CC BY
25
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2012, том 55, №11_
МАТЕМАТИКА
УДК 517.948
Р.Акбаров, К.Джураев
НАГРУЖЕННАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА РИМАНА ДЛЯ КУСОЧНО-ГОЛОМОРФНО АВТОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ С ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ, ПРИНАДЛЕЖАЩИМИ КОНЕЧНОЙ ГРУППЕ ДРОБНО-ЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
Кулябский государственный университет им. А.Рудаки
(Представлено академиком АН РеспубликиТаджикистан Л.Г.Михайловым 02.06.2012 г.)
В статье исследуется задача Римана для кусочно-голоморфных автоморфных функций с дополнительными задачами, принадлежащими конечной функциональной группе дробно-линейных преобразований.
Ключевые слова: краевая задача - нагрузка - автоморфная функция.
1. Предварительные сведения. Однозначной аналитической функцией F(г) называют ав-томорфной по отношению к данной группе О дробно-линейных постановок
а.а 0 (г ) = г, ( (г) = ^ + Ъ , Ак = акёк - скЪк * 0, к = 1,2,..., п, (1)
+
если она инвариантна относительно преобразований этой группы:
^ (( х )] = ^ ( х ). (2)
Рациональные автоморфные функции образуют единственный класс однозначных функций, автоморфных по отношению к конечным группам. Точки или фигуры, получаемые одна из другой при помощи подстановок группы (1), называются эквивалентными. Автоморфная функция, согласно (2), принимает в эквивалентных точках одно и тоже значение. Область, которая не содержит двух различных эквивалентных между собой точек, но которая содержит точки, эквивалентные любой точке плоскости относительно рассматриваемой группы о, называется фундаментальной областью группы (соответственно фундаментальной областью автоморфной функции).
Если группа не содержит целых подстановок, то есть если все С * 0, то фундаментальную область легко построить. Это будет внешность всех изометрических окружностей группы, уравнения которых
Адрес для корреспонденции: Рахмат Акбаров. 735360, Республика Таджикистан, г. Куляб, ул. А.Сафарова 30, Кулябский государственный университет . Е-таИ:акЬагоу-39@таИ.ги
\СК2 + Лк\ = 1,Ск * 0, к = 1,2,...,п.
Автоморфные функции имеют в фундаментальной области одинаковое число нулей и полюсов и вообще любое свое значение принимают одинаковое число раз. Из этого свойства следует, что если автоморфная функция в фундаментальной области Б не имеет полюса, то она тождественно равна постоянной.
Особую роль в теории автоморфных функций играет так называемая основная функция группы . Это автоморфная функция
п-1 1
р (' )=! 1
к=0 >к
> ( г )- а
(где а - любое фиксированное число), принимающая в каждой фундаментальной области любое свое значение один раз. Если функция
п-1
р ( г ) = !> ( г )
к=1
не вырождается тождественно в постоянную, то она является основной автоморфной функцией, имеющей полюс в бесконечно удалённой точке.
Если р (г) имеет полюс порядка ж в конечой точке, то она может быть представлена
в виде
Р„(г)
[ Р ( г )-Р ( г.)]" •
где г - бесконечно удалённая или эквивалентная ей точка.
2. Постановка задачи. Пусть Б - одна из фундаментальных областей, целиком состоящая из обыкновенных точек фундаментальной группы (1), и пусть Ь0 - некоторая гладкая замкнутая кривая, целиком расположенная в области Б. Обозначим через Ьк (к = 1,2,..., п) контуры, эквивалентные контуру , то есть кривые, в которые переходит кривая Ь0 при преобразованиях группы (1). В дальнейшем будем считать, что все линии Ьк различны между собой и могут пересекаться друг с другом и с Ь0 лишь в конечном числе точек.
Рассмотрим следующую краевую задачу.
Найти кусочно-голоморфную автоморфную функцию Ф (г), принадлежащую группе > с линией скачков Ь0, Н - непрерывно продолжаемое слева и справа на Ь0 по краевому условию
п
ф+(*) = G (0ф"(0 + g (о + 2>0 (о, * е ¿0, Ф («) = 0, (3)
г=1
где О(г), g(г), ) (/ = 1,2,.,п) - заданные на Ь0 функции, удовлетворяющие условию Гёльдера, причём О (г)* 0 всюду на Ь0 (и тогда вводится обозначение индекса задачи &= JndО(?)); аг,а2,...,ап - некоторые комплексные постоянные, подлежащие определению наряду с Ф(г). Кроме того, неизвестные коэффициенты аг,а2,...,ап следует подобрать так, чтобы существовало многообразие решений задачи (3),удовлетворяющее дополнительным условиям:
| h1 (т)Ф+ (т^т = р}, ] = 1,2,..., «1, (4+)
¿0
| h1 (т)Ф~ (т)dт = gj, у = 1,2,..., щ +1, щ + 2,..., щ + щ = т, (4-)
¿0
где У (г) - линейно-независимые комплексные функции, а р - комплексные постоянные.
Кривые Ь для функции Ф (г) будут также линиями разрыва. Учитывая краевое условие (3) и автоморфность искомой функции, решение будет удовлетворять краевым условиям на всем контуре
п—1
ь = ¿0 ье4,
к=1
уравнения которого т — ок(г) = 0, или г = о— (г), теЬ0, (к = 1,.,п-1). Если функции ок (г) отображают контур Ь0 в контуры Ьк с сохранением направления обхода, то из (2)
Ф+{г) = Ф+-[(к (*)], * е ¿0 е D. Подставляя в краевые условия (3), получаем:
п
ф+( (*)] = G (*)Ф-[ок (*)] + g (0 + 2М (О, * е ¿0, ф-(®) = 0
к=1
или, заменяя г е Ь0 на о>— (г) = о. (г), г е Ь.:
п
Ф (*) = g ( (*)] Ф (*) + g ( (*)] + ^ак0к \о] (*)], * е ¿1, (5)
к=1
Ф(да) = 0, у = 1,2,., п — 1.
Таким образом, на линиях Ьк функция Ф^) также удовлетворяет краевым условиям
задачи Римана (3). Краевые условия (3), (5) равносильны краевому условию (3) и соотношению
Ф [щ (г)] = Ф (г) (6)
Поэтому при решении задачи Римана нет нужды выписывать краевые условия для искомой функции на линиях, эквивалентных данной. Данного краевого условия (3) и соотношения (6) вполне достаточно.
3. Решение краевой задачи. Будем считать, что контур Ь0 замкнут. Тогда и все контуры Ьк, эквивалентные Ь0 , будут тоже замкнутыми. Каноническую функцию х(2) для совокупности контуров Ь0,Ьк,...,Ьп_х можно построить как произведение канонических функций Хо(2), Х( 2),.■■, Хп-\( 2), для каждого из этих контуров в отдельности. Известно [1], что каноническая функция для всего контура Ь представится в виде
п—1
[ 01.1
п п-® К (2)]
Х(2) = ПХо О(2)] = ПК(2) -0 " • (7)
к=0 к=0
г о( 2)—| а (г)
/ ТГ1 •> т — 7 :
Хо(2) = (2 - О-в^2) г 0(2) - ^ ] —
Ь0
где - некоторая точка контура Ь0, отличная от точек пересечения, ж - индекс функции 0(1:) . Функция х(2) отлична от нуля всюду, кроме, может быть, бесконечно удаленной точки и точек, ей эквивалентных, где она имеет порядок ж и инвариантно относительно всех подстановок группы х(2) — Х.К(2)], (к —1,2,.....,п — 1) и на контурах Ьк удовлетворяет условию
Х+ (0 — 0^)х t е Ь (к — 0,1,2,....,п — 1). Обычным приёмом факторизации приводим краевое условие (3) к виду
фчо - ф—« -+ уа<мкм tеь, (к=0,...,п-1). (8)
х+(t) х (t) х+(t) 6 ' х+(t) , ' • ( ) ()
Это есть задача определения аналитической автоморфной функции по её скачку. Используя формулы Сохоцкого-Племели, непосредственной проверкой легко убедиться, что кусочно-аналитическая функция
1 п-1
*2 > = т 21
к=0 ь ( п-1 ^ п
лю +2 а._вг
(Г) 2 г (г)
ё (г)
1 п-1 —2 [
Я(г) Р (г)ёг
Г - «к (2) 2т к=0 Г (г) Р(г) - Р(2)
+ ■
1 п-1 п
Ь 2/2
а,,
в (г) Р (г)ёг
2ет'к=0 ьо1=1 к (г) р(г) - р(г)
= * (г ) + ^о( 2 )
остаётся инвариантной относительно всех преобразований группы и удовлетворяет краевому условию (8). Следовательно, функция
Фг (2) = х(2) [* (2) + ^о(2) ] ,
где
1 п-1
* (2) = Ъ 2 /
1 п-1 г Я (г) Р (г)ёг
к=0 ь '
.)2/2
2т
п-1 п
х+ (г) р(г)-р(г)'
2от'
а,,
в (г) Р '(г)
к=0 ь г=1 к (Г) Р(Г) - Р(г)
(9)
(10)
является частным решением неоднородной задачи
п
ф+ (0 = ац(0]ф-(0+£ [«к(0]+2 "в к (t)], к = 0,1...., п-1 (11)
г=1
Прибавляя к (11) общее решение однородной задачи, задаваемое формулой
Ф>(2) = Х(2) •
Р)
[Р(Г) - Р(2Ш )]х
в случае ж > 0, получим общее решение неоднородной задачи (11) в следующей форме:
Ф(2) = Ф0 (2) + Фг (2) = Х(2) * (2) + ¥в (2) + -
Р)
пж-1
(12)
[Р(г) - Р(2Ш )]Х
где х(2) - каноническое решение, определяемое формулой (7), * (2), (2) - выражаются соответственно формулами (9) и (10), р_1 (Р) - произвольный многочлен степени ж-1 от основной функции группы, ^ - бесконечно удалённая или любая эквивалентная ей точка. При ж<0 нужно положить (Р) = 0 и, кроме того, потребовать, чтобы * (2) + * (2) на бесконечности обращались в нуль (-ж+1)-го порядка. Разложение *(2) в окрестности бесконечно удаленной точки будетиметь вид:
* 2)=-гЬ 2
2т
1=1
п-1
2
к=0 г
Я (г) (г)
«1(гк-1ё2
-— 2
2т
1=1
^г ^ в (г) ^ 1-1
к=0 г г=1 x (г )
Приравнивая нулю коэффициенты, при 2 ' (' —1,2,... — ж) получим условия разрешимости задачи
Я (т) ^ • - (т)
п—1
к—0
_Х+ (т) и Х+ (т)
Условия разрешимости (13) равносильно записать
- (т) Пт^Г Я (т)
6«к (С(т)оГт = 0• (' —1,2,....., — ж).
(13)
П П !} / т \ п—1 / п—1 СТ ( Т \ ?
6«I 6«,-т6«к(т)«'тт)ат — —б\1т« (т)«\т)ат (' —1,2,...., — ж)
I—1 Ь 1 Х (т) к—0 к—0 Ь Х (т)
или
где
6^« — / • ' —1,2,...., |ж|-1,
г —1
Г;, — |-+тт6 К ' (т)К—1ат, / — - 6 к ' (?Кк\т)ат
Ь Х (т) к—0 - -
(14)
к—0 ь Х (т)
Таким образом, мы имеем следующий результат
Теорема 1. Неоднородная краевая задача (3) при ж > 0 безусловно разрешима. При ж < 0 она разрешима тогда и только тогда, когда выполняются (-ж) условия разрешимости (13).
4. Определение неизвестных коэффициентов «.
Находя из (12) Ф' (^) и вставляя в (4+), (4 ), получим две алгебраическихсистемы (л.а.с) с двумя группами комплексных неизвестных С, С ,.С-1 и «,«2,.«„
6 «Ск + 6 — а+1, ' — ^ ^щ •
к—1 ,—1
(15)
где
+
«'к —
у ^ )х± (t (t )а
[ ^ ^)—^ & )]к—1
£1 — 6
к—0
1 ¡У (г)х± (0- (0Л_, 1
х+ (t)
2 от
Л' (' Х (')
1
- (т) ат
Х+ (т) т —« (t)
а' — р3 —-1- i;)х± с)
я(т) ат
6 /х+ (т) т —«к (т)
Л +161 ' х )-£++ Л.
х (t)
2 к=0 ;
Заметим, что при знаке (+) в (15) надо брать ' —1,2....,щ, а при знаке (-) надо брать ' — щ +1, щ + 2,....., щ + щ — щ .
п
Ь
0
Теорема 2. Неоднородная краевая задача (3) в классе кусочно-голоморфных авто-морфных функций, стремящихся к бесконечности, принадлежащих конечной группе дробно-линейных преобразований с дополнительными задачами (4+) и (4_), сводится к л.а.с. 19) ,
состоящей из двух подсистем, определяемых знаками (+) либо (-) с неизвестными
С1, С2,.....Сх-1 и а1,а2, .. .ап .
Пусть в (3) будет ж > 0. Тогда:
1. Если т < ж + п -1 то задача (3)- (4+) безусловно разрешима, а её общее решение,
задаваемое формулой (12), содержит ж +п -1 - т - произвольных комплексных постоянных.
2. Если т = ж + п -1 и определитель из (15) отличен от нуля, то задача (3)- (4+) имеет и притом единственное решение.
3. Если т>ж + п -1 и ранги основной и расширенной матрицы из (15) совпадают и обозначены через г, тогда общее решение задачи, задаваемой формулой (12), содержит (ж+ п -1) - г -произвольных постоянных.
В том случае, когда ж < 0 , надо взять всюду РхЧ(Р) = 0, а вместо л.а.с.(15) две отдельные системы, как и ранее в (15) при знаках плюс и минус:
п
2Р>г , 1 = 1,2,..., т. (16)
1=1
И кроме того, у нас есть условия разрешимости (14):
п
2= I, 1 = 1,2,...., |ж|-1.
г=1
Теорема 3. Пусть ж < 0. Тогда:
1. Если т+\ж\ -1 < п, то задача (3)- (4±) всегда разрешима и её общее решение, задаваемое формулой Ф(2) = х(2)*(2), содержит п-(т + |ж|-1) произвольных комплексных постоянных:
2. Если т + |ж|-1=п и определитель системы (15), (20) отличен от нуля, то задача (3)- (4±) имеет и притом единственное решение;
3. Если т + |ж|-1>п, то для разрешимости задачи (3)- (4±) необходимо и достаточно, чтобы совпадали ранги основной и расширенной объединяющей матриц (14), (16) , тогда общее решение содержит п - г произвольных комплексных постоянных.
Поступило 06.06.2012 г.
ЛИТЕРАТУРА 1. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. - М.: Наука, 1977, 638 с.
2. Чибрикова Л.И. Основные граничные задачи для аналитических функций-Казань:Издательство Казанского университета, 1977, 301 с.
3. Михайлов Л. Г., Акбаров P. - ДАН РФ, 2009, т. 425, №5, с.1-5.
Р.Акбаров, К.Чураев
МАСЪАЛАИ КАНОРИИ РИМАН БАРОИ ФУНКСИЯ^ОИ ЦИСМАН ГОЛОМОРФЙ АВТОМОРФ, БО ШАРТ^ОИ ИЛОВАГИИ ШАКЛИ МОМЕНТ^ОИ, ГУРУ^И ОХИРНОКЙ ТАБДИЛДИ^И^ОИ
КАСРЙ - ХАТТЙ
Донишго^и давлатии Кулоб ба номи А.Рудаки
Дар макола масъалаи канории Риман барои функсиях,ои кисман голоморфй автоморф, бо шартх,ои иловагии шакли моментх,о, ки ба гурухд охирноки табдилдих,их,ои касрй-хаттй мутаалик хдст, таткикот гузаронида шудааст.
Калима^ои калиди: масъалаи канори - сарбори - функсияуои автоморф.
R.Akbarov, K.Juraev
LOADED BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR A PEICEWISE RIMAN HOLOMORPH, AFTOMORPHIE FUNCTION WITH THE ADDITIONAL CONDITION WITH A FINITE GROUP OF FRACTIONAL LINEAR FORMATION
A.Rudaki Kulyab State University In article problem of Rimana for piece-golomorph automorph functions with additional conditions on required function belonging final group fractionally linear transformed is investigated. Key words: Boundary problems - loading - automorphie function.
