CC BY
0
УДК 519.2
Гусев А. Л.
док. тех. наук, профессор ФГБОУ ВО ПГНИУ, г. Пермь, РФ Ерёмин И. В. аспирант ФГБОУ ВО ПГНИУ, г. Пермь, РФ
НЕКОТОРЫЕ АСПЕКТЫ ПОСТРОЕНИЯ И ИСПОЛЬЗОВАНИЯ МНОГОМЕРНОЙ НЕЛИНЕЙНОЙ РЕГРЕССИОННОЙ МОДЕЛИ ДЛЯ УПРАВЛЕНИЯ
Аннотация
В настоящей статье рассматриваются важные аспекты для построения и использования многомерных нелинейных регрессионных моделей как моделей управления. Особое внимание уделяется проверке адекватности модели управления, без которой модель не может быть верифицирована как модель пригодная для реального управления. Приводится оригинальный алгоритм учета взаимовлияний управляющих факторов друг на друга. Также рассмотрен алгоритм вычисления области определения модели управления как условий применимости модели.
Ключевые слова:
управляющая модель, многомерная нелинейная регрессия, условия применимости модели управления, взаимовлияние управляющих факторов, адекватность модели управления.
Введение
Нелинейное многомерное регрессионное уравнение часто используется как модель управления [1]. Такая модель содержит управляемый фактор (терминологическое синонимы: управляемая переменная, показатель управления, отклик модели и так далее) и управляющие факторы (терминологические синонимы: управляющие переменные, управляющие показатели, случайные величины и так далее). В теории построения многомерных регрессионных уравнений управляющие факторы называются предикторами или регрессорами. А управляемый фактор называется откликом или регрессантом [2]. Математическая постановка задачи: нужно найти функциональную зависимость управляемого фактора у от управляющих факторов Х^г ■■■ , Хт , если они наблюдались п раз (п -произвольно).
1. Проверка адекватности модели.
Допустим, что многомерное нелинейное регрессионное уравнение значимо [3]. Чтобы это уравнение можно было использовать для управления, необходимо убедиться, что оно адекватно, т.е. «работает» не только в многомерных точках, по которым было построено. Для адекватности достаточно проверить, чтобы ошибка модели е имела распределение близкое к нормальному с математическим ожиданием 0 и некоторой дисперсией. Ошибка е это разница между реальным и модельным значениями. Чтобы убедиться в этом нужно проверить три условия.
Условие 1. Проверить с помощью критерия Вилкоксона (критерий Вилкоксана нужно использовать с поправкой Мана) симметричность распределения ошибки относительно 0. Для этого нужно найти все ошибки и рассчитать статистику омега-квадрат для ошибки е. Если статистика II 1;66, то
симметричность обоснована на уровне значимости а=0,05; если 6)п < 2,8, то симметричность обоснована на уровне значимости а=0,01. Здесь п - объем выборки.
Условие 2. Коэффициент эксцесса ошибки Ее должен быть близок к 0, т.к. у нормально распределенной случайной величины он равен 0. На практике можно удовлетвориться требованием, чтобы модуль коэффициента эксцесса не превосходил заранее заданное значение исследователем (значение берется из ряда 0,1; 0,3; 0,5 и так далее).
Условие 3. Для нормального распределения из следствия теоремы Чебышева известно, что в интервал среднее значение плюс/минус три стандартных отклонения попадают 99,73% всех наблюдений. Следовательно, для ошибки модели вне этого интервала должно быть значений не более чем целая часть произведения (п*0,0027), где п - объем выборки.
При выполнении трёх условий можно быть уверенным в адекватности модели управления, как многомерного нелинейного регрессионного уравнения.
2. Имитация управления с помощью модели.
В результате построения обычно с помощью метода наименьших квадратов многомерное нелинейное регрессионное уравнение имеет следующий вид:
у = а0+ а1х1 + а2х2 + ■■■ + атхт.
В уравнении Х±, Х2, ■■■, Хт - управляющие факторы, а у - управляемый фактор. Управление по сути заключается в том, чтобы, изменяя значения управляющих факторов, добиться желаемого значения управляемого фактора. Но управляющие факторы, вообще говоря, влияют друг на друга при изменении своих исходных значений. Это означает, что изменение любого управляющего фактора приводит к изменению других управляющих факторов. И это обстоятельство должно быть учтено при получении результата управления.
Пусть управление начинается с изменения управляющего фактора XВыделим несколько групп, например, три группы, корреляции управляющих факторов относительно фактора Х[,: (0,7; 1] - сильная (первая группа), (0,3; 0.7] - средняя (вторая группа), [0; 0,3] - слабая (третья группа).
С первой группы (сильная корреляция, диапазон включает единицу) начинается расчёт влияния указанного фактора на остальные факторы. Оценка воздействия фактора XI на фактор Xу представляется в виде линейной регрессии типа: Х^ = О, + Ъхгде
коэффициенты Л и Ъ определяются по формулам:
ъ
Г* —;
г.г.
1 J сгт
V
b * xr
В формулах приняты следующие обозначения: х -среднее значение, о - стандартное отклонение, Г - коэффициент корреляции Пирсона,
Для второй группы факторов (средняя корреляция) алгоритм построения уравнений тот же, но в
качестве параметра Г выступает не коэффициент корреляции между двумя факторами, как это было для первой группы, а его статистическая оценка, вычисленная опосредованно через факторы из первой группы.
Оценка парной корреляции для второй по воздействию группы определяется как сумма произведений коэффициентов корреляции между исходным фактором и фактором из первой группы на коэффициент корреляции между фактором из первой группы и фактором из второй группы.
a
Для третьей группы вычисления происходят по аналогичному алгоритму. В случае, если оценка коэффициента корреляции больше 1, то она принимается равной 1. В случае, если оценка коэффициента корреляции меньше -1, то она принимается равной -1.
Рассмотрим пример. Пусть имеем 6 управляющих факторов. Будем изменять управляющий фактор
Х±. Пусть в первую группу относительно фактора Я^попали факторы X2 И Х3 во вторую группу -
X4 И а в третью группу - XТогда статистические оценки коэффициентов корреляции будет рассчитываться по формулам:
х± х4
V * Г + Г *Г Г
XjJt^ T^Xj X^X^f Х^ Х^
Y * Y + Г * Y 1 х±х2 1 х2х- ^ 1 хух3 1 Х3Х-'
Х1Х6
у * у * г
X^Xj Х2Х4 XqXß
4- у * у * у т xtx2 1Х2Х5 ' Х5х6
-\~У * г ж у
у * у * у ,
X^Xj XjX^
Для 5 групп деление
Заметим, что количество групп может быть больше, например, 5 или 10. выглядит следующим образом: (0,8; 1] - очень сильная, (0,6; 0.8] - сильная, (0,4; 0.6] - средняя, (0,2; 0,4] - слабая, [0; 0,2] - очень слабая. Количество групп определяет исследователь.
3. Область определения модели или условия применимости.
Важной задачей при построении модели управления является установление области определения для каждого управляющего фактора и управляемого фактора, где полученное нелинейное многомерное регрессионное уравнение адекватно моделируемому реальному процессу (явлению), т.е. определению условий применимости модели.
Не трудно видеть, что уравнение будет «работать» при реальных значениях факторов, на основании которых было построено уравнение. Поэтому обычно используют симбиоз эмпирической области определения фактора и теоретической области распределения фактора, при этом предварительно избавляясь от «выбросов» - аномальных значений, например, с помощью кластеризации [2]. Определяют минимум (о) и максимум (в) фактора по имеющимся данным, предварительно удалив «выбросы». Эмпирическая область определения это интервал (a,b). Теоретическую область определения находят с помощью СЗ - среднего значения и СО - стандартного отклонения фактора. Построение теоретической области определения основано на том факте, что метод нахождения коэффициентов регрессионного уравнения подразумевает, что каждый фактор имеет распределение близкое к нормальному распределению. Для нормального распределения установлено, что в интервал равный среднему значению плюс/минус три стандартных отклонения попадают 99,73% значений случайной величины. В результате получают теоретическую область определения в виде интервала (СЗ - 3*СО, СЗ + 3*СО). Симбиоз эмпирической области определения фактора и теоретической области определения фактора можно сделать, например, выбрав минимум из эмпирического и теоретического минимумов, а максимум из эмпирического и теоретического максимумов. Возможны варианты. После получения симбиоза эмпирической и теоретической областей определения в виде интервала (MIN,MAX) его можно расширить на заранее определенное количество процентов. Количество процентов расширения обычно определяет когнитолог предметной области, где применяется модель управления. Расширение предпочтительнее делать в пропорции так, чтобы расстояние от MIN до среднего значения и расстояние от среднего значения до MAX были приблизительно равны.
Заключение
При моделировании управления сложными явлениями или процессами нужно обращать особое внимание на адекватность модели, проверка которой приводится в настоящей статье. Кроме этого при осуществлении управления у модели должен быть алгоритм учета взаимовлияния управляющих факторов друг на друга в случае их изменения. Оригинальный алгоритм учета взаимовлияния
управляющих факторов друг на друга приводится в настоящей статье. Он основан на статистических оценках коэффициентов корреляции Пирсона между управляющими факторами и позволяет учесть изменение всех управляющих факторов с изменением хотя бы одного из них.
В статье также приведен алгоритм возможного вычисления области определения каждого фактора, входящего в многомерное регрессионное уравнение, как условия применимости модели управления.
Список использованной литературы.
1. Гусев А.Л., Еремин И.В. Построение многомерной нелинейной модели при каскадном управлении // Символ науки, 2024, №10-1. С. 10-12.
2. Орлов А.И. Прикладная статистика. Издательство «Экзамен», 2004, 656 с.
3. Орлов А.И. Эконометрика. Издательство «Экзамен», 2004, 576 с.
© Гусев А.Л., Ерёмин И.В., 2024
УДК 512.563 .6
Мухамедова Г. Р.,
кандидат педагогических наук, доцент Т ашкентского государственного педагогического университета, Узбекистан.
Ризаев Р. К.,
преподаватель кафедры "Общая математика" Ташкентского государственного педагогического университета, Узбекистан
ТАБЛИЦЫ ИСТИННОСТИ ДЛЯ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
Аннотация
В статье идет речь о булевых функциях и таблицах истинности, их применениях. Рассматриваются несколько примеров на применение таблиц истинности.
Ключевые слова:
высказывания, равносильные формулы, таблица истинности, СДНФ и СКНФ.
Высказыванием называется повествовательное предложение, о котором можно сказать, что оно однозначно истинно или ложно. Если суждение об истинности высказывания можно вынести из самого высказывания, то такое высказывание называют простым. В противном случае мы имеем сложное (составное) высказывание. Значение истинности составного высказывания определяется значениями истинности его компонент.
Из простых высказываний можно образовать новые составные высказывания с помощью союзов «и», «или», «либо», «если..., то», «тогда и только тогда, когда», «неверно, что». Эти союзы называются логическими связками. Построение из данных высказываний нового составного высказывания называется логической операцией над высказываниями. Основные логические операции: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность.
Логическое значение сложного высказывания можно описать с помощью таблицы, называемой таблицей истинности (верхняя строка содержит обозначения высказываний, последующие строки -логическое значение высказываний).
