Некоторые интегрируемые в квадратурах линейные функционально-дифференциальные уравнения Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.929

НЕКОТОРЫЕ ИНТЕГРИРУЕМЫЕ В КВАДРАТУРАХ ЛИНЕИНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

© М.В. Борзова, А.В. Козадаев, Х.М.Т. Тахир

Ключевые слова: линейные функционально-дифференциальные уравнения; дифференциальное уравнение с запаздыванием; функция Коши; общее решение. Рассматриваются некоторые простейшие линейные функционально-дифференциальные уравнения первого порядка, интегрируемые в квадратурах. Для этих уравнений приводится общее решение, использующее функцию Коши.

В теории и приложениях обыкновенных дифференциальных уравнений всегда важно было выделение уравнений, интегрируемых в квадратурах [1]. Безусловно, современные вычислительные средства позволяют быстро и с большой точностью решать различные уравнения, но аналитическая форма «точного» общего решения имеет несомненные преимущества перед приближенным решением и часто незаменима во многих теоретических исследованиях. В отличие от обыкновенных дифференциальных уравнений выделению решаемых явно функционально-дифференциальных уравнений посвящено небольшое число работ, не существует справочника таких уравнений. Интегрируемые в квадратурах функционально-дифференциальные уравнения востребованы, например, в качестве модельных уравнений при исследовании краевых задач, проблем устойчивости, задачи о периодических решений, получении оценок решений (подробнее см. [2]).

Приведем примеры нахождения некоторых линейных простейших функционально-дифференциальных уравнений первого порядка.

Будем обозначать М+ = [0, то); ^ — меру Лебега на М+; Ь — класс функций у : М+ ^ М, суммируемых на каждом конечном отрезке; — характеристическую функ-

гл тт /,\ [ 1 при £ € П, „

цию множества П С М+, т. е. (£) = \ , тп \ о • Под сходимостью уп ^ у

I 0 при £ € М+ \ П

в пространстве Ь понимаем сходимость |уп(£) — у(£)| ^ 0 при каждом Т > 0. В рассматриваемых уравнениях предполагается, что правая часть — функция / является элементом Ь. Решение ищется в классе АС абсолютно непрерывных функций х : М+ ^ ^ М, имеющих почти всюду на М+ производную X € Ь. В этом пространстве решений последовательность {хп} С АС сходится к х € АС, если Хп ^ X в Ь и, кроме того, Хп(0) ^ х(0).

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение с постоянным запаздыванием

Х(£) — рх(£ — 1) = /(£), £ ^ 0, х(£) = 0, если 0. (1)

Решение уравнения (1) с начальным условием х(0) = а находится последовательно на интервалах (0,1], (1, 2], (2, 3] и т.д. Если через хп(£) обозначить решение на п -ом промежутке (п — 1, п], то имеет место рекуррентная формула

х1(£) = а + | /(з) хп(£) = хп- 1(п — 1) + У /(з) ^ + р ! хп-1(5 — 1)

ь

хп-1(8 — 1)

п 1 п 1

Используя это соотношение, получаем общее решение уравнения (1):

Ь—п

*№ = £хк-,м(^^^ + / """-"Г/(•>л.

п=о 0

Таким образом, для уравнения (1) определяем функцию Коши

рп(* - ; - п)пХ[п,«>)(*) Х[о^-п](.) ^ п! '

п=0

и фундаментальное решение соответствующего однородного уравнения

х (()=5:р"(*- "^м (2)

п=0 !

Полученные соотношения позволяют, в частности, получать условия разрешимости краевых задач для уравнения (1). Рассмотрим, например, двухточечную краевую задачу с условием Ах(0) + Вх(п) = С, В = 0. Для однозначной разрешимости этой задачи при любых С € М, / € Ь необходимо и достаточно [2, с. 35], чтобы фундаментальное решение однородного уравнения удовлетворяло неравенству АХ(0) + ВХ(п) = 0. Используя (2), это неравенство запишем в виде

р(п - I)1 + р(п - 2)2 + + рп-1 А + 1! + 2! + "' + (п - 1)! = В'

Отсюда при А = 1, В = -1 получаем следующий критерий однозначной разрешимости периодической краевой задачи

Р(п - 1)1 + р(п - 2)2 + + рп-1 =0 1! + 2! + '.' +(п - 1)! =

Теперь рассмотрим линейное дифференциальное уравнение с переменным запаздыванием вида

Х(*) - рх(*/2) = /(*), * ^ 0. (3)

Задача Коши с начальным условием х(0) = 0 для уравнения (3) заменой у = X сводится к интегральному уравнению

1/2

у(*) = р I у(.) ^ + /(*), * ^ 0. х(£) = 0, если £ < 0. (4)

о

Так как спектральный радиус вольтеррова интегрального оператора

1/2

С(* ;) = ^ рп(* - ; - п)ПЛ.|п,те)

К : Ь ^ Ь, (Ку)(*) = р У у(;) + /(*),

о

равен нулю, то существует единственное решение уравнения (4), и это решение представимо суммой ряда Неймана

у(*) = / (*) + (К/)(*) + (К2/)(*) + ""

Имеем

^2 з/2 t/41/2 t/4

(К2/)(*) = р2У I /(£) = р2| |/(£) ri.de = р2/(2 - 2^/(£) ^

0 0 0 25 о

Аналогичными вычислениями по индукции устанавливаем

2021...2п-2 ( * \ п 1

/ 2о21...2 2 / г \ п-1

(Кп/)(*)=рп / (п -1)! (2п-1 -2е) /(£) ^

о

Таким образом

^ те те ^

х(г) = Е(Кп/)(;) й; = Е / (Кп/)(;) й; =

0 п=0 п=00

™ t «/2"

^ Г Г 2021... 2п-2 ( ; \п 1

= £р"// (п - 1)! Ы - 2£) /(«>=

п=0 о о

™ 4/2" t

^ Г Г 2021... 2п-2 / ; \п 1

= Ер^ У (п-1)! (ап-г-2£) Л«)^ =

п=0 0 2" 5

4/2" t

~ г 2п(п-1)/2 , * .п Г ~ 2п(п-1)/2 , * .п

Ерп / — ы-20 /(£) ^ = £РпХРМ/*.](;)—^ -2;) /(;) ^

^_П ^ * ^ ^_п

п=0 о 0 п=0

Отметим, что последнее равенство следует из теоремы Лебега о предельном переходе под знаком интеграла [3, с. 200]. Действительно, для произвольного Т > 0 подынтегральная функция удовлетворяет при * € [0, Т], ; € [0, Г] неравенству

, ~ 2п(п-1)/2 , * . п

|ЕрпХ[о^/2"](;) п! (2п-1 - 2;) /(;)

п=0 !

<

^ 2п(п-1)/2 , т \п ^ |р|пТп

^Е |р|пI/(;)1 = I/(;)1Е п!2р(п-1)/2,

п=0 п=0

те 1

где числовой ряд £ (п!2п(п-1)/2) - |р|пТп сходится.

п=0

Таким образом, получена функция Коши уравнения (3)

2п(п-1)/2 , *

р'°Х[о^/2"](;;

п=0

и фундаментальное решение соответствующего однородного уравнения

t ^/2 х(*)=/С(М) й; = у ' . " (2п^ - = Е

~ 2п(п-1)/2 . * . ,

С(М) = £ рпХ[0^/2"](;) п (2п-1 -2;)

рп 2п(п-1)/2 , * .п ^ рп *п+1

п (.2^ - 2У = ^ (п + 1)!2п(п+1)/2 ■

п=0 п=0 у '

В заключение рассмотрим линейное уравнение нейтрального типа

¿(t) - pX(h(t)) = f (t), t ^ 0, = 0, если { < 0. (5)

Будем предполагать, что измеримая функция h : R+ ^ R удовлетворяет условию h(t) ^ t и выполнено следующее условие

N« <1 (6)

„ /гч ч/,ч Г y(h(t)), если h(t) ^ 0, „

Определим оператор (Shy)(t) = < 0 h(t) 0 ' Вследствие принятых

0, если h(t) < 0

предположений оператор Sh действует в L и ||Sh|| < 1 (см. [2, с. 21]), следовательно,

при любых a, f задача Коши с начальным условием ¿(0) = а однозначно разрешима.

Решение может быть определено через ряд Неймана

¿(t) = f (t) + p (Shf )(t) + p2 (Sh2 f )(t) + .... (7)

Для упрощения выкладок приведем решение уравнения (5) в частном случае при h(t) = = t/2. Итак, рассмотрим уравнение

¿(t) - рос (t/2) = f (t), t ^ 0. (5')

Условие (6) приобретает вид неравенства |р| < 1/2. В силу (7) имеем

t/2n

те те

(t) = E pn f (t/2n), ¿(t)= a + £ / (2p)n f (s) ds.

^_n ^_n

t) = > pn f(t/2"), ¿(t) = a

n=0 n=0

Таким образом, функция Коши уравнения (5') равна

с(t,s) = £ X[0,t/2"j(s) (2p)n

n=0

или, что то же самое

С(¿, 8) = 1 , (2Р)га+1, если с € [¿/2га, ¿/2га+1], п = 0.1, 2,...

1 — 2р

В [4] предложен метод нахождения функции Грина уравнения (5), использующий, как и в нашей работе, ряд Неймана (7).

В связи с приведенными результатами отметим, что методам приближенного нахождения частных решений функционально-дифференциальных уравнений посвящено существенно меньшее число работ, чем решению обыкновенных дифференциальных уравнений (см. монографию [5] и статью [6]). Приближенное нахождение общего решения в литературе почти не рассматривалось. Выделим работы [7, 8], в которых предложен метод нахождения общего решения через приближение функции Коши.

ЛИТЕРАТУРА

1. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1976. 576 с.

2. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1991. 280 с.

3. Вулих Б.З. Краткий курс теории функций вещественной переменной. М.: Наука, 1973. 352 с.

4. Жуковский Е.С. Использование ряда Неймана для построения функции Грина // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 1997. Т. 2. № 2. С. 205-206.

5. Ким А.В., Пименов В.Г. ьГладкий анализ и численные методы решения функционально-дифференциальных уравнений. Изд-во: Регулярная и хаотическая динамика, 2004. 256 с.

6. Жуковская Т.В., Молоканова Е.А. Численные методы решения эволюционных функционально-дифференциальных уравнений // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2012. Т. 17. № 5. С. 1352-1359.

7. Жуковская Т.В. Интерполяция функции Коши // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2002. Т. 7. № 1. С. 110-111.

8. Жуковская Т.В. Метод построения функции Коши уравнения с обобщенно вольтерровым оператором // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2003. Т. 8. № 1. С. 162-163.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 14-01-97504) в рамках базовой части государственного задания Министерства образования и науки РФ (проект № 2014/285).

Поступила в редакцию 2 июня 2015 г.

Borzova M.V., Kozadaev A.V., Tahir H.T.M. SOME QUADRATURE INTEGRABLE FUNCTIONAL-DIFFERENTIAL EQUATIONS

Some simple first order linear functional-differential equations integrable in quadrature are considered. For such equations, the general solution involving the Cauchy function is found.

Key words: linear functional-differential equations; differential equations with delay; the Cauchy function; general solution.

Борзова Марина Васильевна, Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, инженер кафедры алгебры и геометрии, е-mail: bmv _ [email protected]

Borzova Marina Vasilevna, Tambov State University named after G.R. Derzhavin, Tambov, the Russian Federation, Engineer of the Algebra and Geometry Department, е-mail: bmv_ [email protected]

Козадаев Алексей Владимирович, Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, аспирант кафедры алгебры и геометрии, e-mail: [email protected]

Kozadaev Aleksei Vladimirovich, Tambov State University named after G.R. Derzhavin, Tambov, the Russian Federation, Post-graduate Student of Algebra and Geometry Department, е-mail: [email protected]

Тахир Халид Тахир Мизхир, Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, аспирант кафедры алгебры и геометрии, e-mail: [email protected]

Tahir Khalid Tahir Mizhir, Tambov State University named after G.R. Derzhavin, Tambov, the Russian Federation, Post-graduate Student of the Algebra and Geometry Department, е-mail: [email protected]