Наилучшая параметризация в задачах ползучести Текст научной статьи по специальности «Математика»

На основе данных табл. 2 и закона радиоактивного распада оценено, что введение в высокообогащенный уран 1% 232и способно обеспечить источник нейтронов мощностью 0,5-106 н/с.

Отметим, что в результате радиоактивного распада и переходит в Тп, который претерпевает несколько радиоактивных распадов до образования стабильного свинца. В результате чего, выдержка 232и может привести к повышению мощности источника нейтронов, что видно на рис. 2.

О 2 4 6 8 10 12

Время выдержки 232 U, годы

Рис. 2. Мощность источника нейтронов в зависимости от времени выдержки 232U (в случае, когда уран

содержит 1% 232U)

Как видно из рис. 2, повышение мощности источника нейтронов за счет выдержки 232U наиболее существенно на начальном этапе. Поэтому целесообразно выдерживать 232U, по крайней мере, в течение года. В этом случае мощность источника нейтронов в уране, содержащим 1% 232U, составит 6,310б н/с. Тогда для обеспечения источника нейтронов 1,5^ 105 н/с (снижение энергетического выхода ЯВУ ствольного типа в 100 раз) уран должен содержать 0,02% 232U. Заключение

Развита модель оценки защищенности высокообогащенного урана с точки зрения возможности изготовления на его основе ЯВУ ствольного типа.

Для снижения эффективности ЯВУ ствольного типа рассматривалось введение в делящийся материал источника нейтронов, что способно обеспечить преждевременный запуск цепной реакции деления и привести к пониженному энергетическому выходу. Оценено, что для снижения в 100 раз энергетического выхода ЯВУ ствольного типа, собранного на основе высокообогащенного урана, требуется наличие в нем порядка 0,02% 232U.

Список литературы

1. J. Carson Mark. Explosive Properties of Reactor-Grade Plutonium. // Science & Global Security. Vol. 4, 1993. 111-128 p.

2. Бабичев А.П., Бабушкина Н.А., Братковский А.М. и др. // Физические величины: Справочник. Под. ред. И.С. Григорьева, Е.З. Мейлихова. М.: Энергоатомиздат, 1991. 1232 с.

НАИЛУЧШАЯ ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ В ЗАДАЧАХ ПОЛЗУЧЕСТИ

Козелько Н.А.

Козелько Николай Андреевич — студент, кафедра мехатроники, теоретической механики, факультет информационных технологий и прикладной математики, Московский авиационный институт, г. Москва

Аннотация: в статье описывается процесс моделирования прочностных задач ползучести вплоть до разрушения. Описываются новые методы решения этих задач с помощью наилучшей параметризации и модифицированного наилучшего аргумента.

Ключевые слова: ползучесть, наилучшая параметризация, численные методы, задача Коши.

При моделировании различных задач механики и физики мы часто пользуемся плохо обусловленными задачами Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Решение

таких задач явными методами численного интегрирования зачастую становится малоэффективным. Намного более эффективным способом решения плохо обусловленных задач является применение метода продолжения решения по параметру и наилучшей параметризации.

В качестве приложения предложенных методов, рассматриваются задачи расчета длительной прочности металлических конструкций в условиях ползучести.

Моделирование длительных задач ползучести в момент разрушения приводит к необходимости решать задачи Коши для плохо обусловленных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с одной предельной особой точкой. Это происходит за счет неограниченного возрастания скорости деформации ползучести в момент разрушения. Для численного решения таких задач можно прибегнуть к традиционным методам решения задач Коши, например, явных методов интегрирования, но погрешность в окрестностях предельной особой точки может принимать большие значения. В вычислительном плане для задач ползучести наиболее продуктивным является метод продолжения решения по параметру, который эффективно применяется при решении широкого класса задач.

Для моделирования процессов ползучести и разрушения металлических конструкций будем применять уравнения теории структурных параметров Ю.Н. Работнова [1]. При Т = с опй :

'йг _ АО) Л ~ 4>{ы) ' йсо _ /2(сг) ~ 4>{ы) '

С начальными условиями

£(0) = 0, с(0) = 0

где £ - деформация ползучести, <г - действующее напряжение, с - параметр поврежденности (в начальный момент времени <с=0, в момент разрушения с =1) , 1 - время, Т - температура, зависимости, входящие в правые части уравнений, получим из результатов эксперимента.

Рассмотрим задачу расчета длительной прочности в условиях ползучести для плоских образцов из титанового сплава ОТ-4 при постоянных напряжениях и температуре 500°С. Для ее описания будем использовать конкретизацию определяющих соотношений энергетического варианта теории ползучести вида

'йе _ 1 йА _ Ке Ш ~ а ' ~сй ~ а0(А., - А)т' ' йА _ Ке^о , ~Ж~ (А,- А)т '

с начальными условиями: £(0) = 0, А(0) = 0.

Материальные константы для системы полученные экспериментальным путем:

А „ = 9 кГ/мм2 ,т = 3 ,/? = 0 . 3 5 {кГ/мм2 ) " \к = 0 . 1 1 1 3 5 {кГ/мм2 ) 4 ч ~1 .

Задача имеет одну предельную особую точку, приходящуюся на момент разрушения. Приближение к особой точке вызовет затруднение при численном решении с использованием явных методов.

Е

Рис. 1. Приближенное решение задачи при трех значениях начального напряжения методом Адамса

10

Время выполнения традиционными t, мс методами численного интегрирования

ISO

140

120 100 80 60 40 20 О

■ 98 МГа ■ 112.7 Мга ■ 147 Мпа

Рис. 2. Время выполнения традиционными методами численного интегрирования

Для устранения трудностей, возникающих при решении задач Коши для систем ОДУ неявными методами, используется преобразование исходной задачи к наилучшему аргументу X [2], отсчитываемому вдоль интегральной кривой этой задачи, который доставляет ей наилучшую обусловленность. Для нашей задачи наилучший аргумент записывается в скалярном виде

Для образцов из сплава титана ОТ-4 преобразованная к аргументу X задача примет вид

d£ КеР*>

d\ yjaо ■ (A - Afm + (1 + o$) ■ A'V^

dA «то ■ A'eSm:i

dX - A)'2m + (1 + ■ Юе2^

dt a0 ■ (Л, - A)m

dX sjal ■ (Л* - Afm + (1 + al) - A'V^

Время выполнения с применением наилучшей параметризации

t, мс

300 278.36

250 200 150 100 50 О

■ 93 МГа ■ 112.7 Мпа ■ 147 Мги

Рис. 3. Время выполнения с применением наилучшей параметризации

При сравнении результатов можно увидеть, что переход к параметру X дает возможность сократить время счета в среднем на 35-40 процентов и уменьшить погрешность вычисления на порядок. Также исчезают все трудности, связанные с реализацией неявных методов и численным решением систем нелинейных уравнений.

Для ослабления недостатков наилучшей параметризации предложен модифицированный наилучший аргумент к, который для системы ОДУ второго порядка имеет вид:

Тогда к-преобразованная задача, запишется в форме системы:

с начальными условиями:

Время выполнения с модифицированным ^ мс лучшим аргументом к

40

34.77 34.701 34.689

■ 98 МПа ■ 112.7 MnaL ■ 147 Мпа

Рис. 4. Время выполнения с модифицированным лучшим аргументом К

Анализируя результаты, увидим, что переход к параметру к позволяет сократить время счета в среднем еще от нескольких десятков процентов до нескольких раз. Это объясняется тем, что для к-преобразованной задачи удается получить значительно более простой вид. Наблюдается уменьшение погрешности вычисления в разы, но порядок погрешности сохраняется на уровне, полученном для X-преобразованной задачи .

В работе было рассмотрено применение метода продолжения решения по параметру, к расчету моделей, описывающих деформирование элементов конструкций в условиях ползучести при разных температурно-силовых воздействиях.

Были написаны программы для расчета задач одноосного растяжения образцов металла Методом Адамса как без применения X и к преобразований, так и с применением наилучшей параметризации.

При применении ^-параметризации удалось существенно сократить время счета и погрешность, но для неупрочняющихся конструкций переход к аргументу X приводит к значительному усложнению исходной задачи.

Список литературы

1. Леонов С.С. Математическое моделирование задач механики деформируемого твердого тела и численные методы их решения // Москва, 2016.

2. Кузнецов Е.Б. Метод продолжения решения и наилучшая параметризация // Москва. Изд. МАИ-ПРИНТ, 2010.

3. ПунтусА.А. Дифференциальные уравнения // Москва. Изд. МАИ-ПРИНТ, 2014.

4. Работное Ю.Н. О механизме длительного разрушения // Вопросы прочности материалов и конструкций. М.: Изд-во АН СССР, 1959.