CC BY
173. Sastry S., Bodson М. Adaptive Control: Stability, Convergence and Robustness. Englewood Cliffs: Prentice-Hall, 1989.
4. Маркеев А.П. Теоретическая механика. M.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990.
Поступила в редакцию ll.li.2015
УДК 539.3
АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ОСЕСИММЕТРИЧНОЙ ЗАДАЧИ О ДЕФОРМАЦИИ ИЗОТРОПНОГО ПОЛУПРОСТРАНСТВА С УПРУГОЗАКРЕПЛЕННОЙ ГРАНИЦЕЙ ПОД ДЕЙСТВИЕМ РАСПРЕДЕЛЕННОЙ НАГРУЗКИ
С. В. Залётов1, Н. С. Хапилова2
Получено аналитическое решение осесимметричной задачи о действии на изотропное полупространство распределенной нагрузки, заданной функцией, зависящей от радиальной координаты. Исследован случай, когда поверхность полупространства упруго закреплена вне круговой области приложения нагрузки, касательные напряжения на всей границе отсутствуют, напряжения на бесконечности обращаются в нуль. Решения на границе и внутри упругого полупространства представлены формулами для всех компонент тензора напряжений и вектора перемещений.
Ключевые слова: упругое полупространство, осесимметричная смешанная задача, аналитическое решение, распределение напряжений и перемещений.
An analytical solution to the axisymmetric problem on the action of a distributed load on an isotropic half-space when the load is given by a function dependent on the radial coordinate is obtained. The surface of the half-space is elastically fixed outside the circular domain of load application, the shear stresses are absent along the entire boundary, and the stresses vanish at infinity. At the boundary and inside the elastic half-space, the solutions are represented by the formulas for all the components of the stress tensor and displacement vector.
Key words: elastic half-space, axisymmetric mixed problem, analytical solution, distribution of stresses and displacements.
Введение. При исследовании деформации полубесконечных тел под действием распределенной нагрузки, как правило, используется метод суперпозиции решений задачи Буссинеска о сосредоточенной силе, приложенной к упругому полупространству [1]. В качестве примера применения метода суперпозиции можно отметить классические формулы С.П. Тимошенко, Дж. Гудьера для напряжений и перемещений на границе упругого полупространства, деформируемого нагрузкой, равномерно распределенной по круговой области [2].
Изучение ряда научно-технических проблем горной и строительной механики, а также машиностроения приводит к постановке смешанной задачи для полупространства, в точках поверхности которого, вне области приложения распределенной нагрузки, выполняется условие пропорциональности нормальных напряжений и перемещений (условие упругого закрепления границы). В работах [3, 4] методом интегрального преобразования Ханкеля получено аналитическое решение осесимметричной задачи в случае, когда поверхность изотропного полупространства упруго закреплена вне круговой области приложения распределенной нагрузки, касательные напряжения на всей границе отсутствуют, напряжения на бесконечности обращаются в нуль. В настоящей работе предложена новая форма аналитического решения исследуемой осесимметричной задачи, построенная путем перехода к оригиналу от трансформанты функции, характеризующей приложенную нагрузку и упругое закрепление границы. Отмечено, что известные решения Тередзавы, Буссинеска и
1 Залётов Сергей Владиславович — асп. каф. математики Таганрог, ии-та им. А.П. Чехова (филиал) Ростов, гос. эконом, ун-та (РИНХ), e-mail: sesezalzalQgmail.com.
2 Хапилова Неля Сергеевна — доктор техн. наук, ст. науч. сотр., и.о. зав. отделом аналитических методов механики горных пород Ин-та прикладной математики и механики НАН Украины, e-mail: hapines.nellyQgmail.com.
формулы С.П. Тимошенко, Дж. Гудьера являются частными случаями полученного аналитического решения осесимметричной задачи при обращении в нуль коэффициента пропорциональности в условии упругого закрепления границы полупространства.
Постановка и аналитическое решение осесимметричной задачи. В случае осесимметричной деформации изотропного тела основная система уравнений теории упругости, записанная в цилиндрической системе координат г, 9, г, сводится к бигармоническому уравнению [5]:
У2У2Ф = 0, У2 = + + (1)
дгг г дг дгг
Здесь Ф(г, г) — функция напряжения Лява, через которую компоненты тензора напряжений аГ(г, г), а$(г,г), аг(г,г), тгг(г,г) и вектора перемещений и(г,г), из(г,г) выражаются формулами
д ( 92Ф\ д ( 1 9Ф\
<Тг = тН *Л72Ф -
<92Ф\ д (
(О <70 = дг V
92Ф\ д ,
дг2 У дг 1
IV = 2 С\ V-
дг \ дг2 ) дг\ г дг /
.'(с-^ч-**), г„ «(а(2)
дг \ дг2 / ' Г2: дг\ дг2
1-Ы/ д2Ф 1 / , <92Ф\
где V — коэффициент Пуассона, Е — модуль Юнга, С — модуль сдвига.
Рассмотрим следующую осесимметричную задачу для изотропного полупространства: найти в области {О<г<оо,О^0<2-/г,О^г<оо} функцию Ф(г, г) и компоненты тензора напряжений и вектора перемещений, удовлетворяющие уравнению (1), соотношениям (2) и смешанным условиям
<7.2(г, 0) = — д(г), г < а; аг(г,0) = кги(г,0), г > а; тгг(г, 0) = 0, г < оо (3)
на граничной плоскости г = 0. Здесь д(г) — распределенная по кругу радиуса а нормальная нагрузка, приложенная к границе полупространства; к — постоянный коэффициент пропорциональности напряжений и перемещений.
В результате решения уравнения (1) с граничными условиями (3) методом интегрального преобразования Ханкеля [6] находим компоненты тензора напряжений и вектора перемещений в упругом полупространстве [3]:
оо
и(г, г) = -Ц^ [ №(1 -2и-
Е .) ъ + %
о
оо
1 + V /"—„ , ,ч т , ,ч ш
г) = J /3(1) (2 -2и + г1)е~и МН) о
оо
<7,(г, г) = - [+ г1)е~иМП)
t + X о
оо оо
Г — /2 гН 1 Г — t гН
аг(г,г) = - / /?С0(1 - МН) + - / /?(£)( 1 - 21/ - ^(Н)
(4)
о о
оо оо
Г — /2 гН 1 Г — t гН
сг^(г, г) = -21/ / ^0(í)e-ízJ0(Н) —- - - / /?(£)(! - 2и - ^{Н)
¿+Х гУ г+х
о
оо
тгг{г,г) = -г [Ш^е-^ЫП) *
о
,2 А
t + x,
где % = 2к(1 — V )/Е] ,1о(Н), ^(Н) — функции Бесселя первого рода нулевого и первого порядка; /?(£) — трансформанта функции
(а(г) + къи(г, 0), г < а:
0, г > а.
Подставив в формулу интегрального преобразования Ханкеля функцию ß(r) в соответствии с равенством (5) и выражение для вертикального перемещения w(r) из (4), получим неоднородное интегральное уравнение Фредгольма второго рода для определения трансформанты ß(t). В случае, когда к = 0, формулы (4) трансформируются в известное решение Тередзавы [7]. Если на полупространство действует сосредоточенная сила Р, то трансформанта ß(t) = Р/2-/г, и из формул (4), вычислив соответствующие интегралы при % = 0, найдем решение задачи Буссинеска.
Путем перехода в соотношениях (4) от трансформанты к оригиналу ß, характеризующему нагрузку на граничной поверхности полупространства, построим вторую форму аналитического решения осесимметричной задачи (3) в следующем виде:
а а
u(r, z) = I ß(0Gu(r, z, О dt, w(r, z)= j ß(0Gw(r, z, £) d£, о 0
а а
ar(r,z) = j ß(0Gr(r,z,0dC, <re(r,z) = j ß{g)Ge{r,z,£)d£, (6)
о 0
а а
az{r,z) = j ßte)Gz(r,z,Z)d£, Trz(r, z) = j ß{^)Grz{r, z,0
о
в точках упругого полупространства и
а а
и(г, 0) = J ß{09u{r, О w(r, 0) = J ß(0gw(r, О
о о
а а
*г(г,0) = j ß(09r(r,0dC, <тв(г,0) = j ß(09e(r,0dC, (7)
о о
а
<Tz(r, 0) = у ß(0gz(r, О Trz(r, 0) = 0
в точках граничной плоскости z = 0. В соотношениях (6) введены обозначения:
оо
(!+")£ Гп о.. tdt
Gu{r,z,t) = -{-^ß- ¡{l-2V-zt)e~ztJomJl{H) , ü J t + x
о
oo
Gw(r,z,0 = J(2-2v + zt)e-ztJ0mMrt) tdt
t + X о
(8)
= [ ¿2(1 " тМП) + ЛИ)
.) I + X г -1 ъ "г X
о о
оо оо
Св(г,ъО = [ 1?е-*<М&)МП) МП)
.1 ъ I X г -1 ъ "г X
о о
оо
о
оо
о
Приравнивая в формулах (8) координату г к нулю, получаем соответствующие выражения для функций ди, дт, дг, дг. Неизвестная функция /3(г), входящая в решение (6), (7), определяется из
неоднородного интегрального уравнения Фредгольма второго рода
а
I3(r) = q(r) + J mgiw(r, О г < а, (9)
о
ядро которого имеет вид
оо
9iw(r,0 =xi j Mit)Mrt) (10)
о
Решение уравнения (9) может быть представлено в виде бесконечного ряда Неймана [8, 9].
Если параметр к обращается в нуль, а нагрузка равномерно распределена по круговой области, то входящие в решение (6)^(10) несобственные интегралы вычисляются через специальные и элементарные функции [10], в результате получаются компактные выражения для компонент тензора напряжений и вектора перемещений в точках упругого полупространства и формулы С.П. Тимошенко [2] на его границе.
Действительно, в случае приложенной нагрузки постоянной интенсивности имеем q(r) = qo = const. Приравняв в решении (6)^(10) параметр % к нулю, из формулы (9) получим /3 = qo. Отметим верхним индексом "с" исследуемый вариант. Тогда из первого равенства соотношений (7) найдем радиальное перемещение на границе полупространства:
а
ис(г, 0) = q0 J gcu(r, OdÇ = ~
(l + v)(l-2v)q0
J0(Çt)Ji(rt)dt
E J
о
(1 + u)(l - 2u)q0
dÇ =
r < a:
(1+ ,)(!-2^ /Ji(ai)Ji(ri)di= J (11)
E J t (1 + v)(l -2u)a2q0
о
a из пятого — вертикальное напряжение
о |--—-, г>а,
а оо
Г Г I -до, Г <а;
<Гг=Яо I 9г(г,0 = -ЯОа I М = \ (12)
0, г > а.
Выражения (11), (12) для ис(г, 0), (т^(г, 0) совпадают с решением С.П. Тимошенко, Дж. Гудьера. Аналогично определяются напряжения сг^(г, 0), а^(г,0) и перемещение ъис(г, 0).
Таким образом, решение (6), (7) при % = 0, д(г) = qo позволяет определить распределение напряжений и перемещений в упругом полупространстве, а также получить формулы С.П. Тимошенко, Дж. Гудьера в результате решения краевой задачи теории упругости, не используя сложно реализуемый в цилиндрической системе координат метод суперпозиции сосредоточенных сил. В общем случае, когда % ф 0, а внешняя нагрузка зависит от радиальной координаты, решение (6), (7) имеет следующие преимущества перед формулами (4): его применение не требует вычисления трансформанты задающей нагрузку функции, а также значительно сокращает затраты компьютерного времени за счет улучшения сходимости несобственных интегралов, содержащихся в решениях.
В работе [11] аналитическое решение (6)—(10) апробировано на задаче о расчете в окрестности цилиндрической выработки нормального напряжения на контакте горных пород с угольным пластом (т.е. опорного давления на пласт полезного ископаемого). В результате численных исследований установлена зависимость опорного давления от глубины залегания угольного пласта и упругих свойств горного массива. В заключение отметим, что фундаментальные аналитические решения (4)—(10) имеют практические приложения не только в механике, но и в биофизике, и инженерной медицине.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Boussinesq J. Application eles Potentiels a l'Etude l'Equilibre et du Mouvement des Solides Elastiques. P.: Gauthier-Villars, 1885.
2. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. М.: Наука, 1975.
3. Хапилова Н.С., Залёт,ов C.B. Осесимметричная деформация изотропного полупространства при упругом
закреплении границы вне области приложения нормальной нагрузки // Современные проблемы механики сплошной среды: Тр. XV Междунар. конф. Т. 1. Ростов н/Д: Южный федеральный университет, 2011. 246-250.
4. Хапилова Н.С., Залётов В.В., Залётов C.B. Осесимметричная задача о действии распределенной нагрузки на изотропное полупространство с упругозакрепленной границей //Тр. Ин-та прикладной математики и механики НАН Украины. 2012. 25. 251-259.
5. Амензаде Ю.А. Теория упругости. М.: Высшая школа, 1971.
6. Уфлянд Я.С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости. Л.: Наука, 1963.
7. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975.
8. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М.: Наука, 1978.
9. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984.
10. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Наука, 1974.
11. Залётов C.B. Осесимметричная задача об опорном давлении на деформируемый угольный пласт // Науч. вестн. Моск. гос. горного ун-та. 2014. 46, № 1. 37-43.
Поступила в редакцию 10.06.2015
