CC BY
33
Клоков А. С., Ламонина Л. В., Смирнова О. Б., Сорокин А. Н. Некоторые аспекты практико-ориентированного обучения в вузе // Электронный научно-методический журнал Омского ГАУ. - 2017. -№2 (9) апрель - июнь. -URL http://e-journal.omgau.rU/images/issues/2017/2/00345.pdf. - ISSN 2413-4066
УДК 378.147:004
Клоков Александр Сергеевич
Кандидат физико-математических наук, доцент ФГБОУВО Омский ГАУ, г. Омск as. klokov@omgau. org
Ламонина Людмила Владимировна
Старший преподаватель ФГБОУ ВО Омский ГАУ, г. Омск lv. [email protected]
Смирнова Оксана Борисовна
Старший преподаватель ФГБОУ ВО Омский ГАУ, г. Омск [email protected]
Сорокин Анатолий Никифорович
Кандидат технических наук, доцент ФГБОУ ВО Омский ГАУ, г. Омск [email protected]
Некоторые аспекты практико-ориентированного обучения в вузе
Аннотация: В статье рассматривается вопрос применения практико-ориентированного обучения в вузе. Одним из средств его реализации является включение в содержание дисциплины практико-ориентированных заданий. В настоящей статье приводятся примеры прак-тико-ориентированных заданий, направленных на изучение фазовых траекторий динамических систем и решаемых с помощью базы знаний WolframAlpha.
Ключевые слова: практико-ориентированное обучение, практико-ориентированные учебные задания, база знаний WolframAlpha, динамическая система, фазовые траектории, положения равновесия.
Федеральные государственные образовательные стандарты высшего образования актуализируют практико-ориентированное обучение. В связи с этим образовательный процесс в вузе должен учитывать современные требования производства, науки и общественной жизни. Производство нуждается в самостоятельных, творческих специалистах, инициативных, предприимчивых, способных разрабатывать и реализовывать выгодные производственные проекты, выбирать оптимальные способы решения разнообразных задач. Удовлетворение этой потребности, а также приобщение будущих специалистов к процессу социального преобразования может быть реализовано за счет интеграции учебных дисциплин и информационно-коммуникационных технологий. Этот объективный процесс связан, в том числе, и с
чрезвычайной сложностью современных задач, требующих подчас незамедлительного решения.
Практико-ориентированное обучение невозможно без приобретения обучающимися опыта деятельности, в связи с этим основным из средств его реализации является решение практико-ориентированных задач в рамках изучения различных учебных дисциплин. Прак-тико-ориентированные задания могут быть направлены на решение разных дидактических задач: формирование познавательной активности обучающихся, формирование практических умений и навыков, осознание межпредметных связей и пр. Кроме того развитие профессиональных качеств будущих специалистов зависит от того, как построено содержание обучения [1].
Так, подобные задания включены в содержание информатических дисциплин, входящих в образовательную программу, которая реализуется нашим вузом [2].
Источником разработки практико-ориентированных заданий для естественнонаучных дисциплин могут служить нелинейные явления, которые достаточно распространены в природе и технике. Такие явления определяют не только вектор развития современной физики, теоретической и прикладной механики, в частности, но и научно-технический прогресс общества, в целом. Простейшими примерами нелинейных явлений, как источников конструирования практико-ориентированных учебных заданий, являются, например, автоколебания и ударные волны, солитоны и турбулентность, хаос и неустойчивость.
Описание таких процессов представляет собой весьма сложную и трудоемкую математическую задачу. Изучение нелинейных явлений приводит к необходимости интегрировать дифференциальные уравнения различных порядков, что сопряжено с практически непреодолимыми трудностями при нахождении их решений в аналитическом виде, за очень редким исключением. Тем не менее, бывают ситуации, когда подобное исследование может быть выполнено обучающимися достаточно просто и позволяют им получить элементарные представления о теории динамических систем, современной теории колебаний и нелинейной динамике.
Методы и способы, упрощающие исследования нелинейных явлений, в частности, связаны с применением при решении задач современных программных продуктов, таких как MAPLE, MATLAB, MATCHCAD, WolframAlpha. Эти системы позволяют значительно ускорить процесс вычислений при решении задач из различных областей знаний, гарантируя высокую точность при проведении вычислений, а также предоставляют возможность представления решения задач в графическом виде.
В данной статье, являющейся логическим продолжением изучения возможностей базы знаний WolframAlpha при решении линейных задач [3], рассмотрим WolframAlpha как способ решения задачи Коши для дифференциальных уравнений, возникающих при изучении нелинейных явлений на примере поведения фазовых траекторий динамических систем на фазовой плоскости. Метод фазовой плоскости зарекомендовал себя весьма полезным при качественном анализе различных колебательных систем, о чём свидетельствует непрекращающийся с 30- годов прошлого века поток многочисленных научных публикаций.
Практико-ориентированные задания по моделированию можно условно разделить на две группы. К одной группе мы отнесем задания, в которых необходимо построить модель изучаемой системы, к другой - задания, в которых исследуется известная модель с целью выявления характерных свойств, влияния компонентов системы на ее поведение и пр. В настоящей статье будем рассматривать учебные задания, относящиеся ко второй группе. Практико-ориентированные учебные задания были подобраны на основе изучения различного теоретического материала [4,5,6,7].
Задание 1. Движение заряженного математического маятника длиной L и электрическим зарядом А вблизи бесконечной проводящей плоскости в поле тяжести описывается
дифференциальным уравнением (ограничимся рассмотрением плоских качаний маятника):
X = -
1+
1 - L. ■ cos(x))2
sin( х)
(1)
где х - угол отклонения маятника от положения равновесия, i=1,2,3. Исследовать влияние характерных параметров маятника, а именно заряда маятника А и его длины L, на качественное поведение системы. Задать значения параметров: А=0,5; Ll=0,3; L2=0,6; Lз=0,95.
Ход выполнения задания 1:
Для исследования влияния характерных параметров маятника, а именно заряда маятника и его длины, на качественное поведение системы, построим различные фазовые портреты системы с помощью базы знаний WolframAlpha.
Замечание: Полезно свести дифференциальное уравнение (1) к системе уравнений, по-
У = у
лагая х = у:
У =
1 +
(l - L. • cos(х))2
sin( х)
(2)
Составим запрос для построения фазового портрета системы (2) при значениях параметров задачи А=0,5, Li=0,3 следующего вида (рис. 1):
stream plot {y, -(1+ 0.5/(1-0.3*cos(x)A2))*sin(x)}, {x, -4,4},{y,-4,4}
Рис. 1.
Составим запрос для построения фазового портрета системы (2) при значениях параметров задачи А=0,5, L2=0,6 (рис. 2) следующего вида:
stream plot {y, -(1+ 0.5/(1-0.6*cos(x)A2))*sin(x)}, {x, -4,4},{y,-4,4}
Рис. 2.
Составим запрос для построения фазового портрета системы (2) при значениях параметров задачи А=0,5, L3=0,95 (рис. 3) следующего вида:
stream plot {y, -(1+ 0.5/(1-0.95*cos(x)A2))*sin(x)}, {x, -4,4},{y,-4,4}
Рис. 3.
Изменение характерных параметров задачи, а именно длины маятника L, не оказывает существенного влияния на качественное поведение системы (рис. 1, 2, 3).
Задание 2. Свободные колебания атома в синусоидальном потенциальном рельефе кристаллической решетки описываются уравнением: x " + 2kx ' + sin x = 0. Исследовать поведение данной системы на основе построения фазовых траекторий, полагая коэффициент трения k=0,5 [6].
Замечание: Полезно свести дифференциальное уравнение к системе уравнений, полагая
, í xf = у
х = у: Á .
I y" = - Sin x - y
Ход выполнения задания 2:
Система имеет два положения равновесия (0,0) и (ж,0). Строим фазовые траектории в окрестностях положений равновесия.
Составим запрос для построения фазового портрета в окрестности положения равновесия системы (0,0), полагая коэффициент трения k=0,5 (рис. 4):
stream plot {y, -sin(x)-2*0.5*y},{x,-0.1,0.1}, {y,-0.1,0.1}
^WolframAlpha;
stream plot {y. -sin(x)- 2*0.5*y},{x,-0.1,0.1{y,-0.1,0.1}
6 S
m m m щ
Input interpretation:
WebApps = Examples 3C Random
X — —0.1 to 0.1
stream plot [у, — 1. у — sin(jc)!
V- 0.1 to 0.1
-0.10 —0.05 0.00 0.05 0.10
Рис. 4
На рис. 4 ясно видно, что точка (0, 0) является устойчивым фокусом.
Составим запрос для построения фазового портрета в окрестности положения равновесия системы (ж ,0), полагая коэффициент трения k=0,5 (рис. 5):
stream plot {y, -sin(x)-y},{x,-0.1+pi,0.1+pi}, {y,-0.1,0.1}
Рис. 5.
На рис. 5 видно, что точка (ж ,0) является седлом и не является устойчивым положением равновесия.
Составим запрос для построения фазового портрета в окрестностях положений равновесия системы (0,0) и (ж ,0), полагая коэффициент трения k=0,5 (рис. 6):
stream plot {y, -sin(x)- 2*0.5*y},{x,-1,4}, {y,-2,2}
^ Wo If ra m AI pha essei-
I stream plot {y, -sin(x)- 2*0.5*уЬ{*г1 Ah {$,-2,2} Ъ Q |
0 ß Ш ^ :£: WebApps = Examples ЭС Random
Input interpretation:
x = -1 to 4
stream plot (у, 1. у lindl)
у - -2 to 2
Plot:
10 12 3 4
Рис. 6.
На рис. 6 в изображённой области видим, как ведут себя фазовые траектории данной динамической системы в окрестностях сразу в двух положениях равновесия (0,0) и (ж ,0).
Задание 3. Построить фазовые портреты дифференциального уравнения x" - (Л- x2) • x' + x = 0, описывающего колебания генератора Ван дер Поля, а также его временные реализации колебаний, полагая, что X=0,1; X=1,1; X=10; X= -1,5; X=-2,1 [7].
Ход выполнения задания 3:
Уравнение Ван дер Поля является математической моделью при анализе периодических автоколебаний. Это уравнение имеет одну особую точку х=0, x " = 0. Для построения фазовых портретов дифференциального уравнения используем базу знаний WolframAlpha.
База знаний WolframAlpha позволяет:
a. строить фазовые портреты дифференциальных уравнений (Рис. 7, 9, 11, 13, 15);
b. решать дифференциальные уравнения численными методами (например, методом Рунге-Кутта), что позволяет строить временные реализации (рис. 8, 10, 12, 14,16).
Составим запросы, для различных значений параметра X, следующего вида: 1) X=0,1:
a. stream plot {y, (0.1-xA2)*y-x}, {x,-0.9,0.9}, {y,-0.9,0.9} (рис. 6):
b. solve {x"-(0.1-xA2))*x'+x=0, x(0)=0.001, x'(0)=0.1} Runge-Kutta method h=0.01,
x=0..100 (рис. 7):
Рис. 7.
Рис. 8.
Фазовым портретом (рис. 7) выше представленного дифференциального уравнения является неустойчивый фокус (А=0,1) и автоколебания являются квазигармоническими (рис. 8). На фазовой плоскости имеется предельный цикл. Выход на предельный цикл происходит за время значительно большее, чем период колебаний.
2) А=1,1:
a. stream plot {y, (1.1-xA2)*y-x}, {x,-4,4}, {y,-4,4} (рис. 9)
b. solve {xM-(1.1-xA2))*x'+x=0, x(0)=0.001, x'(0)=0.1} Runge-Kutta method h=0.01, x=0..100 (рис. 10)
Рис. 9.
Рис. 10.
Фазовым портретом (рис. 9) выше представленного дифференциального уравнения является неустойчивый фокус (А=1,1) и колебания существенно отличаются от гармонических
(рис. 10). На фазовой плоскости имеется предельный цикл. Выход на предельный цикл происходит за время значительно большее, чем период колебаний.
3) X=10:
a. stream plot {y, (10-xA2)*y-x}, {x,-5.0,5.0}, {y,-5.0,5.0} при A,=10 (рис. 11)
b. solve {x"-(10-xA2))*x'+x=0, x(0)=0.001, x'(0)=0.1} Runge-Kutta method h=0.01, x=0..100 (рис. 12)
Рис. 11.
Рис. 12.
Фазовым портретом (рис. 11) выше представленного дифференциального уравнения является неустойчивый узел (X=10). На рис. 12 видны участки быстрого и медленного изменения переменной х (релаксационные колебания). На фазовой плоскости имеется предельный цикл.
4) X=-1,5:
a. stream plot {y, (-1.5-xA2)*y-x}, {x,-2,2}, {y,-2,2} при (рис. 13)
b. solve {xM-(-1.5-xA2))*x'+x=0, x(0)=0.001, x'(0)=0.1} Runge-Kutta method h=0.01, x=0..100 (рис. 14)
ф WolframAlpha k
ф WolframAlpha
stream plot {у; (-1.5-х"2)*у-х), {х,-2,2), {у,-2,2)
Ш Н Ш Щ ~ Web Apps H Examples X Random
Input interpretation:
v -2 to 2 stream plot (y, -*+■(-1.5-x^y)
solve {х"-(-1.5-хЛ2))*х'+х=0, x(0)=0.001, x'(0)=0.1} Runge-Kutta method h=0.01, x=0. .100 В
S Web Apps = Examples эЧ Random
in attempt was made to fix mismatched parentheses, brackets, or braces.
as referring to math in&tf
with a stepsize of 0.01
from * = 0 to 100
Рис. 13.
Рис. 14.
Фазовым портретом (рис. 13) выше представленного дифференциального уравнения является устойчивый фокус (А=-1,5). На рис. 14 видим быстрое затухание колебаний.
5) при А=-2,1:
a. stream plot {y, (-2.1-xA2)*y-x}, {x,-1,1}, {y,-1,1} при A,=-2,1 (рис. 15)
b. solve {x"-(-2.1-xA2))*x'+x=0, x(0)=0.001, x'(0)=0.1} Runge-Kutta method h=0.01, x=0..100 (рис. 16)
Рис. 15.
Рис. 16.
Фазовым портретом (рис. 15) выше представленного дифференциального уравнения является устойчивый узел (А=-2,1). На рис. 16 видим быстрое затухание колебаний.
Опираясь на эмпирический опыт авторов настоящей статьи по включению практико-ориентированных заданий в содержание учебных дисциплин, можно утверждать, что в ходе их решения обучающиеся:
• усваивают основные понятия, в нашем случае к ним относятся: динамическая систе-
ма, фазовая плоскость, фазовая траектория, положение равновесия,
• получают опыт исследовательской деятельности (проведение качественного теорети-
ческого исследования за короткий промежуток времени).
Кроме того, замечено, что в ходе решения подобных учебных заданий повышается мотивация обучающихся к изучению дисциплины.
Ссылки на источники
1. P.V.Kiyko, N.V. Shchukina Teaching methodology of econometric modeling with the help of interactive teaching methods /International Journal of Economic Research. 2017. Т. 14. № 7. P. 59-75. URL: http://serialsjournals.com/articles.php?volumesno_id=1222&journals_id=41&volume s_id=1068
2. Смирнова О.Б., Ламонина Л.В. Информационно-коммуникационные технологии в контексте практико-ориентированного подхода обучения информатическим дисциплинам // Электронный научно-методический журнал Омского ГАУ - 2017. -
Спецвыпуск №3. - URL http://e-journal.omgau.ru/index.php/spetsvypusk-3/36-spets03/731-00316. - ISSN 2413-4066
3. Клоков А.С., Сорокин А.Н. Wolfram Alpha как рабочая среда для студентов, изучающих курс теоретической механики // Электронный научно-методический журнал Омского ГАУ - 2016. -№4 (7) октябрь - декабрь. - URL http://e-journal.omgau.ru/index.php/2016-god/7/32-statya-2016-4/463-00208. - ISSN 2413-4066
4. Самойленко А. М., Кривошея С. А., Перестюк Н. А. Дифференциальные уравнения: примеры и задачи. Учеб. Пособие.- 2-е изд., перераб. - М.: Высш., 1989.-383 с.: ил.
5. Н. О. Балдина, Н. И. Лобов Заряженный математический маятник над проводящей плоскостью. - URL: https://elibrary.ru/download/elibrary 17787888 48152444.pdf (https://elibrary.ru/item.asp?id=17787888 )
6. В. В. Дежин О разработке лабораторной работы по построению фазовых траекторий динамической системы. - URL: https://elibrary.ru/download/elibrary 23351584 64984872.pdf
7. А. П. Кузнецов С.П. Кузнецов Н.М. Рыскин. Лекции по теории колебаний и волн. Нелинейные колебания. Учебное пособие для студентов физических специальностей вузов. Саратов 2011 - URL: http://elibrary.sgu.ru/uch_lit/281.pdf
Aleksandr Klokov
Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor
FSBEI HE Omsk SA U, Omsk
Lyudmila Lamonina
Senior Instructor
FSBEI ИЕ Omsk SA U, Omsk
Oksana Smirnova
Senior Instructor
FSBEI ИЕ Omsk SA U, Omsk
Anatoliy Sorokin
Candidate of Technical Sciences, Associate Professor
FSBEI HE Omsk SA U, Omsk
Some Aspects of Practical-Oriented Education in the University
Abstract. The application of practice-oriented training in the university is considered in the article. One of the means of its implementation is the inclusion in the content of the discipline of practice-oriented tasks. Examples of practical-oriented tasks aimed at studying the phase trajectories of dynamical systems and solved using the knowledge base Wolfram Alpha are given in the article.
Keywords: Practice-oriented training, practice-oriented training tasks, knowledge base WolframAlpha, dynamic system, phase trajectories, equilibrium position.
