Напряженно-деформированное состояние сильно сжатого массива вокруг закрепл ё нной выработки* Текст научной статьи по специальности «Науки о Земле и смежные экологические науки»

- © B.B. Макаров, Л.С. Ксендзенко, H.A. Опанасюк,

А.М. Голосов, 2013

УДК 622.281:539

В.В. Макаров, Л.С. Ксендзенко, Н.А. Опанасюк, А.М. Голосов

НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ СИЛЬНО СЖАТОГО МАССИВА ВОКРУГ ЗАКРЕПЛЁННОЙ ВЫРАБОТКИ *

На основе неевклидовой модели механики сплошной среды получены выражения для компонент напряжений вокруг подкрепленной выработки кругового поперечного сечения для сильно сжатого массива. Ключевые слова: зональное разрушение сильно сжатого массива, блочная иерархическая среда, образец горной породы, крепление.

В механике подземных сооружений массив горной породы рассматривается как невесомая плоскость, ослабленная отверстием, моделирующим круглую закрепленную выработку в условиях всестороннего сжатия [1]. Краевая задача формулируется как задача о напряженном состоянии невесомой плоскости, представленной сплошной средой с дефектами. С заданными на бесконечности напряжениями, моделирующими гравитационное поле, и ослабленной круглым отверстием, равномерно нагруженным по контуру и моделирующим закрепленную подземную выработку.

В силу полярной симметрии задачи уравнения равновесия имеют вид:

л 1

< + -(<) = °> <р = 0 Г° ^ г < « , (1) дг г

где Ггг - нормальное напряжение в радиальном направлении; <рр- нормальное напряжение в тангенциальном направлении; <Гр - касательное напряжение.

*Работа выполнена при поддержке Федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» (гранты Г/К 14.740.11.1214 от 14.06.11 и №14.А18.21.1980) и Гранта Минобрнауки РФ №7.8652.2013 в рамках Государственного задания.

Рис. 1. Расчетная схема задачи о закрепленной выработке

На контуре выработки (Г = Г0) и на бесконечности заданы внешние силы вида:

&гг = Р при Г = Г0 , &гг ,°<рч> ^ 0 при Г ^^ ,

(2)

где = уп ■ Н , Уп - удельный вес пород, Н - глубина заложения выработки, Р - отпор крепи.

Массив горных пород в условиях сильного сжатия моделируется средой, где в общем случае не выполняются условия совместности деформаций.

Следуя [2], вводим параметр дефектности И:

Я

д1811 „ д1^ .

11

+ -

11

ф 0.

(3)

8x2 дх1дх1 дх2

В [2] показано, что при введении функции дефектности И в предположении малости деформаций закон Гука остается

У

справедливым, если определить внутреннюю энергию массива и в виде:

и = Е

v 2 1

л

У

Я1

4

р(1 + v) 1 (1 -IV) ]] 1

содержащем упругий потенциал и функцию дефектности И, причем функция дефектности И удовлетворяет уравнению

А1Я = у2Я, (4)

где р - плотность среды, Е - модуль Юнга, v- коэффициент

Пуассона, а - подгоночный параметр модели, у2 =-Е—-.

4д (1 -v)

Из натурных и лабораторных экспериментов следует, что в условиях закрепленной выработки массив горной породы не претерпевает разрушения на контуре выработки, все зоны разрушения равноправны и имеют одинаковое происхождение, поэтому функция И достигает экстремума в первой зоне разрушения, равно как и в последующих:

йЯ

Яг=0 = 0, — = 0, (5)

Г=Го аг -

г=г

где Го - радиус выработки, г * - положение середины первой

зоны разрушения, определяемое из эксперимента.

Так как задача осесимметричная, то для рассматриваемого случая плоской деформации зависимость от полярного угла отсутствует. Поэтому оператор Лапласа имеет вид:

А д1 1 д А = —г + .

8г г 8г

Общее решение уравнения (4) имеет вид:

Я(г) = ^(V? ■ г) + ЪЫо(4г ■ г) + сКо(4г ■ г). (6)

Постоянные а и Ъ находим из граничных условий (5): а = сКо(УТго)■ N. (47г*)-Мо(47го)■ К, (У7о

а с ¿л4уг0)■ кл4гг*)-N«(47^)■ м4гг*), Ъ = с^о(4ггр) ■ к (4гг *) - к о(У7го) ■ м4уг *)

с Jо (^О ■ N (^г*) - к0 (^Го) ■ А цгг*).

В последних формулах с - это подгоночный параметр модели.

Для рассматриваемого случая плоской деформации компоненты 8гг, вр и ггг равны нулю, при этом напряжение

<7гг Ф 0 и, ггг = у(<гг + Гррр) . Обозначив первый инвариант напряженного состояния, выраженный через главные напряжения Г = Ггг + Ггг + «р, с учетом последнего равенства определяем Г = (V + -)(ггг + Г(рр), отсюда:

Г

Г(рр=-Л--«гг , (7)

^ 1 + V

и, используя (2), получаем: г — 2(1 + v)гю, при г — ю. (8)

В работе [2] показано, что функция г удовлетворяет

Е

уравнению Пуассона Дг =--К, где функция И оп-

2(1

ределена по формуле (6). Рассмотрим задачу:

Дг = —Е--К

2(1 -V)

(9)

г — 2(1 + v) •гю , г — ю.

Пусть Г является решением задачи (9). Тогда из уравнения равновесия (1), граничных условий (2), зная г, с учетом (7),

можно найти «гг, а затем и « р.

Решая задачу (9), получаем: г = 2(1 -

(10)

+ ЪЫо(^г)-сК0(^т)) '

2(1 V

Для нахождения компонент напряжений преобразуем (1) с учетом (7):

д< +

, г0 < г < да,

дг г (V +1) • г с граничными условиями

<7гг = Р при Г = Г0 , < ^<да при Г ^ да .

(11)

(12)

Решение уравнения (11), удовлетворяющее граничным условиям (12), определяется равенством:

( г2 ^ 1 - Г.

2

Г

V У

1

-(ф) + ъы^фг) + )) ■

2(1 -к2)^2

-V г У2 • - -

'о

3 2

2(1 -у2)/1 Г

(13)

Подставляя < и <гг, в (7) находим:

<„=<да (1 -^-27"

^ г 2(1 -v )у

1

( ) + ЪЫ0фг) -

-сК)Ф)У

3 г 2(1 -к2)^2

(+ ънхфг) + КфгУ) -

3 г2 2(1 -к2)^2

+сКхф0)) - Р\

(^(л/Я) + ЬИ^Го)-

(14)

2

Составляющие компонент напряжений, порожденные дефектами, вносят волнообразный характер в монотонное поведение классических нормальных компонент в радиальном и тангенциальном направлениях (рис. 2). Это дает возможность объяснить экспериментальные факты [3, 4, 5], которые не имели удовлетворительной трактовки в рамках классической теории.

0.5

V ч Г V К <7ГГ

1 Вогг

-0.5

Л

а)

-1

\ . \ ^ / / V - Зсг^ ч /

1 --/ \

\ \ / /' * \ / * 1 * \ \ / * \ / * \ Ч / / ч * < \ ^ /

1 \ / \ / Ч'' 3 \ / Ч,'

б)

Рис. 2. Сравнение классического и неклассического вкладов в величину компонент напряжений: а) радиальных; б) нормальных тангенциаль-

ных

На рис. 2, а ас - предел прочности на одноосное сжатие, МПа; агг (г) - нормальное напряжение в радиальном направлении, МПа, учитывающее классический и неклассический вклад; Ка гТ (г) - нормальное напряжение в радиальном направлении, МПа, учитывающее только классический вклад. На рис. 2, б) показаны графики нормальных напряжение в тангенциальном направлении.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Куксенко B.C., Гузев М.А., Макаров В.В., Рассказов И.Ю. Концепция сильного сжатия горных пород и массивов.- Вестник Дальневосточного гос. Технич. ун-та. Дальн. гос. тех. ун-т. Владивосток 2011. - №3/4 (8/9). С. 145.

2. Гузев М.А., Парошин А.А. Неевклидова модель зональной дезинтеграции горных пород вокруг подземной выработки// ПМТФ.- 2001.- Т. 42.- № 1. - С. 147-156.

3. Гузев М.А., Макаров В.В. Деформирование и разрушение сильно сжатых горных пород вокруг выработок. - Владивосток: Дальнаука, 2007. -

4. Макаров В.В., Емельянов Б.И., Звонарев М.И. О зональном деформировании массива горных пород вокруг выработок. Механика подземных сооружений. Тула: ТПИ, 1989. С. 116-126.

5. Фаткулин A.A., Макаров В.В., Рассказов И.Ю. и др. Прогнозирование геодинамических явлений в массивах сильно сжатых горных пород. -Владивосток: Изд-во Дальневосточного гос. техн. унив-та, 2010. - 150с.

6. Опарин В.Н. Зональная дезинтеграция горных пород и устойчивость подземных выработок /В.Н.Опарин, А.П. Тапсиев, М.А. Розенбаум, В.Н. Рева, Б.П. Бадтиев, А.И. Чанышев. - Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2008. -280 с. ГТГШ

КОРОТКО ОБ АВТОРАХ -

Макаров Владимир Владимирович - доктор технических наук, профессор, email: [email protected]

Ксендзенко Людмила Степановна - кандидат физико-математических наук, доцент, e-mail: [email protected];

Опанасюк Николай Александрович - старший преподаватель, e-mail: [email protected]

Голосов Андрей Михайлович - аспирант, e-mail: [email protected] Дальневосточный федеральный университет,

232 с.