Напряженное состояние у наноразмерного двойникового зародыша при наличии внутри него точечного источника расширения Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 538.3

НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ У НАНОРАЗМЕРНОГО ДВОЙНИКОВОГО ЗАРОДЫША

ПРИ НАЛИЧИИ ВНУТРИ НЕГО ТОЧЕЧНОГО ИСТОЧНИКА РАСШИРЕНИЯ

О. М. ОСТРИКОВ

Учреждение образования «Гомельский государственный технический университет имени П. О. Сухого»,

Республика Беларусь

Введение

Изучение стадий зарождения двойников является весьма сложной экспериментальной задачей [1]. В работе [2] впервые сообщалось о наблюдении нанодвойников, характеризующих начальную стадию развития двойников. Современные теоретические методы могут дать основу для определения направлений экспериментального исследования зарождения двойникования в деформируемом кристалле. Поэтому моделирование процессов зарождения двойников является актуальной задачей не только с научной, но и с практической точки зрения, так как это способствует развитию технологий, позволяющих управлять процессом двойникования, которое часто является причиной разрушения материалов, когда их ресурс прочности еще не исчерпан.

Цель данной работы - изучение напряженного состояния у наноразмерного двойника формы близкой к линзовидной форме при наличии внутри его концентратора напряжений.

Постановка задачи и ее решение

Для расчета полей напряжений, создаваемых нанодвойником, воспользуемся схемой, представленной на рис. 1. На ней нанодвойник представлен в виде совокупности краевых и винтовых дислокаций. Пусть ^ и h - параметры, определяющие расстояние между двойникующими дислокациями (рис. 1) и находящиеся как проекции на оси OX и OY соответственно отрезка, соединяющего две соседние дислокации. Обозначим длину нанодвойника через 2L, а ширину - через 2Н.

Так как двойникующие дислокации являются частичными дислокациями Шокли [2],

[3], то их вектор Бюргерса можно разложить на две составляющие: краевую (К) и винтовую (Ьь ). Пусть данные составляющие вектора Бюргерса направлены так, как это показано на рис. 1. Тогда в приближении изотропности и однородности среды из известных соотношений для расчета полей напряжений у единичной дислокации [3]:

[К у (Зх 2 + у 2)

2я(1 -V) (х2 + у2)2 !

а _ [К у (х 2 - у2)

2я(1 -V) (х2 + у2)2 ’

а _ 14 х(х2 - У2)

^ -о — —

хх

0 УУ _

о_

* 2я(1 -V) (х2 + У2)2’

а _ [КV У

о „ _ --

2л(1 - V) х + у

0ё ДЬь У

о _ = -

2 л х2 + у2

л ДЬь х

2 л х + у

где д - модуль сдвига; V - коэффициент Пуассона, напряжения у рассматриваемого нанодвойника могут быть определены из выражений:

о хх = -

дЬ Г N (у + пк)[3(х + пё - Ь)2 + (у + пк)2 ]

I

2л(1 -V) ^ П=0 [(х + пё - Ь)2 + (у + пк)2]2

I (у + пк)[3(х - пё + Ь)2 + (у + пк)2 ] п=о [(х - пё + Ь)2 + (у + пк)2]2

♦I(у - пк)[3( х+пё~Ь)2+(у - п к)2]

0 уу =

п=1 [(х + пё - Ь)2 + (у - пк)2]2

I-1 (у - пк)[3(х - пё + Ь)2 + (у - пк)2 ]^

п=1 [(х - пё + Ь)2 + (у - пк)2]2 J

дЬ Г N (у + пк)[(х + пё - Ь)2 - (у + пк)2 ]

22

2л(1 -V) ^ „=о [(х + пё - Ь) + (у + пк) ]

I (у + пк)[(х - пё + Ь)2 - (у + пк)2 ] п=0 [(х - пё + Ь)2 + (у + пк)2]2

I (у - пк)[(х + пё - Ь)2 - (у - пк)2 ] п=1 [(х + пё - Ь)2 + (у - пк)2 ]2

I (у - пк)[(х - пё + Ь)2 - (у - пк)2 ]^

п=1 [(х - пё + Ь)2 + (у - пк)2]2 у

ДЬV ( N у + пк

о = —:—-—I I . .

22 л(1 - V) ^п=0 (х + пё - Ь)2 + (у + пк)2

^ у + пк N у - пк

Л -.2 ......г^2 ^

п=0 (х - пё + Ь)2 + (у + пк)2 п=1 (х + пё - Ь)2 + (у - пк)2

у - пк

0 ху =

=1 (х - пё + Ь) + (у - пк) ) дЬ (х + пё - Ь)[(х + пё - Ь)2 - (у + пк)2 ]

2л(1 -V) ^п=0 [(х + пё -Ь)2 + (у + пк)2]2

I-1 (х - пё + Ь)[(х - пё + Ь)2 - (у + пк)2 ] п=о [(х - пё + Ь)2 + (У + пк)2 ]2

2 т2

[(х + пё - Ь) + (у - пк) ]

у! (х - пё + Ь)[(х - пё + Ь)2 - (у - пк)2]^ п=1 [(х - пё + ь)2 + (у - пк)2]2

у

о,„ = -

-у

2л

у + пк

у + пк

У-------- 2 2

^ п=о (х + пё - Ь) + (у + пк)

у - пк

+У

п=0 (х - пё + Ь) + (у + пк) п=1 (х + пё - Ь) + (у - пк)

-У

у - пк

а?у 2л

! (х - пё + Ь) + (у - пк) у МЬ ( * х + пё - Ь

\2

N-1

-У:

п=0 (х + пё - Ь) + (у + пк) х - пё + Ь * х + пё - Ь

+У

(х - пё + Ь) + (у + пк) п=1 (х + пё - Ь) + (у - пк)

-У

х - пё + Ь

! (х - пё + Ь) + (у - пк) у

(2)

где п - индекс суммирования; N - определяет число двойникующих дислокаций на каждой из двойниковых границ.

В соотношениях (2) учтено, что в точках А, В, С и D (рис. 1) может находиться только одна двойникующая дислокация.

Следует отметить, что рассматриваемые соотношения применимы для всех двойникующихся материалов, но с ограниченной точностью в рамках приближения изотропной и однородной среды.

Для определения напряжений у точечного источника расширения мощностью 8у , находящегося в точке О (рис. 1), воспользуемся соотношением [2]:

о — —

гг

лг

(3)

7 2 2

х + у .

Используя соотношения [4]:

о хх =о>п2б;

оуу =°ггс^ 0

о ху = ог^т0^0,

получим:

[м5у у2

л (х- + у2 у2

2

2

п=0

п

о — —

уу

О — —

ху

М§у х2

л (х2 + у2 ^

М§у ху

л (х2 + у2 )Г

Рис. 1. Схематическое изображение нанодвойникового зародыша в виде совокупности двойникующих дислокаций

Результирующие напряжения в среде с нанодвойником находятся как суперпозиция напряжений, определяемых по формулам (2) и (5). Это возможно ввиду аддитивного вклада в напряженное состояние нанодвойника и точечного источника расширения.

Результаты расчетов и их обсуждение

Результаты расчетов скалывающих напряжений оху у нанодвойника при отсутствии

точечного источника напряжений представлены на рис. 2а. В расчетах принималось: N = 10; ^ = 0,124 нм; м = 81 ГПа; V = 0,29; ё = 2,48 нм; к = 0,248 нм [5]. Длина нанодвойника при этом находится по формуле

(6)

В нашем случае она составила 49,6 нм.

При отсутствии концентратора напряжений внутри двойникового зародыша положительные напряжения локализуются у его вершин (в точках А и С на рис. 1), а отрицательные - в средней его части (в точках В и D на рис. 1).

При помещении в точку О источника расширения, создающего напряжения, определяемые по формулам (4), при 5v = 1 мкм3 и в приближении отсутствия процесса генерации двойникующих дислокаций положительные напряжения у вершин нанодвойника несколько уменьшаются, а отрицательные - увеличиваются (рис. 2б). При 5v = 10 мкм3 отрицательные напряжения в средней части нанодвойника (в точках В и D на рис. 1) возрастают почти на порядок, а положительные напряжения, в отличие от предыдущего случая, у вершин нанодвойника (в точках А и С на рис. 1) также возрастают (рис. 2в).

Рис. 2а. Распределение скалывающих о напряжений у нанодвойника

ху

при отсутствии дополнительных источников напряжений

у, нм

Рис. 2б. Распределение скалывающих о у напряжений у нанодвойника при наличии точечного источника расширения с 8у = 1 мкм3

Рис. 2в. Распределение скалывающих сху напряжений у нанодвойника при наличии точечного источника расширения с 5v = 1 мкм3

у, нм

Рис. 2г. Распределение скалывающих с напряжений у нанодвойника при наличии

ху

в точке О полной краевой дислокации с величиной вектора Бюргерса Ь = 0,348 нм

Повышение уровня напряжений в средней части нанодвойника (в точках В и D на рис. 1) способствует генерации двойникующих дислокаций и росту ширины двойника. Поэтому можно предположить, что на начальных стадиях развитие двойников обусловлено преимущественно процессами генерации двойникующих дислокаций.

Интересна ситуация, когда в точке О (рис. 1) находится дислокация, так как в качестве одного из типов источников двойникующих дислокаций могут выступать полные дислокации, расщепляющиеся на частичные двойникующие дислокации [6]. В случае краевой дислокации, находящейся в точке О, распределение скалывающих напряжений сху представлено на рис. 2г.

Как видно из рис. 2г, напряжения возрастают в точках, соответствующих токам В и D на рис. 1. В меньшей степени эти напряжения растут в области точек А и С на рис. 1. Это означает, что полная дислокация в точке О с вектором Бюргерса, ориентированным вдоль

оси OX (рис. 1), способствует генерации новых двойникующихся дислокаций на границах двойникового зародыша.

Заключение

Таким образом, на основании дислокационной модели рассчитаны поля напряжений у наноразмерного двойникового зародыша. Изучено влияние на напряженное состояние у нанодвойника, находящегося внутри него точечного источника расширения. Установлено, что наличие точечного источника расширения способствует росту уровня скалывающих напряжений у нанодвойника таким образом, что благоприятным становится процесс генерации двойникующих дислокаций. Этому также способствует полная дислокация, находящаяся внутри двойникового зародыша.

Литература

1. Остриков, О. М. Нанодвойникование монокристаллов висмута / О. М. Остриков //Изв. высш. учеб. заведений. Сер. Черная металлургия. - 2002. - № 3. - С. 51-52.

2. Классен-Неклюдова, М. В. Механическое двойникование кристаллов / М. В. Классен-Неклюдова. - Москва : АН СССР, 1960. - 262 с.

3. Хирт, Дж. Теория дислокаций / Дж. Хирт, И. Лоте. - Москва : Атомиздат, 1972. - 600 с.

4. Джонсон, К. Механика контактного взаимодействия / К. Джонсон. - Москва : Мир, 1989.- 510 с.

5. Полухин, П. И. Физические основы пластической деформации / П. И. Полухин, С. С. Горелик, В. К. Воронцов. - Москва : Металлургия, 1982. - 584 с.

6. Остриков, О. М. Влияние импульсов электрического тока на работу источников двойникующих дислокаций в монокристаллах висмута / О. М. Остриков // Инженер.-физ. журн. - 1999. - Т. 72, № 3. - С. 592-594.

Получено 20.02.2009 г.