CC BY
9
УДК 539.3
М. В. Вильде, Н. В. Сергеева
МОДЫ НАСЛЕДСТВЕННО-УПРУГОГО СЛОЯ С ПЕРЕКРЕСТНЫМИ ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ НА ЛИЦЕВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ
В работе рассматриваются моды в слое с перекрестными граничными условиями на лицевых поверхностях. Особенностью данной задачи является возможность получить решение дисперсионного уравнения в явном виде, что позволяет проанализировать влияние наследственно-упругих свойств материала на распространение упругих волн.
Постановка задачи. Рассмотрим распространение гармонических волн в бесконечном наследственно-упругом слое, ограниченном плоскостями г = ± в декартовой системе координат. Плоскость Оху совместим со срединной поверхностью слоя. Будем рассматривать распро-
х
Динамическое напряженно-деформированное состояние слоя описывается уравнениями движения в напряжениях, записанными для случая плоской задачи, и уравнениями состояния, взятыми в интегральной форме [1]. В качестве ядра интегрального оператора выберем дробно-экспоненциальную функцию Работнова [2]:
га -1 (-рЛ) = ед-1 Е-гаг,
п=0 1 I 2 \
где к, в ~ постоя иные, определяющие механическое поведение материала, £ - время, Г(п) = /0ю уп-1 ехр(—у)(у - гамма-функция.
На лицевых поверхностях поставим перекрестные граничные условия:
VI = 0, озз = 0 при г = ±Н.
Решение для перемещений V, будем искать в виде
V = У, (г) ехр— (д + %х)х),
где ^ - частота, х - волновое число, д > 0 - коэффициент затухания, определяющий убывание амплитуды волны с увеличением координаты х
Дисперсионное уравнение. Рассмотрим случай симметричного по нормальной координате напряженно-деформированного состояния.
После стандартной процедуры, с учетом безразмерных переменных . x . z c2t
£ = —, Z = —, t* = -7—, дисперсионное уравнение будет имеет вид h h h
b
* cosh (a) cosh (b) = 0, (1)
аХ* 2
где
b2 = й - ^ iX* = -6*- ix*, 6* = h5, х* = 02 2 1+ I I
^2 = EF(TT^), Ш* = C2Ш C2 = V2aTV7,
1 — 2v к* , /X, ^ fh
2 в* + VV С2 V С2
к 1 — 27/^
Е^ = 1 к* а2 = х2 К2 о2 К2 = 1
в* + V 2 - 2^
Е V мгновенные значения модуля Юнга и коэффициента Пуассона, р _ плотность материала. В дальнейшем звездочки у безразмерных переменных опускаем.
Дисперсионное уравнение (1) имеет нетривиальные решения в случае, когда cosh(a) = 0 и cosh(b) = 0.
ХП1})2 = - (2 + (п - 1))2п2+
2 (Р1Р2 + 2ы) (Р1Р4 + ) + 2шк2^ 2 . 2 ( (Р1Р2 + 2^ - ^ (Р1Р4 + 2^)) 2 /оч
-^2 , о. Л ^2 , о. Л-" , (2)
~(2)\2 (1 , / 2 , Р1Р4 + 2ш 2 ■ 1+ 2 (о\
Хп = - ^ + (П - 1) П +--2---Ш - i—2-Т+-Ш, (3)
n / \2 v 7 pi + 2Ш pi + 2Ш w
1 — 2V
ГДе к2 = -——, pi = 2в + \/2Ш - 2к Р2 = 2в + \/2Ш + ±-2Vк, Рз =
2 - 2v 1 v
= 2в + - i--Vк Р4 = 2в + + i+Vк n = 1, 2,...
Решение (2) соответствует волнам расширения (I серия), решение (3) -
сдвиговым волнам (II серия).
Формы колебаний для волн I и II серий имеют вид
v(q) = CV1(q) cos ((2 + n) nZ) exp (iut - (6 + ), ,(q)
W = C sin ((1 + n) nZ) exp (iшt - (6 + i%)Z),
95
те я = 1,2 = Х У1(2) = -.
а X
На рис. 1, 2 представлены проекции дисперсионных кривых на плоскости (ш,х) и (ш, 5) для V = 0.3. Сплошная линия соответствует значениям к = 0.9, в = 0.1 пунктирная -к = 0.5, в = 1 штрих-пунктирная -к = 0 (упругий случай).
Рис. 1. Проекции дисперсионных кривых Рис. 2. Проекции дисперсионных кривых на плоскости (ш, х) и (ш, 5) (I серия) на плоскости (ш, х) и (ш, 5) (II серия)
Анализ дисперсионного уравнения и полученных решений позволяет сделать следующие выводы.
1. Существует симметрия дисперсионных кривых при замене х на Х-
кв
дисперсионные кривые больше отклоняются от соответствующих упругих кривых, при этом на сдвиговые волны наследственная упругость оказывает более сильное влияние. В окрестностях частот запирания упругих мод наследственно-упругие кривые имеют наибольшую кривизну. Увели-кв к=0
аналогичной упругой задачи [3].
3. Перемещения по переменной ( имеют вид тригонометрических функций, следовательно, по найденной системе мод можно осуществлять разложение, которое будет сводиться к ряду Фурье.
В рассматриваемом случае частоты запирания отсутствуют. Введем условные частоты запирания ш!д) - частоты, при которых действительная часть волновой постоянной обращается в нуль. Приш > ш!д) получим волну, которую будем называть распространяющейся. При ш ^ то волновую постоянную можно представить в виде х ~ О(ш) — Ю(л/ш), то есть скорость затухания изменяется как л/ш и зависит от к и в- При ш < ш!^ получим волну, которую будем называть нераспространяющей-ся. В упругом случае эта волна чисто мнимая, а в наследственно-упругом
появляется малая действительная часть. При и = 0 волновая постоянная становиться чисто мнимой.
Проведенное исследование показывает, что наследственная упругость приводит к появлению новых динамических эффектов. Распространяющиеся моды приобретают малое затухание, а параметры затухания нераспространяюгцихся мод приобретают малую действительную часть. В связи с этим представляет интерес исследование влияния наследственной упругости на резонансные явления, связанные с нераспространяюгцимися модами, аналогичные изученным для случая идеально упругого тела в [4].
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Анофрикова Н. С., Сергеева Н. В. Исследование гармонических волн в наследственно-упругом слое // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Математика. Механика. Информатика. 2014. Т. 14, вып. 3. С. 321-328.
2. Работное Ю. Н. Элементы наследственной механики твердых тел. М. : Наука, 1977. 384 с.
3. Вилъде М. В., Каплунов Ю.Д., Коссович Л. Ю. Краевые и интерфейсные резонансные явления в упругих телах. М. : Физматлит, 2010. 280 с.
4. Вилъде М. В. Резопапсы волны Рэлея в полуполосе // Проблемы прочности и пластичности : межвуз, сб. Н. Новгород : Изд-во ИНГУ, 2004. Вып. 66. С. 29-38.
УДК 539.383
Е. С. Доль
МОДЕЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО ЭЛЕМЕНТА ПОЗВОНОЧНИКА
Приведены результаты моделирования функционального элемента позвоночника. Проведен численный анализ в АХЗУЗ.
Введение. Травмы позвоночника составляют до 17% травм опорно-двигательного аппарата, при этом в среднем 40 случаев на миллион приходится на травмы поясничного отдела.
На сегодняшний день существует большое число методик лечения заболеваний и повреждений позвоночника. В связи с этим часто необходимо делать выбор среди целого ряда устанавливаемых имплантатов или схожих методов. В этом случае нужно учитывать не только медицинские, но и биомеханические факторы, влияющие на исследуемый объект. Учет биомеханической составляющей того или иного метода может быть сделан с помощью численного моделирования методом конечных
