Напряженно-деформированное состояние неравномерно нагретых толстостенных труб и оценка их длительной прочности Текст научной статьи по специальности «Физика»

Механика деформируемого твердого тела

УДК 539.4+539.376

А. Ф. Никитенко, Е.А. Васильев

НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ НЕРАВНОМЕРНО НАГРЕТЫХ ТОЛСТОСТЕННЫХ ТРУБ И ОЦЕНКА ИХ ДЛИТЕЛЬНОЙ ПРОЧНОСТИ

С использованием кинетической теории ползучести Ю.Н. Работнова получена система уравнений, позволяющая рассчитать напряженно-деформированное состояние неравномерно нагретых толстостенных труб с одновременной оценкой с феноменологических позиций процесса накопления повреждений в материале на любой момент времени, вплоть до начала разрушения. Применительно к упрочняющемуся в процессе ползучести материалу выполнен анализ зависимости напряженного состояния от перепада температуры по радиусу трубы. Изучено влияние на напряженное состояние трубы параметра упрочнения.

Кинетическая теория Ю.Н. Работнова, математическая модель которой есть [1-3]:

получила всестороннее экспериментальное обоснование как в условиях простого, так и сложного нагружений [2]. И тем не менее следует констатировать, что она по ряду причин [1] не нашла еще должного применения в расчетной практике. Поэтому очевидно, что демонстрация использования кинетической теории для расчета напряженно-деформированного состояния и времени начала разрушения хотя бы простейших элементов конструкций является актуальной. Ниже в качестве объекта исследования выбрана толстостенная неравномерно нагретая труба, нагруженная внутренним давлением. Интерес к этой задаче вызван тем, что она является одной из простейших одномерных задач, в которой напряженное состояние является объемным и ни одно из главных напряжений в нуль не обращается. Поэтому очевидно, что случай толстостенной трубы под действием внутреннего давления служил, служит и, надо полагать, будет служить ,,... пробным камнем для оценки и сравнения различных теорий ползучести, начиная с простейших и кончая весьма сложными” [1].

Отметим также, что решение упомянутой выше задачи имеет, несомненно, особый практический интерес. Действительно, если количество публикаций, посвященных расчету толстостенных равномерно нагретых труб, к настоящему времени совершенно необозримо, то аналогичные расчеты толстостенных неравномерно нагретых труб, нагруженных внутренним давлением, практически отсутствуют.

Ниже с использованием кинетической теории (1), (2) представлены результаты таких расчетов. В частности, выполнен анализ зависимости напряженно-деформированного состояния от перепада температуры по радиусу трубы. Одновременно с этим проанализировано влияние на напряженно-деформированное состояние трубы параметра упрочнения.

Напомним, что в (1), (2) обозначения общепринятые [1-3]: ру, Оу - компоненты тензоров деформаций ползучести и напряжений; точка над соответствующим символом обозначает производную по времени Р; оэ, о*э - эквивалентные напряжения, представляющие собой однородные относительно напряжений функции первой степени; W - мощность рассеяния энергии при ползучести; ю - параметр, описывающий с феноменологических позиций накопление повреждений в материале; для функции ф (ю) принято [2,3]

(1)

Ф(ю)

(2)

Ф (ю) = ю“ (1 -ю“+1)т,

а, т - характеристики материала. Время ґ*, при котором в некоторой точке тела с координатами х* , параметр ю равен единице, будем называть временем начала разрушения этого тела. Для характеристик ползучести и длительной прочности материала принята простая зависимость от температуры [1,4]: п, g, т, а в рассматриваемом температурном диапазоне считаем постоянными, а Бь В2 - функциями температуры.

1. Пусть толстостенная труба, отнесенная к прямоугольной цилиндрической системе координат г, ф, г, находится под действием стационарного температурно-силового воздействия, а именно, внутреннего давления р и плоского осесимметричного температурного поля в (г), причем [4]

в (г) = в (а) + в* 1п(г / а), (3)

где в* = [в(Ь) -в(а)]/1пД,Ь = Ь/а;а,Ь,г - внутренний, наружный и текущий радиусы трубы.

Материал трубы считаем несжимаемым, т.е. рг + р. + р2 = 0 , где рг,р.,р2 - радиальная,

окружная и осевая компоненты тензора деформаций ползучести. Полагаем, что в трубе реализуется плоское деформированное состояние, следовательно р2 = 0; если и(г) - радиальное перемещение, то рг = ёи / ёг, р. = и / г . Используя все это совместно с условием несжимаемости, получаем и = С1(ґ )/г и, таким образом, для скоростей деформаций ползучести будем иметь:

(4)

Г Г

где С\(?) - константа интегрирования.

В трубе возникают напряжения оф, о 2, о г, они есть главные. Выберем в качестве эквивалентного напряжения в (4) интенсивность напряжений, т.е. положим о э = 01, где

о 1 = ^38^ / 2 , Бу =о 1j - о051j, о0 =о ^51j /3 . Система уравнений (1) примет вид

3 Ж 3 Ж 3 Ж „ п+1 , , ч

р9 = о” • . , рг = , рг = • *г '; W = Б101 / ф (ю).

2 О ,■ 2 О ,■ 2 О ,■

(5)

Из условия, что р г = 0, следует

°г = К+Ог)/2; Оо = = К -Ог)/2;

• = -(°„ -Ог)/2 ; ^ = 0 ; О. =4ъ(о9 -ог)/2.

Рассмотрим зависимость характеристик ползучести и длительной прочности от температуры. Экспериментально установлено, что [1,4] В1 = Во ехр(с0),В2 = коВ1, где Во, ко с - константы. С учетом (3) будем иметь.

В1 = В* р с°', В2 = коВ*р с°', р = г / а . (6)

Далее, выберем в качестве эквивалентного напряжения в (2) интенсивность напряжений, т.е. положим о*э = о1. Тогда система определяющих уравнений (1), (2) с учетом (3), (4) окончательно примет вид

рф рг

л/3

2

чп+1

В*

• РСв’ • (О. - Ог )п , рг = 0, Ю(р, Ґ) = [1 - т (р, 0]

1/(а+1)

9 (т)

\ /

где функция ц, введенная для удобства дальнейших исследований, имеет вид

2

1 - (а + 1)(т +1)

+1

1/( т+1)

каВ* р Св*| (о. - о г) +1

(7)

(8)

Очевидно следующее:

9 (т)=тт(1 -т)“/(“+1); т (р,0)=1; т (р*,с) = 0.

Нормальные напряжения, возникающие в поперечном сечении трубы, должны удовлетворять уравнениям равновесия

ё о„

и граничным условиям

■ О г

-----1 = 0 ; 1 < р = г- < Д

р а

Ог(1) = -р, Ог(Д) = 0.

(9)

(10)

Таким образом, выписанная система уравнений (4), (7)-(10) позволяет на любой момент времени, вплоть до начала разрушения, рассчитать напряженно-деформированное состояние с одновременным учетом с феноменологических позиций накопление повреждений в материале толстостенной неравномерно нагретой трубы, нагруженной внутренним давлением.

2. Сопоставляя между собой (4) и (7), легко получить

[. (т)]

1/ п

где

к = (а2 • В* )1

к1

/ Г~ \(п+1)/п

л/3

2

V J

• С1/п • р -

. 2 = 2 + св* ’ п* п

(11)

(12)

Подставляя (11) в (9) и интегрируя полученное с использованием первого граничного условия (10), получаем

1/ п р

1

=- р+| [. (т )]1/п р "1_ 2/п* ё р .

к1 1

Второе граничное условие позволяет записать

С

- р+-р-1 [. (т )]1/п р _1-2/п* ё р=0.

1 / п Ь1

к

11

где

Подставим теперь (11) в (8). После несложных операций будем иметь

т к *

(г) ё 2 = —р-" |С1(8+1)/иё т ,

1 т +1 0

^ (т)=тт(п-§-1)/п • (1 - т)-а+1)/п(а+1)

/ V (8 +1)/и

к2 =

ка (а + 1)(т +1) В( п-g-1)/п

2(g +1)/п

2(я + 1)-(п-§-1)св*

(13)

(14)

(15)

(16) (17)

С целью удобства при дальнейших исследованиях целесообразно ввести функцию *0, а именно:

а вместо Сі(1;) - функцию Х(1;):

ґ0 = [(а + 1)(т +1) В°оо11+1]-1,

Л

где

Ь п Ь2/п* -1

1 =| р-1-2/п*ёр = ^ 1 .

1 }и и 2 Ь12/п*

(18)

(19)

(20)

В (18) и далее нолик вверху при соответствующей функции обозначает, что она зависит от координат точек тела. Кстати, в случае однородного напряженного состояния (18) представляет собой семейство кривых длительной прочности, параметром которого является температура; для каждой фиксированной температуры (18) представляет кривую длительной прочности, независящую от вида напряженного состояния. Этот вывод следует из (2). В случае неоднородного напряженного состояния можно, используя стандартную методику [1,5], вычислить время начала разрушения тела (элемента конструкции):

*о (X*) = {(а + 1)(т +1) ВО (X*) [о О (х*)]8+1 }-1. (21)

Здесь х* - координаты точки, в которой произведение В0оО 1 достигает наибольшего значения. В дальнейшем 1О (х*) будем обозначать ^ .

Применительно к толстостенной неравномерно нагретой трубе в предположении установившейся ползучести материала известно распределение напряжений [4]. С учетом этого и (5), (12), (17) соотношения (18) и (21) запишутся так:

Ґ0 =

к2 • к*+1 •

• р~

(22)

г

с =

к2 Л,8+1 •

(23)

Используя теперь (19), (22), представим (15), (14), (13), (11) в следующем виде:

л і

где

\> (г)ёг = -[(т +1) і° ]-1 \X-(8+1)ёт ; 1 0 (24)

А \[<р (л)]1/пР~1-2/пёр = 3.x , і 1 (25)

^(л) = лт(п-8-1)/п • (1 - л)-а(8 +1)/п(а+1) • (26)

= лт • (1 - л)а/(а+1) , л(Р, 0) = 1, л(Р*, і* ) = 0; (27)

Р аг = -р + X-1 • Р\[&(л)]1пр-1-2,п*ёр; _1 1 (28)

Р -2/п. № (л)]1/п а - =И_ р . № X (29)

Умножив левую и правую части равенства (29) на л/3 / 2, получаем в соответствии с (5)

^ 4 • рр 2,п № (л)]1/п /х=о°№ (т)]1/п /х. (30)

Таким образом, задача расчета напряженно-деформированного состояния неравномерно нагретой толстостенной трубы, нагруженной внутренним давлением, свелась, по-существу, к определению функций /л (р, і) и Х(і), для чего необходимо решить систему уравнений (24), (25). Зная т (р,1:) и Х(і), из (28)-(30) находим напряженное состояние трубы, а из (4) с использованием (19) - деформированное состояние. Очевидно, что решение системы (24), (25) в самом общем случае затруднительно. Тем не менее в ряде частных случаев эта система имеет аналитическое решение.

3. Пусть труба изготовлена из упрочняющегося в процессе ползучести материала. Для такого материала а Ф 0, т = 0 [2,3] и система (24), (25) с учетом (26), (27) запишется так:

л - а (8 +1),

| (1 - г)-1 ёг = -(і° )-11X-(8+1)ёт, 11 =

А

\(1 - л)12 р"1-2/п*ё р = _ • X, 12 =

п (а +1) а

п (а +1)

(31)

(32)

Требование сходимости интеграла, стоящего в левой части равенства (31), накладывает ограничения на характеристики материала. Не выписывая, их отметим только, что эти ограничения не являются жесткими и согласуются с имеющимися экспериментальными данными [2]. Система (31), (32) имеет следующее решение:

X (і) =

1 - л (Р, і ) =

А

где

_2 = \ рС ё р = — • ;

2 \ С

С

2 (а +1) + с0*

п + а (п

і* = І

1)

(33)

(34)

(35)

(36)

(37)

а ^ вычисляется согласно (23). Разрушение трубы начинается с внутренней поверхности, т.е р* = 1. Используя (33), (34), вычислим [ф(т)]17п /X, где ф(т), согласно (27), есть ф (т) = (1 - т) “/(а+1). В итоге получаем

[ф (т)]1

X

4 пн

—• рп* з2 и

(38)

Подставляя (38) в (28), находим аг. Зная аг и используя (38), из (29) вычисляем сф, а из (30) - интенсивность напряжений. В соответствии с (5) вычисляем аъ и компоненты девиатора напряжений. Результаты этих вычислений представлены ниже:

о, =

к -1

р

1

г

\ У

оф =

к -1

1 - (1 - с)

* г ,

\ У

к -1^

р X

РХ -1 2

'1 - X У ъ *

о) = -

л/3

гх

уг ,

* Г ,

\ У

Р X

ьх -1 2

чг /

(39)

Анализ соотношений (39) свидетельствует:

1) напряженное состояние в толстостенной трубе, изготовленной из упрочняющегося в процессе ползучести материала, является стационарным;

2) если параметр упрочнения положить равным нулю (при а=0 будет % = 2/п*, см. (36), (12)), то (39) описывают напряженное состояние трубы в предположении установившейся ползучести материала [4];

3) если положить а=0 и 0* = 0 (см. (3), (12)), то (39) описывают напряженное состояние равномерно нагретой толстостенной трубы в предположении установившейся ползучести материала [4].

Тот факт, что из (39) следуют уже известные результаты, свидетельствует об их достоверности и эффективности кинетической теории ползучести.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. РаботновЮ.Н. Ползучесть элементов конструкций. М.: Наука, 1996. 752 с.

2. Закономерности ползучести и длительной прочности: Справочник / Под ред. С. А. Шестерикова. М.: Машиностроение, 1983. 101 с.

3. Никитенко А.Ф. Ползучесть и длительная прочность металлических материалов. Новосибирск: Новосиб. гос. архит.-строит. ун-т, 1997. 278 с.

4. Качанов Л.М. Теория ползучести. М.: Физматгиз, 1960. 455 с.

5. Работнов Ю.Н. Влияние концентрации напряжений на длительную прочность // Инж. журн. Механика тверд. тела. 1967. № 3. С. 36-41.

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ № 02-01-00738.

Поступила 12.03.2003 г.