CC BY
39
УДК 681.513
А. А. Умаров1, А. Р. Умаров2, Е. Камбаров3
'ст. преподаватель, Международный Казахcш-турецкий университет имени Х. А. Ясави, 2почетный радист СССР, инженер-наладчик, АО Казахтелеком, 3студент, 4 курс, Международный Казахcко-турецкий университет имени Х. А. Ясави, г. Туркестан e-mail: '[email protected]
ИДЕНТИФИКАЦИЯ ОБЪЕКТА УПРАВЛЕНИЯ В ДИНАМИЧЕСКОМ РЕЖИМЕ
Настоящая статья посвящена описанию задачи идентификации модели объекта управления в динамическом режиме. Для решения задачи применяется метод наименьших квадратов. Проверка адекватности полученной модели реализуется с помощью критерия Фишера. В качестве инструмента для исследования статической модели используется САПР VisSIM. Результаты исследования могут быть использованы в учебном процессе технических вузов по специальности «Автоматизация и управление» и «Электроэнергетика» Ключевые слова: Система автоматического регулирования (САР), синтез, анализ, идентификация, статическая характеристика, Система автоматического проектирования (САПР), объект управления, линеаризация, регрессионная модель, аппроксимация, Метод наименьших квадратов, Критерий Фишера, VisSIM.
ВВЕДЕНИЕ
Синтезу и проектированию систем автоматического регулирования (САР) должно предшествовать изучение (исследование) объекта управления [1, 2].
Свойства объектов управления достаточно полно могут быть отражены в статических и динамических характеристиках, на основании которых рассчитывают регуляторы. Другими словами, чтобы обосновать выбор регулятора к объекту, необходимо построить его математическую модель, описывающую статический и динамический режим работы системы [3, 4].
Польза статического режима работы объекта и системы управления состоит в том, что он позволяет в очень доступной и наглядной форме представить и понять причинно-следственные связи управляемых величин и воздействий. В случае объекта управления такие связи выражаются нелинейной функцией двух переменных, а в случае САР выражение еще проще: это линейное алгебраическое уравнение. Последнее позволяет описать в первом приближении такую сложную систему, как САР всего двумя параметрами: коэффициентами чувствительности управляемой величины к заданию и возмущению соответственно [1-3].
Статические характеристики позволяют ответить на два важнейших вопроса. Первый: если известно входной воздействие, то какая будет реакция (выход) объекта? Второй: если известна реакция системы, требуется опеределить входное воздействие. Первая и вторая задачи относятся задаче анализа. А если известны и входное воздействие и реакция системы на эти входные воздействия, то возникает задача идентификации [1, 3, 5].
Напомним, что идентификацией системы (объекта) называют совокупность методов для построения математических моделей системы (объекта) по данным наблюдений в статическом или динамическом режиме [1, 4].
В настоящей работе описана задача идентификации модели объекта управления в статическом режиме. Для решения задачи применяется метод наименьших квадратов (МНК). Проверка адекватности полученной модели реализуется с помощью критерия Фишера. Расчет параметров модели реализуется с помощью программ САПР VisSIM, Excel.
В [6] описана задача идентификации по частотным характеристикам. Некоторые задачи анализа, синтеза и идентификации объектов управления были рассмотрены авторами в трудах [7-10]. Учебные прикладные задачи проектирования систем автоматики и телемеханики были описаны в [11].
ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ
1. Метод наименьших квадратов и задача аппроксимации. Процессы, происходящие в ходе эксплуатации САР, как правило, определяются большим числом одновременно и совокупно действующих факторов. В связи с этим возникает задача исследования зависимости одной зависимой переменной У от нескольких объясняющих переменных (факторов) Хх,Х2,,..Хр ■ Эта задача решается с помощью множественного регрессионного анализа [2, 5].
Обозначим i-е наблюдение зависимой переменной у., а объясняющих переменных - Ха, хп ,.-.xip. Тогда дискретную модель множественной регрессии можно представить в виде:
где i =1,2,...n; п - общее количество опытов, р - число факторов,
х, - дискретная входная независимая (эндогенная) переменная,
У, - дискретная выходная зависимая (экзогенная) переменная или реакция системы.
В общем случае зависимость любого отклика от факторов у = f(xx,x2,..,хр) достаточно сложна, и вид ее заранее неизвестен. Поэтому в ходе эксперимента пытаются искать приближенную регрессионную зависимость у r = /(jc, , х2хр ) • Метод поиска подобной зависимости называется аппроксимацией. Для этой цели применяется метод наименьших квадратов (МНК):
п л .
52=Е 0и-Л)а=1«?->тт (2)
;=1 ¿=1
2. Постановка задачи
Как известно, управляемая величина y объекта управления в статике является функцией двух аргументов: управляющей или задающей хшд и возмущающей Хвозм величин:
С учетом (3) модель множественной регрессии (1) примет вид:
где х: зад и х1возм -дискретные случайные величины; 1 =1,2,...п - номер опыта;
р = 2 - количество факторов (факторы: задание и возмущение).
Начальные и граничные условия для задания ,ад = 0; хк 1пг1 = 30;
х, зад е [■*<> зад5 хк зад]; количество опытов по каналу задание к = 7;
Начальные и граничные условия для возмущения ,г0 яоз1( = 0; х! зад= 5; вОЗМ ^ I- ЯОЗМ5 вОЗ-М ] ; количество опытов по каналу возмущение 1 = 6.
Т р е б у е т с я:
1) построить статические характеристики объекта управления:
- по каналу «задание - управляемая величина» (параметр - возмущение);
- по каналу «возмущение - управляемая величина» (параметр - задание);
2) определить линейную регрессионную зависимость объекта управления, то есть построить линеаризованную модель объекта управления в рабочей точке;
3) дать оценку адекватности полученной линеаризованной модели.
3. Алгоритм решения задачи
Построение статических характеристик объекта управления
Реализуем для независимых эксперимента:
• по каналу «задание - управляемая величина» (параметр - возмущение);
• по каналу «возмущение - управляемая величина» (параметр - задание).
В первом случае на вход объекта подается управляющее воздействие или задание Х1 зад, влияние которого на выходное или управляемую величину у. и необходимо определить. Возмущения x¡ возм - фиксированные (дискретные). Здесь задание и возмущение - причины, управляемая величина - следствие.
Во втором случае на вход объекта подается возмущение Х1 во]м ? влияние которого на выходное воздействие у1 необходимо определить. Задания х,зад - фиксированные (дискретные). Здесь задание и возмущение - причины, управляемая величина - следствие.
1.1 Вычисление шага по заданию и возмущению 1гшд и /1яоз„:
1.2 Вычисление задания и возмущение Х{ зад и Х1в03М:
1.3 Заполнение таблиц вычисленными данными Х: шд И Х- возм:
Таблица 1 - Задание х, 3aä
i 1 2 3 4 5 6 7
зад 0 5 10 15 20 25 30
Таблица 2 - Возмущение х;.««
i 1 2 3 4 5 6
*i возм 0 1 2 3 4 5
1.4 Создание виртуального лабораторного стенда с помощью программы Vis SIM и получение статических характеристик объекта
Возмущение
Рисунок 1 - Виртуальный лабораторный стенд для определения статических характеристик объекта управления
Лабораторный стенд (рис. 1) включает объект управления, генераторы сигналов воздействий (ползунки) для задания и возмущения, соответственно; три цифровых индикатора для задания, возмущения и управляемой величины, соответственно. Значения задания и возмущения задаются на основе данных Х1 зад и х1вози (табл. 1 и 2). Значение управляемой величины автоматически отображается на индикаторе, оно зависит от передаточной функции объекта управления.
Таблица 3 - Значения семейства статических характеристик объекта управления по каналу «задание - управляемая величина»
Возмущение Задание X; во зм
Л1 зад 0 5 10 15 20 25 30
0 0 2,5 5 7,5 10 12,5 15
1 0 1,66 3,33 5 6,66 8,33 10
2 0 1,25 2,5 3,75 5 6,25 7,5
3 0 1 2 3 4 5 6
4 0 0,83 1,66 2,5 3,33 4,16 5
5 0 0,71 1,43 2,14 2,86 3,57 4,28
Таблица 4 - Значения семейства статических характеристик объекта управления по каналу «возмущение - управляемая величина»
Задание Л* / возм Возмущение Х{ зад
0 1 2 3 4 5
0 0 0 0 0 0 0
5 2,5 1,66 1,25 1 0,83 0,71
10 5 3,3 2,5 2 1,66 1,43
15 7,5 5 3,75 3 2,5 2,14
20 10 6,66 5 4 3,33 2,86
25 12,5 8,33 6,25 5 4,16 3,57
30 15 10 7,5 6 5 4,28
Рисунок 2 - Графики статических характеристики объекта управления по каналу «задание - управляемая величина» и по каналу «возмущение -управляемая величина» соответственно.
1.5 Построение графиков статических характеристик объекта управления Графики статических характеристик объекта (рис. 2) иллюстрируют линейный характер сигнала по каналу «задание - управляемая величина» и нелинейный характер сигнала каналу «возмущение - управляемая величина».
2) Определение линейной регрессионной зависимости объекта управления, то есть построение ее линеаризованной модели в рабочей точке
2.1 Получение двухфакторного регрессионного ряда у. (х. зад, X. ) Объединим экспериментальные данные таблиц 3 и 4 в общую таблицу, и тем самым, получим двухфакторный регрессионный ряд (пространственную выборку) эмпирической нелинейной функции Уi(xiвoЗJU,Xi зад) управляемой величины объекта управления:
Таблица 5. Двухфакторные регрессионные ряды эмпирической y¡{x¡ В0ЭЧ,Х/ заб ) и расчетной у,. ( л; тзм, Х- зад ) функции_
Номер опыта i возни Х1 зад У: (Хг возм' Х1 зад ) У 1 ( Х1 вони' Х1 зад)
1 0 0 0 2,502049
2 0 5 2,5 3,829371
3 0 10 5 5,156692
4 0 15 7,5 6,484014
5 0 20 10 7,811335
6 0 25 12,5 9,138656
7 0 30 15 10,46598
8 1 0 0 1,500825
9 1 5 1,66 2,828146
10 1 10 3,33 4,155468
11 1 15 5 5,482789
12 1 20 6,66 6,810111
13 1 25 8,33 8,137432
14 1 30 10 9,464753
15 2 0 0 0,4996
16 2 5 1,25 1,826922
17 2 10 2,5 3,154243
18 2 15 3,75 4,481565
19 2 20 5 5,808886
20 2 25 6,25 7,136207
21 2 30 7,5 8,463529
22 3 0 0 -0,50162
23 3 5 1 0,825697
24 3 10 2 2,153019
25 3 15 3 3,48034
26 3 20 4 4,807662
27 3 25 5 6,134983
28 3 30 6 7,462304
29 4 0 0 -1,50285
30 4 5 0,83 -0,17553
31 4 10 1,66 1,151794
32 4 15 2,5 2,479116
33 4 20 3,33 3,806437
34 4 25 4,16 5,133759
35 4 30 5 6,46108
36 5 0 0 -2,50407
37 5 5 0,71 -1,17675
38 5 10 1,43 0,15057
39 5 15 2,14 1,477891
40 5 20 2,86 2,805213
41 5 25 3,57 4,132534
42 5 30 4,28 5,459855
Как видим из таблицы 5, общее количество опытов п равно произведению к на 1, то есть п = 42. Количество факторов р = 2.
2.2 Определение линейной регрессионной зависимости у { х1 вг)31), А', д)
Линейная регрессионная зависимость у! (х,возм,х1зад) получается из эмпирической нелинейной функции у (х, ,-вози, ■ д ) путем решения задачи аппроксимации методом МНК [1, 4]. Результаты вычислений добавлены в последний столбец табл. 5.
2.3 Определение линейной модели объекта управления
Вычисленные параметры (коэффициенты) аппроксимирующей функции
объекта управления будут равны: в0 =2,502; Д =-1,001; Р2 =0,265. Подставляя полученные параметры в уравнение линейной регрессии (4), получим линейную модель объекта управления:
Рисунок 3 - Графики экспериментальной (эмпирической) и расчетной функции объекта управления
По графикам экспериментальной и расчетной (аппроксимирующей) функции объекта управления можно увидеть их близость (рис. 3).
Вычисляя среднеквадратическое отклонение (дисперсию) по формуле (2), определяем значение Б = 8,92. Определим также коэффициент корреляции двух факторов х[ аозм и Х1 зад. К = 0. Это говорит о том, что эти факторы являются взаимно независимыми, то есть некоррелированы.
По уравнению (5) нетрудно построить и линейную модель объекта управления в VisSIM (рис. 5).
Рисунок 4 - Линейная модель объекта управления
Проверим модель (рис. 4), подав на соответствующие входы сигналы задания и возмущения. Для этого выберем параметры рабочей точки объекта:
ХвОЗМ=3> ХшЛ= Ю-
Диапазон изменений сигнала возмущения хшгп1 е [2,5 -ь3,5]; х д е[5 ч-15] • При выбранной рабочей точке расчетное значение линейной модели составляет у = 2,149 вместо 2. Абсолютная ошибка равна 0,149 (7 % от 2).
Таким образом, полученная линеаризованная в рабочей точке модель объекта упраления является адекватной. Проверим это утверждение (например, принята нулевая гипотеза, подтверждающая адекватность полученной модели) с помощью критерия Фишера.
3) Проверка адекватности полученной модели объекта управления
гр у / и и и
Точность аппроксимации с помощью прямой (аппроксимирующей линейной функции) зависит от степени разброса данных. Оценка адекватности определяется на основе процедуры проверки гипотез. Критерий Фишера ^ - распределение) определяет степень разброса двух случайных рядов с различными степенями свободы.
3.1 Вычисление Ррасч\
Полученное значение Ррасч= 102,60. Количество факторов р = 2. Общее количество опытов п равно произведению к и 1, то есть п = 42.
3.2 Вычисление л и проверка гипотезы
Для вычисления Fia0 ] с помощью (6) используем программу Excel. Параметры табличной функции Фишера: уровень значимости а = 0,05, степени свободы п-р = 40. Полученное значение FTa0 i = 2,02. Принятая гипотеза подтверждается, если удовлетворяется условие [4]:
^расч '> ^"iuGJI (7)
В нашем случае 102,60 > 2,02, то есть условие (7) выполнено. Таким образом, принятая нулевая гипотеза подтверждается и, полученная нами линейная модель является адекватной. То есть, модель (5) адекватно отражает реальный объект исследования.
ВЫВОДЫ
В настоящей работе описывается задача идентификации модели объекта управления с учетом влияния двух факторов: задающего (управляющего) и возмущающего воздействий.
Для решения задачи реализуется двухфакторный эксперимент, в результате чего были получены статические характеристики объекта управления. Проведен статистический анализ объекта управления. Определена линейная регрессионная функция у: (х1ио,л„х1 заА) и построена линейная модель объекта управления в рабочей точке (в номинальном режиме работы).
Результаты анализа показывают, что рассматриваемый объект управления линеен по каналу задание - управляемая величины (управляемая величина пропорциональна заданию) и нелинеен по каналу возмущение - управляемая величины.
Выполнена проверка адекватности полученной модели объекта управления на основе критерия Фишера. С вероятностью 0,95 можно утверждать, что полученная модель объекта управления является адекватной в номинальном режиме работы.
Использование САПР для проведения эксперимента позволяет получить нужную информацию об объекте быстро, наглядно, без лишних затрат.
Использованную методику и результаты исследования САР с помощью виртуального стенда можно применять в учебном процессе технических вузов для подготовки бакалавров по специальности «Автоматизация и управление» и «Электроэнергетика».
Выражаю искреннюю благодарность д.ф.-м.н., профессору Калымбетову Б. Т. за ценные советы по улучшению качества полученных результатов.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
1 Мартыненко, И. И., Лысенко, В. Ф. Проектирование систем автоматики. - М. : Агропромиздат, 1990. - 243 с.
2 Пантелеев, А. В., Бортаковский, А. С. Теория управления в примерах и задачах: учеб. пособие. - М. : Высш.шк., 2003. - 583 с.
3 Федосов, Б. Т. Теория автоматического управления. Юнита 1. Математическое описание линейных систем и их элементов: Электронный интерактивный учебник в формате chm, 1.1 МБ. Рудный, 2008. www.model.exponenta.ru/bt/bt_cont_3_Met.html#31
4 Алгазинов, Э. К., Сирота, А. А. Анализ и компьютерное моделирование информационных процессов и систем. - М. : Диалог-МИФИ, 2009. - 416 с.
5 Ягубов, З. Х., и др. Компьютерные методы анализа и синтеза одноконтурных линейных систем автоматического регулирования: учеб. пособие. - Ухта : УГТУ, 2011. - 66 с.
6 Шумихин, А. Г., Бояршинова, А. С. Идентификация сложного объекта управления по частотным характеристикам, полученным экспериментально на его нейросетевой динамической модели // Автоматика и телемеханика, 2015. Выпуск 4, - С. 125-134.
7 Умаров, А. Р., Умаров, А. А. О создании программы Preslej // Труды межд. Научно-методической конференции «Инновационное обучение физике, математике, и информатике: актуальные вопросы и перспективы». - Шымкент, 2004. - С. 415-417.
8 Тукубаев, З. Б., Умаров, А. А. Программа имитационного моделирования и анимации гауссовского процесса // Труды международной конференции «Роль и значение телекоммуникации и информационных технологий в современном обществе». - ТУИТ. - Ташкент, 2005.
9 Тукубаев, З. Б., Умаров, А. А. Модель управления качеством образования в ВУЗе // Управление большими системами. ИПУ РАН, 2012, вып. 37, - С. 95-144.
10 Умаров, А. Р., Умаров, А. А., Тукубаев, З. Б. Авторское свидетельство Республики Казахстан. Программная система оценки качества образования в ВУЗе на основе рейтинга ППС/студентов (PS-7). .№0007766 от 09/01/2012. - Астана6 - Бюл. №№18.
11 Умаров, А. Р., Умаров, А. А. Автоматика жэне телемеханика жуйелерш жобалау : оку куралы / ЖОО «Автоматтандыру жэне баскару» мамандьщтары Yшiн. - ТYркiстан : ХКТУ баспаханасы, 2014. - 256 б. : ил.
Материал поступил в редакцию 11.05.16.
А. А. Умаров1, А. Р. Умаров2, Е. Камбаров1
Баскару объект1сш динамикалык тэртште сэйкестенд1ру
1К. А. Ясауи атындаFы Халыкаралык Казак-тур^ университет^ ТYркiстан к.
2Казактелеком АК, ТYркiстан к.
Материал 11.05.16 баспаFа тусть
A. A. Umarov1, A. R. Umarov2, E. Kambarov1 Identification of the control object in the static mode
1A. Yesevi International Kazakh-Turkish University, Turkestan
2Kazakhtelecom corporation, Turkestan Material received on 11.05.16.
Мацала басцару объектШшц динамикалъщ режимдегi carnecmeHdipy ece6i кeлmipiлгeн. Ecenmi шешу ушт Krni квадраттар adici цолданылады. Алынган модельдщ ацицаттылыгын тексеру ушт Фишер критерий пайдаланылады. Статикалыц зерттеу цуралы реттде VisSIM жуйеа цолданылады. Зерттеу нэтижелерт «Автоматтандыру жэне басцару» жэне «Электр энергетикасы» мамандыцтары бойынша техникалыц ЖОО-ц оцу процесте пайдалануга болады.
This article describes the problem of identification of the control object model in the dynamic mode. To solve this problem the method of least squares is used. The adequacy of the resulting model is verified using Fisher's exact test. A tool for the study of the static model was CAD VisSIM. Results of the study can be used in the educational process of technical colleges that train bachelors on specialty «Automation and Control» and «Electro energy».
ЭОЖ 666.97.033.16 Е. М. Утениязов
магистрант, С. Торайгыров атындагы Павлодар мемлекетпк университет^ Павлодар к. e-mail: [email protected]
БЕТОН ЦОСПАСЫН ТЫ€ЫЗДАУ ТЕХНОЛОГИЯСЫН ЖАЛПЫЛАУ ЖЭНЕ ТАЛДАУ
Бул мацалада автор бетон цоспасын тыгыздау технологиясыныц дipiлдemy эдкте жалпытама талдау бepeдi.
Тyшндi свздер: бетон цоспасы, дipiлдemy эдт.
К1Р1СПЕ
Заманауи курылысты бетонсыз TYC^ipy mymmh емес. Бул бiрден-бiр кeлемдi курылыс материалы болып, еркендеп дамудьщ децгешн керсетед^ Сонымен 6ipre, бетон - ете ^рдел^ ерекше касиетке ие болатын жасанды композициялы материал. Эр TYpлi пайдалану жаFдайымен ерекшеленш, бетон коpшаFан ортада жаксы байланыс тауып, Yздiксiз шиюзат пен арзан материал ^3i ретшде сипатталады.
Бетон катаюFа дешн - рационалды тацдап алыетан жэне ете укыпты аралсатырыетан минералды байланыстыpFыш (цемент), су, толтыpFыштаp, жэне кажеттi жаFдайда коспалар, пластификаторлар, катаюды жеделдеткiштеpден (тYpлi реакцияларды) куралатын жасанды курылыс материалы болып табылады.
Бетонныц бipден-бip мацызды касиеттершщ бipi - ез массасыныц эсершен немесе TYсipiлген салмактыц эсеpiнен пластикалык жайылу кабiлетiне ие болуы. Бул - бетоннан эр TYpлi калыш^ы елшемдермен буйымдарды дайындаyFа мYмкiндiк берш, тыFыздаyдыц TYpлi эдiстеpiн пайдаланып, оцтайлы жолмен буйымдар жасаyFа мYмкiндiк бередь Сондыктан тыFыздаy эдiсi мен коспаныц курамы (жылжымалыFы мен аккыштыFы) бip-бipiмен тыFыз байланысты. Сонымен катар, жылжымалы^ы мен аккыштыFы нашар коспалар тыгыздау кезiнде энергияны кеп кажет ететшд^ен, олаpFа интенсивтi дipiлдетyдi немесе салмакпен кысу аркылы тыFыздаyды жYpгiзедi.
