Напряженное состояние тонкого покрытия при действии периодической системы поверхностных сосредоточенных сил Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

М. А. Греков, С. А. Костырко

Вестник СПбГУ. Сер. 10, 2004, вып. 4

НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ТОНКОГО ПОКРЫТИЯ ПРИ ДЕЙСТВИИ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ПОВЕРХНОСТНЫХ СОСРЕДОТОЧЕННЫХ СИЛ *)

Многие свойства поверхностного слоя твердого тела в той или иной степени отличаются от аналогичных свойств его внутренней части. Это различие зависит от характера контакта тела с окружающей средой, а также от функциональной нагрузки, которую несет поверхностный слой, существующий, в частности, у всех живых организмов -от простейших растений до человека. К поверхностным слоям можно отнести всевозможные покрытия (дорожные, антикоррозионные и т.д.) и тонкие наружные слои материалов, образовавшиеся в результате внешнего воздействия (химического, радиационного, температурного, силового и т.д.) или в процессе изготовления. В последнее время широкое распространение получили тонкие покрытия в электронной и оптической промышленности. В связи с этим изучению свойств поверхностного слоя и его контактного взаимодействия с основным материалом уделяется пристальное внимание в научной и инженерной практике (см., например, [1-11]). Данная статья является продолжением исследований [12-14] по построению и изучению периодических функций Грина для упругих тел с тонким покрытием. В отличие от указанных работ в ней приводится точное периодическое решение задачи в случае действия поверхностных сосредоточенных сил. В качестве модели рассматривается упругое полу бесконечное тело с тонким поверхностным слоем из другого материала в условиях плоской деформации или плоского напряженного состояния. Решение задачи в такой постановке сводится к построению соответствующих функций Грина для композита полоса-полуплоскость. Ранее в работе [15] были получены простейшие приближенные выражения для этих функций и установлены пределы их применимости.

1. Постановка задачи. Рассмотрим двухкомпонентную упругую среду, состоящую из полуплоскости i)i = {z : Im 2 < 0, Rez € R1} и полосы ГЬ = {z : 0 < Im 2 < h, Rez € R1} шириной /г, где z = x\ + ixi (рис. 1).

Считаем, что на границе контакта полосы с полуплоскостью Гс = {z : z = zc, Im z = 0, Rez £ R1} выполняются условия идеального сцепления

и+ = и~, а+= <г~, геГС) (1)

гдеа±= lim ar(z); w± = lim u(z); и = щ+Ш2; er = ann+icrnt] Щ>U2 ~ компоненты

X2—^zfcO X2—>±0

вектора перемещений соответственно вдоль осей х\ и жг; crnn, ant - нормальное и касательное усилия на площадке с нормалью п (в (1) и ниже в (2) орт п перпендикулярен оси xi). Орты n, t определяют правую систему координат п, t.

На границе среды Г& = {z : z = %ь = xi +ih} действуют самоуравновешенные усилия

= Р22 ~ »Pi2 = РоМ, zbeTb, (2)

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 02-01-01156), программы Президента РФ по поддержке ведущих научных школ РФ (грант № НШ-2180.2003.1) и Санкт-Петербургского конкурса 2004 г. для молодых ученых и специалистов (грант К» М04-2.2Д-530).

© М. А. Греков, С. А. Костырко, 2004

/р / ✓ / q / -

/// / /// / /А / /// //////

а2 V2, И-2 Гь h Тс

й, Vl, Hl *i

Рис. 1.

причем функция ро(х\) удовлетворяет условию Гельдера почти всюду при х\ € Я1 и является периодической. Таким образом, имеют место два равенства

а/2

PoOci) = Po(zi + а), J Po(t)dt = 0. (3)

-а/2

Кроме того, полагаем

lim (Tij(z) = lim uf(z) = 0, (4)

Im z—t—oo Im z—t—oo

здесь oj - угол поворота материальной частицы, <7^ - компоненты напряжений. Функция po(xi) имеет вид

+оо .р

Pofai) = -%Р у\ s(x 1 - Xik) + —, (5)

и а

к=—оо

в котором <5 (ж) - дельта-функция Дирака, Р = Р]. +1Р2, 1ц = хю + ка, к = 0, ±1, .... Функция (5) отвечает действию периодической системы сосредоточенных сил Р = (Р\, Р2) в точках гьк = х\к+ъЬ, границы среды Г& и равномерно распределенных усилий </ = — (Рг — гР*1)/а, уравновешивающих эту систему (см. рис. 1).

Заметим, что действию только одних усилий <7 на Гь отвечает кусочно-однородное напряженно-деформированное состояние среды, определяемое, в частности, равенствами [14]

8ш 4а _

0-22 - чти = Я, 0-11 + 022 + г-и =-—, г € II,-. (6)

+ 1 х,- +1

Здесь х^- = (3 — + V]) при плоском напряженном состоянии, х,- = 3 — 4^,- при

плоской деформации; - соответственно коэффициевт Пуассона и модуль сдвига

компонента среды VI^ {] — 1, 2).

2. Основные соотношения. В соответствии с принципом суперпозиции решение задачи представим следующим образом:

( \ ( \ I геП2, . , . ["2 (г),

ф) = <тс(г) + 4 и(г) = ис(г) + 4 (7)

1^0, ^0, геПг,

где <72, у>2 - решение задачи для полуплоскости с упругими свойствами полосы Пг-На границе полуплоскости действует требующая определения неизвестная нагрузка, а условия на бесконечности аналогичны условиям (4). Усилие ас и перемещение ис -решение задачи для двух соединенных полуплоскостей со скачками усилий Аа = — а~ = — 02 (гс) и перемещений А и = — и~ = —щ^с) на границе раздела Гс при тех же нулевых условиях на бесконечности.

Согласно [14], решение задачи (1), (2), (4) при учете (7) сводится к решению интегрального уравнения Фредгольма второго рода относительно неизвестной функции

/Ы

/(*6) - (Д,с/)(*ь) = /оЫ, гь € Г6. (8)

Оператор Вос можно записать в виде [15]

+оо +оо

(ВосЛ(гь)= ! I М2(х 1,07(0 Л,

(9)

XI е (-оо, +оо),

здесь

М1(ж1,0 =

2т

К2

Кх 8И2К2

М2{х 1,0 = -

Ь — ь)2 Ь — 2 (£ - и)2)3

НК2

11)2

[{Ь-Щ)2 х\ + ПК

(10)

#1 =

Г УС1 - х2

Кп =

г- 1

г =

/¿2

(11)

1 + Г XI ' " Г + Х2 (¿1

Правая часть уравнения (8) - известная непрерывная функция /о(^ь) = (Восро)(гь). При выполнении условий периодичности (3) функция /о периодична по переменной х\. В этом случае решение уравнения (8) будет также периодическим, и тогда в соотношении (9) можно перейти от интегрирования по бесконечной прямой к интегрированию по длине периода. Соответствующим образом преобразуются при этом и ядра интегральных операторов (10). Вместе с тем следует подчеркнуть, что уравнение (8) и последующие соотношения (вплоть до момента использования условия периодичности) относятся к общему случаю постановки задачи (1), (2), (4), для которого вместо условий (3) необходимо потребовать, чтобы функция ро убывала на бесконечности и интеграл от этой функции по Гь был равен нулю.

Напряженно-деформированное состояние двухкомпонентной плоскости определяется равенством [14, формула (16.8)]

(12) 101

в котором

а(г), щ = 1,

ОД =

При этом оператор А описывается формулами

(Л/)(г) = (Ах/К*) - К\ (»дФоИ + ФоН) + [К2 (Ф0(®) + +

(А/)(г) = (Аа/)(г) + т?2К2 (фоМ + 2г/гф£(Ш0) + К2 (ф^К) - 2ШФ'0{т)) -- [^!Ф0(®1) + К2 (ф^М - 2*ЛФ1(®1)) -

(А,/)(г) = ъЫ™) + ^Н - (Фо(®) + ФоМ ~ (« ~ Ш)ф£и)е"2'а, г € % (13)

где ги = г — Иг, ь)\ =■ г + а - угол наклона площадки к оси х±. Функция Фо определяется равенством

+оо

—оо

3. Периодическое решение при силовых сосредоточенных воздействиях.

Учитывая периодичность функции ро и, следовательно, функции /(х 1), представим последнюю в виде тригонометрического ряда

+оо

f(x1) = ]Г СкЕк(Х1), (15)

к=—оо

здесь Ек(хг) = еЬкХ\ Ьк = 2тк/а, Ск= Ак+ 1Вк.

Заметим, что Со = 0, в силу второго условия в (3). Остальные коэффициенты требуют определения. Подставим (15) в (14). Тогда на основании свойств интеграла типа Коши [16] получим

ФоМ = <

Г +оо

-ЕСлЯЛН, 1тги > О, к-1

(16)

—оо

£ СкЕк(ю), 1тги < 0. к=-1

С учетом (16) соотношения (13) принимают вид

+оо

(Л/)(г)= £ [СкУк(г) + Ск\¥к(г)]. (17)

к——оо

В (17) при г еП2

ад = тЕк{ш) + ^К2 (1 - е-2-) Ек(Щ) - (кг - - 2)) е"2-^^),

ИВД = (1- е"2'а) - ^ - Ъ)е2{аЕк(-Ш) + 2ШщК2Ек{^{)) , к < 0;

= - г/2^2^К),

= -К2 ((1 - е"2-) - - Ек(-Щ), к > 0; (18)

при гбП]

Ук(г) = т(1-К1)Ек('ш), УГк(х) = (1 - Кх) (1 - е-2"*) Ек(-й>) +

+ ^ (2*Л(1 - К2) - (1 - Кг){г - 2)) е~21аЕк(-ю), к< 0;

ад = (1 - £2)е~2^Ш), Рад = 0, к > 0. (19)

Здесь, как и в (11), ю = г — г/г, = г + г/г.

Подставим (15) в интегральное уравнение (8). Тогда приходим к следующему соотношению, содержащему неизвестные коэффициенты Ск:

+оо

• + СыФыЬъ)] = /о(хО. (20)

к——оо

В нем -гь = хг + г/г, а функции 14 и И^ определяются формулами (18) и (19) при ГЦ - Г] 2 = 1.

Нетрудно заметить, что функции Ук(гь) и И^(гь) в (20) можно записать в виде

Ук(гь) = УкЕк(хг), \УкМ = \¥кЕк(-хг), (21)

где

V* = 1 - (кг - 4/г2Ь^2) Ек(—ИЬ), УУк = -2ШК2ЬкЕк{-2{К), к < 0;

^ = 1-£2Я*(2г/г), ИЪ =2ИгК2ЪкЕк{2И1), к> 0.

Из (21) следует, что левая часть уравнения (20) является тригонометрическим рядом. В силу периодичности и непрерывности, функция /о {х\) может быть разложена в ряд Фурье на промежутке [—а/2, а/2], т.е.

+оо %

Мхг)= £ х), (22)

к=—оо а/2

-а/2

Подставив (22) в (20), с учетом равенств (21) находим неизвестные коэффициенты Ск _

Ck = D*V-k-D~k™-\ * = ± 1,±2,."... (23)

VhV-k-WhW-k

Таким образом, получено точное периодическое решение интегрального уравнения (8) в виде ряда (15). Напряженно-деформированное состояние соответствующей периодической задачи (1)-(4) может быть определено по формуле (12). При этом второе слагаемое в правой части равенства (12) вычисляется по тем же формулам (13) при замене в них функции Фо(^) на функцию

4-00 s

и = - 2Й = ^Г^ ' Та I ^ П <24>

¿m J t — w ¿a a Iа I — г, 1тги < 0.

—оо

Так, для вычисления усилий апп, ant на площадке с нормалью п, направленной под углом а к оси хг, в соответствии с (12) имеем

(Тип + гсгщ = (Af)(z) + (Apo)(z). (25)

Здесь первое слагаемое в правой части вычисляется по формулам (17)—(19) при использовании (22), (23), а для второго можно написать

(Ap0) = G°2(z) + Gl(z) ■ (26)

и ___

G°2(z) = Ф*(г)+Щ(7)- (ф*(г) +1*5) - (z - 2)Ф*o'(z)y~2ia, z € Пх и n2>

G\{z) = -к! (фзи + ф*й) + [к2 (ф*0(ъ) + илфз'и) +

+ Кг (iSH - (z - 2)Ф5») ] e~2ia, z е Пь

G\{z) =к2 (Ф5(ил) + +^2 (i5W-2^'(«Ji)) -

- [&Ф*(юг) + К2 (ф^Ы - 2г/гФо' (Шг)) -

-K2(z - z) (ф^'К) - 2ШФ*"(юг)) ]e~2ia, zeCt2.

Таким образом, второе слагаемое в (25) вычисляется по формуле (26) при учете (24).

Следует отметить, что если в (25) вычесть усилия, которые соответствуют (6) и определяются равенством

стпп + urnt = -ii^- (1 - e~2ia) + qe~2ia,

Xj + I

и учесть это при вычислении перемещений по формуле (12), то можно получить периодические поля напряжений и перемещений, создаваемые в композите одними только сосредоточенными силами Р.

4. Напряжения в слое. Численные эксперименты, проведенные в [15] при иг = и2 = 0,25, показали, что при h/a > 0,33 погрешность аппроксимации функции /о

и, следовательно, решения интегрального уравнения (8) одной первой гармоникой не превышает 0,1%. С учетом этого приведем результаты расчетов нормальных (<722) и касательных (012) усилий в полосе и на границе раздела, полученных с использованием только первой гармоники ряда (22). Расчеты проведены по формулам (13), (25) и (26) в случае действия горизонтальных сил Р\ (Р2 = 0 ).

Распределение усилий сг22 и <712 вдоль границы раздела и вдоль линий, параллельных границе раздела, показано соответственно на рис. 2, 3. Графики на рис. 2 построены при значениях ширины полосы к/а = 0,33; 0,55; 0,9 (кривые 1-3 соответственно), а на рис. 3 - при к/а = 0,55 (кривым 1-3 соответствуют линии х2 = 0 (граница раздела), х2/к = 0,5 и х2/к = 0,75).

Рис. 2.

Рис. 3.

Из рис. 2, 3 видно, что при удалении от границы полосы законы распределения усилий сг22 и 012 приближаются к тригонометрическим функциям. Так, при h/a = 0,9 (см. рис. 2) контактные усилия описываются следующими приближенными формулами: 022 я* — 0,05.Pi sin (27r#i/a), 012 ra — 0,05Pi eos (27rxi/a). Аналогичная закономерность

наблюдается и в случае действия периодической системы сосредоточенных сил внутри полуплоскости, соединенной с полосой [13].

Представляет также интерес, как влияет параметр относительной жесткости г = £¿2/^1 на поведение контактных усилий. Прежде всего заметим, что при г = 1 имеем однородную полуплоскость, при г > 1 поверхностный слой более жесткий, чем основной материал, а при г < 1 - наоборот, более мягкий. На рис. 4 приведены зависимости усилий 022(xi) и <712(xi) при г = 1/3, 3 (кривые 1, 2) и фиксированной величине h/a = 0,55. Как и следовало ожидать, при более мягком материале слоя максимум абсолютных значений усилий на границе контакта выше, чем при более жестком.

Рис. 4.

Summary

Grekov М. A., Kostirko S. A. Stresses in a thin coating under the action of the periodic system of surface concentrated forces.

Two-dimensional model of an elastic body with a thin coating is considered as a half-plane connected with a strip loaded by the periodic system of surface concentrated forces and a uniform traction balancing these forces. The exact solution of the problem is obtained in the form of functional series and a dependence of the stresses in the strip and at the interface upon the geometric and elastic parameters of the problem are examined.

Литература

1. Александров В. M., Мхитарян С. М. Контактные задачи для тел с тонкими покрытиями и прослойками. М., 1983. 488 с.

2. Горячева И. Г., Горская Е. В. Периодическая контактная задача для системы штампов и упругого слоя, сцепленного с упругим основанием // Трение и износ. 1994. Т. 6, JV® 4. С. 642-652.

3. Горячева И. Г, Горская Е. В. Анализ напряженного состояния тел с покрытиями при множественном характере нагружения // Трение и износ. 1994. № 3. С. 349-357.

4. Макушкин А. П. Напряженно-деформированное состояние упругого слоя при внедрении в него сферического индентора. Сообщение 1 // Трение и износ. 1990. № 3. С. 424-434.

5. Макушкин А: П. Напряженно^ деформированное состояние упругого слоя при внедрении в него сферического индентора. Сообщение 2 // Трение и износ. 1990. № 4. С. 602-608.

6. Морозов Н. Ф., Паукгито М. В., Товстик П. Е. Устойчивость поверхностного слоя при термонагружении // Изв. РАН. Серия: Механика тв. тела. 1998. № 1. С. 130-139.

7. Никишин В. С., Шапиро Г. С. Пространственные задачи теории упругости для многослойных сред. М., 1970. 260 с.

8. Kio С. N., Keer L. М. Contact stress analysis of Si layered transversely-isotropic half-space 11 J. Tribology. 1992. N 2. P. 253-262.

9. Sainsot Ph., Leroy J. M., Villehage B. Effect of surface coatings in a rough normally loaded contact // Mechanics of Coatings (Tribology Series). 1990. P. 151-156.

10. Suo Z., Hutchinson J. W. Steady-state cracking in brittle substrates adherent films // Intern. J. Solids Structures. 1988. Vol. 25, N 11. P. 1337-1353.

11. Olivera S. A. G., Bower A. F. An analysis of fracture and delamination in thin coating subjected to contact loading // Wear. 1996. Vol. 198. C. 15-32.

12. Греков M. А., Моисеева H. В. Периодические системы сил и дислокаций в полуплоскости, соединенной с полосой // Нелинейные проблемы механики и физики деформируемого твердого тела / Под ред. К. Ф. Черныха. СПб., 1998. Вып. 1. С. 118-127.

13. Греков М. А., Еременко Н. Б. Периодические функции Грина для полуплоскости, соединенной с полосой // Материалы XXXVI семинара «Актуальные проблемы прочности». Ч. 1. Псков, 2000. С. 545-549.

14. Греков М. А. Сингулярная плоская задача теории упругости. СПб., 2001. 192 с.

15. Костырко С. А. Периодическая задача о действии сосредоточенных сил на границе композита полоса-полуплоскость (приближенное решение) // Нелинейные проблемы механики и физики деформируемого твердого тела / Под ред. К. Ф. Черныха. СПб., 2003. Вып. 7. С. 118-127.

16. Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М., 1966. 708 с.

Статья поступила в редакцию 19 октября 2004 г.