CC BY
35
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _____________________________________2008, том 51, №8__________________________________
МАТЕМАТИКА
УДК 517.55
Р.Акбаров НАГРУЖЕННОЕ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЕ СИНГУЛЯРНОЕ ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ С ЯДРОМ ГИЛЬБЕРТА С ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМИ ЗАДАНИЯМИ ГРАНИЧНЫХ МОМЕНТОВ
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан Л.Г.Михайловым 25.07.2008 г.)
В предлагаемой работе будут рассмотрены не только обобщения на правые части уравнения, но и обобщения на искомые функции с дополнительными заданиями граничных моментов. Задачи подобного типа возникают в различных ситуациях [1-3].
1. В круге /) = г\ \г\ < 1 рассмотрим неоднородное характеристическое сингулярное интегральное уравнение (х.с.и.у.) с ядром Гильберта:
ФМ*)~^ ]<°)сШ^-^-Лсг = ф) + ^ак6к($Х (1)
0 2 к=1
где ф), ф), ф) - заданные действительные функции класса Н; в- заданные линейно-независимые функции класса Н; а1,а2,...,ап - некоторые вещественные
постоянные, остающиеся произвольными либо подлежащие определению, так же, как искомая функция и($). Дополнительно требуется неизвестные постоянные а1,а2,...,ап определить так, чтобы (1) имело многообразие решений, из которых выбираются решения, удовлетворяющие дополнительным задания граничных моментов
2л
]м(г)йу 0)й?г = qJ, у = 1,2,...,р, (2)
0
где Н(),Н(О,—,Н () - заданные вещественные функции, q1,д2,...,q - заданные вещественные постоянные.
2. Нагруженное х.с.и.у. (1) непосредственно связано с нагруженной краевой задачей Гильберта
п
Ф)“0) + Ф)«Ф) = Ф) + ХаАО) (3)
к=1
с дополнительным условием
2 п
|.9(<7)с1<7 = 0 (4)
о
для аналитической в единичном круге функции ф(г) = и(х,у) + 13(х,у) в том смысле, что если ф{£) есть решение нагруженной краевой задачи (3), удовлетворяющее условию (4), то граничное значение его действительной части есть решение нагруженной задачи х.с.и.у. (1), и обратно, имея и(з) - решение нагруженной х.с.и.у. (1), используя интеграл Шварца и условие (4), получим решение нагруженной задачи Гильберта (3).
Следуя [4,5] общее решение нагруженной неоднородной задачи Гильберта (3) с дополнительным условием (4) представим формулой:
г і г* ¡с .
Ф(z) = zV(íe*'wс(<т)V-dCT + Q(z) + гя х e - z
n 1 i(j І
+ IX •— ------dcr\,
k-1 2л" „ є z \
(5)
k=l
Zk - С z~k
Ck=ak+ibk-
Полагая t = els, И = 1> itx -eir(t) = ^(s) + ij](s),
Ж
JmQit) = Д, + 2^ €k cos ks+ Ък sin ks , обозначим
k-l
Re0(i) = O,
тогда
1 _L 1 271 „Іе .
4/(s) = — ¡e(0li(T)c(a)—-—da; y/k{s)= — feai(a)0k(cr)—-?-dcr, 2n і e -z 2n і e -z
Re^F^) = e^^cis), Jmx¥(t) = —— \e01l{a)c(a)ctg ——-da,
2 n I 2
1 гж
(t) = eCOl(s)0k (-) Jm>k (t) = \e<Bi{a)Gk (&)cig^-^-dG.
Из (5) находим:
гж
u(s) = r¡(s)effll(s)c(s)- <H(s)-----------L®i^)c^) ctg——-da
гп • г
+
и и I 2 Г ГГ — V
+ ^akTj(s)e^*\(s)-Yjak¿;(s)- — \eC°l(a)0A(J)ctg^^da +
к=\ к=\ ¿Л о ^
0
y±v _
+/?„<?(*)+ 2^ | v¿í(s) eos VS + Pv%(s) sin VS k=l
причем должны выполняться дополнительные условия (4)
2 7Т 2ж 27Т -i 2тт
(30 ^r¡((7)d<j+ Jc(cr)e'ai(CT)í/cr +^ek(cr)e(0l{a)da--------------------^(a)d<j = 0
k=1 о ^7Г
(6)
(7)
Возможны следующие случаи
Io. ae = ind(a+ib)=0, тогда в (6) и (7), av =bv = 0, /?0 ^ 0.
2ж
1) Если |//(<7)б/<Т ^ 0, то условие (7), дает возможность определить произвольную по-
0
стоянную /?0 и, следовательно, нагруженное неоднородное х.с.и.у. (1) имеет решение (6), где = К = 0.
2п
2) Если |= 0, то нагруженное х.с.и.у. (1), вообще говоря, неразрешимо. Учи-
0
2к
тывая, что из (7) получим условие разрешимости
^c(T)e(0l<'T)dT + ^ак ^вк{т)еС01(т)dr = 0.
0 1 0
Вставляя u(s) в дополнительные условия (2), получим:
а
joPo + Ёajkak = dJ > j = Ъ2’- ~’Р’
к=1
(8)
где
а]о= aJk= ]hj{s)\ri{s)ek{s)e(0ÁS) ~^{s) -^-^ek{<j)eCA{a)ctg^—^do-
о о о 2
о
2;г
2 Л 2^ 2/<
dJ=qJ- \Нз(эЖэ)е^ф^ + ^(эЖэ) — |0*(о>^
0 0 _ 0 2 _
Для системы (8) справедлива:
Теорема 1. Нагруженное х.с.и.у. (1) с дополнительными заданиями граничных моментов (2) сводится к линейной алгебраической системе (л.а.с.) (8), состоящей изр вещественных уравнений с п + 1 неизвестными вещественными постоянными а1,а2,...,ап. Пусть ж = 0, тогда:
2тт
ds.
0
0
0
0
1) если р<п + \, то нагруженное х.с.и.у. (1) - (2) разрешимо и его общее решение, задаваемое формулой (6), содержит п + \ —р произвольных вещественных постоянных;
2) если р = п + \ и хотя бы один из определителей системы (8) отличен от нуля, то х.с.и.у. (1) - (2) имеет и притом единственное решение;
3) если р>п + 1, то для разрешимости х.с.и.у (1) - (2) необходимо и достаточно равенство рангов расширенной матрицы из (8) (обозначаемые через г) и основной матрицы из (8). Тогда общее решение содержит п +1 - г произвольных вещественных постоянных.
20. ж > 0. Решение нагруженной неоднородной задачи Гильберта представимо формулой (5) с дополнительным условием (4). Общее решение нагруженного х.с.и.у. (1) определим формулой (6), если будет выполняться условие (7). Вставляя u(s), представленное формулой (6) в дополнительные условия (2), получим неоднородную л.а.с.
ж ж п
ajoPo + Z Pjkak +z bjkbk + Z ajkak = dj, j = 1,2,. ..,P (9)
k=1 k=1 k=1
2ж 2ж
Pjk = 2 j7z; (s)<f (s) sin ksds; bjk = 2 |//; (s)<f(s) cos ksds;
0 0
а коэффициенты aJ0 и ajk совпадают с коэффициентами системы (8).
Теорема 2. Нагруженное х.с.и.у. (1) с дополнительными заданиями граничных моментов (2) сводится к л.а.с. (9), состоящей из р вещественных уравнений с п + 2ж+1 произвольных вещественных постоянных P0,ak,bk {к = 1,2,...,ж) и а1,а2,...,ап. Пусть ж > 0, тогда:
1) если р < п + 2ж +1, то нагруженное х.с.и.у. (1) - (2) разрешимо и его общее решение, задаваемое формулой (6), содержит п + 2ж + 1 - р произвольных вещественных постоянных;
2) если р - п + 2ж +1 и хотя бы один из определителей системы (9) отличен от нуля, то х.с.и.у. (1) - (2) имеет и притом единственное решение;
3) если р>п + 2ж +1, то для разрешимости нагруженного х. с. и.у (1) - (2) необходимо и достаточно равенство рангов расширенной матрицы из (9) (обозначаемые через г) и основной матрицы из (9). Тогда общее решение содержит п + 2ж +1 - г произвольных вещественных постоянных.
30. ж < 0. Общее решение нагруженной задачи (3) с дополнительным условием (4) дается той же формулой (5), где Q(z) = 0, причем для разрешимости задачи должны выполняться 2|ж| - 1 условий разрешимости
2^ П 271
\e(4(a)c(o)e~,]ado + ^ak ¡e^e^a^da, j = 1,2,...,L
к=1 о
что равносильно записи
п
Y^a]kak=d], j = 1,2,...,|ж| -1,
(11)
к=1
2ж
а* =
СОБ }Т
I>(г)0*(г)Г'"-'' Wr,
О [sin jr
ír=-V«c(r)íc“^U.
о ls
I sm jt
Решение нагруженного х.с.и.у. (1) может быть получено из формулы (6), если положить в нем (ф) = О
2л
и(У) = ---} с(а)^——-d<т +
2л * 2
и и 1 2? ГТ — Í
■^akr](s)t4(s)ek (s) - •— J ^(<т)6>, (a)ctg——da
к= 1 Л:=1 ^ о 2
при этом должно выполняться условие (4), что равносильно записи
2 п 2 71 -i 2л-
Jc(r)f *l(s)^’(5)í¿S,+ J?7(^)- £с(о)£щ(с7) ■ ctg
<j — s
da
ds +
(12)
yi I 2л- 2л л 2л
+ YjaÁ {eÁsy^^ds+Ws) — \0к(о)ГЛа)-ctg^—^da k=1 [o o L2;r 0 2 .
Последнее равенство представимо в виде
2л 2л
sin ж(г -s)dsdr
ds> = 0.
+
о о
271 271
+ Y¡ak { ¡^к(т)^(т)^Щ<г) sin ж(т -s)dsdr = О .
к=1 О О
(13)
Дописывая ещё 2|ж| - 1 условий (11), получим
Теорема 3. В случае ж < 0, нагруженное х.с.и.у. (1)разрешимо тогда и только тогда, когда выполнено 2\х\ условий разрешимости (11), (13). При их выполнении общее решение дается формулой (12).
Вставляя и^) в дополнительные условия типа граничных моментов (2), получим:
о
2
П
^а]как=й^ 7 = 1(14) к=1
где а д и ё. совпадают с коэффициентами (8), а кроме того, должны выполняться условия
разрешимости (11), (13).
Теорема 4. Нагруженное х.с.и.у. (1) с дополнительными заданиями граничных моментов (2) сводится к л.а.с. (14) и 2\ж \ условий разрешимости (11), (13), состоящее из р+2\ж \ вещественных уравнений с п неизвестными вещественными постоянными а1,а2,...,ап. Пусть се < 0, тогда:
1) если р + 2|ж| <п, то х.с.и.у. (1) - (2) разрешимо и его общее решение, задаваемое формулой (12), при дополнительном условии (11), (13) содержит п - р - 2|ж| произвольных вещественных постоянных;
2) если /> + 2|ж| - пи хотя бы один из определителей системы (11), (14) отличен от нуля, то х.с.и.у. (1) - (2) имеет и притом единственное решение;
3) если р + 2|ж| >п, то для разрешимости х.с.и.у. (1) - (2) необходимо и достаточно
равенство рангов расширенной матрицы из (11) - (14) (обозначаемые через г) и основной матрицы из (11) - (14) соответственно. Тогда общее решение содержит п-г произвольных вещественных постоянных.
Кулябский государственный университет Поступило 25.07.2008 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Михайлов Л.Г. - ДАН СССР, 1981, т. 256, №2, с.276-281.
2. Михайлов Л.Г. - ДАН ТаджССР, 1980, т.ХШ, №7.
3. Акбаров Р. Краевые задачи теории аналитических функци1 с заданными главными частями и им соответствующие особые интегральные уравнения. Душанбе: Дониш, 2006,245 с.
4. Гахов Ф.Д. Краевые задачи, М.: Наука, 1977.
5. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения, М.: Наука, 1968.
Р.Акбаров
МУОДИЛАИ ИНТЕГРАЛИИ МАХСУСИ ЯДРОИ ГИЛЬБЕРТИ САРБОРИ ДОШТА БО ШАРТХ,ОИ ИЛОВАГИИ ШАКЛИ МОМЕНТ^О
Дар мак;ола муодилаи интегралии махсуси ядрои Гильберти сарбори дошта бо шартх,ои иловагии шакли моментх,о ба функсияи матлуб гузошта шуда тадкдк; карда шудааст.
R.Akbarov THE LAUDED CHARACTERISTIC SINGULAR INTEGRAL EQUATIONS WITH HILBERT KERNELS AND WITH COMPLEMENTARY ASSIGNMENTS OF BOUNDARY MOMENTS
The lauded characteristic singular integral equations with Hilbert kernels and with complementary assignments of boundary moments are considered in the paper.
