CC BY
17
УДК 514.7+ 514.8
НЕКОТОРЫЕ ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ,
ОРТОГОНАЛЬНЫМИ ТРАЕКТОРИЯМИ ОБРАЗУЮЩИХ КОТОРЫХ ЯВЛЯЮТСЯ ЛИНИИ ОТКОСА
А. В. Крутов
Кафедра теоретической и прикладной механики Воронежского государственного университета Россия, 394693 Воронеж, Университетская пл., 1
На поверхности бинормалей винтовой линии рассмотрены линии оттсоса относительно направления оси винтовой линии.
Поверхности с прямолинейными образующими играют важную роль в теории как наглядные образцы, обладающие многими доступными наблюдению общими свойствами, и как аппроксимирующие объекты, а также на практике как наиболее технологичные [1,2], поэтому их изучению уделяется много внимания [3].
В [4] определяются все развертывающиеся и косые поверхности, на которых ортогональные траектории образующих являются линиями откоса относительно некоторого направления а. Установлено, что искомыми косыми поверхностями являются, в частности, поверхности бинормалей винтовых линий с осью а. Это при том, что по утверждению Закса [4] Браунер доказал в [5], что если стрикционная линия некоторой косой поверхности является ортогональной траекторией ее образующих, то эта поверхность есть поверхность бинормалей стрикционной линии. Закс [4] доказал с учетом предыдущего утверждения, что, если ортогональными траекториями бинормалей некоторой кривой являются линии откоса относительно некоторого направления а, то эта кривая есть винтовая линия с осью того же направления.
В настоящей работе показано, в частности, что в этом последнем случае линии откоса тоже должны быть винтовыми линиями на круговом цилиндре, соосными с указанной. Продолжим рассмотрение других случаев в данной задаче о линейчатых поверхностях, ортогональными траекториями образующих которых являются линии откоса.
4. Кривая Xi - линия откоса. Векторы Дарбу кривых xt и х2 коллинеарны
Если считать кривую х, линией откоса с вектором Дарбу Q,, совпадающим по направлению с Q0, то можно записать
(Ti-£f)=sina1=const, (v1-if)=0, Xi/k,=tga,-^const. (1)
Тогда, полагая
ff=n1/n1=(xiT1+kipI)/-jk,2 +Х\ (2)
для x\(sj) как линии откоса относительно направления if получим
s^tsOfarf^v'fsOcosai+Xisinai, (3)
cosai=k/^jk? +Х\ , sina^Xi/^jtf + Х\ ■ (4)
Отсюда найдем
(sin2а2~cos2al)Ma-2xisinaIcosarv'(sl) ^^,sin2as-v2- ^,sin2at rsin2а2=0. (5)
5. Кривая Xj - винтовая линия, х2 - линия откоса. Векторы Дарбу коллинеарны
Пусть кривая Xi(si) есть винтовая линия с коллинеарной £2° осью как частный случай линии откоса при kj=const, Xi=const. Тогда из (3) следует
s'2(si)sina2 =v'(si)cosa,+Xisina,, (xi=const). (6)
S2(si)(T2f2)=vcosai+XisinaiS1+c. (7)
А при x'i^(vr^f>)=0 найдем
s"2(s,)(T2-rf) ^vxikifr, -cf) +N"-\'Xi2)(Pi-ff). (8)
Отсюда с учетом (1), (2) получим
s"2(s1)sina2=v"cosaI, (a!}a2=const). (9)
6. Линия откоса х2 - ортогональная траектория бинормалей кривой х, при любом V Будем считать линию откоса х2 ортогональной траекторией бинормалей кривой х;. Закс показал [4], что если ортогональными траекториями бинормалей некоторой кривой являются линии откоса, относительно некоторого направления, то эта кривая есть винтовая линия с осью того же направления. Поэтому в данном случае можно считать, что векторы Дарбу кривых коллинеарны. Тогда после скалярного умножения на р\ векторного равенства х2 '(х]) Ь ' *г V/; V, дополнительно получим
у'=\’"=0, (10)
а из равенства у"+;(^убудем иметь при любом V
^"=0, $2'($1) = О^сопз!, $2 = * $20- (11)
Это же дает и (25), хотя оно менее обще. Тогда из к22$'2+$"22=(чхкд2+(кг 2\''хгV/:)2+(\"~\х2)2 (Ф 00 части 1) следует, что кривизна к2 линии откоса *2 есть постоянная величина, определяемая формулой
к22о)=х2х!2П21+к12, ' (12)
к22ст4=к21с^+\2Х14, (13)
(к2с^-\Х12)(к2^+УХ12)=^ 1<?■ (14)
Тогда по свойству линии откоса и ее кручение хг постоянно и, следовательно, линия откоса х2 является, также как и кривая хи винтовой линией с кривизной (10). Это подтверждается известным фактом, что геометрическое место концов отрезков равной длины на бинормалях винтовой линии есть тоже винтовая линия [5]. Как частный случай Закса верно и обратное: если х2 - винтовая линия, то линия откоса X] - тоже винтовая, соосная первой.
Взаимная ориентация триэдров Френе этих кривых в соответственных точках определяется следующими формулами, получаемыми при у' =у"= =я/=0
т2 == (1/а)( Т1-УХ1V 0, (15)
\2=[ 1/(к2с?)](чх1 ок, г, + ок,чо\'х2РО, (16)
р2=[ 1/(к2^)]1^^ 1 т, +\Х12у1 +к,(1 +уУ. (17)
Матрицы А12 преобразования имеет вид
1 [\/(к2а)]\Х\кх [\/(к2о2 )]\2Х\ %
аА12= -\Х\ [\/(к2а)]к^ [1/(к2а2 )]\Х\ (18)
^ 0 ~[\/(к2а)]\Хх [1/(к2сг2)]кх(\ + у2Х\ ),
Дифференцируя по 5; выражение (17) с учетом формул Френе и используя (15), найдем кручение Х2 винтовой линии х2 при условиях (10), (11)
Х2=Ш<?)- (19)
Используя формулу (12) для кривизны к2, при \'=0, получим окончательно кручение в виде
Х2=Х1/(1+'12Хг1)=1/(К+^Х1)- (20)
Отсюда видно, что эти винтовые линии имеют одинаковую ориентацию: либо обе левые, либо обе правые, причем Для величины и2 найдем с учетом (12), (20)
&2 =к22+хг2=(0,/о)2; Я2=0,/а. (21)
Для углов наклона будем иметь
57Л а2 =ХУ,&2=(х1/<?)/(&]/<у) =хА1/фт а,, (22)
соха2=к2/02=[!/(а01)](\’2х2^21+к2) 1/2,
(Есс^хЛ^х^Х!2^2 ^к^^а/^О2 ^2а, +1),/2, (23)
[со.ч(аI - сс2)~сох(а,+]2 О1 ^=2$\п2 (сц - а2)со/(а, ~а2). (24)
Из (23) имеем зависимость углов откоса от расстояния V между соответственными точками. После некоторых преобразований эту зависимость можно представить в следующем виде
\Н12 ,=0^ а2-с1&2 аи (25)
У2021$1п2а1$т2а2=х1п(а1-а2)ь'1п(а1+а2), (26)
м2^,х!п2а2=яш(а,- а2)$1п(а, • а2). (27)
Представляет интерес найти взаимное положение осей этих винтовых линий. Вектор а,, указывающий кратчайшее расстояние от точки кривой х, до ее кинематической оси. определяется формулой
а,=(£2, *х’1(${))/£22, =а, у„ (28)
а,-=|в,-| =к/(к2, +/!1)=(1 Юдсоьсц, Ь,=х^> +/0 = 1,2). (29)
Здесь мы заодно, привели формулу для другой важной характеристики /-и кривой -
для винтового параметра Ь,. Величину а, будем называть винтовым радиусом [7], а величину 7/Ц, следуя [6], - радиусом кривизны Ланкрета.
Покажем, что оси этих винтовых линий совпадают. Для этого найдем формально вектор </=0/02, соединяющий оси винтовых линий в ортогональной £2° плоскости, содержащей
точку винтовой линии XI (для определенности) и убедимся, что он есть нуль-вектор. Этот
вектор можно представить как ортогональную £2° составляющую следующего вектора р~р!
р2-р1=-а,+ур1+а2. (30)
Для вычисления этого вектора предварительно запишем необходимые величины
(см. (21), (22))
022=к22+Х1= О2!/с?; £22=Я,/сг, (31)
со$а2=к2/02=(1/о)(У! X 1+со.ч2 аО,/2=[(у2Хг ,+со.Га,)/(V2 / ■I)]"2, (32)
8та2=х&2=(Х1/<?)/(®1/о) =Х1/(<&1) =(1/фта,, (33)
а22=(1/0^)2со^ а2=а2!+\Л«'«2 а,. (34)
Из этого последнего выражения, кстати, следует, что а2 >а:.
Вычисляя у=с1со.^(х^1)^с^т(х^1), получим
р2~ Р1 ~~и I+У01 +а2=\со.ча1£2°. (35)
Уже отсюда видно, что оси винтовых линий совпадают. Однако продолжим формально процесс вычисления вектора <1
Заметим, что если этот вектор не нуль-вектор, то он лежит в ортогональной £2° плоскости, не содержит компоненты по V! и значит, ортогонален VI, которое также ортогонально £2°. Поэтому для него можно записать еще
(1[(а;+\{1,+а2) -(\ !х£20)] (V 1хО°)=[(-а1+\Р1+а2) -(V 1х£21)] (V, х£21)/0,2.
Отсюда с учетом (36) найдем <1^\’соха1[£2° /V. х£2,)/(\>1 х£2<) '(У, ^ 0.
Таким образом, оси действительно совпадают. Аналитическое обоснование этого полезно для проверки ряда других соотношений, которые предполагается использовать в дальнейшем.
Резюме
Доказано (см. п. 3, рис. 1), что если кривая есть ортогональная траектория бинормалей другой кривой, то обе кривые - соосные винтовые линии. Верно и обратное утверждение (частный случай): если некоторая кривая является винтовой линией и ортогональной траекторией бинормалей другой кривой, то эта другая - есть винтовая линия, соосная с первой.
Для того чтобы ортогональная траектория бинормалей некоторой кривой являлась линией откоса относительно некоторого направления, необходимо и достаточно, чтобы эти кривые были соосными винтовыми линиями с осью того же направления.
Любая кривая, в т.ч. и винтовая линия, является стрикционной линией поверхности ее бинормалей. Тогда имеем:
Рис. 1. Винтовая линия - ортогональная траектория бинормалей соосной винтовой линии
Винтовая линия является стрикционной линией поверхности ее бинормалей и, следовательно, ортогональной траекторией образующих (бинормалей) этой поверхности Обратно, если стрикционная линия некоторой линейчатой поверхности является ортогональной траекторией образующих этой поверхности, то она есть винтовая линия.
Осталось рассмотреть на поверхности бинормалей винтовой линии линии откоса относительно направления оси винтовой линии, не являющиеся ортогональными траекториями бинормалей этой винтовой линии.
7. Случай: х2 - линия откоса на поверхности бинормалей винтовой линии х,
Отметим, что вектор, соединяющий две прямые в пространстве по кратчайшему пути, в частности две кинематические оси, можно вычислить по-другому. Запишем уравнения осей в виде
Я°,хр,+тгЛ,(20„ или р, =а,+Л,<20,=(1А^£/',хг,+Я,£2°, 0=1,2). (36)
Здесь pi есть радиус-вектор, проведенный из данной точки кривой в любую точку ее кинематической оси.
Как известно, вектор, указывающий направление общего перпендикуляра к двум скрещивающимся прямым с направлениями £2, и £2Р по которому измеряется кратчайшее расстояние между ними, определяется векторным произведением Я,х£2г Само кратчайшее расстояние, вычисляется по формуле
<И (РгРд ■(&•>&/) ИЙ/^2,1 •
Тогда вектор (1, соединяющий в пространстве по кратчайшему пути две скрещивающиеся прямые ри р} с направлениями £2, и £2„ можно вычислить по формуле (См. также [10, стр. 178-180]).
<1=[1/(а,хи/]\(ргр1 -(в^\(£2,х£2^). (37)
Значения Лои текущих параметров прямых в точках, через которые они соединяются по кратчайшему расстоянию, можно найти из системы двух уравнений
Я/дкго, зрдк, =0, (Га,ущ(р~р1)). (38)
Тогда кратчайшее расстояние, вычисляется по более простой формуле
d=f(^i,Xoj}=\(poj-poi)\. (39)
Вектор d, соединяющий в пространстве по кратчайшему пути две параллельные прямые направления £2°, можно вычислить как составляющую вектора р~Р> - ортогональную £2°, по формуле
d=-[(PirPli)xQ0]xQ0=(P2rP2i)-[(Plj Pli) -в0]®0- (40)
Эта формула с учетом (36) также дает нулевое расстояние, означающее совпадение осей винтовых линий. Если эти прямые заданы в параметрическом виде, то значения параметров радиус-векторов, входящих в скалярное и векторное произведения выбираются произвольно и независимо друг от друга.
Другие же параметры Л2„ % определяют точки, через которые будет проходить вектор d. Один из них, например X2i /-й прямой, выбирается по нашему усмотрению, тогда для другого МОЖНО будет ВЫЧИСЛЯТЬ разность X2fXij по формуле
hr^rl(PirPn) 'Q°J • (41)
В частности, если в качестве A,j берется нулевое значение, то для другого параметра будем иметь A2}=[(prPi) &°]-
Найдем по (36), (37) вектор d, связывающий точку оси кинематического винта триэдра Френе линии откоса х2 на поверхности бинормалей винтовой линии х, с осью этой винтовой линии. При этом ось кинематического винта берется в той точке х2, в которой v'=0 d=-[l/(QlxQJ)2J\(prpi)-(Q,x£ij)\(Q,xQj),p,=(I/Ql)Q0,xT,+A,Q0,. 0=1.2).
ЛИТЕРАТУРА
1. Krivoshapko S.N. Geometry and strength of general helicoidal shells. (Transmitted by Associate Editors W Bewel and JG Simmons. ASME Reprint No AMR261S18). Appl. Mech. Rev. vol. 51, No 12, Part 1, December 1998. Pp. 161-175.
2. Krivoshapko S.N. Static analysis of shells with developable middle sur-faces. (Transmitted by Associate Editors W Bewel and JG Simmons. ASME Reprint No AMR271$16). Appl. Mech. Rev. vol. 52, No 5, May, 1999. Pp. 731-746.
3. Кривошапко C.H. Геометрия и прочность торсовых оболочек. Реферативная информация. - М.: Изд-во АСВ, 1995.-273 с.
4. Sachs Н. Die Strahlflachen, auf denen die Orthogonaltrajektorien der Erzeugenden Boschungslinien sind//Math. Ann., 1971, 191, № 1. - S. 44 - 52.
5. Brauner H. Die Flachen mit Boschungslinien als Fallinien. Monats. Math. 72. 385 - 411 (1968).
6. Struik Dirk J. Lectures on classical differential geometry. - New York: Dover publication, inc. - 1988. --232 pp.
7. Крутов A.B. Некоторые свойства последовательных эвольвент// "Понтрягинские чтения - VII": Тезисы докладов школы. - Воронеж, ВГУ, 1996. - 208 с.
8. Эволюционный подход в интегрировании/Крутов А.В.//Вестник факультета прикладной математики и механики: Вып. 1. - Воронеж: ВГУ, 1998. - 177 с.
9. Классификация и уравнения кривых/Крутов А.В.//Вестн. ВГУ. Сер.2, Естественные науки. 1996. №2. - С. 210 - 217.
10. Постников М.М. Лекции по геометрии. Семестр 1. Аналитическая геометрия: Учеб. пособие для вузов. - М.: Наука, 1986. - 416 с.
SOME RULED SURFACES, ORTHOGONAL TRAJECTORIES GENERATRIX WHICH ARE LINES OF A SLOPE
A.W. Krutov
Department of the Teoretical and Applied Mechanics The Voronezh state university
Universitetskaja pi. 1, Voronezh, 394693, Russia
For a surface of binormales of a screw line orthogonal trajectories forming are only screw lines, coaxial with first.
