О неголономных гиперповерхностях вращения в четырехмерном евклидовом пространстве E4 Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.752

О НЕГОЛОНОМНЫХ ГИПЕРПОВЕРХНОСТЯХ ВРАЩЕНИЯ В ЧЕТЫРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ E,

О.В. Васильева

Томский государственный университет E-mail: [email protected]

В четырехмерном евклидовом пространстве рассматриваются два класса неголономных поверхностей вращения (сферические неголономные поверхности вращения и неголономные поверхности двойного вращения). С помощью построения подвижного репера изучены их основные инварианты, исследованы свойства линий кривизны 1-го и 2-го рода и свойства асимптотических линий неголономных поверхностей данного вида.

Введение

Неголономной гиперповерхностью в четырехмерном евклидовом пространстве Е4 называют [1] совокупность всех интегральных кривых не вполне интегрируемого уравнения Пфаффа

Райха = 0 (а = 1,4),

где Ра - гладкие функции в некоторой области ОсЕ4, причем Ра не обращаются в нуль одновременно ни в какой точке Ме О. Интегральные кривые этого уравнения, проходящие через точку М, касаются в этой точке одной гиперплоскости, называемой касательной плоскостью неголономной поверхности в точке М. Прямая, проходящая через точку М перпендикулярно касательной гиперплоскости, называется нормалью неголономной поверхности в точке М.

Подобно тому, как в четырехмерном евклидовом пространстве различают два вида поверхностей вращения (сферические поверхности вращения и поверхности двойного вращения) [2], в неголономной геометрии также будем различать два вида неголономных поверхностей вращения.

Сферической неголономной гиперповерхностью вращения называется такая неголономная гиперповерхность, все нормали которой пересекают неподвижную прямую (ось вращения).

Неголономной гиперповерхностью двойного вращения называется такая неголономная гиперповерхность, нормали которой пересекают две неподвижные взаимноперпендикулярные плоскости (двумерные оси вращения), пересекающиеся в одной точке (центре вращения).

Пусть {М,ёа} (а=1,4) - ортонормированный подвижной репер, в котором Ме О, векторы ЙДД} лежат в касательной плоскости неголономной поверхности, а вектор ё4 по ее нормали в точке М.

Деривационные формулы репера {М,ёа} (а=1,4) имеют вид

с1г = ааёа, с1ёа =твёв,

где 6 - радиус-вектор точки М, а^-сор (а,/3=1,4). Помимо этого имеем

=аа л а?, Баа = ав л тЩ ,

где а,Дг=1,4.

Главными формами являются формы Пфаффа

а>а, ю4“. Из них аа - базисные формы, а потому

СО4

- Аа

(1)

1Рш■ , а,р = 1,4.

Неголономная поверхность при таком выборе подвижного репера определяется уравнением Пфаффа

о4 = 0. (2)

В каждой точке М области О определим линейный оператор А формулой

А(йг) = с1ё4.

Этот оператор переводит векторы касательной плоскости неголономной гиперповерхности (2) в векторы этой же плоскости. Таким образом, можно сузить оператор А на касательную плоскость. Матрица А* сужения оператора А имеет вид

4(e)-

4 42

А12 42

4 4 4

л

Собственные значения оператора А*, взятые с противоположным знаком, называются главными кривизнами 2-го рода неголономной поверхности, а направления собственных векторов оператора А*, соответствующие им, - главными направлениями 2-го рода в точке М. Линией кривизны 2-го рода называется линия неголономной поверхности, в каждой точке которой касательный вектор идет по одному из главных направлений 2-го рода [3].

Полной кривизной 2-го рода называется величина К2 = ёй А*.

Если о4=0 не голономно, то оператор А* не симметричен. Его можно разложить на сумму двух операторов [3]: симметричного В и кососимметричного. Собственные значения оператора В, взятые с противоположными знаками, называются главными кривизнами 1-го рода, а собственные векторы, им соответствующие, - главными направлениями

1-города [3].

Так как оператор В - симметричный, то главные кривизны 1-го рода в каждой точке Ме Оявля-ются действительными числами.

Определитель К^ёйВ матрицы оператора В называется полной кривизной 1-го рода.

I. Сферические неголономные гиперповерхности вращения

1. Меридианы и параллели

Перейдем к рассмотрению сферических него-лономных гиперповерхностей вращения (СНПВ). Поместим вектор е1 в плоскость, проходящую через нормаль и ось вращения I. Пусть Р - точка пересечения нормали н6еголономной поверхности вращения с ее осью I, Г=г+(е4 - радиус-вектор точки Р.

Т.к. Р описывает прямую I при ю4=0, то (!¥ должен лежать в плоскости {МДД} при условии ю4=0. Потребовав это, получаем

А2 = А32 = А3 = А23 = 0, ? = —12, А22 = А33,

А

и характеристическое уравнение оператора А* имеет вид

А/ — X А2 Аз

A2 -X 0

0

A33 -X

= 0.

Так как главные кривизны 2-го рода k=-Xi (/=1,3), то k1=-A11, k2=k3=—A2. Таким образом, для СНПВ справедливо следующее утверждение.

Теорема 1.1. Для сферической неголономной гиперповерхности вращения все три кривизны 2-го рода вещественны, при этом две из них, k2 и k3, совпадают, а третья, k,, не равна им.

Для сферической неголономной гиперповерхности вращения

K2 = -k2kj, где k = k2 = k3.

Вектор е1 определяет главное направление 2-го рода, соответствующее k1.

Главные направления 2-го рода, соответствующие k, определяются уравнениями

(A/ - AI)!1 + A2|2 + A1|3 = 0, |4 = 0.

и заполняют двумерную плоскость, лежащую в касательной гиперплоскости к о4=0. Эта двумерная плоскость пересекает плоскость, ортогональную вектору е1, по прямой. Направим вектор е2 по этой прямой, тогда A12, и репер становится каноническим.

Тогда все функции в формулах (1) - инварианты. Величины -A11=k1, -A2=-A33=k - главные кривизны 2-го рода. Величины A\, A2, A3 - координаты вектора AJe1+A4e2+A4e3, представляющего собой вектор кривизны линии тока векторного поля е4. И, наконец, инвариантный вектор р=ре2, где р=--A - вектор неголономности [3], т.е. вектор, обращение в нуль которого характеризует голономность о4=0.

Система уравнений Пфаффа а2 = а3 = а4 = 0,

определяет линии кривизны 2-го рода СНПВ, соответствующие некратной главной кривизне k1. Это означает, что через каждую точку Me G проходит одна линия кривизны 2-го рода, соответствующая k1.

Линии же кривизны 2-го рода, соответствующие кратной главной кривизне к 2-го рода, определяются вполне интегрируемой системой уравнений Пфаффа

(к/ — к)ю1 + 2рюг = 0, ю4 = 0. (3)

Это означает, что через каждую точку проходит двумерная поверхность, состоящая из тех линий кривизны 2-го рода, которые соответствуют главной кривизне к.

Линии кривизны 2-го рода обладают следующими свойствами.

1) Двумерные поверхности, состоящие из тех линий кривизны 2-го рода, которые соответствуют кратной главной кривизне к, лежат на трехмерных сферах с центрами на оси вращения.

2) Линии кривизны, соответствующие некратной главной кривизне к1, лежат в двумерных плоскостях, проходящих через ось вращения. Определение 1.1. Двумерные поверхности, состоящие из линий кривизны 2-го рода и лежащие на трехмерной сфере, называются параллелями СНПВ.

Определение 1.2. Плоские линии кривизны 2-го рода называются меридианами СНПВ.

Заметим, что нормали СНПВ во всех точках параллели пересекаются в одной точке, лежащей на оси вращения и являющейся центром трехмерной сферы, на которой лежит данная параллель.

2. Главные кривизны 1-го рода.

Асимптотические линии

Для СНПВ, в выбранном нами каноническом репере матрица оператора А* имеет вид

(-к/ 0 —2р^

0 -к 0

0 0 -к

A (е) =

Разложим ее на сумму двух матриц:

' -k\ 0 -р '0 0 -р

AV) = 0 -k 0 + 0 0 0

ч-Р 0 -k j ,р 0 0 j

Характеристическое уравнение симметричного оператора B с матрицей

имеет вид

(4)

'-h 0 -Р

B(e) = 0 -k 0

,-Р 0 -k

k\ -л 0 -

0 -k - л 0

-Р

0

-k - л

= 0.

(5)

Корни уравнения (5), взятые с противоположным знаком, - это главные кривизны 1-го рода к(3). Пользуясь формулой (5), легко доказать следующую теорему.

Теорема 1.2. Все три главные кривизны 1-города сферической неголономной поверхности вращения различны, одна из них совпадает с кратной кривизной 2-го рода.

Полные кривизны 1-го и 2-го рода СНПВ связаны следующим равенством

К2 = К1 - к| р |2. (6)

Так как к^0, то из формулы (6) следует, что для СНПВ полные кривизны 1-го и 2-го рода совпадают тогда и только тогда, когда ю4=0 голономно, что для произвольных неголономных гиперповерхностей в пространстве размерности большей трех неверно [1, 3].

Из равенства {й2г,е1,е2,е3), характеризующего асимптотические линии [3], нетрудно найти дифференциальные уравнения асимптотических линий СНПВ:

к/Ю1)2 + к(о2)2 + к(о3)2 + 2рюЮ3 = 0, о4 = 0.

Совокупность всех касательных к ним в данной точке представляет собой конус 2-го порядка (быть может, вырожденный), который в выбранном репере определяется уравнениями

к1(х1)2 + к(х2)2 + к(х3)2 + 2рх1х3 = 0, х4 = 0. (7)

3. Сферические неголономные гиперповерхности

вращения, для которых К=0

Рассмотрим СНПВ, для которых Кз=0. Так как К1=йе1Б{е), то

к(р2 -кк3) = 0.

Отсюда в неголономном случае (р^0) следует, что к^0, а к3=р2/к, т.е. ни одна из главных кривизн 2-го рода не равна нулю. Главные же кривизны 1-го рода выражаются следующим образом через главные кривизны 2-го рода

к3(1) = к, к2(1) = к + к3, к3(1) = 0. (8)

Теорема 1.3. Если Кз=0 то всего лишь одна из главных кривизн 1-го рода обращается в нуль.

Действительно, если Кз=0 то главные кривизны 2-го рода к^0 и к^0. А из (7) видим, что кроме к33)=0 больше ни одна из главных кривизн 1-го рода не может обращаться в нуль.

При Кз=0 система (6), определяющая множество касательных к асимптотическим линиям, принимает вид

(рх1 + кх3)2 + к2(х3)2 = 0, х4 = 0,

т. е. конус асимптотических распадается на пару мнимых плоскостей, пересекающихся по действительной прямой

х1 = х3 = х4 = 0. (9)

Направляющий вектор этой прямой, вектор е2, совпадает с направлением вектора неголономности р=рег.

Главными направлениями 1-го рода, соответствующими главным кривизнам 1-го рода (1.8), будут направления векторов

ё2, (10)

рёг + кё3, (11)

кё1 - рё3. (12)

А линии кривизны 1-го рода - это линии, определяемые уравнениями

ю1 = о3 = о4 = 0; (13) рюъ - ко1 = 0, о2 =ю4 = 0; коО + рю1 = 0, о2 =ю4 = 0.

Теорема 1.4. Если Кз=0, то через каждую точку И<е О проходит лишь одна асимптотическая линия, совпадающая с одной из линий кривизны 1-го рода и являющаяся также линией кривизны 2-го рода, лежащей на параллели.

Доказательство. В самом деле, поскольку конус асимптотических касательных распадается на пару мнимых плоскостей, пересекающихся по действительной прямой (9), то через каждую точку ИеО проходит лишь одна асимптотическая линия с касательной прямой (9). Видим, что направляющий вектор е2 этой прямой совпадает с касательным вектором к линии кривизны 1-го рода (13). Сравнивая уравнения (13), определяющие линии кривизны

1-го рода, с уравнениями (3), которые определяют параллели, видим, что в каждой точке И<е О линия кривизны 1-го рода (13) является также одной из линий кривизны 2-го рода, лежащей на параллели. Таким образом, если Кз=0, то единственная действительная асимптотическая линия, проходящая через произвольную точку И<е О, совпадает с линией кривизны 1-го рода, а также является линией кривизны

2-го рода, лежащей на параллели. Теорема доказана.

Выясним теперь вопрос о сопряженности главных направлений 1-го рода относительно основного линейного оператора А*. Нетрудно показать, что

(ё2,А*(рё3 + ке3)^ = 0 и (^ре1 + ке3,А*е* = 0,

(е2,А*(кеГ1 -ре3)^ = 0 и {кё1 - ре3,А*е* = 0.

Отсюда видим, что главное направление 1-го рода, являющееся направлением асимптотической, взаимно сопряжено относительно оператора А* с другими направлениями 1-го рода.

Теорема 1.5. Не являются сопряженными те главные направления 1-го рода, которые ортогональны главному направлению 1-го рода, совпадающему с направлением асимптотической (в неголономном случае).

Доказательство. Главные направления 1-го рода, ортогональные направлению асимптотической, есть направления векторов ре1+ке3 и ре1-ке3. Покажем, что эти векторы являются сопряженными лишь при р=0. Для этого вычислим скалярное произведение

^рё3 + кё3,А*(ке3 -ре3)^ = р(р2 + к2).

Видим, что это выражение отлично от нуля, поскольку к^0 и р0. Следовательно, главное направление (11) 1-го рода не сопряжено главному направлению (12) 1-го рода. Аналогично можно показать, что

(ке3 -ре3,А*(ре1 + ке3)^ = -р(р2 + к2) Ф 0.

Значит, и главное направление (12) 1-го рода не сопряжено главному направлению (11) 1-го рода. Таким образом, главные направления (11) и (12) не являются сопряженными в неголономном случае. Теорема доказана.

II. Неголономные гиперповерхности двойного вращения

1. Меридианы и параллели

Рассмотрим теперь неголономные поверхности двойного вращения (НПДВ). Направим вектор е3 по главному направлению 2-го рода. Тогда А11=-к1, А12=А13=0. Кроме этого за счет выбора репера положим А32=0, и репер становится каноническим.

Теорема 2.1. Для НПДВ все три кривизны 2-го рода вещественны и различны.

Действительно, при данном выборе репера характеристическое уравнение имеет вид

А/ - X А;1 Аз

а22 - X

0

Аз3 -X

= 0.

Посколькуглавные кривизны 2-го рода к=-Х, то к,=-А;(/=1,3). Отсюда видим, что все главные кривизны 2-го различны и вещественны.

Так как репер {М,еа} (а=1,4) - канонический, то все функции в формулах (1) - инварианты. Вектор неголо-номности [3] для НПДВ имеет вид р=ре+ре+рщ,

А/

А/

Через каждую точку МеО НПДВ проходит один меридиан и две параллели.

Угол между двумя параллелями (15) и (16), проходящими через точку Ме О, находится из равенства

ео8ф1 = . 4р2рз ^_.

Л/(4(рз)2 + к - к1>2)(4(р2)2 + (кз - к/)2)

Выражения

ео8 ф2 = -

2рз

ео8ф3 =

л/4(рз)2 + (к2 - к/)2

____________2р2_____________

•\/4(р2)2 + (кз - к/)2

определяют углы соответственно между параллелью (15) и меридианом (14) и второй параллелью

(16) и меридианом (14).

2. Главные кривизны 1-го рода НПДВ.

Асимптотические линии

Для неголономных поверхностей двойного вращения в построенном нами репере матрица А* имеет вид

(-к/ 2рз -2р2 ^

0 -кг 0

0 0 -кз

А (е) =

Разложив ее на сумму двух матриц, видим, что симметричный оператор Б имеет матрицу

Аз аз а2

где р/ = —, р2 = —р рз = "2"-

Из требования того, что нормали НПДВ пересекают две неподвижные взаимноперпендикулярные плоскости (двумерные оси вращения), получаем, что р=0. Тогда линии кривизны 2-го рода НПДВ - это линии, определяемые уравнениями

ю2 = ю3 = ю4 = 0; (14)

(к2 -к/)ю1 + 2рзю2 = 0, о3 =ю4 = 0; (15)

(к3 -к1)ю1 -2р2ю3 = 0, о2 = о4 = 0. (16)

Для линий кривизны 2-го рода НПДВ справедливы следующие утверждения:

1) Линии кривизны 2-го рода, соответствующие главным кривизнам к2 и к3 2-го рода, лежат на двумерных сферах, с центрами на плоскостях вращения, а нормали НПДВ описывают вдоль них конусы с вершинами, также лежащими на этих плоскостях.

2) Линии кривизны 2-го рода, соответствующие кривизне к1, лежат в двумерных плоскостях, проходящих через нормаль и центр вращения НПДВ. Определение 2.1. Линии НПДВ, лежащие на двумерных сферах, называются параллелями НПДВ.

Определение 2.2. Плоские линии кривизны 2-го рода НПДВ называются меридианами НПДВ.

Б(е) =

- к/ рз -р

\

~р2

рз -к2 0

-р2 0 -кз

Его характеристическое уравнение имеет вид

-к/ - ¡л рз -р2

рз -к2 - ¡л 0

-р2 0 -кз - л

= 0.

Обозначим через к3(1), к2(1), к3(1), - главные кривизны 1-го рода НПДВ.

Связь между полными кривизнами 1-го и 2-го рода выражается следующим равенством

К/ = К2 + к2(р2)2 + кз(р2)2.

Находим дифференциальные уравнения асимптотических линий НПДВ:

к1(ю1)2 + к2(ю2)2 + к3(ю3)2 --2р3ю*ю2 + 2р2ю*ю3 = 0, ю4 = 0.

Для НПДВ система уравнений

к/(х1)2 + к2(х2)2 + кз(х3)2 -

-2р3хх2 + 2р2хх3 = 0, х4 = 0.

(17)

определяет совокупность касательных к асимптотическим линиям в некоторой точке МеО НПДВ.

3. Неголономные гиперповерхности двойного вращения,

для которых К=0

Пусть для НПДВ Кз=0.

Теорема 2.2. Если Кз=0, то лишь одна из главных кривизн 1-го рода НПДВ равна нулю.

В самом деле, если бы две главные кривизны 1-го рода обращались в нуль, то в характеристическом уравнении

Л + (к/ + к2 + кз)л +

+(к/к2 + к2кз + кзк/ -(р2)2 -(рз)2)л +

| к/к2кз - (р2 )2 к2 - (р2 )2 кз = 0

свободный член и коэффициент при л обращались бы в нуль, то есть

кккз - (р2 )2 к2 - (рз)2 кз = 0, кк + к2кз + кзк/ - (р2)2 - (рз)2 = 0.

Отсюда получаем

(р2)2(к2)2 + (к2кз)2 + (рз)2(кз)2 = 0,

к Ф 0, кз ф 0). ( )

Это равенство не имеет места. Поэтому в случае нулевой полной кривизны 1-го рода только одна из главных кривизн 1-го рода равна нулю. Теорема доказана.

Итак, если Кз=0, то для НПДВ выполняется равенство (18).

Уравнения касательных к асимптотическим линиям (17) НПДВ при условии (18) примут вид

р2х1 + кзх3 = ±^-к~(рзх1 -к2х2), х4 = 0.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Роговой М.Р. К метрической теории неголономных гиперповерхностей в и-мерном пространстве // Укр. геом. журнал. -1968. - № 5-6. - С. 126-138.

2. Васильева О.В. Поверхности вращения в четырехмерном евклидовом пространстве // Наука и образование: Матер. VII

Это означает, что конус касательных к асимптотическим [3] распадается на пару плоскостей (действительных в случае щпк2Ф^пк3 или мнимых, если 81§ик2=81§пк3).

Прямая пересечения этих плоскостей всегда будет действительной прямой. Она определяется уравнениями

р2 х1 + к3 х3 = 0, р3 х1 - к2 х2 = 0, х4 = 0. (19)

Асимптотическая линия, касательный вектор а (к2кз,кзрз, -к2р2)

которой идет в направлении прямой (19), определяется системой

р2ю1 + к3ю3 = 0, рзю1 -к2ю2 = 0, о4 = 0. (20)

Главное направление 1-го рода, соответствующее нулевой главной кривизне 1-го рода, определяется вектором

4 ккз: кзрз: -к2р2)

и является касательным к линии кривизны 1-го рода, имеющей уравнения (20).

Таким образом, имеет место следующее утверждение.

Теорема 2.3. Пусть Кз=0 и I - линия пересечения плоскостей, на которые распадается конус касательных к асимптотическим линиям НПДВ. Тогда в каждой точке Ме О линия кривизны 1-го рода, соответствующая нулевой главной кривизне 1-го рода, совпадает с той асимптотической линией, которая касается прямой I.

Всеросс. конф. студентов, аспирантов и молодых ученых. -Томск, 2003. - Т. 1. - С. 21-27.

3. Онищук Н.М. Геометрия векторного поля в четырехмерном евклидовом пространстве // Междунар. конф. по математике и механике: Избранные доклады. - Томск, 2003. - С. 60-68.

УДК 519.21

ВЫВОД УРАВНЕНИЙ ДЛЯ МОМЕНТОВ РЕШЕНИЙ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОЛУМАРКОВСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

О.Л. Карелова, М.А. Банько

Ставропольский государственный университет E-mail: [email protected]

Получено операторное уравнение для плотности распределения решений системы линейных дифференциальных уравнений с полумарковскими коэффициентами, на базе которого выведены зависимости для моментов решений, позволяющие исследовать устойчивость решения рассматриваемой системы.

Исследованию устойчивости решений диффе- ной литературе рассматриваются системы дифференциальных уравнений со случайными коэффи- ренциальных уравнений, коэффициенты которых

циентами посвящено много работ [1-5]. В извест- зависят от марковских цепей или марковских не-