CC BY
51
появляется малая действительная часть. При и = 0 волновая постоянная становиться чисто мнимой.
Проведенное исследование показывает, что наследственная упругость приводит к появлению новых динамических эффектов. Распространяющиеся моды приобретают малое затухание, а параметры затухания нераспространяющихся мод приобретают малую действительную часть. В связи с этим представляет интерес исследование влияния наследственной упругости на резонансные явления, связанные с нераспространяюгцимися модами, аналогичные изученным для случая идеально упругого тела в [4].
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Анофрикова Н. С., Сергеева Н. В. Исследование гармонических волн в наследственно-упругом слое // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Математика. Механика. Информатика. 2014. Т. 14, вып. 3. С. 321-328.
2. Работное Ю. Н. Элементы наследственной механики твердых тел. М. : Наука, 1977. 384 с.
3. Вилъде М. В., Каплунов Ю.Д., Коссович Л. Ю. Краевые и интерфейсные резонансные явления в упругих телах. М. : Физматлит, 2010. 280 с.
4. Вилъде М. В. Резопапсы волны Рэлея в полуполосе // Проблемы прочности и пластичности : межвуз, сб. Н. Новгород : Изд-во ИНГУ, 2004. Вып. 66. С. 29-38.
УДК 539.383
Е. С. Доль
МОДЕЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО ЭЛЕМЕНТА ПОЗВОНОЧНИКА
Приведены результаты моделирования функционального элемента позвоночника. Проведен численный анализ в АХЗУЗ.
Введение. Травмы позвоночника составляют до 17% травм опорно-двигательного аппарата, при этом в среднем 40 случаев на миллион приходится на травмы поясничного отдела.
На сегодняшний день существует большое число методик лечения заболеваний и повреждений позвоночника. В связи с этим часто необходимо делать выбор среди целого ряда устанавливаемых имплантатов или схожих методов. В этом случае нужно учитывать не только медицинские, но и биомеханические факторы, влияющие на исследуемый объект. Учет биомеханической составляющей того или иного метода может быть сделан с помощью численного моделирования методом конечных
элементов (МКЭ), который широко применяется в различных областях биомеханики [1-3].
Расчетам поясничного отдела позвоночника и его отдельных элементов с помощью МКЭ уделяли внимание многие научные группы из разных стран [4]. При этом во многих работах заметно различаются как свойства материалов тканей позвоночника, так и значения действующих на рассматриваемый объект нагрузок.
Основой для конечно-элементного моделирования является трехмерная твердотельная геометрическая модель исследуемого объекта. В работах многих научных групп предлагаются различные методы построения как позвонков и межпозвонковых дисков, так и связочного аппарата. В некоторых работах авторы предлагают создавать упрощенные идеализированные модели позвоночного столба. Но большинство исследователей стараются создавать реалистичные и пациентно-ориентированные модели позвоночника или его сегментов на основе данных компьютерной и магнитно-резонансной томографии (КТ и МРТ) [5, 6]. Целью данной работы является решение стационарной задачи о компрессионном на-гружении функционального элемента поясничного отдела позвоночника (L4-L5) методом конечных элементов.
1. Постановка задачи. Функциональный элемент позвоночника -анатомический комплекс, состоящий из двух смежных позвонков с соответствующими суставами и мышечно-связочным аппаратом на этом уровне и одного межпозвонкового диска.
Позвонки по строению относятся к губчатым костям и состоят из плотного наружного кортикального слоя и внутреннего губчатого. Межпозвонковый диск состоит из пульпозого ядра (гелеобразной массы) и окружающего его волокнистого фиброзного кольца. В поставленной задаче использована упрощённая модель межпозвонкового диска без разделения его на фиброзное кольцо и пульпозное ядро.
С математической точки зрения решается статическая задача теории упругости о действии на функциональный элемент компрессионной (осевой) нагрузки.
2. Материалы и методы. Моделирование функционального элемента проводилось методом конечных элементов в программном пакете ANSYS. Для этого на первом этапе работы в программном пакете Solid Works была создана трехмерная геометрическая модель. В качестве базовой была взята твердотельная модель позвоночного столба человека, построенная на основе КТ-изображений. Затем из базовой модели был выделен необходимый функциональный элемент L4-L5.
Далее с помощью элементов сплайн, бобышка и посредством комбинирования объёмов были созданы модели фасеточных суставов, межостистой и межпоперечных связок, после чего объём тела позвонка был разделен на кортикальный и губчатый слой кости. Толщина кортикального слоя в среднем составила 0.6 0.8 мм.
Анализ литературы позволил определить величину компрессионной нагрузки, действующей на функциональный элемент [4].
К верхним конечным пластинам позвонков L4 и L5 в направлении осей тел позвонка прикладывалась распределённая нагрузка в 200 Н. Нижняя концевая пластинка позвонка L5 жестко закреплялась.
Построенная геометрическая модель далее была импортирована в программный пакет ANSYS Workbench. Модель разбивалась конечно-элементной сеткой (анализ сеточной сходимости позволил определить размер ребра элемента, равный 1 мм), задавались граничные условия в виде жесткой заделки и приложенных нагрузок, и задача запускалась на расчет.
В результате расчётов были получены диаграммы распределения перемещений и напряжений в модели (рисунок).
Максимальное перемещение наблюдается на позвонке L4 в его верхней передней части и составляет 0.63 мм. Максимальное напряжение наблюдается на позвонке L5, значение максимального напряжения составляет 8.53 МПа.
Результаты расчётов: а - диаграмма перемещений; б - диаграмма напряжений
Заключение. Решена стационарная задача о деформировании осевой нагрузкой функционального элемента поясничного отдела позвоночника (Ь4 Ь5).
В ходе работы на основе анализа литературы были определены основные механические характеристики тканей функционального элемента позвоночника, а также величины и характер приложения нагрузок, действующих на него. Это позволит в дальнейшем перейти
к моделированию патологий и реконструктивных операций по замене межпозвонкового диска.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Иванов Д. В., Долъ А. В., Павлова О. Е., Аристамбекова А. В. Моделирование виллизиевого круга человека в норме и при патологии // Рое. журн, биомеханики. Пермь : Изд-во Перм. политех, ун-та, 2013. Т. 17, JV2 3 (61). С. 49-63.
2. Иванов Д. В., Доль А. В. Практические задания по применению пакета Ansys Mechanical APDL к задачам биомеханики сердечно-сосудистой системы : учеб.-метод. пособие для студ. естест.-науч. дисциплин. Саратов : Буква, 2015. Сер. Биомеханика.
3. Ломакин М. В., Лепилин А. В., Смирнов Д. А., Иванов Д. В., Долъ А. В. Биомеханическое изучение напряженно-деформированного состояния в области коротких дентальных имплантатов в системе костная ткань-имплантат-абатмент // Российская стоматология. М. : Изд-во Медиа-Сфера, 2013. Т. 6, JV2 1. С. 21-24.
4. Dreischarf М., Zander Т., Shirazi-Adl A., Puttlitz С. М., Adam С. J., Chen С. S., Goel V. К., Kiapour A., Kim Y. Н., Labus К. Л/.. Little J. P., Park W. Л/.. Wang Y. H., Wilke H. J., Rohlmann A., Schmidt H. Comparison of eight published static finite element models of the intact lumbar spine: predictive power of models improves when combined together // J. Biomech. 2014. Vol. 47, iss. 8. P. 1757-1766.
5. Иванов Д. В., Долъ А. В. Применение томографических изображений для создания трехмерных индивидуальных реалистичных моделей биологических объектов // Кардио-ИТ. (Саратов). 2015. Т. 2, № 4. С. 1-5.
6. Иванов Д-В., Лепилин А. В., Смирнов Д. А., Долъ А. В. Возможности различных CAD-комплекеов при построении математической модели костной ткани // Сарат. науч.-мед. журн. 2015. Т. 9. С. 403-405.
УДК 629.78
Г. А. Исмайылов, И. А. Панкратов
О МИНИМИЗАЦИИ ЗАТРАТ ЭНЕРГИИ НА УПРАВЛЕНИЕ УГЛОВЫМ ДВИЖЕНИЕМ СПУТНИКА
Пусть угловое движение тела (искусственного спутника Земли) описывается кинематическим уравнением Пуассона:
2А = А о ш,
где А - кватернион, характеризующий положение твердого тела относительно инерциальной системы координат, ш - вектор абсолютной угловой скорости твердого тела относительно этой системы. Начальное угловое положение тела есть
А(0) = А0.
