 318-321.

[10] Бабешко В. А. Новый метод решений краевых задач механики сплошной среды и математической физики для неклассических областей // Докл. АН СССР. 1985. T. 284, №1. С. 73-76.

[11] Ватульян А. О. О граничных интегральных уравнениях 1-го рода в динамических задачах анизотропной теории упругости // Докл. РАН. 1993. T. 333, №3. C. 312-314.

[12] Ватульян А. О., Ковалев О. В., Соловьев А. Н. О формулировке граничных интегральных уравнений 1-го рода в электроупругости / / Современные проблемы механики сплошной среды: Тр. III Междунар. конф. Ростов-на-Дону, 7-9 окт. 1997. T. 1. C. 74-77.

[13] ВАтульян А. О., САдчиков Е. В. О новой формулировке граничных интегральных уравнений в задачах о колебаниях анизотропных тел // Изв. РАН. Механика твердого тела. 1999. №2. С. 78-84.

[14] Ватульян А. О., Соловьев А. Н. Новая формулировка граничных интегральных уравнений первого рода в электроупругости // ПММ. 1999. Т. 63, вып. 6. C. 860-868.

[15] ВАтульян А. О. Граничные интегральные уравнения для эллиптических операторов // Изв. вузов Северо-Кавказ. региона. 2000. №3. С. 34-37.

[16] ВАтульян А. О., Ворович И. И., Соловьев А. Н. Об одном классе граничных задач в динамической теории упругости // ПММ. 2000. №3. С. 373-380.

[17] ВАтульян А. О., Соловьев А. Н. Восстановление поля в анизотропной упругой среде // Акуст. журн. 2000. Т. 46, №4. С. 451-455.

[18] ВАтульян А. О., ШАмшин В. М. Новый вариант граничных интегральных уравнений и их применение к динамическим пространственным задачам теории упругости // ПММ. 1998. T. 62, вып. 3. C. 112-119.

[19] Численные методы решения некорректных задач / А. Н. Тихонов, А. В. Гончарский, В. В. Степанов, А. Г. Ягола. М.: Наука, 1990.

[20] PAIGE C. C., Saunders M. A. Algorithm 583. LSQR: Sparse linear equations and sparse least squares problems // ACM Trans. Math. Software. 1982. Vol. 8, No. 2. P. 195-209.

[21] МАзья В. Г. Интегральные уравнения теории потенциала в областях с кусочно-гладкими границами // Успехи мат. наук. 1981. Т. 38, №4. С. 229-300.

[22] ВАтульян А. О., Ковалев О. В. Об особенностях использования метода граничных элементов при решении ГИУ первого рода с гладкими ядрами // Интегро-дифференциальные операторы и их приложения: Межвуз. сб. науч. тр. Ростов-на-Дону: Изд-во ДГТУ, 1998. С. 23-27.

[23] ВАтульян А. О., Ковалев О. В. Об использовании аппроксимаций высокого порядка при решении ГИУ первого рода в задачах анизотропной теории упругости // Современные проблемы механики сплошной среды: Тр. IV Междунар. конф., Ростов-на-Дону. 1998. T. 1. С. 89-94.

[24] Завьялов Ю.С., Квасов Б. И., МирошничЕко В. Л. Методы сплайн-функций. М.: Наука, 1980. 350 с.

[25] Алберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и ее приложения. М.: Мир, 1972. 316 с.

[26] Партон В.З., Кудрявцев Б. А. Электромагнитоупругость пьезоэлектрических и электропроводных тел. М.: Наука, 1988. 472 с.

Поступила в редакцию 11 мая 2001 г.