CC BY
19
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _______________________________________2011, том 54, №5_____________________________________
МАТЕМАТИКА
УДК 517.55
Р.Акбаров
НАГРУЖЕННАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА СОПРЯЖЕНИЯ
Кулябский государственный университет им. А.Рудаки
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан Л.Г.Михайловым 15.03.2011 г.)
В статье решение нагруженной задачи сопряжения с заданными главными частями найдено в замкнутой форме, а ее условия разрешимости в случае отрицательного индекса записываются в виде системы алгебраических уравнений.
Ключевые слова: краевая задача - нагрузка - сопряжение - главные части.
1. В краевых задачах теории аналитических функций (а.ф.) фундаментальное положение занимает краевая задача сопряжения. Еще с XIX в. было известно обобщение теории интегральных уравнений Фредгольма на так называемые нагруженные интегральные уравнения, изучавшиеся в работах Кнезера и Лихтенштейна (см.в [1]). Вполне целесообразным будет поставить вопрос об изучении нагруженной краевой задачи сопряжения с учетом заданных главных частей [2, 3].
Пусть Б + - конечная (т+1) связная область с границей Ь, состоящая из кривой Ь0, охватывающей остальные простые кривые Ь,Ь2Ьт [1].Контуры Ь к ориентируются так, что при движе-
А
нии вдоль Ь к против часовой стрелки область 0+ остается слева. Обозначим D— = C \ D+ . На
А
С\ L задано конечное множество точек F = , Е2,..., Еп }. Пусть и, и2,..., ип — малые окрестности
точек ^, F2..., Fn соответственно. В проколотых окрестностях и \ ^ зададим функции (г) ,
А
удовлетворяющие условию Гельдера (Н) и аналитические всюду на С\ Ь .Функцию ^ (г) можно интерпретировать как «главную часть» неизвестной функции Ф(г) в окрестности и точки Fv.
А
Предположим, что при каждом у = 1,2,..., п заданная главная часть (г) аналитична всюду на С \ Ь .
Тогда можно ввести функцию
1 о \/+ (г), г е Б+,
/(г) =?(г) + £ (г) + - + Г (г) = \/+ ( ) ^ ,
/—(гХ г е Б ,
аналитическую всюду вне точек F1,F2,...,Fn. Здесь через /(г) и / (г) обозначена сумма главных
частей неизвестной функции, взятая по всем особым точкам, лежащим в Б+ и Б соответственно. Функции / (г) и /_ (г) аналитичны всюду вне соответствующих особых точек, в частности / (г)
Адрес для корреспонденции: Рахмат Акбаров. 735360, Республика Таджикистан, г.Куляб, ул. С.Сафарова, 16, Кулябский государственный университет. E-mail: [email protected]
аналитична в Б , а /_ (г) в Б+. Обозначим F = ^ и ^, где ^ (^) — множество особых точек
функции /+ (г) (/— (2)), лежащих в Б + (Б — ).
Требуется найти [Ф+ (г) — /+ (г)] и [ Ф (г) — /— (г^] — а.ф. в Б + \ F+ и D \ Р— соответственно, ограниченные на бесконечности, если они непрерывны вплоть до контура Ь изнутри и извне соответственно, а на Ь они сопряжены условием
п
Ф+ 0) = 0(1)ф— (1)+ Я(1) + ЕаА 0X (1)
к=1
где 0(1) и g(t) принадлежат классу Н, причем 0(1) Ф 0, 1 е Ь (и тогда вводится обозначение индекса задачи $=М0(1)). Под знаком суммы из (1), называемой нагрузкой, в1(1 ),#2(1),..., вп (1) — заданные линейно независимые комплексные функции класса Н; а1,а2,...,ап — некоторые комплексные постоянные, остающиеся произвольными или подлежащими определению так же, как а.ф. Ф+ (г) и ф )
2. Пусть X(г) — каноническая функция однородной задачи (1). Она будет задаваема формулами
т
(2)=П(2—^) *кв г+^ (2)=7 г (^
к=1
т
1л[Г-*П (7-2к )"' С(Г)]
Г( 2) =— Г----------^----------------Л,
2т I г — 2
причем %(г) на контуре Ь удовлетворяет условию
(1) = 0(1 )Х~ (1), 1 е Ь . (2)
Используя (2), краевое условие (1) запишем в виде
п
ф+(* )/ (*)=ф+(*)/(*)+е (* )/ (*) + Е1ак вк(1V (1), 1 е Ь.
к=1
Если бы функция Ф^)/ %(г) не имела заданных главных частей в точках множества Б и если в(1) = а191 (1) +-+ апвп (1) Ф 0, то мы могли бы записать:
Ф( г) = Ф 0( г) + Ф1( г) + Ф 2 (3)
где Ф 0( г) - общее решение однородной задачи без особенностей, Ф1 (г) — частное решение, происходящее от свободного члена g(t), Ф2 (г)— частное решение, происходящее от нагрузки, определяемой соответственно формулами:
Ф.М = РЛМ*Ф,Ю ^/4і■ —, ф,М^Х«.І~^+Т^\' ——,
2т ^ х (т) т-г 2т к=1 { х (т) т-г
(4)
где Рш(г) - многочлен с произвольными коэффициентами степени $ при $ > 0 и степени нуль при $<0 .
В рассматриваемом нами случае следует записать
Ф(2) = Ф0 (2) + Ф1 (2) + Ф 2 (2) + Ф А (2) =
(5)
где Фл (г) - кусочно-аналитическая функция, имеющая заданные особенности. То, что искомая функция Ф( г) имеет в особых точках наперед заданные главные части, означает: существует аналитическая функция /(г) такая, что Ф(г) = /(г) + /(г) , где /(г) - новая искомая функция.
Полагая
Ф( г)1 Х( г) = /( г)/Х(г ) + / (г V Х(г ) (6)
и учитывая (4), из соотношения (5) будем иметь:
¥( г)
1 С Я(т) йт ^_^Г 9 к(т) йт /(г)
„р-мІ-ЩІЇ■ —+ 1^І .() ...
Х(г) 2т { х (т) т-2 *=1 2^г ^ х (т) г-г х(г)
Составив разность предельных значений на контуре обоих частей последнего, получим
/+ (1) )_ /— (1) /+ (1К Я(1) . V-. 9к (1)
--------------------------------+ —:-----+ Еак----------
х+(і) х_(*) х_(*) х+ (і) х+ (і) и=1 к х+ (і)
(7)
Так как (7) - задача для определения кусочно-аналитической функции \у(р)/х(2) по заданному скачку, то будем иметь
¥(?) = _^Г Х(г) 2т 1
/-(т) /+(т)
_Х(т) Х+(т)_
йт
- +
т-г
1 г Я(т) йт
(7) + —і — + ^Г ак— І +/ \
2т 1 х (т)т-г == 2т 1 х (т) т-г
1 Г 9к(т) йт
Прибавляя к обеим частям последнего равенства функцию / (г)/х(г) и умножая на ), получим:
/-(т) /+(т)
Лт | х(2)
-=«к|9^^:^т+Фо(2)+Фі(2) (8)
т-2 2т == к 1 х(т) т-2
_х(т) х+(т)_
Очевидно, разность Ф±(г)-/+ (2) будет аналитической в областях П±/. Сопоставляя (8) с (5)
получим
Ф А (-- )= / (2 ) + х(Е) |
2т
/(т) /+(т)
х(т) х+(т).
(9)
Функцию ФА(г), представленную формулой (9), будем называть функцией заданных особенностей или функцией заданных главных частей.
Формула (8) дает общее решение сформулированной задачи при $ > 0 . При $<0 в выражении (8) следует положить Фо(7)=0. Задача будет иметь решение, если заданные главные части, свободный член и нагрузки удовлетворяют некоторым условиям разрешимости. Для получения их равенство (8) представим в виде
= х(2, .
2тіь
(*)] _^Г /-(т) /+(т йт І V 9к(т) йт 1
( )\о1ні „ (Л „ЧЛ = „ЧЛ 'УігіЗ
х~(т) х+(т)
Ф( 2)-/(2 )=
йт -А ак г 9к (т) йт 1 і я(т) йт 1 (10)
В (10) функция х(г) на бесконечности имеет полюс порядка $, а множитель, стоящий в фигурной скобке, на бесконечности должен иметь порядок $. Если функцию, стоящую в фигурной скобке, разложим в ряд вида
С1 С2 Сп
— л—V л----л —- + ■
2 п
гг г
в окрестности бесконечно удаленной точки, то .получим следующие I ®1 условий разрешимости, обеспечивающих единственность решения
1 х*т == к 1 х'(г) 1
/+(т) /-(г)
х+(т) х (т)_
т"-1йт , (" = 1,2,...,| ®|). (11)
г^ёг
Поскольку -----представляет собой решение союзной однородной задачи для дифферен-
Х+(г)
циалов
ё/ (1) = О(?)ё/о(?), 1 е Ь , (12)
то условия разрешимости (11) можно представить в виде одного соотношения
Г Я(г)ё /0+ (1) + Е ак\9к (г)ё/0+ (г) = | \/+ (г)ё /0+ (г) — /— (г)ё / (г)]. (13)
Ь к=1 Ь Ь
При выполнении условия (13) единственное решение задачи дается формулой (8). Итак, справедлива
Теорема 1. Нагруженная краевая задача сопряжения с заданными главными частями при $ > 0 разрешима безусловно и ее общее решение дается формулой (8). Если $<0, то для разрешимости задачи необходимо и достаточно выполнение условия (13) для любого решения ё/0 (г) союзной
задачи (12). При его выполнении общее решение задачи дается той же формулой (8), где теперь
Фо(7)=0.
3. Рассмотрим один частный случай формулы (9), часто встречающийся на практике. Пусть функция
(А)
аналитична в О+ и непрерывна в О +, а функция
/+()_хШМ_ О 1 (*)/+(*)
(В)
х+(*) х( )х+() х()
аналитична в О и непрерывна в Пи исчезает на бесконечности. Тогда по интегральной формуле
решимости задачи (1) можно представить в виде (11) или (13), и при их выполнении - общее решение задачи (1) дается формулой (8), а в случае выполнения условий (А) и (В) - формулами (14).
4. Пусть $<0, тогда в (8) необходимо положить Фо^)=0, а условие разрешимости (11)представимо в виде линейной алгебраической системы (л.а.с.):
Л.а.с. (15) состоит из I ®| уравнений с неизвестными а ,а ,-,а. Возможны следующие случаи а)
Теорема 2. Нагруженная задача сопряжения а.ф. (1) с заданными главными частями при а<0 сводится к л.а.с. (15), состоящей из $ уравнений с п неизвестными а1,а2,...,ап, причём следует различать три подслучая:
1) если I ®| <п, то л.а.с. (15) и вместе с ней задача (1) разрешимы и ее общее решение содержит (п-1 ж|) произвольных постоянных;
Следовательно, формула (8) представима в формах
Ф+А ( 2) = /+ ( 2 ) + О ( 2) /- ( 2 ) + Ф+ ( 2 )+Ф+ (2 ) + Ф+ ( 2 ) > 2 Є О+ > ФА (2) = /- (2) + О 1 (2) / + (2) > +Ф0 (2) + Ф- (2) + Ф2 (2) > 2 Є О .
(14)
Следствие 1. Если главные части неизвестных функции Ф+(2) и Ф (2) заданы в виде пары функций /+ (2) и /_ (2), аналитических соответственно в областях О \ Е+ и О \ Е-, то условия раз-
п
(15)
к=1
где
| ®| <п; б) | «| =п; в) | ®| >п.
2) если | ®| =п и Д = de^lpvk\ 0, ^то л.а.с. (15), а вмес^^е с ней и задача (1) разреш.имы единственным образом;
3) если I ®1 >п, то для совместности как системы (15), так и для разрешимости задачи (1) необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы из (15) (обозначаемый через r) совпадал с рангом основной матрицы из (15); тогда общее решение задачи содержит n-r произвольных комплексных постоянных.
Поступило 15.03.2011 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Смирнов В.И. Курс высшей математики. - М.,1974, т.4, ч.1, 363 с.
2. Акбаров Р. Краевые задачи теории аналитических функции с заданными главными частями и им соответствующие особые интегральные уравнения. - Душанбе: Дониш,2006, 245 с.
3. Михайлов Л.Г. Новый класс особых интегральных уравнений и его применение к дифференциальным уравнениям с сингулярными коэффициентами. - Душанбе: Дониш, 1963, 209 с.
4. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. - М.: Наука, 1977, 639 с.
Р.Акбаров
МАСЪАЛАИ КАНОРИИ САРБОРИДОШТАИ ^АМБАСТАИ ФУНКТСИЯ^О
Донишго^и давлатии Кулоб ба номи А.Рудаки
Дар макола барои масъалаи сарборидоштаи хамбастагии функтсияхо бо кисмхои асосии додашуда, хал дар шакли сарбаст ёфта шуда, шартхои халшавандагии он хангоми манфй буда-ни индекси масъала ба системаи муодилахои алгебравй оварда мешавад.
Калима^ои калиди: масъалаи канори - сарбори - %амбастаги - цисм%ои асоси.
R.Akbarov
LOADED BOUNDARY PROBLEM OF CONJUGATION
A.Rudaki Kulyab State University In the paper the decision of loaded boundary problem of conjugation with given basic parts is shown in closed form and for negative index the conditions of solution are written as system of algebraic equation. Key words: boundary problem - loaded - conjugation - basic parts.
