CC BY
17
УДК 514.7+ 514.8
НЕКОТОРЫЕ ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ, ОРТОГОНАЛЬНЫМИ ТРАЕКТОРИЯМИ ОБРАЗУЮЩИХ КОТОРЫХ ЯВЛЯЮТСЯ ЛИНИИ ОТКОСА'
А.В. Крутов
Кафедра теоретической и прикладной механики Воронежский госуниверситет Россия, 394693 Воронеж, Университетская пл., 1
На поверхности бинормалей винтовой линии рассмотрены линии откоса относительно направления оси винтовой линии.
Поверхности с прямолинейными образующими играют важную роль в теории как наглядные образцы, обладающие многими доступными наблюдению общими свойствами, и как аппроксимирующие объекты, а также на практике как наиболее технологичные [1,2], поэтому их изучению уделяется много внимания [3].
В [4] определяются все развертывающиеся и косые поверхности, на которых ортогональные траектории образующих являются линиями откоса относительно некоторого направления а. Установлено, что искомыми косыми поверхностями являются, в частности, поверхности бинормалей винтовых линий с осью а. Это при том, что по утверждению Закса [4] Браунер доказал в [5], что если стрикционная линия некоторой косой поверхности является ортогональной траекторией ее образующих, то эта поверхность есть поверхность бинормалей стрикционной линии. Закс [4] доказал с учетом предыдущего утверждения, что, если ортогональными траекториями бинормалей некоторой кривой являются линии откоса относительно некоторого направления а, то эта кривая есть винтовая линия с осью того же направления.
В настоящей работе показано, в частности, что в этом последнем случае линии откоса тоже должны быть винтовыми линиями на круговом цилиндре, соосными с указанной.
Продолжим рассмотрение других случаев в данной задаче о линейчатых поверхностях, ортогональными траекториями образующих которых являются линии откоса.
4. Кривая Xi - линия откоса . Векторы Дарбу кривых Xi и Хг колл инеарны
Если считать кривую ДС/ линией откоса с вектором Дарбу Qj, совпадающим по направ-g~\0
лению с SI , то можно записать
(T}-£f)-sinai=const, (vi-ff)=0, xi/ki=tgai=const. (l)
Тогда, полагая
d^Cii/П]=(xi T,+kifii)/Jk? + X\ , (2)
для Xj(si) как линии откоса относительно направления Cf получим
s'2(si)(Trff) =v'(si)cosa} +xisina}, (3)
cosai=ki/Jkf +Zx , sinai=xi4k\ + X\ • (4)
Отсюда найдем
(sin2ci2 - cos2ai)\'2-2xisinaicosai-'v'(si)+^isin2ссг-ч2-^jsin2aj+sin2a2=0. (5)
5. Кривая Xi - винтовая ли ния, Хг - линия откоса. Векторы Дарбу коллинеарны
Пусть кривая Xi(si) есть винтовая линия с коллинеарной Q0 осью как частный случай
1 Продолжение статьи «О линейчатых поверхностях в связи с кинематическим способом классификации кривых». Материалы конференции "0болочки-2001".
линии откоса при kj—const, /j—const. Тогда из (3) следует
s'2(si)sina2 =v'(sj)cosai +Xisinai, (xi=const). (6)
S2(si)(x2-Q) =vcos ai +Xisin a/Si+c. (7)
А при x'Г&)~0 найдем
s"2(si) (TrfP) =VXlkl (Ti-fP) + (\ "-VX!2) (Pi -ff). (8)
Отсюда с учетом (1), (2) получим
s "2(si)sina2 =v "cos a\, (ai,a2=const). (9)
6. Линия откоса X2 - ортого нальная траектория бинормалей кривой X] при любом V
Будем считать линию откоса Д'-2 ортогональной траекторией бинормалей кривой X/. Закс показал [4], что если ортогональными траекториями бинормалей некоторой кривой являются линии откоса, относительно некоторого направления, то эта кривая есть винтовая линия с осью того же направления. Поэтому в данном случае можно считать, что векторы Дарбу кривых коллинеарны. Тогда после скалярного умножения на векторного равенства X2,(si)^s'2(si)T2=:Ti~vxiv/+v'/?/ дополнительно получим
v’=v'-0, (10)
а из равенства v"+,^]V'=s'2(si)s"(s i)/v будем иметь при любом v
s2"=0, S2'(Sl) = <T=--ConSt, S2=OSi+S20. (11)
Это же дает и (25), хотя оно менее обще. Тогда из
k22S,24+s"22z=(vXiki)2+(kj-2v'xj-vx'i)2+(v"~'vXi2)2 (Ф-(И) части 1) следует, что кривизна к2 линии откоса х2 есть постоянная величина, определяемая формулой
k22cr,=v2Xi2G2i+ki2. (12)
k22d*=k2i02+v2xi4. (13)
(k2<^-vxt2) fccf+vxi2) (14)
Тогда по свойству линии откоса и ее кручение Х2 постоянно и, следовательно, линия откоса Х2 является, также как и кривая JC/, винтовой линией с кривизной (10). Это подтверждается известным фактом, что геометрическое место концов отрезков равной длины на бинормалях винтовой линии есть тоже винтовая линия [5]. Как частный случай Закса верно и обратное: если Х2 - винтовая линия, то линия откоса Xj - тоже винтовая, соосная первой.
Взаимная ориентация триэдров Френе этих кривых в соответственных точках определяется следующими формулами, получаемыми при v'=v"= =S2"~0
т2=(1/о)(Ti-VXlVl), (15)
v2=[l/(k2c?)](vxi oki V+Okivi-Movxi2Pi), (16)
p2=[l/(k2^)][v2^iTi+vxi2vi+ki(l+vV i)Pi]• (17)
Матрицы A i2 преобразования имеет вид
r 1 [1 /(к2ст)]ухА [1 Kk2cr2)]w2xl '
ocAi2= -vXi [l/( • (18>
ч 0 -[1 /(k2a)]vxt [1 /(*2o-2 )]A:, (! ч- v2^,2 )>
Дифференцируя no S/ выражение (17) с учетом формул Френе и используя (15), найдем круче-
ние %2 винтовой линии X2 при условиях (10), (11)
Х2=Ш<?)- (19)
Используя формулу (12) ДЛЯ кривизны к2, при v'=0, получим окончательно кручение в
виде
X2=Xl/(1 +^2X2l)=1/(K+^2Xl)- (20)
Отсюда видно, что эти винтовые линии имеют одинаковую ориентацию: либо обе левые, либо обе правые, причем ЬСгКЬЫ-
Для величины Q2 найдем с учетом (12), (20)
Я?2 —к?2+Х22~(@і/Gf> O2—Q1/С. (21)
Д ля углов наклона будем иметь
sin а2=%2/Я2=(zi/o*)/(Qi/<t) =%/(0Q1)=(1/фіпаі,
(22)
cosa2=k2/^2=[l/(0Я1)]і +h2)
tga2=X2/k2=Xi/(^Xi2&' i+kfr'^^gai/tfQ2jtg2a,+if2. (23)
[cos(ai-ct2) -cos(aiJra2)]2Q2iv2=2sm2(ai-a2}cos2(ai+a2). (24)
Из (23) имеем зависимость углов откоса от расстояния v между соответственными точками. После некоторых преобразований эту зависимость можно представить в следующем виде
У2Si21 —ctg2 a.2-ctg а і. (25)
v2St1 jsin2 ajsin2 CC2 =sin(ai-a2)sin(ai+a.2). (26)
v2X* isin2 a2=sin(ai-a2)sin(aj+cc2). (27)
Представляет интерес найти взаимное положение осей этих винтовых линий. Вектор а,, указывающий кратчайшее расстояние от точки кривой лс,- до ее кинематической оси, определяется формулой
ar(Qt xx'itsjySi2 гарі, (28)
аі=\аі\=к/(к?і +x2i)=(l/Gi)cosai, b^x/tfi +X*i)=(l/Oi)sina„ (i=l,2). (29)
Здесь мы заодно, привели формулу для другой важной характеристики 1-й кривой - для винтового параметра 6,. Величину а, будем называть винтовым радиусом [7], а величину І/Qj, следуя [6], - радиусом кривизны Ланкрета.
Покажем, что оси этих винтовых линий совпадают. Для этого найдем формально вектор d=0i02, соединяющий оси винтовых линий в ортогональной /2° плоскости, содержащей точку винтовой линии Xj (для определенности) и убедимся, что он есть нуль-вектор. Этот вектор можно представить как ортогональную &£ составляющую следующего вектора pr-pi
Р2-Р1 = ~а\ +\01 +а2. (30)
Для вычисления этого вектора предварительно запишем необходимые величины
(см. (21), (22))
022=к22+х2= & і/с?; Q2=Qi/<t, (з 1)
cos а2=k2/Q2=(l /ex) (v2X21+cos2a])1/2=[(VV/+cos2ai)/(VУ/+1)]ш, (32)
sin а2=X2/®2=(Xj/<**)/(& і/а) =Хі/(^і)=(1/фіп а}. (33)
а22=(1/О2)2с052 <Х2=с? і +у25ш2 а і. (34)
Из этого последнего выражения, кстати, следует, что а2 >аі.
Вычисляя У=сіСОЯЇХіЯі)+с28Іп(хіЗі), получим
Р2-рі-~йі+уРі+а2=\соваійР. (35)
Уже отсюда видно, что оси винтовых линий совпадают. Однако продолжим формально процесс вычисления вектора й.
Заметим, что если этот вектор не нуль-вектор, то он лежит в ортогональной £2° плоскости, не содержит компоненты по V, и значит, ортогонален уь которое также ортогонально І20. Поэтому для него можно записать еще
й=[(~а і +у@1+а2) -(V / х£2°)](\ у х£1°) =[(-а / +у/?/+а2)-(УіхС2і)](Уі х0і)/02. Отсюда с учетом (36) найдем й=усозаі[£1° {\ іх£1і)](\ іх&іУО* і=0.
Таким образом, оси действительно совпадают. Аналитическое обоснование этого полезно для проверки ряда других соотношений, которые предполагается использовать в дальнейшем.
Рис. 1. Винтовая линия - ортогональная траектория бинормалей соосной винтовой линии
Резюме
Доказано (см. п. З, рис. 1), что если кривая есть ортогональная траектория бинормалей другой кривой, то обе кривые - соосные винтовые линии. Верно и обратное утверждение (частный случай): если некоторая кривая является винтовой линией и ортогональной траекторией бинормалей другой кривой, то эта другая - есть винтовая линия, соосная с первой.
Для того чтобы ортогональная траектория бинормалей некоторой кривой являлась линией откоса относительно некоторого направления, необходимо и достаточно, чтобы эти кривые были соосными винтовыми линиями с осью того же направления.
Любая кривая, в т.ч. и винтовая линия, является стрикционной линией поверхности ее бинормалей. Тогда имеем:
Винтовая линия является стрикционной линией поверхности ее бинормалей и, следовательно, ортогональной траекторией образующих (бинормалей) этой поверхности. Обратно, если стрикционная линия некоторой линейчатой поверхности является ортогональной траекторией образующих этой поверхности, то она есть винтовая линия.
Осталось рассмотреть на поверхности бинормалей винтовой линии линии откоса относительно направления оси винтовой линии, не являющиеся ортогональными траекториями бинормалей этой винтовой линии.
7. Случай: ДС^-линия откос а на поверхности бинормалей винтовой линии х.
Отметим, что вектор, соединяющий две прямые в пространстве по кратчайшему пути, в частности две кинематические оси, можно вычислить по-другому. Запишем уравнения осей в виде
£2°(хр(+ г,=Л,Д2°„ или р1=ъ+А$°1:=(1/О1)£201Хъ+А1£201. 0=1,2). (36)
Здесь р1 есть радиус-вектор, проведенный из данной точки кривой в любую точку ее кинематической оси.
Как известно, вектор, указывающий направление общего перпендикуляра к двум скрещивающимся прямым с направлениями &,и42у, по которому измеряется кратчайшее расстояние между ними, определяется векторным произведением £1,хИу Само кратчайшее расстояние, вычисляется по формуле
с1=\(ргрд \Z\QixQj\.
Тогда вектор </, соединяющий в пространстве по кратчайшему пути две скрещивающиеся прямые р\, Р) с направлениями Д и Qj, можно вычислить по формуле (См. также [10, стр. 178-180]).
(1=[1/(£11ха1)2]\(ргр^ (37)
Значения Аоь Яф текущих параметров прямых в точках, через которые они соединяются по кратчайшему расстоянию, можно найти из системы двух уравнений
%/дХгО, д[/дХ} =0, $(КЦЩргР№- (38)
Тогда кратчайшее расстояние, вычисляется по более простой формуле
(1=№оь Ау) =| (рогрщ) I • (39)
Вектор </, соединяющий в пространстве по кратчайшему пути две параллельные прямые направления £2°, можно вычислить как составляющую вектора р}~уО,, ортогональную £2°, по формуле
<*= ~[(Р1ГР1 *) х&°] =(Р2ГР2$ ~ [(Р1ГРИ) Л()]Я°- (40)
Эта формула с учетом (36) также дает нулевое расстояние, означающее совпадение осей винтовых линий. Если эти прямые заданы в параметрическом виде, то значения параметров радиус-векторов, входящих в скалярное и векторное произведения выбираются произвольно и независимо друг от друга.
Другие же параметры Х2и Ху определяют точки, через которые будет проходить вектор (I. Один из них, например Х% /-й прямой, выбирается по нашему усмотрению, тогда для другого можно будет вычислять разность Х%—Хц по формуле
Х2}-Х^=[(р1Гр1\)-£10]. (41)
В частности, если в качестве AtJ берется нулевое значение, то для другого параметра будем иметь Л2j=[(Pj~Pt) &0].
Найдем по (36), (37) вектор d, связывающий точку оси кинематического винта триэдра Френе линии откоса Х2 на поверхности бинормалей винтовой линии X] с осью этой винтовой линии. При этом ось кинематического винта берется в той точке Х2, в которой \'=0
d=[l/(n,xQ/]\(PrPi) -(QixQ^QjxQj), prfl/Q^Q^xr^^Q0(i=l,2). ЛИТЕРАТУРА
1. Krivoshapko S.N. Geometry and strength of general helicoidal shells. (Transmitted by Associate Editors W Bewel and JG Simmons. ASME Reprint No AMR261$18). Appl. Mech. Rev. vol. 51, No 12, Part 1, December 1998. Pp. 161-175.
2. Krivoshapko S.N. Static analysis of shells with developable middle sur-faces. (Transmitted by Associate Editors W Bewel and JG Simmons. ASME Reprint No AMR271S16). Appl. Mech. Rev. vol. 52, No 5, May, 1999. Pp. 731-746.
3. Кривошапко C.H. Геометрия и прочность торсовых оболочек: Реферативная информация. - М.: Изд-во АСВ, 1995.-273 с.
4. Sachs Н. Die Strahlflachen, auf denen die Orthogonaltrajektorien der Erzeugenden Boschungslinien sind//Math. Ann., 1971, 191, № 1. - S. 44 - 52.
5. Brauner H. Die Flachen mit Boschungslinien als Fallinien. Monats. Math. 72, 385 - 411 (1968).
6. Struik Dirk J. Lectures on classical differential geometry. - New York: Dover publication, inc. - 1988. —232 pp.
7. Крутов A.B. Некоторые свойства последовательных эвольвент// "Понтрягинские чтения - VII": Тезисы докладов школы. - Воронеж, ВГУ, 1996. - 208 с.
8. Эволюционный подход в интегрировании//ф_утов А. В. //Вестник факультета прикладной математики и механики: Вып.1. - Воронеж: ВГУ, 1998. - 177 с.
9. Классификация и уравнения кривых/Крутов А.В.ПВестн. ВГУ. Сер.2, Естественные науки. 1996. №2.-С. 210-217.
10. Постников М.М. Лекции по геометрии. Семестр 1. Аналитическая геометрия: Учеб. пособие для вузов. - М.: Наука, 1986. - 416 с.
SOME RULED SURFACES, ORTHOGONAL TRAJECTORIES GENERATRIX WHICH ARE LINES OF A SLOPE
A.W. Krutov
Department of the Teoretical and Applied Mechanics Voronezh Stats University Universitetskaja pi. 1, Voronezh, 394693, Russia
For a surface of binormales of a screw line orthogonal trajectories forming are only screw lines, coaxial with first.
Крутов Алексей Васильевич, окончил Воронежский государственный университет (ВГУ) в 1969 г., доцент кафедры теоретической и прикладной механики (ВГУ). Основное научное направление: Кинематико-геометрические подходы в задачах прикладной математики и механики. Автор около 100 публикаций, е.т,: [email protected]
Krutov Aleksei Wasilovich. has ended the Voronezh state university in 1969, senior lecturer of faculty of a theoretical and application mechanics. The basic scientific direction: the kinematic-geometrical approaches in tasks of an applied mathematics and mechanics. The author about 100 publications, [email protected]
