Напряженное состояние плоской поверхности упругого тела нанометрового размера при периодическом силовом воздействии Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 517.544, 539.3

Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2012. Вып. 4

НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ПЛОСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ УПРУГОГО ТЕЛА НАНОМЕТРОВОГО РАЗМЕРА ПРИ ПЕРИОДИЧЕСКОМ СИЛОВОМ ВОЗДЕЙСТВИИ*

Ю. И. Викулина1, М. А. Греков2

1. С.-Петербургский государственный университет, аспирант, [email protected]

2. С.-Петербургский государственный университет, д-р физ.-мат. наук, профессор, [email protected]

1. Введение. Физико-механические свойства приповерхностных слоев реальных тел существенно отличаются от аналогичных свойств в глубине тела [1], однако на макроуровне это практически не отражается на свойствах и поведении всего тела в целом. Вместе с тем, в случае наноразмерных структур это различие проявляется, в частности, в заметном влиянии поверхностных напряжений на физические свойства материала, например, они являются причиной размерных эффектов, то есть зависимости характеристик материала от параметра размерности длины.

Как правило, влияние поверхностного напряжения на состояние идеально упругого тела не учитывается на макроуровне, так как оно незначительно в сравнении с влиянием других нагрузок. Модели, учитывающие свойства поверхности в нанообъек-тах, описываются теорией упругости с поверхностными напряжениями, получившей бурное развитие в последние годы [2, 3]. Цель данной работы — исследовать эффект воздействия поверхностного напряжения на напряженное состояние границы упругой полуплоскости при периодическом нагружении.

2. Постановка задачи. Рассмотрим упругую среду, занимающую полупространство, поверхность которого обладает упругими свойствами, отличными от аналогичных свойств объема. Предполагаем, что среда находится в условиях плоской деформации под действием внешних сил и дополнительных поверхностных напряжений. Таким образом, приходим к формулировке краевой задачи о деформации полуплоскости И = {г : 1т г < 0, И,е г £ К1}, г = Х1 + гхз, с прямолинейной границей Г.

В общем случае граничные условия описываются обобщенным законом Лапласа— Юнга [2] и имеют вид

п • Я -V, • т = р, (1)

где п — вектор нормали к поверхности тела, Я — тензор объемных напряжений, т — тензор поверхностных напряжений, р — вектор внешних поверхностных сил.

Уравнение (1) означает, что действие поверхностных напряжений заменяется действием соответствующих усилий ^ (г) = Vят, определяемых действием оператора поверхностного градиента Vя = V — пд/дп, где V — оператор Гамильтона [4]:

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №11-01-00230) и Санкт-Пербург-ского государственного университета (НИР №9.37.129.2011). Доклад на Международной конференции по механике «Шестые Поляховские чтения» 31 января — 3 февраля 2012 г., Санкт-Петербург, Россия.

© Ю. И. Викулина, М.А.Греков, 2012

tS(z) = - (— + T22V | ei (jLh2Tll + —hlT21 + —П2 - — T22^) + yRi R.2J \dai d«2 d«2 dai J

e2 ( dh1 d dh2 d N

+ "я-TH + я-"-2П2 + ä-T21 + я-"-1T22 • (2)

hih2 \ öa2 dai dai da2 /

Здесь ei, e2 —орты криволинейной системы координат ai, a2; hi, h-2 —соответствующие метрические коэффициенты, Ri, R2 —главные радиусы кривизны координатных линий, Tj —компоненты тензора поверхностных напряжений.

Полагая ai = xi, a2 = Х2, для плоской поверхности хз =0 в условиях плоской деформации имеем hi = h-2 = 1, 1/Ri = I/R2 = 0. Кроме того, поскольку Ti2 = 0, T22 = T22(xi), в комплексной записи граничное условие (1) при учете (2) принимает вид

033(z) - iri3(z) = -ip(xi) - ¿ts(xi), z G Г, (3)

где p(xi) = pi(xi) + ¿p3(xi); pi,p3 —проекции вектора внешней нагрузки p на оси декартовой прямоугольной системы координат xi, хз; ts = дтц/dxi.

Заметим, что уравнение (3) можно получить непосредственно путем составления баланса сил, действующих на элемент плоской дуги [5].

Считаем, что в общем случае на границе полуплоскости действует периодическая нагрузка

xi+A/2

p(xi )= p(xi + Л), У p(t)dt = Р, Р = Pi + гРз, (4)

x1-A/2

где функция p(xi) удовлетворяет условию Гёльдера всюду на Г. При этом на бесконечности выполнены условия

lim (a33(z) — ¿ai3 (z)) = — iP/Л, lim aii(z ) = ai, lim w(z) = (5)

Ж3—> — ж хз—> — ж хз—> — ж V /

где w —угол поворота материальной частицы; ст^- —компоненты напряжений в системе координат xi, x3.

Определяющие соотношения поверхностной [2, 4] и объемной теории упругости при плоской деформации сводятся соответственно к следующим:

Tii = Yo + (ЛЯ + 2дд — 70 )eii, T22 = 70 + (Л8 + 70 (6)

^11 = (Л + 2^)ец + Лезз, CT33 = (Л + 2^)езз + ЛЕЦ, (_)

<731 = 2^£з1, ^22 = Л(езз + £ц), ( )

где Yo —остаточное поверхностное напряжение в недеформированном состоянии; Ля, ^s — модули поверхностной упругости, аналогичные постоянным Ламе Л, ^ для объемной упругости; £ij —компоненты объемной деформации; е^ —компонента деформации поверхности.

3. Вывод интегрального уравнения. Из условия непрерывности перемещений при переходе от объема Q к границе Г

lim Uj(z) = uj(xi),

z—x1 j

где us —перемещение точек границы Г вдоль оси Xj (j = 1, 3), вытекает условие непрерывности деформации £ц

lim си = eil. (8)

z—>Х1

Соотношения (6), (8) приводят к уравнению для нахождения поверхностного напряжения Гц:

Tii(xi) = yo + (As + 2Ms - 7o)eii(xi). (9)

Таким образом, пришли к решению задачи определения напряженно-деформированного состояния полуплоскости с прямолинейной границей, на которой действуют поверхностные напряжения тц, связанные с деформацией £ц соотношением (9), при условиях на бесконечности (5).

Выражение для деформации £ц найдем из решения краевой задачи (3), (5). Вектор напряжений ап = ann + iani на площадке с нормалью n и вектор перемещений u = ui + iu2 в точке z связаны с комплексными потенциалами Гурса—Колосова формулами [6]

an(z) = Ф(г)+¥(!)- (Ф(г) + Ф(1) - (z-z)W(^j ß-2ia, (10)

-2= -хФ(г) + ФЫ - (ф(г) +Щ1) - (z-z)WTz}) е"24«, (И)

dz V У

где а — угол наклона площадки к оси xi; к = 3 — 4v; v — коэффициент Пуассона. Производная в (11) берется вдоль площадки, т.е. в направлении вектора t, перпендикулярного орту n и определяющего с ним правую систему координат n, t.

При этом из (5), (10) и (11) следуют значения функции Ф на бесконечности:

Ит Ф (z) = ^+^+JVLt>;00 = £i+^>

жз^-оо w 4 к+1 4 4Л

(12)

<л P3 iP lim $(-*)= lim ф(г) _ _ = ^ +-4 + ■

Хз—> — С Хз—> — с

4 4A A

Для решения краевой задачи перейдем в (10) к пределу при z ^ xi £ Г и а = 0. Тогда при учете граничных условий (3) получаем задачу Римана—Гильберта о скачке:

Ф+ (xi) — Ф-^!) = its(xi) + ip(xi), (13)

где Ф^^) = lim Ф(z). Согласно [7] решение задачи (13) можно записать в виде

Im z—±0

с сю

-с -с

Здесь c± = lim Ф(z) ^iP/(2A), так как lim IT(z) = 0 и lim Ip(z) = ±iP/(2A).

Хз—Хз—Хз—

Полагая а = п/2 в (10) и а = 0 в (11), на границе Г получим

crn(xi) + го-13(xi) = Ф (xi) + 2Ф"(ж1) + Ф+(ж1),

(15)

-2¡j,^- = -хФ"(ж1) - Ф+(ж1). (16)

dx i

Подставив (16) в (9), получим

rn=7o + £)Re (*Ф- + Ф+), Д= AS + 22^~70. (17)

Используя формулы Сохоцкого—Племеля, можно показать, что (17) является интегро-дифференциальным сингулярным уравнением относительно поверхностного напряжения тц. После дифференцирования (17) с учетом (14) приходим к уравнению относительно неизвестной функции ts:

ts(xi) - DRe (к/;-(xi) + /;+(xi)) = DRe (x/'p—(xi) + /p+(xi)) . (18)

Подставив в (18) предельные значения соответствующих функций из (14), получим окончательно

+ ^

,, ч D(k +1W ts(t) , D(k - 1) , , ч D(k +1W pi(t) , , ч

Это гиперсингулярное интегральное уравнение получено без использования условий периодичности функции p(xi) и, следовательно, оно справедливо для любой нагрузки. В случае непериодической нагрузки функция p должна исчезать на бесконечности и удовлетворять необходимым условиям существования интеграла в правой части уравнения (19) в смысле конечной части по Адамару [8].

Важно отметить, что однородное уравнение, соответствующее уравнению (19), имеет только нулевое решение. В противном случае, при отсутствии внешних усилий существовало бы поверхностное напряжение тц, отличное от константы, что для бесконечной плоской поверхности нереально. По этой причине, если производная функции ts удовлетворяет условию Гельдера, то уравнение (19) всегда имеет единственное решение при любой непрерывной правой части [8].

4. Решение интегрального уравнения (19) при периодической нагрузке.

Найдем решение интегрального уравнения в случае действия на границе Г самоуравновешенной периодической нагрузки, т. е. в (4) полагаем P = 0. Рассмотрим частный случай, когда касательные усилия pi описываются нечетной функцией, а нормальные рз —четной. Тогда функцию p можно разложить в следующий ряд Фурье:

p(x) = pi(x) + ip3 (x) = Ck sin bk x + i^jDk cos 6fc x, (20)

k=i k=i

где

A/2 A/2

2 Г , , . , , ^ 2

2 f 2 f

Ck = — / pi(x) sinbkxdx, D¡~ = — / рз(х) cos b^xdx, b¡~ = 2nk/\.

A J —.............A

—A/2 —A/2

Здесь и далее вместо xi используем обозначение x = xi.

Вещественную функцию ts ищем также в виде ряда Фурье:

ts(x) = ^^ Ak sin bkx + Bk cos bkx. (21)

k=1

Неизвестные коэффициенты Ak, Bk можно найти из уравнения (19), подставив в него выражения (20) и (21) и взяв соответствующие интегралы. Однако проще найти эти коэффициенты другим путем. Из (14) с учетом (20) и (21) приходим к следующему выражению для комплексного потенциала Ф:

= ^ ,}_^{(Ck-Dk + Ak + tBk)eib^, Imz > 0,

4 2 \ [Ck + Dk + Ak — iBk)e~ibkZ, lmz<0. [ZZ>

k=1

Подставим (22) в (18), учитывая обозначения, введенные в (14). Тогда, приравнивая коэффициенты при одинаковых гармониках, находим

*k{Ck{x+l) + Dk{x-l)) 0 1-19 ОЪ

Ак =--\7TT~i—г;——г,-, Вк= О, к = 1,2,... 23

A/D + пк(к + 1)

Таким образом, найдены аналитические выражения для всех коэффициентов ряда Фурье (21) искомой функции ts, то есть получено точное решение интегрального уравнения (19) в виде ряда Фурье.

Интегрируя (21), получаем выражение для поверхностного напряжения:

Ak

тп(х) =-^2 — cosbkx + T0. (24)

k=i bk

Постоянную то в (24) найдем из уравнения (17). Для этого подставим (22) и

(24) в (17). Тогда, полагая в полученном равенстве Ck = Dk = 0 (k = 1, 2, ...), что соответствует свободной границе полуплоскости, с учетом (23) находим

= + (25)

Величина то есть ни что иное, как поверхностное напряжение, отвечающее однородному напряженно-деформированному состоянию тела с плоской границей. Из

(25) видим, что то = Yo при отсутствии в теле напряжений (ai = 0). Поскольку в этом случае поверхность не может находится в напряженном состоянии, Yo = 0. Таким образом, в данной задаче остаточное поверхностное напряжение равно нулю. Очевидно, причиной этому является тот факт, что граница тела — незамкнутая поверхность.

Подставив (22) в (15), получим выражения для продольных <гц и касательных <713 напряжений на границе Г:

7ii(x)|X3=0 =£(2Ck + Dk + 2Ak) cos bkx + a i, <1з(х)|Хз=0 = (Ck + Ak) sin bkx.

k=1 k=i

(26)

5. Пример. Пусть нагрузка, действующая на границе полуплоскости, определяется одним из равенств

I \ Im/ / N Re/

Pi(x) = 4i тах J jmy|' ^(x) = ,3max|Re/r (27)

где f (х) = — вИ-2 (у + гпх/А); ^1,^3 —постоянные величины, равные максимумам абсолютных значений соответствующих усилий; параметр у определяет форму соответствующих кривых. Графики функций (27) при у = 0.5 изображены на рис. 1 сплошными линиями.

Рис. 1. Вид касательной (рх) и нормальной (рз) нагрузок при у = 0.5 (сплошные линии) и у = ^ (штриховые).

Из (27) следует, что pi(x) ^ qi sin (2пж/А), рз(х) ^ —дз cos (2пж/А) при y ^ ж.

Аппроксимируя с заданной точностью каждую из функций (27) отрезком соответствующего ряда Фурье (20), можно получить с той же точностью численные результаты решения поставленной задачи. В качестве критерия точности примем интегральный критерий, согласно которому относительная разность интегралов от функций pj и от их приближенных выражений на интервале положительного изменения этих функций не превышает заданного значения е. Вычисления показывают, что для достижения заданной точности количество удерживаемых членов соответствующих рядов зависит от значения параметра y. Чем меньше это значение, тем больше требуется сохранять членов ряда. В частности, для аппроксимации функции Pi(xi) с точностью е = 0.01 при y = 0.5 достаточно пяти членов ряда.

Для сравнения рассмотрим также действие касательных и нормальных усилий, заданных одной первой гармоникой рядов Фурье (20), изображенных на рис. 1 штриховыми линиями. Они также могут быть определены соответствующими функциями

(27) при y = ж:

pi(x) = qi sinbix, рз(х) = —дз cos bix. (28)

По формулам (20), (23) и (26) были вычислены напряжения на границе полуплоскости при различных значениях геометрических параметров задачи без учета и с учетом поверхностного напряжения тц. Нагрузка задавалась функциями (27) при y = 0.5 и функциями (28). Без потери общности напряжение на бесконечности принято равным ai = 0. Коэффициент Пуассона v = 0.3.

На рис. 2 приведены графики зависимостей максимальных значений модулей продольных напряжений и максимальных значений касательных напряжений от длины периода нагрузки А. Сплошные линии соответствуют нагрузке (27), штриховые —

(28). Эти зависимости демонстрируют так называемый масштабный эффект, который был отмечен во многих работах (см., например, [3, 9-11]), проявляется на на-ноструктурном уровне при учете поверхностных напряжений. Из рис. 2 видно, что наиболее заметное влияние длины периода нагрузки на напряжения наблюдается в пределах изменения А примерно от 10D до 300D, что, например, для алюминия при D = 0.113 нм [4] соответствует изменению А от 1 нм до 34 нм. При А > 100 нм масштабный эффект практически исчезает, и напряженно-деформированное состояние тела не зависит от поверхностных напряжений.

Интересно отметить, что при действии касательной нагрузки (кривые 1) масштабный эффект проявляется в большей степени, чем при нормальной (кривые 2).

Рис. 2. Зависимость максимальных значений модулей продольных напряжений sii = max |ац| и максимальных значений касательных напряжений S13 = max а 13 от длины периода Л при действии касательной нагрузки (кривые 1) и нормальной нагрузки (кривые 2).

Кроме того, максимальные значения напряжений ац при синусоидальной нагрузке (28) меньше, чем при нагрузке (27). Для максимальных значений напряжений ахз картина прямо противоположная.

На рис. 3, 4 сплошными линиями обозначены графики напряжений на границе полуплоскости, рассчитанных с учетом поверхностных напряжений, штриховыми линиями— без учета. Кривые 1 отвечают действию нагрузки (28), кривые 2 — нагрузки (27) при y = 0.5. Графики построены при Л = 10D. При таком значении Л наиболее ярко выражено отличие решения задачи при учете поверхностных напряжений от традиционного решения.

Рис. 3. Распределение продольных ац и касательных а\3 напряжений на границе полуплоскости в диапазоне одного периода при действии касательных усилий.

Как видно из приведенных на рис. 3, 4 зависимостей, действие поверхностных напряжений снижает концентрацию продольных и касательных напряжений. В результате изменение этих напряжений становится более гладким, чем это предсказывает решение задачи в традиционной постановке. Примечательно, что кроме поверхностных напряжений нормальная нагрузка вызывает также и касательные напряжения на границе (рис.4). Этот факт вытекает непосредственно из граничных условий (3), из которых следует, что если поверхностные напряжения отличны от константы, то касательные напряжения всегда будут на границе полуплоскости независимо от вида приложенной нагрузки.

Рис. 4. Распределение продольных а\\ и касательных а\3 напряжений на границе полуплоскости в диапазоне одного периода при действии нормальных усилий.

Представляет интерес оценка влияния поверхностных напряжений на относительные изменения экстремальных значений напряжений на границе при действии нагрузок, заданных функцией (27) при y = 0.5 и одной гармоникой (28). Характер этого влияния можно увидеть из таблицы, в которой приведены указанные значения, соответствующие графикам на рис. 3, 4.

Вид нагрузки Касательная нагрузка pi/gi Нормальная нагрузка рз/дз

Вид функции Функция (27) Функция (28) Функция (27) Функция (28)

max aii щ =0 2.855 2 0.064 1

ni + 0 1.120 1.064 0.047 0.733

min (Гц ni = 0 -0.668 -2 -0.272 -1

Щ /0 -0.394 -1.064 -0.177 -0.733

max <Ti3 П1 =o 0.882 1 0 0

ni + 0 0.401 0.532 0.034 0.134

6. Заключение. На наномасштабном уровне исследовано напряженное состояние упругой полуплоскости под действием периодической нагрузки. При использовании модели поверхностной упругости Gurtin—Murdoch, комплексных потенциалов Гурса—Колосова, представлений Мусхелишвили и граничных свойств аналитических функций решение краевой задачи в общей постановке при действии произвольной нагрузки на границе сведено к гиперсингулярному интегральному уравнению. В случае периодической нагрузки получено точное решение этого уравнения в виде ряда Фурье. Приведенные результаты расчетов показывают, что учет поверхностных напряжений вносит существенные коррективы в напряженное состояние границы при длине периода действующей нагрузки от одного до нескольких десятков нанометров. Из решения видно, что степень влияния поверхностных напряжений зависит не только от длины периода, но также и от упругих постоянных поверхности и основного материала, через которые выражается величина D.

Стоит отметить здесь важную особенность рассмотренной проблемы, которая состоит в том, что поверхностные напряжения действуют в плоской поверхности, а источником их возникновения служит внешняя нагрузка. До сих пор действие поверхностных напряжений учитывалось в различных работах при искривленной поверхности тела и отсутствии на ней внешней нагрузки (см., например, [2-4], [9-11]). В связи с этим сложилось устойчивое мнение, что поверхностные напряжения воз-

никают исключительно на криволинейной поверхности, а масштабный эффект выражается в зависимости физических свойств и состояния тела от изменения кривизны поверхности.

В настоящей работе поверхность тела имеет нулевую кривизну, а параметром размерности длины, с которым связан масштабный эффект, является длина периода приложенной нагрузки. Кроме того, в силу специфики задачи недеформированное и ненагруженное состояния тела совпадают. Вследствие этого в отличие от других теоретических работ, учитывающих поверхностные напряжения, в рассматриваемой механической модели остаточное поверхностное напряжение отсутствует. К числу особенностей полученного решения следует отнести также тот факт, что поверхностные напряжения возникают и от действия нормальной нагрузки, а это, в свою очередь, влечет за собой появление касательных напряжений. Последние становятся пренебрежимо малыми при длине периода порядка 100 нм и больше.

Литература

1. Подстригач Я. С., Повстенко Ю. З. Введение в механику поверхностных явлений в деформируемых твердых телах. Киев: Наукова думка, 1985. 200 с.

2. Gurtin M. E., Murdoch A. I. A continuum theory of elastic material surfaces // Arch. Ration. Mech. and Anal. 1975. Vol.57, N4. P. 291-323.

3. Альтенбах Х., Еремеев В. А., Морозов Н. Ф. Об уравнениях линейной теории оболочек при учете поверхностных напряжений // Изв. РАН. Сер.: Механика тв. тела. 2010. №3. С. 30-44.

4. Duan H. L., Wang J., Karihaloo B. L. Theory of elasticity at the nanoscale // Advances in Applied Mechanics. 2009. №42. P. 1-68.

5. Греков М.А., Костырко С. А. Потеря устойчивости плоской формы пленочного покрытия при поверхностной диффузии // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2007. Вып. 1. С. 46-54.

6. Греков М. А. Сингулярная плоская задача теории упругости. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2001. 192 с.

7. Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. 707 с.

8. Линьков А. М. Комплексный метод граничных интегральных уравнений теории упругости. СПб.: Наука, 1999. 382 с.

9. Grekov M., Morozov N. Surface effects and problems of nanomechanics // J. of Ningbo University 2012. Vol.25, N1. 2012. P. 60-63.

10. Гольдштейн Р. В., Городцов В. А., Устинов К. Б. Влияние остаточных поверхностных напряжений и поверхностной упругости на деформирование шарообразных включений нанометровых размеров в упругой матрице // Физическая мезомеханика. 2010. Т. 13, №5. С. 127-138.

11. Tian L., Rajapakse R. K. D. Analytical solution for size-dependent elastic field of a nanoscale circular inhomogeneity // Trans. ASME. J. Appl. Mech. 2007. Vol.74, N5. P. 568574.

Статья поступила в редакцию 26 июня 2012 г.